有效数字及其运算规则

有效数字及其运算规则
一、有效数字的含义及位数
为了得到准确的分析结果，不仅要准确地测量，而且还要正确地记录和运算，即记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正确的反映测量的精确程度。

如某物重0.5180g 、其中0.518 是准确的，“0 ”位可疑，即其有上下一个单位的误差，
也就是说此物重的绝对误差为
二．有效数字的运算规则：
1 ．和或差的有效数字：
几个数相加减时，和或差的有效数字的保留，应以小数点后位数最少的数据为根据，即决定于绝对误差最大的那个数据。

例如：0.0121+25.64+1.05782 ＝26.70992
应依25.64 为依据，即：原式＝26.71
小数点后位数的多少反映了测量绝对误差的大小，如小数后有1 位，它的绝对误差为
±0.1 ，而小数点有 2 位时，绝对误差为±0.01 。

可见，小数点具有相同位数的数字，其绝对误差的大小也相同。

而且，绝对误差的大小仅与小数部分有关，而与有效数字位数无关。

所以，在加减运算中，原始数据的绝对误差，决定了计算结果的绝对误差大小，计算结
果的绝对误差必然受到绝对误差最大的那个原始数据的制约而与之处在同一水平上。

2 ．乘除法
几个数相乘、除时，其积或商的有效数字应与参加运算的数字中，有效数字位数最少的那个数字相同。

即：所得结果的位数取决于相对误差最大的那个数字。

商应与0.0325 在同一水平上，即取3 位。

又如：3.001×2.1= 6.3
有效数字的位数的多少反映了测量相对误差的大小。

如 2 位有效数字1.0 和9.9 它们的都是±0.1 ，相对误差分别为±10% 和±1%, 即：
两位有效数字的相对误差总在±1% ～10%
叁位有效数字的相对误差总在±0.1 ～1%
肆位有效数字的相对误差总在±0.01 ～±0.1% 之间。

可见，相同有效数字位数的数字，其相对误差E r，处在同一水平上：而且E r的大小，仅与有效数字位数有关，而与小数点位数无关。

因此，积或商的相对误差必然受到相对误差最大的那个有效数字的制约，且在同一水平上。

5.103 ±0.02%
60.06 ±0.02%
139.8 ±0.07%
0.0713±0.1%
总之，不论是加减，还是乘除运算，都要遵循一个原则，即：计量结果的精度取决于测量精度最差的那个原始数据的精度。

而加减法和乘除法要从不同的角度分别考虑其原因，则与误差传递理论有关，已超出本课的讨论范围，在此不作介绍。

3 ．数字的修约原则：
计算结果要按有效数字的计算规则保留适当位数修约去多余数字。

①．四舍五入规则。

②．四舍六入五成双：
当尾数≤4 时舍去，尾数≥ 6 时进位。

当尾数为5 时，则看留下来的末位数是偶数还是奇数。

末位数是奇数时， 5 进位，是偶数时，舍弃，
如：4.175 ，4.165 ，处理为三位有效数字时则为：4.18 ， 4.16
当被修约的5 后面还有数字时，该数总比5 大，这种情况下，该数以进位为宜。

如： 2.451 → 2.5
83.5009 →84
注意：在修约数字时，只能对原始数据修约到所需位数，而不能连续修约。

如：要把17.46 修约为两位，只能一次修约为17 。

而不能17.46 →17.5 →18
对有效数字记录与运算要注意以下几点：
①．记录时保留一位可疑数字。

②．运算中，采用“四舍五入”或“四舍六入五成双”修约原则，先修约，后计算。

③．首位数字大于或等于8 的，则有效数字位数可多算一位（主要指乘除计算），如：8.37 是三位数，可看作四位。

0.9812 是四位数，可看作五位。

④．加减运算，以绝对误差最大的那个原始数据为准
乘除运算，以相对误差最大的那个原始数据为准
⑤．对于一些分数、常数、自然数可视为足够有效。

不考虑其位数。

⑥．高组分含量（＞10% ）一般保留四位。

中组分含量（1 ～10% ）一般保留三位。

低组分含量（≤1% ）一般保留两位。

如：pH=4.37 为两位有效数字。