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计数原理与排列组合题型与解题策略

计数原理与排列组合题型与解题策略
计数原理与排列组合题型与解题策略

计数原理与排列组合题型与解题策略

一.元素个数较少的排列组合问题枚举法:

1、设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法

2、学号为1、2、

3、4的学生坐到编号为1、2、3、4的四张凳子上,要求学生的学号与其所坐的凳子编号不同,问有多少种不同的坐法

二、特殊元素和特殊位置优先策略

3、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

4、五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有 ( )

A.120种 B.96种 C.78种 D.72种

三、相邻捆绑、不相邻插空

5、(1)7人站成一排照相,若要求甲、乙、丙不相邻,则有多少种不同的排法

(2)7人站成一排照相,甲、乙、丙三人相邻,有多少种不同排法

6、马路上有8只路灯,为节约用电又不影响正常的照明,可把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉两端的灯,那么满足条件的关灯方法共有多少种

7、某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为

8、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种

四、不尽相异元素、定序问题倍缩空位插入法

9、(1)7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

(2)10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法

(3)由4个A和3个B可以组成多少个7位字符信息

五、分排问题“直排法”

10、7个人坐两排座位,第一排3个人,第二排坐4个人,则不同的坐法有多少种

11、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法

六、重排问题方幂策略(住店、投邮、影射)——元素的位置不受限制

12、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

13、某8层大楼从一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,则他们下电梯的方法有多少种

七.构造模型的策略

14、10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法

15、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解

八、排列组合混合问题先选后排策略

16、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

17、一个班有6名战士,其中正副班长各1人,现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有

________ 种

九、.正难则反总体淘汰策略

18、我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种

十、无编号平均分组问题除法策略

19、6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法

20、10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法

21、某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为

十一化归策略(化为简单的问题)

22、 25人排成5×5方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种

23、某城市的街区由45条街道组成,从西南A走到东北B的最短路径有多少种

三、练习题组:

1、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法

2、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

3.(1)在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有( )

(A)36个 (B)24个 (C)18个 (D)6个

(2)从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有( )

(A)108种 (B)186种 (C)216种 (D)270种

(3)在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是( )

B. 12

C. 18

D. 24

(4)高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( )

(A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)5040

4.(1)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有个(用数字作答);

(2)电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示).

5.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有();

(A)30种 (B)90种 (C)180种 (D)27;

6.(1)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个;(2)5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去;(A)150种(B)180种(C)200种(D);7、.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是;8、甲方案有( )

(A)30种 (B)90种 (C)180种 (D)270种

(2)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )

种种种种

6.(1)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有种;

(2)5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有

(A)150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种

7、.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数

8、甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程,甲公司承包3项工程,乙公司承包1项,丙、丁各承包2项,问共有种承包方式

9、停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放,要求空位置连在一起,不同的停车方法有多少种

10、x+y+z+w=100求这个方程组的正整数解的组数

11、.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法

12、.正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

13、3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种类有多少种

14.(2008陕西,16)某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成。如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有种(用数字作答)。

15.(2009年海南宁夏15)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动,若每天安排3人,则不同的安排方案共有种(用数字作答).

16、(2008宁夏、海南,9)甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有()

A.20种 C.40种 B.30种 D.60种

计数原理与排列组合经典题型

计数原理与排列组合题型解题方法总结 计数原理 一、知识精讲 1、分类计数原理: 2、分步计数原理: 特别注意:两个原理的共同点:把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。 不同点:如果完成一件事情共有n类办法,这n类办法彼此之间相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情,求完成这件事情的方法种数,就用分类计数原理。分类时应不重不漏(即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类) 如果完成一件事情需要分成n个步骤,各个步骤都是不可缺少的,需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后,相互依存,缺一不可。 3、排列 (1)排列定义,排列数 (2)排列数公式: (3)全排列列: 4.组合 (1)组合的定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式: (3)组合数的性质 二、.典例解析 题型1:计数原理 例1.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;

③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 。 例2(1)如图为一电路图,从A 到B 共有 条不同的线路可通电。 例3: 把一个圆分成3块扇形,现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色,要求相邻扇形的颜色互不相同,问有多少钟不同的涂法?若分割成4块扇形呢? 例4、某城在中心广场造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答) 例5、 四面体的顶点和各棱的中点共10个,在其中取4个不共面的点,问共有多少种不同的取法? 例6、(1)电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? (2)三边均为整数,且最大边长为11的三角形的个数是 D C B A

排列组合问题的解题策略

排列组合问题的解题策略 排列组合问题的解题策略 一、相临问题——捆绑法 例1.7名学生站成一排,甲、乙必须站在一起有多少不同排法? 解:两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决,先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列,并考虑甲乙二人的顺序,所以共有种。 评注:一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决,共有种排法。 二、不相临问题——选空插入法 例2.7名学生站成一排,甲乙互不相邻有多少不同排法? 解:甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法,所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为:种 . 评注:若个人站成一排,其中个人不相邻,可用“插空”法解决,共有种排法。 三、复杂问题——总体排除法 在直接法考虑比较难,或分类不清或多种时,可考虑用“排除法”,解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解:从7个点中取3个点的取法有种,但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形,有3条,所以满足条件的三角形共有-3=32个.

四、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题,可以考虑优先安排特殊位置,然后再考虑其他位置的安排。 例4.(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念,若老师不排在两端,则共有不同的排法种. 解:先考虑特殊元素(老师)的排法,因老师不排在两端,故可在中间三个位置上任选一个位置,有种,而其余学生的排法有种,所以共有=72种不同的排法. 例5.(2000年全国高考题)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有种. 解:由于第一、三、五位置特殊,只能安排主力队员,有种排法,而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置,有种排法,所以不同的出场安排共有=252种. 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多,选取情况多,可按要求进行分类讨论,最后总计。 例6.(2003年北京春招)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为(A ) A.42 B.3 0 C.20 D.12 解:增加的两个新节目,可分为相临与不相临两种情况:1.不相临:共有A62种;2.相临:共有A22A61种。故不同插法的种数为:A62 +A22A61=42 ,故选A。 例7.(2003年全国高考试题)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相

☆排列组合解题技巧归纳总结

排列组合解题技巧归纳总结 教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 12n N m m m =++ + 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 12n N m m m =?? ? 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其 它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 5 22480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? C 14A 34C 1 3

高三复习:排列组合问题的解题方法

排列组合问题的解题方法 一、特殊元素(或位置) “优先法”:排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题,即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此,对于有限制条件的排列组合问题,可从限制元素(或位置)入手,优先考虑. 例1、在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有( )个. 解1:(元素优先法)根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类:① 含0不含5,共有1324C A =48(个);②含5不含0,共有1334C A =72(个);③含0也含5,共有112224C C A =48(个);④不合0也不含5,共有4 4 A =24(个).所以,符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个). 解2:(位置优先法)根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步:第一步:排 个位,有14C 种方法;第二步;排首位,有14C 种方法;第三步:排中间两位,有2 4A 种方法.所以符合条件的四位数共有14C 14C 24 A =192(个). 二、相邻问题“捆绑法”:对于元素相邻的排列问题,可先将相邻元素“捆绑”起来看作一个元素(整体),先与其它元素排列,然后相邻元素之间再进行排列. 例2、6个人排成一排,甲、乙二人必须相邻的排法有多少种? 解:将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列,有A 55 种,甲、乙二人的排列有A 22 种,共有A 22·A 5 5=240种. 三、不相邻问题“插空法”:对元素不相邻问题,可先不考虑限制条件先排其它元素,再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中(包括两端)即可. 例3、用1,2,3,4,5,6,7,8组成没有重复数字的八位数,其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个. 解:先“相邻”排列成三个“大元素”,再三个“大元素”排列,最后7与8“插空”, 共有22232 22234576A A A A A 种. 四、有序问题“无序法”:对于元素顺序一定的排列问题,可先考虑没有顺序元素的排列,然后除以有顺序的几个元素的全排列即可. 例4、3男3女排成一排,若3名男生身高不相等,则按从高到低的一种顺序站的站法有多少种? 解:6个人的全排列有A 66 种,3名男生不考虑身高的顺序的站法有A 3 3种,而由高到低又可从左到右,或从右到左(这是两种不同的站法),故共有不同站法2A 66÷A 3 3 =240种. 五、分排问题“直排法”:n 个元素分成m (m <n )排,即为n 个元素的全排列. 例5、将6个人排成前后两排,每排3人,有多少种排法. 解:6个人中选3个人排在前排有A C 33 36种,剩下3人排在后排有A 3 3种,故共有

排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)

种。故不同插法的种数为:26A + 22A 16A =42 ,故选A 。 例7.(2003年全国高考试题)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区 不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种.(以数字作答) 解:由题意,选用3种颜色时,C 43种颜色,必须是②④同色,③⑤同色,与①进行全排列,涂色 方法有C 43A 33=24种4色全用时涂色方法:是②④同色或③⑤同色,有2种情况,涂色方法有 C 21A 44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种;故答案为72 六、混合问题--先选后排法 对于排列组合的混合应用题,可采取先选取元素,后进行排列的策略. 例8.(2002年北京高考)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4 人,则不同的分配方案共有( )种 A. B.3种 C. 种 D. 解:本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三 个不同的路口的不同的分配方案共有: 种,故选A 。 例9.(2003年北京高考试题)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出 3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共 有() A .24种 B .18种 C .12种 D .6种

解:黄瓜必选,故再选2种蔬菜的方法数是C32种,在不同土质的三块土地上种植的方法是A33, ∴种法共有C32A33=18,故选B. 七.相同元素分配--档板分隔法 例10.把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室,每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数,试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解,并思考这些方法是否适合更一般的情况?本题考查组合问题。 解一:先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书;再对余下的7本书进行分配,保证每个阅览室至少得一本书,这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”(一般可视为“隔板”)共有2 C种插法,即有15种分 6 法。 2、解二:由于书相同,故可先按阅览室的编号分出6本,此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号,剩下的4本书有以下四种分配方案:①某一阅览室独得4本,有种分法;②某两个阅览室分别得1本和3本,有种分法;③某两个阅览室各得2本,有种分法;④某一阅览室得2本,其余两阅览室各得1本,有种分法.由加法原理,共有不同的分法3+=15种. 八.转化法: 对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题,可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解 。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他

小学奥数计数练习题:排列与组合

小学奥数计数练习题:排列与组合经典的排列与组合奥数题及答案 问题:小明所在的班级要选出4名中队长,要求每位同学在选票上写上名字,也能够写自己的名字。结果全班的每位同学都在自己的选票上写了4个互不相同的名字。当小明把同学们的选票收集后发现一个有趣的现象:就是任意取出2张选票,一定有且只有一个人的名字同时出现在2张选票上。请问:小明所在的班级共有多少人? 总体逻辑思路:首先,假设题目所说的情况存有。然后,得出班级人数。最后,构造出一个例子,说明确实存有这种情况。 我们先来证明这个班每个人都恰好都被选了4次。 思路简介:我们首先用反证法证明没有人被选了4次以上。因为平均每人被选了4次,既然没有人被选了4次以上,肯定也不存有被选了4次以下的人。所以,能够得到每个人恰好被选了4次。 首先证明没有人被选了4次以上,我们用反证法。 假设有一个人被选了4次以上(因为很容易证明这个班的人数肯定很多于7人,所以我们能够假设有一个人被选了4次以上),我们设这个人为A同学。接下来我们来证明这种情况不存有。 把所有选择A同学的选票集中到一起,有5张或5张以上。方便起见,我们把这些选票编号,记为A1选票,A2选票,A3选票,A4选票,A5选票,…。意思就是选择A同学的第1张选票,选择A同学的第2张选票,…。 这些选票都选择了A同学。因为任意2张选票有且只有1个人相同,所以这些选票上除了A同学外,其他都是不同的人。 我们还能够证明,这些并不是全部的选票,不是太难,就不证明了。

既然这些(所有选A同学的选票)不是全部的选票,我们再拿一张没有选择A同学的选票。方便起见,称之为B选票。 根据任意2张选票有且只有1个人相同,A1选票上必有一个人和B选票上的一个人是相同的,而且这个人不是A同学。 同样道理,第A2、A3、A4、A5、…上也必有一个人和B选票上的一个人是相同的,而且这个人不是A同学。 因为B选票上只有4个不同的人,而A1、A2、…,的数量大于4.所以,A1、A2、A3、…选票中至少有2张选票,除了A同学外还有一个共同的候选人。根据任意2张选票有且只有1个人相同,我们知道这是不能够的。 所以,没有人被选了4次以上。 因为平均每人被选4次,既然没有人被选4次以上,当然也就不可能有人被选4次以下。 所以,每个人恰好被选了4次!

排列组合解题策略

排列组合解题策略 2.A、36种B、120种C、720种D、1440种 前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共66720A =种,选C 3.把15人分成前后三排,每排5人,不同的排法种数为() (A)510515A A (B)3355510515A A A A (C)1515A (D)3355510515A A A A ÷答案:C 4.8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法? 解:看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有24A 种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种,其余5个元素任排5个位置上有55A 种,故共有1254455760A A A =种排法. 5.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法?4 9C 解:从0、0、0、1、2、3…100中插入三个隔板即可3103C 。 7.某校准备组建一个由12人组成篮球队,这12个人由8个班的学生组成,每班至少一人,名额分配方案共种。 解:在12个名额种的11个空当中插入7块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有种 8.有20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子里,要求每个盒子内的球数不少编号数,问有多少种不同的方法? 解:向1,2,3号三个盒子中分别放入0,1,2个球后还余下17个球,然后再把这17个球分成3份,每份至少一球,运用隔板法,共有1202 16=C 种。 9.(a+b+c+d)15有多少项?

解:当项中只有一个字母时,有种(即 a.b.c.d 而指数只有15故;当项中有2个字母时,有 而指数和为15,即将15分配给2个字母时,如何分,闸板法一分为2,即;当项中有3个字母 时指数15分给3个字母分三组即可;当项种4个字母都在时 四者都相加即可.10.将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个 中,使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种? 解:1、先从4个盒子中选三个放置小球有3 4C 种方法;2、注意到小球都是相同的,我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全,可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有23C 、24C 、25C 种方法;3、由分步计数原理可得34C 23C 24C 25C =720种。 11.用不同的5种颜色分别为ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,则符合这种要求的不同着色种数.(540)第11题第12题第13题第14题 12.四个区域坐定4个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服装,且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法是种(84) 13.某城市中心广场建造一个花圃,花圃6分为个部分(如图),现要栽种4种颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话,不同的栽种方法有种(以数字作答).(120) 秒杀秘籍:合并单元格解决染色问题 例3.如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同 一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有种(以数字作答)。 解:分情况讨论: (ⅰ)当3、4颜色相同且1、5颜色不同时,将3、4合并成一个单元格,此时不同的 着色方法相当于4个元素的全排列数4 4A (ⅱ)当3、4颜色不同且1、5颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得44A 种着色法. (ⅲ)当3、4与1、5分别同色时,将3、4,1、5分别合并,这样仅有三个单元格,从4种颜色中选3种来着色这三个单元格,计有3334A C 种方法.由加法原理知:不同着色方法共有3 334442A C A +=48+24=72(种) 例4.将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端 点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是_______. 解:可把这个问题转化成相邻区域不同色问题,如图, 若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点S,再从余下的四种颜色中任 选两种涂A、B、C、D 四点,此时只能A 与C、B 与D 分别同色,故有125460C A =种方法。 (2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B,由于A、B 颜色可以交换,故有24A 种染法;再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C,而D 与C,而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有12115422240C A C C =种方法。 (3)若恰用五种颜色染色,有55120A =种染色法综上所知,满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。涂色问题的常用方法有:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;(2)根据相对区域是否同色分类讨论; (3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。54321

排列组合基础知识及解题技巧

排列组合基础知识及习题分析 在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式! 35C =(5×4×3)/(3×2×1) 26 C =(6×5)/(2×1) 通过这2个例子 看出 n m C 公式 是种子数M 开始与自身连续的N 个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N 的阶层作为分母 35P =5×4×3 66P =6×5×4×3×2×1 通过这2个例子 n m P =从M 开始与自身连续N 个自然数的降序乘积 当N =M 时 即M 的阶层 排列、组合的本质是研究“从n 个不同的元素中,任取m (m≤n)个元素,有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二: 其一是看问题是有序的还是无序的?有序用“排列”,无序用“组合”; 其二是看问题需要分类还是需要分步?分类用“加法”,分步用“乘法”. 分 类:“做一件事,完成它可以有n 类方法”,这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个 标准下进行分类;其次,分类时要注意满足两条基本原则:①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步:“做一件事,完成它需要分成n 个步骤”,这是说完成这件事的任何一种方法,都要分成n 个步骤.分步时,首先要根据问题的特点,确定一个可行的分步标准;其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后,这件事才算最终完成. 两 个原理的区别在于一个和分类有关,一个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法,这n 类办法彼此之间是相互独立的,无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事,求完成这件事的方法种数,就用加法原理;如果完成一件事需要分成n 个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点: 1.有限制条件的排列问题常见命题形式: “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法: ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”,可把两个以上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻最常用的方法.

排列组合与计数原理

排列组合与计数原理 【复习目标】1.能熟练的判断利用加法原理和乘法原理。简单的排列组合组合数公式。 【复习重难点】加法原理和乘法原理公式的计算及应用。 1.高三(1),(2),(3)班分别有学生52,48,50人。 (1)从中选1人当学生代表的不同方法有____________种; (2)从每班选1人组成演讲队的不同方法有____________种; (3)从这150名学生中选4人参加学代会的不同方法有____________种; (4)从这150名学生中选4人参加数理化三个课外活动小组,共有不同方法有__________种。 2.假设在200件产品中有三件次品,现在从中任意抽取5件,期中至少有2件次品的抽法有__________种。 3.若,64 3n n C A 则n=___________。 例1.在1到20这20个整数中,任取两个数相加,使其和大于20,共有________种取法。 变式训练:从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为_______。 例2.从6人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览,要求每个旅游景点只有一人游览,每人只游览一个旅游景点,且6个人中甲、乙两人不去张家界游览,则不同的选择方案共有______________种. 例3.如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有_______ . 变式训练:要安排一份5天的值班表,每天有一人值班,现有5人,每人可以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一人值班,问此值班表共有_______ 种不同的排法.

排列组合常见题型及解题策略(详解)

排列组合常见题型及解题策略 一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复, 把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类 问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数 【例1】(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同报名方法? (2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果? (3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法? 【解析】:(1)43(2)34 (3)34 【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法? 【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案, 第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】 8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有( ) A 、38 B 、83 C 、38A D 、3 8C 【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠军 看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有38种不同的 结果。所以选A 二.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有 【解析】:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A 种 【例2】(2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女 生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】: 间接法 6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有, 22223242C A A A =432种, 其中男生甲站两端的有1 222223232A C A A A =144,符合条件的排法故共有288 三.相离问题插空法 :元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列, 再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是

排列与组合解题技巧

佛山学习前线教育培训中心 高二数学(理)讲义 专题:排列与组合解题技巧 主要技巧: 一. 运用两个基本原理 例1:n个人参加某项资格考试,能否通过,有多少种可能的结果? 练习1:同室四人各写了一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有() (A)6种(B)9种(C)11种(D)23种 二. 特殊元素(位置)优先 例2:从0,1,……,9这10个数字中选取数字组成偶数,一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个? 练习2:8人站成两排,每排4人,甲在前排,乙不在后排的边上,一共有多少种排法? 三. 捆绑法 例3:8人排成一排,甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁,有多少种排法? 练习3:记者要为5名志愿者和他们帮助的2为老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有 .A1440种.B960种.C720种.D480种 四. 插入法 例4:排一张有8个节目的演出表,其中有3个小品,既不能排在第一个,也不能有两个小品排在一起,有几种排法? 练习4:安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有种。 五. 排除法 例5:求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。 练习5:100件产品中有3件是次品,其余都是正品。现在从中取出5件产品,其中含有次品,有多少种取法? 练习6:8个人站成一排,其中A与B、A与C都不能站在一起,一共有多少种排法? 六. 机会均等法 例6:10个人排成一队,其中甲一定要在乙的左边,丙一定要在乙的右边,一共有多少种排法? 练习7:用1,4,5,四个数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,求。 七. 转化法 例7:一个楼梯共10级台阶,每步走1级或2级,8步走完,一共有多少种走法? 练习8:动点从(0,0)沿水平或竖直方向运动到达(6,8),要使行驶的路程最小,有多少种走法? 八. 隔板法 例14:20个相同的球分给3个人,允许有人可以不取,但必须分完,有多少种分法? 练习9:把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室,每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数,试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解,并思考

排列组合问题的解答技巧和记忆方法

排列组合问题的解题策略 关键词:排列组合,解题策略 ①分堆问题; ②解决排列、组合问题的一些常用方法:错位法、剪截法(隔板法)、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法 例1.7名学生站成一排,甲、乙必须站在一起有多少不同排法? 解:两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决,先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列,并考虑甲乙二人的顺序,所以共有种。 评注:一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决,共有种排法。 二、不相临问题——选空插入法 例2.7名学生站成一排,甲乙互不相邻有多少不同排法? 解:甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法,所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为:种 . 评注:若个人站成一排,其中个人不相邻,可用“插空”法解决,共有种排法。 三、复杂问题——总体排除法 在直接法考虑比较难,或分类不清或多种时,可考虑用“排除法”,解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解:从7个点中取3个点的取法有种,但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形,有3条,所以满足条件的三角形共有-3=32个. 四、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题,可以考虑优先安排特殊位置,然后再考虑其他位置的安排。

例4.(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念,若老师不排在两端,则共有不同的排法种. 解:先考虑特殊元素(老师)的排法,因老师不排在两端,故可在中间三个位置上任选一个位置,有种,而其余学生的排法有种,所以共有=72种不同的排法. 例5.(2000年全国高考题)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有种. 解:由于第一、三、五位置特殊,只能安排主力队员,有种排法,而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置,有种排法,所以不同的出场安排共有=252种. 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多,选取情况多,可按要求进行分类讨论,最后总计。 例6.(2003年北京春招)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为(A ) A.42 B.30 C.20 D.12 解:增加的两个新节目,可分为相临与不相临两种情况:1.不相临:共有A62种;2.相临:共有A22A61种。故不同插法的种数为:A62 +A22A61=42 ,故选A。 例7.(2003年全国高考试题)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有多少种?(以数字作答) 解:区域1与其他四个区域相邻,而其他每个区域都与三个区域相邻,因此,可以涂三种或四种颜色.用三种颜色着色有=24种方法, 用四种颜色着色有=48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72. 六、混合问题——先选后排法 对于排列组合的混合应用题,可采取先选取元素,后进行排列的策略. 例8.(2002年北京高考)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案共有() A.种B.种

两个计数原理、排列与组合

全国卷五年考情图解高考命题规律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制1道 小题或者1道解答题,分 值占5~17分. 2.考查内容 计数原理常与古典概型综 合考查;对二项式定理的 考查主要是利用通项公式 求特定项;对正态分布的 考查,可能单独考查也可 能在解答题中出现;以实 际问题为背景,考查分布 列、期望等是高考的热点 题型. 3.备考策略 从2019年高考试题可以 看出,概率统计试题的阅 读量和信息量都有所加 强,考查角度趋向于应用 概率统计知识对实际问题 作出决策. 第一节两个计数原理、排列与组合 [最新考纲] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念

及排列数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题. 1.两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条件 完成一件事有两类不同方案,在 第1类方案中有m 种不同的方法,在第2类方案中有n 种不同的方法 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m 种不同的方法,做第2步有n 种不同的方法 结论 完成这件事共有N =m +n 种不同的方法 完成这件事共有N =mn 种不同的方法 排列的定义 从n 个不同元素中取出 m (m ≤n )个元素 按照一定的顺序排成一列 组合的定义 合成一组 排列数 组合数 定义 从n 个不同元素中取出 m (m ≤n )个元素的所有不同排 列的个数 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数 公式 A m n =n (n -1)(n -2)…(n -m + 1)= n ! (n -m )! C m n =A m n A m m =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)m ! 性质 A n n =n !,0!=1 C m n =C n -m n ,C m n +C m -1n =C m n +1 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. ( ) (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.

排列组合解题策略大全(十九种模型)

排列组合解题策略大全 一、合理分类与分步 1、五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有多少种? 四位上,则有1 31333A A A 种排法,由分类计数原理,排法共有7813133344 =+A A A A (种) 解法二(排除法):甲在排头:44A ,乙在排尾: 44A ,甲在排头且乙在排尾: 3 3A ,故符合题意的不同的排法为: 5443544378A A A A --+=.注: 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来. 2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案? 解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况: ① 若甲乙都不参加,则有派遣方案48A 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有3 8A 方法, 所以共有383A ;③若乙参加而甲不参加同理也有3 83A ④(同例1)若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种,共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数4332 88883374088A A A A +++=(种) 二、特殊元素和特殊位置优先法 1、0,1,2,3,4,5能够组成多少个没有重复数字的五位奇数? 分析:特殊元素:0,1,3,5;特殊位置:首位和末位 先排末位:13C ,再排首位:14C ,最后排中间三位:34A 共有:13C 14C 3 4A =288 2、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置:24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花:55A ;总共:24A 55A =1440 三、排列组合混合问题先选后排法 1、4个不同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,恰有一空盒的方法有多少种? 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。

排列与组合解题技巧

排列与组合解题技巧

佛山学习前线教育培训中心 高二数学(理)讲义 专题:排列与组合解题技巧 主要技巧: 一. 运用两个基本原理 例1:n个人参加某项资格考试,能否通过,有多少种可能的结果? 练习1:同室四人各写了一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有() (A)6种(B)9种(C)11种(D)23种 二. 特殊元素(位置)优先 例2:从0,1,……,9这10个数字中选取数字组成偶数,一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个? 练习2:8人站成两排,每排4人,甲在前排,乙不在后排的边上,一共有多少种排法? 三. 捆绑法 例3:8人排成一排,甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁,有多少种排法? 练习3:记者要为5名志愿者和他们帮助的2为老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有 .A1440种.B960种.C720种.D480种

四. 插入法 例4:排一张有8个节目的演出表,其中有3个小品,既不能排在第一个,也不能有两个小品排在一起,有几种排法? 练习4:安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有种。 五. 排除法 例5:求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。 练习5:100件产品中有3件是次品,其余都是正品。现在从中取出5件产品,其中含有次品,有多少种取法? 练习6:8个人站成一排,其中A与B、A与C都不能站在一起,一共有多少种排法? 六. 机会均等法 例6:10个人排成一队,其中甲一定要在乙的左边,丙一定要在乙的右边,一共有多少种排法? 练习7:用1,4,5,四个数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,求。 七. 转化法 例7:一个楼梯共10级台阶,每步走1级或2级,8步走完,一共有多少种走法?

排列组合基础知识及解题技巧

排列组合基础知识及习题分析 排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中,任取m (m≤n)个元素,有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二: 其一是看问题是有序的还是无序的?有序用“排列”,无序用“组合”; 其二是看问题需要分类还是需要分步?分类用“加法”,分步用“乘法”. 分类:“做一件事,完成它可以有n类方法”,这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次,分类时要注意满足两条基本原则:①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步:“做一件事,完成它需要分成n个步骤”,这是说完成这件事的任何一种方法,都要分成n个步骤.分步时,首先要根据问题的特点,确定一个可行的分步标准;其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后,这件事才算最终完成. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点: 1.有限制条件的排列问题常见命题形式: “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法: ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”,可把两个以上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制,等排列完毕后,利用规定顺序的实情求出结果. 2.有限制条件的组合问题,常见的命题形式: “含”与“不含” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3.在处理排列、组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重、不漏,按事件的发生过程分步,正确地交替使用两个原理,这是解决排列、组合问题的最基本的,也是最重要的思想方法. ***************************************************************************** 习题 1、三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数为( C ) (A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个 2、(1)将4封信投入3个邮筒,有多少种不同的投法? (2)3位旅客,到4个旅馆住宿,有多少种不同的住宿方法? (3)8本不同的书,任选3本分给3个同学,每人一本,有多少种不同的分法? 3、七个同学排成一横排照相. (1)某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种?(3600) (2)某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种?(1440) (3)甲不在排头或排尾,同时乙不在中间的不同排法有多少种?(3120) (4)甲、乙必须相邻的排法有多少种?(1440) (5)甲必须在乙的左边(不一定相邻)的不同排法有多少种?(2520)

两个计数原理与排列组合知识点及例题

两个计数原理与排列组合知识点及例题两个计数原理内容 1、分类计数原理: 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法. 2、分步计数原理: 完成一件事,需要分n个步骤,做第1步骤有m1种不同的方法,做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法. 例题分析 例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。现要配成一荤一素一汤的套餐。问可以配制出多少种不同的品种? 分析:1、完成的这件事是什么? 2、如何完成这件事?(配一个荤菜、配一个素菜、配一汤) 3、它们属于分类还是分步?(是否独立完成) 4、运用哪个计数原理? 5、进行计算. 解:属于分步:第一步配一个荤菜有3种选择 第二步配一个素菜有5种选择 第三步配一个汤有2种选择 共有N=3×5×2=30(种) 例2 有一个书架共有2层,上层放有5本不同的数学书,下层放有4本不同的语文书。 (1)从书架上任取一本书,有多少种不同的取法? (2)从书架上任取一本数学书和一本语文书,有多少种不同的取法? (1)分析:1、完成的这件事是什么? 2、如何完成这件事? 3、它们属于分类还是分步?(是否独立完成) 4、运用哪个计数原理? 5、进行计算。 解:属于分类:第一类从上层取一本书有5种选择 第二类从下层取一本书有4种选择 共有N=5+4=9(种) (2)分析:1、完成的这件事是什么? 2、如何完成这件事? 3、它们属于分类还是分步?(是否独立完成) 4、运用哪个计数原理? 5、进行计算. 解:属于分步:第一步从上层取一本书有5种选择 第二步从下层取一本书有4种选择 共有N=5×4=20(种) 例3、有1、2、3、4、5五个数字. (1)可以组成多少个不同的三位数? (2)可以组成多少个无重复数字的三位数? (3)可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数? (1)分析: 1、完成的这件事是什么? 2、如何完成这件事?(配百位数、配十位数、配个位数) 3、它们属于分类还是分步?(是否独立完成) 4、运用哪个计数原理? 5、进行计算. 略解:N=5×5×5=125(个) 【例题解析】 1、某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣,问可以有多少种不同的搭配方法?

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