高中数学 1.5-2函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用全套精品学案 新人教A版必修4(教师版,扫描版)

第一章 三角函数

1.5 函数sinyAx的图象

一、,,A对函数sinyAx的图象的影响

1．(0)对函数sin()yx的图象的影响

sinyx（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向 （当φ<0时）或向 （当φ>0时）平行移动个单位长度而得到的.

2．(0)对函数sin()yx的图象的影响

函数sin()yx（其中ω>0)的图象，可以看作是把函数sin()yx的图象上所有点的横坐标伸长（当01时）到原来的1倍（纵坐标不变）而得到的.

3．(0)AA对函数sin()yAx的图象的影响

函数sin()yAx（其中A>0）的图象，可以看作是把函数sin()yx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0

4．函数sinyx到函数sin()yAx(其中0,0A)的图象变换

将函数sinyx的图象变换得到函数sin()yAx（其中0,0A）的图象的过程为:

（1）作出函数sinyx在长度为2π的某闭区间上的简图;

（2）将图象沿x轴向左或向右平移个单位长度，得到函数sin()yx的简图；

（3）把曲线上各点的横坐标伸长或缩短到原来的1倍，得到函数sin()yx的简图;

（4）把曲线上各点的纵坐标伸长或缩短到原来的A倍，得到函数sin()yAx的简图;

（5）沿x轴扩展得到函数sin()yAx，xR的简图.

由y＝sin x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法：

（1）先平移后伸缩：

（2）先伸缩后平移：

二、函数,[)sin0,yAxx(其中0,0A)中各量的物理意义

物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数sin()yAx中的常数有关：

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1．函数y＝sin(x2＋π3)的图像是由y＝sinx2的图像沿x轴(

)

A．向左平移π3个单位长度而得到的

B．向右平移π3个单位长度而得到的

C．向左平移π6个单位长度而得到的

D．向左平移2π3个单位长度而得到的

解析：由y＝sin12(x＋φ)，得12φ＝π3，∴φ＝23π，

∴向左平移2π3个单位长度．

答案：D

2．把函数y＝cos x的图像上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，然后将图像沿x轴负方向平移π4个单位长度，就会得到________的图像．( )

A．y＝sin 2x B．y＝cos(2x＋π2)

C．y＝cos(2x＋π4) D．y＝cos(12x＋π4)

解析：y＝cos x的图像上每一点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到y＝cos 2x的图像；再把y＝cos 2x的图像沿x轴负方向平移π4个单位长度，就得到y＝cos 2(x＋π4)＝cos(2x＋π2)的图像．

答案：B

3．下列命题正确的是( )

A．y＝cos x的图像向右平移π2个单位长度得y＝sin x的图像

B．y＝sin x的图像向右平移π2个单位长度得y＝cos x的图像

C．当φ<0时，y＝sin x的图像向左平移|φ|个单位长度可得y＝sin(x＋φ)的图像

D．y＝sin(2x＋π3)的图像由y＝sin 2x的图像向左平移π3个单位长度得到

解析：y＝cos x―――――――→向右平移π2个单位长度 y＝cos(x－π2)＝sin x. 打印版

精校版 答案：A

4．把y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得____________的图像．

解析：由三角函数图像的变换规律可知，把y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短到原来的14倍，可得到函数y＝sin 4x的图像．

答案：y＝sin 4x

5．将函数y＝cos(2x＋1)的图像向右平移1个单位所得图像的函数解析式为________．

1 高中数学 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象教学案 新人教A版必修4

学习目标：

1、理解φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响,A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.

2.通过探究图象变换,会用图象变换法画出y=Asin(ωx+φ)图象的简图,并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图.

教学重点：讨论字母φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,掌握函数y=Asin(ωx+φ)图象的简图的作法.

教学难点：:由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程.

教学过程：

：从图象上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?

接下来,我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.

（一） 探索A对y=Asin(ωx+φ)，Rx的图象的影响。【振幅变换】

例1画出函数y=2sinx， x∈R ，y= sinx，x∈R的简图 21

2

结论：一般地，函数y=Asinx， x∈R （其中A＞0且A≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到。函数y=Asinx， x∈R 的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A。

注：A引起图象的纵向伸缩，它决定函数的最大（最小） 值,我们把A 叫做振幅。

xsin21 xsin2 xsin x

横坐标不变倍纵坐标缩短到原来的横坐标不变倍纵坐标伸长到原来的纵坐标不变倍横坐标缩短到原来的纵坐标不变倍横坐标伸长到原来的,43)(,34)(,43)(,34)(DCBA上所有的点（）的图象，只要把为了得到函数的图象为已知函数Csin4.sin3.1xyCxy

3

（二） 探索φ对y=Asin(ωx+φ)，Rx的图象的影响。【相位变换】

能 力 提 升

一、选择题

1．已知函数f(x)＝sin(ωx＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象( )

A．关于点π3，0对称 B．关于直线x＝π4对称

C．关于点π4，0对称 D．关于直线x＝π3对称

[答案] A

[解析] 由T＝2πω＝π，解得ω＝2，

则f(x)＝sin2x＋π3，

则该函数图象关于点π3，0对称．

2．(2013·四川理)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2

)

A．2，－π3 B．2，－π6

C．4，－π6

D．4，π3

[答案] A

[解析] 本题考查正弦型函数的周期与初相．

34T＝5π12－(－π3)＝3π4，

∴T＝2πω＝π，∴ω＝2.

当x＝5π12时，2×5π12＋φ＝π2，∴φ＝－π3.

3．(山东师大附中2012－2013期中)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f(π2)＝－23，则f(0)＝(

)

A．－23 B.23

C．－12 D.12

[答案] B

[解析] 首先由图象可知所求函数的周期为 T＝211π12－7π12＝2π3，故ω＝2π2π3＝3.

将11π12，0代入解析式，

得Acos3×11π12＋φ＝0，即cos11π4＋φ＝0，

∴11π4＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，

∴φ＝－9π4＋2kπ(k∈Z)．

令φ＝－π4，代入解析式得f(x)＝Acos3x－π4.

又∵fπ2＝－23，

∴fπ2＝－Asinπ4＝－22A＝－23，

∴A＝232，

∴f(0)＝232cos－π4＝232cosπ4＝23.

4．(2011～2012·安徽合肥一模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝π3对称，且fπ12＝0，则ω的最小值为( )