【配套K12】高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象2教案新人教A版必修4

1.5 函数 y=Asin （ωx+ψ）的图象（第 2课时）课堂探究探究一函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称性1．函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴方程由 ωx ＋φ＝k π＋2kx求得，即 x ＝2，kk ∈Z ；对称中心由 ωx ＋φ＝k π 求得，即为 ,0 ，k ∈Z.2．函数 y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴方程由 ωx ＋φ＝k π 求得，即 x ＝k，k ∈Z ，对称中心由 ωx ＋φ＝k π＋2kx求得，即为2 ,0，k ∈Z .【典型例题 1】 已知函数 f (x )＝sinx 3(ω>0)的最小正周期为 π，则该函数图象 ( )A ．关于点 ,0对称 B ．关于直线 x ＝3 4对称C ．关于点 ,0对称 D ．关于直线 x ＝43对称解析：由 T ＝2 ＝π，解得 ω＝2，则 f (x )＝sin2x，3令 2x ＋3 ＝k π＋2 ，得 x ＝ k2＋ 12，k ∈Z ，即对称轴为 x ＝k2 ＋ 12，k ∈Z .令 2x ＋ 3 ＝k π，得 x＝k 2 － 6k ，k ∈Z ，即对称中心为 ,02 6，k ∈Z .从而可判断 A 正确． 答案：A探究二 求函数 y ＝A sin ωx ＋φA >0，ω的解析式由函数图象确定解析式，可按以下规律来确定 A ，ω，φ. (1)A ：一般可由图象的最高点、最低点来确定 A .1(2)ω：因为T＝2，所以ω＝2T，可通过曲线与x轴的交点确定T，也可由相邻的最高点与最低点之间的距离为T2来求，还可由相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T来求．(3)φ：①代入法：通常取最高点或最低点的坐标代入解析式，根据φ的范围确定其值．如果代入的是平衡点(零点)，则必须区分0相位和π相位，代入0相位时，需令ωx＋φ＝2kπ(k ∈Z)，代入π相位时，需令ωx＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)．②对点法：将所给图象中的五个关键点与“五点法”中的五个点进行对照．从寻找“五点法”中的第一个点,0(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．【典型例题2】如图为y＝A sin(ωx＋φ) A 0,0,2图象的一段，试确定此函数解析式．13解：该函数的周期T＝3－3＝4π，∴ω＝2T＝12.又∵函数的最大值为3，故A＝3.1∴y＝3sinx2.法一：所给图象是由函数y＝3sin x2向右平移3个单位长度得到的，于是所求解析式为y1＝3sinx231，即 y ＝3sin .x2 64法二：∵周期为 4π，∴由图象知最大值点为,3 .31 4 ∴3sin＝3.23∴23＋φ＝2k π＋2，k ∈Z .2∴φ＝2k π－ 6 ，k ∈Z .∵|φ|≤2，∴φ＝－6.1∴所求解析式为 y ＝3sin. x 263法三：∵图象过点0, 2 ，∴3sin φ＝－ 3 2 .∴sin φ＝－ 1 2.又∵－2≤φ≤ 2 ，∴φ＝－ 6. 1∴所求解析式为 y ＝3sinx .26法四：由图象过点 ,0，且该点在递增区间上，3∴ 1 2×3 ＋φ＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－ 6 ，k ∈Z .∵|φ|≤2，∴φ＝－6.1∴所求解析式为 y ＝3sinx .26探究三函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际应用1．正确理解并识记简谐运动、周期、频率、振幅的概念以及实际意义是解答这类题的基础．2．对于实际问题，要注意定义域．【典型例题3】已知弹簧上挂的小球做简谐运动时，小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化规律为：s＝4sin 2t，t∈[0，＋∞)．用五点法作出这个函数在一个周3期内的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始运动(t＝0)时，离开平衡位置的位移是多少？(2)小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？(3)经过多长时间，小球往复运动一次？3(4)小球运动的频率是多少？ 解：列表如下： t12 7 5 3 126π2t ＋332π322π73s2 340 －42 3图象如图所示：(1)将 t ＝0代入 s ＝4sin 2t，3得 s ＝4sin 3＝2 3 (cm)，以竖直向上作为位移的正向，则小球开始运动时的位移是 2 3 cm ，方向为正向． (2)小球上升到最高点时，离开平衡位置的位移是 4 cm ，下降到最低点时，离开平衡位置 的位移是－4 cm ，负号表示方向竖直向下．(3)反映在图象上，正弦曲线在每一个长度为 π 的区间上，都完整地重复变化一次．由于 这个函数的周期 T ＝ 22＝π，所以小球往复运动一次所需要的时间为 π s.1 (4)小球运动的频率为. 探究四易错辨析易错点：求 y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式时求错 φ 的值【典型例题 4】 函数 y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，其中|φ|<2，则( )4A ．ω＝2，φ＝6B ．ω＝2，φ＝－1210 11 C ．ω＝，φ＝ 610 11 D ．ω＝，φ＝－ 12错解：由图象观察可得 φ＝－1211，T ＝12－＝π，12则 ω＝2.故选 B.错因分析：错解中认为 φ 为函数图象与 x 轴交点的横坐标中绝对值最小的那个横坐标是 错误的，实际上 φ 要根据平移或特殊点的坐标列方程来求．正解：由图可得 T ＝π，∴ω＝2.∴y ＝sin(2x ＋φ)．又由图可知 y ＝sin 2x 的图象 y ＝sin(2x＋φ)＝sin2 x2的图象，∴2＝12.∴φ＝6.故选 A.答案：A5。

学习资料第一章三角函数1．5函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象（二）[A组学业达标］1．函数y＝2sin错误!的周期，振幅依次是(）A．4π,－2B．4π,2C．π，2 D．π,－2解析：周期T＝错误!＝4π,振幅为2，故选B。

答案：B2．把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平移1个单位长度,最后向下平移1个单位长度，得到的图象是（)解析：由题意，y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的解析式为y＝cos x＋1;再向左平移1个单位长度，所得图象的解析式为y＝cos （x＋1）＋1；最后向下平移1个单位长度，所得图象的解析式为y＝cos（x＋1)，显然点错误!在此函数图象上．故选A。

答案:A3．已知函数f(x)＝sin错误!(x∈R），下面结论错误的是（）A．函数f(x）的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间错误!上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f（x)是奇函数解析：因为f（x）＝－cos x,故根据余弦函数的图象可知D是错误的．故选D.答案：D4．设函数f（x）＝2sin错误!。

若对任意x∈R，都有f（x1）≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1－x2｜的最小值为()A．4 B．2C．1 D.错误!解析：函数f（x）的周期T＝4。

因为对任意x∈R，都有f(x1)≤f（x)≤f(x2)成立，所以｜x1－x2｜min＝错误!＝2.答案：B5．已知函数f(x）＝sin（ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(2）＝________．解析：由三角函数的图象可得错误!T＝3－1＝2，所以最小正周期T＝错误!＝错误!，解得ω＝错误!。

又因为f（1）＝sin错误!＝1，所以错误!＋φ＝2kπ＋错误!，k∈Z，解得φ＝－错误!＋2kπ，k∈Z，所以f(x）＝sin错误!，k∈Z,即f(x）＝sin错误!。