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数理统计在学生成绩分析中的应用

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德州学院 数学科学学院 2016届 应用统计学专业 毕业论文 1 数理统计在学生成绩分析中的应用 (德州学院数学科学学院，山东德州 253023） 摘要：对于高校学生来说，高校学生成绩的分析与评价是教学非常重要的环节，运用简单的总分估计的方法模糊了学生的学习动力，影响了学生的综合素质.应当巧妙的运用数理统计的方法，通过采用加权平均法、标准分和平均分的办法，消除传统简单的总分估计的弊端，可以更加准确的评价每一位学生，以提高他们的综合素质，保证教学工作的正常运行. 关键词：成绩分析 标准分 加权平均法 平均分

引言：

对高校在校生来说，成绩是衡量学生学习好坏的一种指标.但是，目前很多高校对于学生成绩的分析只是依赖于简单的总分基础上，这种方法存在很多弊端.即使也能体现成绩的分布状况，但是具体和非常清晰的表达，还是他们用量化了的数据更为准确、更为科学与公平.在过去几年国家就实施了用标准分录取高考考生的办法，运用标准分的优势和合理性是不可否认的.在这我并不是研究高考这一录取方法.只是认为在高校对学生成绩的分析不仅要引入加权平均发而且有必要引入标准分的思路以此来加强对成绩比对的可靠性. 1.预备知识

1.1 权数即权重：根据高校学生所学专业课程的侧重性以及学科的重点来拟

定“权数”.根据课时的不同拟定不同的学分，即我们所说的权重. 1.2 标准分：标准分是指某一科目的实际分数与这个科目的团体平均分数的

差再除于该团体的标准差所得的。数学表达式为iixz或sxxzij（当总体的均值和标准差未知时，用样本的均值x与标准差s代替.）其中

inixnx11

，nxxsi2)(，n为被考核学生的团体人2数.

1.3 正态分布：如果连续型随机变量X的概率密度为

222

1()2xufxe x

则称X服从参数为u、2(,0u)的正态分布，记为2,XNu.其中u为均值，为标准差. 德州学院 数学科学学院 2016届 应用统计学专业 毕业论文 2 特别地，当0,1u时，称X服从标准正态分布. 如果2,XNu，则XuZ服从标准正态分布. 1.4平均分：平均分是指用来描述数据分布集中趋势的一个统计量，常用符

号X来表示，它是一组观测值的总和除以该数目所得的商来计算，定义公式为：

nxx.

2.应用简单总体分析的弊端

由于现在教育模式的发展，对于高校学生来说，对成绩进行简单的总体分

析，模糊了学生成绩的真实水平，忽略了对学生的深入了解. 一方面，它降低了学生的学习动力.比如：小周和小常两位大三的学生 她们的专业课成绩分别是85分和75分，选修课成绩分别是75分和85分.如果只是依照总分来评比她们的成绩，她们是不分上下的等级者.这样就模糊了她们的学习动力，在学习安排、对待问题和解决问题方面不免有些盲目性.另外，我还是认为学好所有的科目才是重中之重，然而各个科目应该有自己的重要性，而这更需要引入更加可靠的方式才能消除这种总体分析的缺陷. 另一方面，它影响了学生的综合素质.若小周和小常这两位大三学生的专业课（比如四门）的总成绩和选修课（比如三门）的总成绩相同（但是每一科的成绩不一样）因此，就认为她们的学习程度和效率同等，给以她们的奖惩一样，我觉得有点不大恰当.因为即使她们的专业课和选修课的考试级别同等，它们的题目的难易程度也会大有不同因此必须在她们的各科领域给与一定的“标准”. 3.为了提高高校学生的综合素质，要转变高校学生成绩分析的观念 在新时代下，要以人的利益为基础，转变高校学生成绩分析的观念，运用数理统计的方法，引进加权平均法和标准分法，解除简单的总体分析的做法，公平、公正的评价每一位学生，让他们在校期间，能得到同等对待,以此来提高他们的综合素质，进而促进教学工作的正常运行，提高现代的教育水平，培养全面发展人才，办好人民满意的教育. 4.合理性的成绩考核方式研究 德州学院 数学科学学院 2016届 应用统计学专业 毕业论文 3 数理统计理论告诉我们，受多种因素影响的社会大量的自然现象或经济现象在某些数字特征上会呈现出正态分布.例如在人群中，人的体重、身高，工业中各种产品的测量误差等均会呈现正态分布的规律.一般情况下，高校学生的成绩也会呈现这个规律，因而要在此前提下来讨论成绩标准化问题. 5.运用“平均分”的方法对成绩进行整体分析 平均分是指某个考生群体考试成绩的平均数，反映了该群体考试成绩的集中水平。在特定条件（一个班级）下，平均分在一定程度上可以用来比较或者说明不同群体之间的水平差异，但是由于影响因素很多，如对于个人来说试卷的难易程度不同、学生基础与能力不同等都会对这个班级的考试平均分造成影响，因此，一般情况下，平均分不宜直接作为成绩的评价标准，但是如果想反映成绩的集中水平是可以的. 平均数是用来描述数据分布集中趋势的一个统计量，常用符号X来表示，它是一组观测值的总和除以该数目所得的商来计算，定义公式为：

nxx

式中，x代表平均数； ∑表示累加求和； x表示具体的成绩数； n表示观察值个数. 我们用以下例子来说明：以2012级统计班大三下学期的综合测评成绩为例，运用平均分进行比较.本班共有41名学生. 表3 综合测评成绩 分数 人数

60-70分之间 2 70-80分之间 28 80-90分之间 11 为了让成绩排列分布更明显，可以利用柱状图凸显出来，从而体现成绩分布的集中性. 德州学院 数学科学学院 2016届 应用统计学专业 毕业论文 4

从柱状图1上可以看出分数大多集中在70-80分上，从而更加可以确定平均值的分布也在这个范围内，但是这个结果并不能体现成绩分布的公平性，而是只体现 的成绩的集中分布状态. 对于高校生来说看成绩的比例情况也是重中之重.下面就用饼状图来体现 表4 某班期末考试的比例情况

从上图可以看出成绩的分布比例情况也在70-80分之间.这也充分体现了成绩分布的集中情况.虽然平均数不能很好的评价成绩的科学性，但是，由此我们

051015202530综合测评成绩60-7070-8080-90图1

5%68%27%

图2

综合测评成绩60-7070-8080-90德州学院 数学科学学院 2016届 应用统计学专业 毕业论文

5 可出看出成绩分布的集中状态. 6.应用“加权平均”的方法对成绩进行分析 不仅对于高校学生来说，总分是考核学生总体水平的一个重要因素，而且对小学、初中、高中等都非常重要.但是，不同学科的侧重点不一样，不应用相同的标准来评价，否则就会对学生的各科情况的了解存在偏差.为了更加清楚地、公平的检验学生学习的效果，应以平均分来评比，而这个平均分并非简单的算术平均，应该是“加权平均”，而这个“权数”可以借助“学时制”或者“学分制”（目前很多高校仍未采取“学分制”，基本还是“学时制”）或根据高校学生所学专业的侧重性以及学科的重点，拟定“权数”. 现以数学类高校统计专业小周和小朱两位学生的期末考试成绩（大学四年其 中一学期的成绩）作为例子来进行分析讨论。小周和小朱的英语、高等代数、解析几何、数学分析、思想道德修养与法律基础、体育的分数依次在表1罗列，表中第四列的“f”表示该学科的权重数（即评定该学科在所学专业重要程度的一个“标志”),而第五列的ff/”为权重比例. 由表1计算结果得到 x（小周的加权平均分）=86.9

y（小朱的加权平均分）=86.55 说明小周的成绩比小朱好，即x>y，然而用总分的标准评价是小朱的成绩好于小周的成绩，即总(小朱)>总（小周），造成这一结果你的原因是：小朱权重大于小周的分数都是一些副科，而对于权重比较大的主科都是小周大于小朱，则说明小周比较优秀.这个逻辑很简单，就是我们平常说的主科非常优秀的学生比较占优势.

表1 学生的加权平均分的计算处理情况表

考试科目 成绩（分） x 成绩（分） y 学分权重数 f 比例（%） ff/ 小周的权重分x•(ff/) 小朱的权重分 y•(ff/)

英语 76 80 4 20 15.2 16 德州学院 数学科学学院 2016届 应用统计学专业 毕业论文 6 高等代数 98 90 4 20 19.6 18 解析几何 96 90 3 15 14.4 13.5 数学分析 92 88 5 25 23 22 思修 72 87 3 15 10.8 13.05 体育 78 80 1 5 3.9 4

求和 （） 512 515 20 100 86.9 86.55

(注：表格中的成绩都取值为整数，方便计算） 对学生的成绩考核和分析是高等学校的一项重要指标，也是衡量教学效果的标准，同时也是提高学校的学习方法、明确奋斗目标，引导高校学生正确学习的“指南针”.作为教育工作者要不断寻找新的教学方法，也要不断创新，更好的引导学生，营造更加公平、公正的学习环境，真正体现良好的学习校风的观念.但是，也有另外的方法能体现对成绩评价公平、公正的做法，下面来引入这个方法. 7.引入“标准分”的方法对成绩进行分析 上学这么多年肯定了解各科科目的难易程度是不一样的，对一门功课的成绩，学生之间差10分那是很大的差距，但是，对有的学科来说差距也许是少之又少.那么，我们该如何解决出现的这种情况那？应用“标准分”的方法可以解决这个问题。用标准分的方法对成绩进行统计、分析是一种非常普遍的应用.运用“标准分”的数学原理是基于考试成绩的概率呈现正态分布.计算“标准分”的过程是将不同考试成绩的正太分布统一在标准正太分1布的这个参照点上的，所以“标准分”有较好的可比性、可加性.“标准分”值越大，说明成绩越好，反之，则相反；但是，当“标准分”高于平均分时，说明“标准分”的值为正的;当“标准分”的值低于平均分时，说明“标准分”的值为负的.因此运用“标准分”的方法对成绩进行分析都具有一定的科学性与客观性. 标准分是指：某一科目的实际分数与这个科目的团体平均分数的差再除于该

团体的标准差所得的。数学表达式为iixz或sxxzij（当总体的均值

和标准差未知时，用样本的均值x与标准差s代替.）其中inixnx11，

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通过数理统计比赛成绩认识运动项目与训练规律的方法学

通过数理统计比赛成绩认识运动项目与训练规律的方法学


定量 分析发 现 ，比赛成绩 与气温 、湿 度 ，人类 生物 气象学 的全国田径锦标赛中，以 ８００分打破 了他本人保持的 ８０ １ ３ ２ 分
指标 等因素相关 显著 ６。 １ ］ 十项全能的全国纪录。 自１ ９ — ２ ０ ９ ９ ０ ２年期 间，齐海峰的十项 ３ 分提高到 ８ ０ ０ ２ ３ 分［］ ７ １３通 过成绩 分析 竞技能力 、比赛成绩表现特征和评价模式 全能成绩从 ７４ ７ ．
与标准
２通过 比赛成绩分析综合性 项 目的单项 （ 以铁人三项运
张英 波等 （ ９ １ ９）对上海第 八届全运会 田径 比赛和雅 动比赛成绩为例 ） ９ 典第六届世界 田径锦标赛投掷和 跳跃项 目的比赛成绩进 行统 进行综合性运动 项 目的单项贡献率分析 ，可 以把握训练 计 ，分析 了群体竞技 能力 的表 现特征 … ］ 。李铁录 （ ０ ２０ １） 分 配 的 权 重 ；进 行 单 项 问 的相 关 关 系分 析 ， 可 以合 理 安 排 训 根据我 国十项全能发展的实际情 况，选取 了与我国优 秀运动 练 的组合 ；进行单项或总成绩 的标准差 分析 ，既可 以认识 比 员水平相接近 的８０ ０ 国外运动员进行对 比分析发现 ， ０分 我国 赛 中的失 分处 ，又 可 以寻找训 练关 键 的切入 点 。 选手在快跑类项 目上占据优势， 耐力水平相对较低 ， 提高各单 以参加 ２ ０ 年 、２ ０ 年奥运会铁人三项比赛，２ ０ 年 、 ００ ０４ ０１ 项发展的均衡性 ，是我 国十 项全 能运动员训练的重 点 。仲 ２ ０ 年世 界铁人三项锦标赛和 ２ ０ 亚洲锦标赛优 秀组运动员 ０４ ０２ 宇 （０ ３ ２ ０ ）通 过对第九 届福 冈世界游泳锦标赛和全 国第九届 为研 究对象 （ 比赛 为奥林 匹克标准距离 ，即 ５ ． ｍ，其 中 １５ ｋ 运动会男子 ２ ０ ｍ个人混合泳决赛运动员各阶段与总成绩 的 ０ 游 泳 １ ５ ｍ， 自行车 ４ ｋ ． ｋ ０ ｍ，跑步 １ ｋ 。数 理统计 ０ ｍ） 对比分析， 出了我国选手与世界优秀运动员的差异并分析了 找 主要采用 了Ｔ检验和标准 回归 ，用 Ｓ Ｐ １． 软件包进行标准 Ｓ Ｓ １０ 原 因所在“ 。姚辉洲等 （ ９ ９ １ ９ ）对 ４ ９名不 同级别七项全 ２ 正 相关 分 析 等 方 法 。 能运动员 的成绩 因素进 行研 究， 并运用测量 与评价 的基本原 ． 理， 制定了单项发展水平评价模式和各单项发展均衡程度的评 ２１单项贡献 多少决定着训练安排侧重与 比例 价模式 ［ 。李益 群 （ ９１）认 为重 大 比赛之 后，均 涉及 ２ １ ９ 铁人三项 由 ３个单项 ，２个转换构成 ，它们对 总成绩 的 经过对奥运会 、 世锦赛 、 亚 到如何评 价优 秀选 手比赛成绩 的发挥 问题 。为了建立一个科 贡献大小是我们训练的安排 侧重 。 个层次 的铁人三项比赛 中所有 男、 女选 手成绩 的标准 回 学的、统一的评价标准， 在研究 １４ ７名世 界优秀体能类项群 锦赛 ３ ８ 见表 １ ，图 １ 。标准 回归系数 为一相 ） 选手 比赛发挥状况的基础上， 用数理统计及模型方法建立起 田 归统计 ，得 出如比赛发挥水平的评价标准 ［ ］ ２。 １ １４通过成绩分析专项 技术 ．
数理统计_方差与标准差

数理统计_方差与标准差

心理和教育方面的实验或调查所得到的数据，大都具有随机变量的性质。

而对这些随机变量的描述，仅有前一章所讲集中趋势的度量是不够的。

集中量数只描述数据的集中趋势和典型情况，它还不能讲明一组数据的全貌。

数据除典型情况之外，还有变异性的特点。

关于数据变异性即离中趋势进行度量的一组统计量，称作差异量数，这些差异量数有标准差或方差，全距，平均差，四分差及各种百分差等等。

第一节方差与标准差方差(Variance)也称变异数、均方。

作为统计量，常用符号S2表示，作为总体参数，常用符号σ2表示。

它是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，即离均差平方后的平均数。

方差，在数理统计中又常称之为二阶中心矩或二级动差。

它是度量数据分散程度的一个特别重要的统计特征数。

标准差(Standarddeviation)即方差的平方根，常用S或SD表示。

假设用σ表示，那么是指总体的标准差，本章只讨论对一组数据的描述，尚未涉及总体咨询题，故本章方差的符号用S2，标准差的符号用S。

符号不同，其含义不完全一样，这一点瞧读者能够给予充分的注重。

一、方差与标准差的计算(一)未分组的数据求方差与标准差全然公式是：〔3—la〕〔3—1b〕表3—1讲明公式3—1a与3—1b的计算步骤表3—1未分组的数据求方差与标准差应用3—1公式的具体步骤：①先求平均数X＝36/6＝6；②计算X i-X；③求(Xi-X)2即离均差x2；④将各离均差的平方求和(∑x2)；⑤代进公式3—1a与3—1b求方差与标准差。

具体结果如下：S2(二)已分组的数据求标准差与方差数据分组后，便以次数分布表的形式出现，这时原始数据不见了，假设计算方差与标准差可用下式：(3—3a)(3—3b)式中d＝(Xc-AM)/i，AM为估量平均数Xc为各分组区间的组中值f为各组区间的次数N=Σf为总次数或各组次数和i为组距。

下面以表1—8数据为例，讲明分组数据求方差与标准差的步骤:表3—2次数分布表求方差与标准差具体步骤：①设估量平均数AM，任选一区间的Xc充任；②求d⑧用f乘d，并计算Σfd；④用d与fd相乘得fd2，并求Σfd2；⑤代进公式计算。

数理统计方法在教学管理中的应用--以莆田学院为例

数理统计方法在教学管理中的应用--以莆田学院为例


作者简介 ：潘素娟 （ １ ９ ８ ２一 ） ，女 ，福建莆 田人 ，讲 师 ，硕士。研 究方向 ：金融工程与金融数学 。
８ ０
福建 商业高 等专科 学校 学报
２ ０ １ ３年 １ ２月第 ６期
并且互 ｎ ： ｎ ，其中 ｎ为这次参加考试学生的总数。
再 假设 Ｇ （ Ｘ ）为 这 次考 试 成 绩 的分 布 函数 ，我们 有 成 绩落 在 ［ Ｘ ，Ｘ ］ 之 间 的 概 率 为 ：Ｐ ＝Ｇ （ Ｘ ）
＝
ｋ 毒 ＝ ， １ ｒ ｓ ２ ＝ ｋ 圭 ＝ ｌｒ — ｌ ；
０引言
课程 任课 老师 的教 学水 平 、这次 考试 的命 题难 度 、考 试组 织 的严密 性 、评分 的过 程是 否遵 循客 观公 正 原则 性等 等 。这 里 我 们 运 用 数 理 统 计 中 的 ｘ 分 布 检 验 法Ｈ Ｊ ，也就 是根 据实 际频 数分 布来 检验 其总 体能 不能 拟合 甚至符 合 正态分 布 ，要是 不符 合 正态 分 布 ，那 么
一
异 ，教 学过程 存在 一定 的 问题 ＿ ５ 。 ２检验 步骤
综 上所述 ，某 次考 试学 生的考 试成绩 是 否符 合正 态 分布 的步骤 可 大致归 纳为下 面几 点 ： （ １ ）首 先在 总体成 绩 当 中抽取 ｎ个 子样 构成 一个
样 本 ，并把 它们 分 成 ｒ 小 组 ，每 个小 组 的频 数 记 为 ，
［ 摘 要］在 市场经济条件下 ，高校教 学 管理 的质 量直接 关 系到 学校 的生死存 亡 ，为 了了解教 学质量 的状 况，
找 出其 波动规律 ，就 必须应用科学的方 法对搜 集到的数据进行整理 ，去粗存精 ，去伪 存真 ，找 出其 中的规律 。数理 统计 方法就是 一种科 学有效的方法 ，采 用理论研 究加 实证分析 来说 明数理统计 方 法在 莆 田学院教 学管理 中的应 用， 结果 可为其他 高校 的教 学管理提 供参考依据 。 ［ 关键 词】 一分布 ；偏态类型 ；正 态分布 ；教 学管理 ； 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１ ０ ０ ８ — ４ ９ ４ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６— ０ ０ ７ ９— ０ ４ ［ 中图分类号］Ｏ ２ １ ２ ．４；Ｆ ８ ３ ０ ．９
题目A AB专业学生成绩

题目A AB专业学生成绩

题目A摘要高校学生成绩是一个高校向外界推广自己的重要标准，也是一个高校能否招收到更多优质学生以及教师的重要标准，本文主要是针对某高校的某次三门公共数学课程的期末考试成绩来分析以下几个问题：针对问题一，要分析两个专业学生的每门课程的分数是否有差异，通过以下几个指标来进行判断，即每门课程两个专业的学生的分数的平均值、方差、标准差。

利用EXCEL 软件中的相关函数算出平均值、方差、标准差（见正文）。

根据求得的结果我们得出：A 、B 两个专业的学生在3门课程的学习上，分数基本相同，差异并不明显，在高数学习上，B 专业的学生成绩要稍微优于A 专业的学生；在线性代数的学习上，B 专业的学生在线性代数上的整体成绩要优于A 专业的学生，但是A 专业的学生在线性代数上的学习成绩要比B 专业的学生更加集中；在概率统计的学习上，B 专业的学生在概率统计上的整体学习成绩要优于A 专业的学生，B 专业的学生在概率统计上的学习成绩要比A 专业的学生更加集中，所以B 专业的学生成绩要稍微优于A 专业的学生。

针对问题二，与问题一相仿，要分析A 、B 两个专业的学生数学水平是否有明显差异，同样是通过以下几个指标来进行判断，即A 、B 两个专业，每个学生数学总成绩的平均值、方差、标准差。

利用EXCEL 软件中的相关函数算出平均值、方差、标准差（见正文）。

根据求得的结果我们得出，A 专业的学生数学水平在整体上没有B 专业的学生高，但是A 专业的学生比B 专业的学生更为集中。

针对问题三，为了高等数学成绩的优劣，是否影响线性代数、概率论与数理统计的得分情况，考虑高等数学上册的学习会影响到高等数学下册的学习，所以将高等数学上册的学生成绩记为1x ，将高等数学下册的学生成绩记为2x ，将线性代数的学生成绩记为1y ，将概率论的学生成绩记为2y ，分别建立10112y x x βββ=++和201122y x x βββ=++讨论1y 和1x 、2x 的关系，2y 和1x 、2x 的关系。