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第一讲 注意添加平行线证题

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1 第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况.

1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P、Q为线段BC上两点,且BP＝CQ, A为BC外一动点(如图1).当点A运动到使 ∠BAP＝∠CAQ时,△ABC是什么三角形？试 证明你的结论. 答： 当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA. 在△DBP＝∠AQC中,显然 ∠DBP＝∠AQC,∠DPB＝∠C. 由BP＝CQ,可知 △DBP≌△AQC. 有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC. 于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP. 则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB＝DP. 所以AB＝AC. 这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD为平行四边形, ∠BAF＝∠BCE.求证：∠EBA＝∠ADE. 证明：如图2,分别过点A、B作ED、EC 的平行线,得交点P,连PE. 由AB CD,易知△PBA≌△ECD.有 PA＝ED,PB＝EC. 显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有 ∠BCE＝∠BPE,∠APE＝∠ADE. 由∠BAF＝∠BCE,可知 ∠BAF＝∠BPE. 有P、B、A、E四点共圆. 于是,∠EBA＝∠APE. 所以,∠EBA＝∠ADE. 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.∠APE成为∠EBA与∠ADE相等的媒介,证法很巧妙.

∥＝

AD

BPQC图1

PEDGA

BF

C

图2 2

2 欲“送”线段到当处 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题. 例3 在△ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证： PM＋PN＝PQ. 证明：如图3,过点P作AB的平行线交BD 于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC 于K、G,连PG. 由BD平行∠ABC,可知点F到AB、BC 两边距离相等.有KQ＝PN.

显然,PDEP＝FDEF＝GDCG,可知PG∥EC. 由CE平分∠BCA,知GP平分∠FGA.有PK＝PM.于是, PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ. 这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM＝PK,就有PM＋PN＝PQ.证法非常简捷.

3 为了线段比的转化 由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例4 设M1、M2是△ABC的BC边上的点,且BM1＝CM2.任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.试证：

APAB＋AQAC＝11ANAM＋22ANAM.

证明：如图4,若PQ∥BC,易证结论成立. 若PQ与BC不平行,设PQ交直线BC 于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于 E. 由BM1＝CM2,可知BE＋CE＝M1E＋ M2E,易知

APAB＝DEBE,AQAC＝DECE,

11ANAM＝DEEM1,22ANAM＝DEEM2. 则APAB＋AQAC＝DECEBE＝DEEMEM21＝11ANAM＋22ANAM.

ANE

BQ

K

GC

DMFP

图3

APEDCM2M1B

QN1N2

图4 3

所以,APAB＋AQAC＝11ANAM＋22ANAM. 这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问题迎刃而解. 例5 AD是△ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,CK交AB于F.求证：∠FDA＝∠EDA. 证明：如图5,过点A作BC的平行线,分 别交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、 N、M.

显然,ANBD＝KAKD＝AMDC. 有BD·AM＝DC·AN. (1) 由BDAP＝FBAF＝BCAM,有

AP＝BCAMBD·. (2) 由DCAQ＝ECAE＝BCAN,有 AQ＝BCANDC·. (3) 对比(1)、(2)、(3)有 AP＝AQ. 显然AD为PQ的中垂线,故AD平分∠PDQ. 所以,∠FDA＝∠EDA. 这里,原题并未涉及线段比,添加BC的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP与AQ的相等关系显现出来.

4 为了线段相等的传递 当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去. 例6 在△ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且∠MDN＝

90°.如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2,求证：AD2＝41(AB2＋AC2). 证明：如图6,过点B作AC的平行线交ND 延长线于E.连ME. 由BD＝DC,可知ED＝DN.有 △BED≌△CND. 于是,BE＝NC. 显然,MD为EN的中垂线.有 EM＝MN. 由BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2,可知△BEM为直角三角形,∠MBE＝90°.有

图5MPAQNF

BDC

EK

图6ANCD

EB

M 4

∠ABC＋∠ACB ＝∠ABC＋∠EBC＝90°. 于是,∠BAC＝90°.

所以,AD2＝221BC＝41(AB2＋AC2). 这里,添加AC的平行线,将BC的以D为中点的性质传递给EN,使解题找到出路. 例7 如图7,AB为半圆直径,D为AB上一点, 分别在半圆上取点E、F,使EA＝DA,FB＝DB. 过D作AB的垂线,交半圆于C.求证：CD平 分EF. 证明：如图7,分别过点E、F作AB的垂线,G、H为垂足,连FA、EB.易知 DB2＝FB2＝AB·HB, AD2＝AE2＝AG·AB. 二式相减,得 DB2－AD2＝AB·(HB－AG), 或 (DB－AD)·AB＝AB·(HB－AG). 于是,DB－AD＝HB－AG, 或 DB－HB＝AD－AG. 就是DH＝GD. 显然,EG∥CD∥FH. 故CD平分EF. 这里,为证明CD平分EF,想到可先证CD平分GH.为此添加CD的两条平行线EG、FH,从而得到G、H两点.证明很精彩. 经过一点的若干直线称为一组直线束. 一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等. 如图8,三直线AB、AN、AC构成一组直线束,DE是与BC平行的直线.于是,有

BNDM＝ANAM

＝NCME, 即 BNDM＝NCME或MEDM＝NCBN. 此式表明,DM＝ME的充要条件是 BN＝NC. 利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例8 如图9,ABCD为四边形,两组对边延长 后得交点E、F,对角线BD∥EF,AC的延长 线交EF于G.求证：EG＝GF. 证明：如图9,过C作EF的平行线分别交AE、 AF于M、N.由BD∥EF,可知MN∥BD.易知 S△BEF＝S△DEF. 有S△BEC＝S△ⅡKG－ *5ⅡDFC. 可得MC＝CN.

AGDOHB

FCE

图7

图8AD

BNCE

M

图9ABM

EF

NDCG 5

所以,EG＝GF. 例9 如图10,⊙O是△ABC的边BC外的旁 切圆,D、E、F分别为⊙O与BC、CA、AB 的切点.若OD与EF相交于K,求证：AK平 分BC. 证明：如图10,过点K作BC的行平线分别 交直线AB、AC于Q、P两点,连OP、OQ、 OE、OF. 由OD⊥BC,可知OK⊥PQ. 由OF⊥AB,可知O、K、F、Q四点共圆,有 ∠FOQ＝∠FKQ. 由OE⊥AC,可知O、K、P、E四点共圆.有 ∠EOP＝∠EKP. 显然,∠FKQ＝∠EKP,可知 ∠FOQ＝∠EOP. 由OF＝OE,可知 Rt△OFQ≌Rt△OEP. 则OQ＝OP. 于是,OK为PQ的中垂线,故 QK＝KP. 所以,AK平分BC. 综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.

练习题

1. 四边形ABCD中,AB＝CD,M、N分别为AD、BC的中点,延长BA交直线NM于E,延长CD交直线NM于F.求证：∠BEN＝∠CFN. (提示：设P为AC的中点,易证PM＝PN.) 2. 设P为△ABC边BC上一点,且PC＝2PB.已知∠ABC＝45°,∠APC＝60°.求∠ACB. (提示：过点C作PA的平行线交BA延长线于点D.易证△ACD∽△PBA.答：75°) 3. 六边开ABCDEF的各角相等,FA＝AB＝BC,∠EBD＝60°,S△EBD＝60cm2.求六边形ABCDEF的面积. (提示：设EF、DC分别交直线AB于P、Q,过点E作DC的平行线交AB于点M.所求面积与EMQD面积相等.答：120cm2) 4. AD为Rt△ABC的斜边BC上的高,P是AD的中点,连BP并延长交AC于E.已知AC:AB＝k.求AE:EC.

(提示：过点A作BC的平行线交BE延长线于点F.设BC＝1,有AD＝k,DC＝k2.答：211k) 5. AB为半圆直径,C为半圆上一点,CD⊥AB于D,E为DB上一点,过D作CE的垂线交CB于F.求证：DEAD＝FBCF. (提示：过点F作AB的平行线交CE于点H.H为△CDF的垂心.) 6. 在△ABC中,∠A:∠B:∠C＝4:2:1,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.求证：a1＋b

1

AOEPCB

FQK

图10

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平行线证明题大综合

平行线证明题大综合

平行线的证明【1】1．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义）∴DG∥AC（）∴∠2=（）∵∠1=∠2（已知）∴∠1=∠（等量代换）∴EF∥CD（）∴∠AEF=∠（）∵EF⊥AB（已知）∴∠AEF=90°（）∴∠ADC=90°（）∴CD⊥AB（）2．完成下面推理过程：如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C，可推得AB∥CD．理由如下：∵∠1=∠2（已知），且∠1=∠CGD（），∴∠2=∠CGD（等量代换）．∴CE∥BF（）．∴∠=∠C（）．又∵∠B=∠C（已知），∴∠=∠B（等量代换）．∴AB∥CD（）．3．如图，∠1=60°，∠2=60°，∠3=100°．要使AB∥EF，∠4应为多少度？说明理由．4．如图，EF∥AD，∠1=∠2．求证：DG∥AB．5．如图，已知DE∥BC，EF平分∠AED，EF⊥AB，CD⊥AB，试说明CD平分∠ACB．6．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD的度数；（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．平行线的证明【2】1．如图，已知CD∥AB，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠CDO=62°，求∠DOF的度数．2.如图，已知AB∥DE∥MN，AD平分∠CAB，CD⊥DE．（1）∠DAB=15°，求∠ACD的度数；（2）判断等式∠CDA=∠NCD+∠DAB是否成立，并说明理由．3．如图，已知AB∥CD∥EF，∠ABC=46°，∠CEF=154°，求：（1）∠ECD的度数；（2）∠BCE的度数．4．学着说点理，填空：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，可得AD平分∠BAC．理由如下：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）∴∠ADC=∠EGC=90°，（）∴AD∥EG，（）∴∠1=∠2，（）∠E=∠3，（两直线平行，同位角相等）又∵∠E=∠1（已知）∴=（等量代换）∴AD平分∠BAC（）5．如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；（2）若BF⊥AC，∠2=150°，求∠AFG的度数．6．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=27°．（1）求∠2的度数；（2）若∠3=18°，判断直线n和m的位置关系，并说明理由．7．如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？加以证明；（2）若∠CEF=70°，求∠ACB的度数．平行线的证明【3】1．如图，已知∠1＝142°，∠ACB＝38°，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，问AB与CD是否垂直？并说明理由．2．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，∠BAC与∠DCA相等吗？为什么？3．已知；如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分线AE、DF分别与线段BC相交于点E、F，AE与DF相交于点G，求证：AE⊥DF．4．如图所示，∠B＝25°，∠D＝42°，∠BCD＝67°，试判断AB和ED的位置关系，并说明理由．5．如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．（1）求证：CE∥GF；（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；（3）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．6．完成下列推理过程：已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B求证：∠EDG+∠DGC＝180°证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）∠1+∠DFE＝180°（）∴∠2＝（）∴EF∥AB（）∴∠3＝（）又∵∠3＝∠B（已知）∴∠B＝∠ADE（）∴DE∥BC（）∴∠EDG+∠DGC＝180°（）7．如图所示，折叠一个宽度相等的纸条，求∠1的度数．平行线的证明【4】1．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．2．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3．请问：AD平分∠BAC吗？若平分，请说明理由．3．MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1=140°，∠2=50°，试判断AB 和CD的位置关系，并说明理由．4．如图AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．求证：∠EGF＝90°．5．（1）如图1，已知AB∥CD，那么图1中∠P AB、∠APC、∠PCD之间有什么数量关系？并说明理由．（2）如图2，已知∠BAC＝80°，点D是线段AC上一点，CE∥BD，∠ABD和∠ACE的平分线交于点F，请利用（1）的结论求图2中∠F的度数．6．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2（1）求证：AB∥CD（2）若∠D＝∠3+50°，∠CBD＝70°，求∠C的度数．7．如图，AB∥CD，∠CDE＝122°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝150°，求∠F．平行线的证明【5】1．如图，EF∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．（1）问直线CD与AB有怎样的位置关系？并说明理由；（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．2．如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1=∠A．（1）求证：FE∥OC；（2）若∠BOC比∠DFE大20°，求∠OFE的度数．3．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=55°，求：（1）∠FED的度数；（2）∠FEG的度数；（3）∠1和∠2的度数．4．已知△ABC各顶点的坐标为A（﹣4，﹣2），B（﹣1，﹣3），C（﹣2，﹣1），将△ABC 先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△A′B′C′．（1）在直角坐标系中画出△A′B′C′；（2）求出△A′B′C′的面积．5．如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、BE，试说明∠BAE+∠DCE ＝∠AEC．【探究】当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE ＝360°；【应用】点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③．若∠EFG＝36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG＝°．平行线的证明【6】1．已知：如图，CD分别交AD、AE、BE于点D、F、C，连接AB、AC，AD∥BE，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB∥CD．证明：∵AD∥BE（已知）∴∠3＝∠CAD（）∵∠3＝∠4（已知）∴∠4＝（等量代换）∵∠1＝∠2（已知）∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE（等式的基本性质）即∠BAE＝∴∠4＝（等量代换）∴AB∥CD．2．如图（1），AB∥CD，试求∠BPD与∠B、∠D的数量关系，说明理由．（2）依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D 的数量关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，不用说明理由．3．（1）如图①如果AB∥CD，求证：∠APC＝∠A+∠C．（2）如图②，AB∥CD，根据上面的推理方法，直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C＝．（3）如图③，AB∥CD，若∠ABP＝x，∠BPQ＝y，∠PQC＝z，∠QCD＝m，则m＝（用x、y、z表示）4．已知，如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上的一点且GH⊥EG．求证：PF∥GH．5．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．（1）折叠后，DC的对应线段是；（2）若∠BFE＝65°，求∠EBF的度数．。

(完整版)平行线证明(填理由)

(完整版)平行线证明(填理由)

平行线证明（填理由）、填空题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知，如图，BE平分/ ABC /仁/ 2,据提示填空.•/ BE平分/ ABC（已知）/•Z 1=7 3 （______________ ）又•••/仁/ 2 （已知）•- _____ =7 2 （_____________ ）•- _____ 〃______ ( _______________ )•••7 AED= _____ ( _______________ ).2. 根据解答过程填空：如图，已知7 DAF7 F,7 B=7 D,那么AB与DC平行吗? 解：•••/ DAF7 F (已知)•- _____ 〃______ ( _______ )•7 D=7 DCF( _____ )又•••/ D=7 B ( ______ )•7______ =7 DCF(等量代换)•AB// DC( ____ )3. 如图，已知FGLAB CD£AB 垂足分别为G D, 7仁7 2, 求证：7 CED-7 ACB=180 .请你将小明的证明过程补充完整.证明：••• FGLAB CD£AB垂足分别为G D (已知)•7 FGB7 CDB=90 ( ________ ),•GF// CD ( _____ ).••• GF// CD(已证)•7 2=7 BCD ( _____ )又仁72 (已知)，•7 1=7 BCD ( _____ ),• _____ , ( _______ )•7 CED-7 ACB=180 _____ .4. 补全证明过程，即在横线处填上遗漏的结论或理由. 已知：如图，7 1=7 2,7 C=7 D.求证：7 A=7 F.证明：1=7 2 (已知)又7 仁7 DMN( _____ )•7 2=7 _____ (等量代换)•DB// EC ( ____ )•7 C=7 ABD( _____ )T7 C=7 D (已知)•7 D=7 ABD( _____ )• _____ (内错角相等，两直线平行)/•Z A=Z F ( _____ )二、解答题(本大题共 12小题，共96.0分)5. (1)问题发现：如图①，直线 AB//CD E 是AB 与AD 之间的一点，连接 BE CE 可 以发现 Z B+Z C=Z BEC请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E 作EF// AB••• AB// DC (已知)，EF// AB (辅助线的作法)./• EF// DC( _____ ).•••Z C=Z CEF( ____ )•/ EF// AB /Z B=Z BEF (同理).•Z B+Z C= ______ (等量代换)即 Z B+Z C=Z BEC(2) 拓展探究：如果点 E 运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现： Z B+Z C=360 - Z BEC 请说明理由.(3)解决问题：如图③，AB// DC Z C=12C ° , Z AEC=80，请直接写出ZA 的度数.6. 阅读下列推理过程，在括号中填写理由.已知：如图，点D E 分别在线段 AB BC 上, AC// DE DF// AE 交BC 于点F, AE 平分Z BAC 求 证：DF 平分Z BDE证明：••• AE 平分Z BAC(已知)• Z 1=Z2 ( ______________________________ )•/ AC// DE(已知)• Z 1=Z 3 () 故Z 2=Z 3 () •••DF// AE(已知)• Z 2=Z 5 () • Z 3=Z 4 ( )圉①••• DF平分/ BDE（ _________________________ ）7. 如图（1）, AB// CD猜想/ BPD与/ B/D的关系，说出理由.解：猜想/ BPD/ B+/ D=360理由：过点P作EF// AB•/ B+/ BPE=180 （两直线平行，同旁内角互补）•/ AB// CD EF// AB•EF/ CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. ）•/ EPD/ D=180 （两直线平行，同旁内角互补）•••/ B+/ BPE/ EPD/ D=360•••/ B+/ BPD/ D=360（1）依照上面的解题方法，观察图（2）,已知AB// CD猜想图中的/ BPD与/ B/D 的关系，并说明理由.（2）观察图（3）和（4）,已知AB// CD猜想图中的/ BPD与/ B/D的关系，不需要说明理由.A ------------ BC—P (4)8.如图，已知，CD// EF, /仁/ 2,求证：/ 3=/ ACB请补全证明过程.证明：••• CD// EF,( _____ )•/ 2=/ DCB (两直线平行，同位角相等)•••/仁/ 2, ( _____ )•/ 仁/ DCB ( _______ )•GD/ CB ( _______ )•/ 3=/ ACB ( _______ )9.在横线上填写理由，完成下面的证明.如图，已知/ 1+/2=180°, / B=/ 3,求证/ C=/证明：T/ 1+/2=180°（已知），/ 1+/ DFE=180AED•/ 2=/ DFE( ______ )• AB// EF ( _____ )•/ 3=/ ADE( _____ )又•••/ B=/ 3 (已知)•/ B=/ ADE( _____ )•DE// BC ( _____ ))•••/ C=Z AED( ______ )10. 阅读下面的证明过程，在每步后的横线上填写该步推理的依据. 如图，/ E=Z 1,Z 3+Z ABC=180 , BE是/ ABC的角平分线,求证：DF// AB.证明：••• BE是/ ABC的角平分线•••/ 1=Z 2 ( ___________ )又•••/ E=Z1/•Z E=Z 2 ( ____________ )•AE// BC ( ____________ )•Z A+Z ABC=180 ( ____________ )又T Z 3+Z ABC=180•Z A=Z 3 ( ____________ )•DF// AB ( ____________ ).11. 填空：如图，已知DE// AC Z A=Z DEF试说明AB// EF. 解：••• DE// AC _____________ _•Z A=Z BDE ___T Z A=Z DEF _____•Z BDE Z DEF ___ .•AB// EF ______12. 完成下面的证明：已知：如图，AB// DE 求证：Z D+Z BCD - Z B=180°, 证明：过点C作CF// AB.T AB// CF (已知)，•Z B= _____ ( ______ ).T AB// DE CF// AB( 已知 )，•CF// DE ( ______ )•Z 2+ ____ =180 ( ______ )T Z 2=Z BCD- Z 1,•Z D+Z BCD- Z B=180°( _____ ).13. 完成下面推理过程.如图：在四边形ABCD中, Z A=106 - a,Z ABC=74+a,BDLDC于点D, EF±DC于点F,求证：Z仁Z2证明：T Z A=106 - a,Z ABC=74 + a(已知)•Z A+Z ABC=180•AD// ____ ( _____________ )•••/1= ______ ( _______________ )•/ BDL DC EF± DC(已知)•••/ BDF2 EFC=90 ( ________ )• BD// ______ ( _____________ )2= _____ ( _______________ )•••/ 仁/ 2 ( _______ )14. 完成下面的证明(在括号中填写推理理由) 如图，已知/ A=Z F,Z C=Z D,求证：BD// CE 证明：因为/ A=Z F,所以AC// DF ( ______ ),所以/ C+Z _____ =180 ( ________ ).因为/ C=Z D,所以Z D+Z _____ =180 ( ________ ),所以BD// CE ( ______ ).15. 如图AB// CD Z 仁Z 2,Z 3=Z 4,试说明AD// BE 解：••• AB// CD (已知)•Z 4=Z ______ ( _______ )•••Z 3=Z 4 (已知)•Z 3=Z ______ ( _______ )•Z仁Z 2 (已知)•Z 1+Z CAF Z 2+Z CAF( _____ )即Z _____ = Z_______ ( ______ )•Z 3=Z _____•AD// BE ( ____ )16. 如图，已知EF// AD Z 仁Z 2,Z BAC=70，求Z AGD(请填空)解：• EF// AD•Z 2= _____ ( ______又T Z 1=Z2•Z 1=Z 3 ( ______ )•AB// _____ ( _____ )•Z BAC+ ____ =180 ( ________ )•Z BAC=70 ( ______ )•Z AGD= ____ ( ______ )。

平行线的证明100道经典习题练习(含答案)

平行线的证明100道经典习题练习(含答案)

平行线的证明100道经典习题练习（含答案在卷尾）一、选择题（本大题共64小题，共192.0分）1.一个三角形三个内角的度数之比是1:2:3，则这个三角形一定是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形2.如图，能判断直线AB//CD的条件是()A. ∠1=∠2B. ∠3=∠4C. ∠1+∠3=180∘D. ∠3+∠4=180∘3.如图，点F，E分别在线段AB和CD上，下列条件能判定AB//CD的是()A. ∠1=∠2B. ∠1=∠4C. ∠4=∠2D. ∠3=∠44.如图，直线a//b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中与∠1互余的角有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5.如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠A=37°，∠B的度数是()A. 33°B. 23°C. 27°D. 37°6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是()．A. 垂直B. 两条直线C. 同一条直线D. 两条直线垂直于同一条直线7.如图，BC//DE，若∠A=35°，∠C=24°，则∠E等于()A. 24°B. 59°C. 60°D. 69°8.在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是()A. 如图1，展开后测得∠1=∠2B. 如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C. 如图3，测得∠1=∠2D. 在图④中，展开后测得∠1+∠2=180°9.一次数学活动中，检验两条纸带 ①、 ②的边线是否平行，小明和小丽采用两种不同的方法：如图，小明对纸带 ①沿AB折叠，量得∠1=∠2=50∘;小丽对纸带 ②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合.则下列判断正确的是()A. 纸带 ①的边线平行，纸带 ②的边线不平行B. 纸带 ①的边线不平行，纸带 ②的边线平行C. 纸带 ① ②的边线都平行D. 纸带 ① ②的边线都不平行10.对于命题“若a2>b2，则a>b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是()A. a=3，b=2B. a=−3，b=2C. a=3，b=−1D. a=−1，b=311.将一个长方形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°12.通过观察你能肯定的是()A. 图形中线段是否相等B. 图形中线段是否平行C. 图形中线段是否相交D. 图形中线段是否垂直13.学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图：从图中可知，小敏画平行线的依据有①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行。

平行线判定大题30道

平行线判定大题30道

平行线判定大题30道
（原创版）
目录
1.平行线的基本概念
2.平行线判定的方法
3.30 道平行线判定大题的解析
正文
一、平行线的基本概念
平行线是指在同一平面内，永不相交的两条直线。

平行线具有以下性质：
1.平行线上的任意一对内角互补。

2.平行线上的任意一对同位角相等。

3.平行线上的任意一对内错角相等。

4.平行线上的任意一对同旁内角互补。

二、平行线判定的方法
判定两条直线是否平行，通常有以下几种方法：
1.同位角相等法：如果两条直线被一条横穿线切割，使得同侧的对应角相等，则这两条直线平行。

2.内错角相等法：如果两条直线被一条横穿线切割，使得内侧的对错角相等，则这两条直线平行。

3.平行线夹角法：如果两条直线分别与第三条直线平行，且它们之间的夹角相等，则这两条直线平行。

4.反证法：假设两条直线不平行，通过推理证明它们必然相交，从而
得出矛盾，因此假设不成立，两条直线平行。

三、30 道平行线判定大题的解析
（此处省略 30 道题目的详细解析，根据实际题目进行解答）
在解决平行线判定的问题时，关键是熟练掌握各种判定方法，灵活运用性质和定理。

在实际解题过程中，要注重逻辑性和条理性，步骤清晰，严谨论证。