(完整版)圆的知识点概念公式大全
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圆的知识点概念公式大全
一． 圆的定义
1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
二． 同圆、同心圆、等圆
1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3．半径相等的圆叫做等圆．
三．弦和弧
1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．
2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以AB、为端点的弧记作»AB，读作弧AB．
在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．
5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
四．与圆有关的角及相关定理
1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角，我们也称这样的弧为1的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角．
圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半．
4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角．
圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半．
5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
五．垂径定理
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2．其它正确结论：
⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等．
3．知二推三：
⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．
以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径．
4．常见辅助线做法：
⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；
⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
相关题目：
1．平面内有一点到圆上的最大距离是6，最小距离是2，求该圆的半径
2．（08郴州）已知在O⊙中，半径5r，ABCD，是两条平行弦，且86ABCD，，则弦AC的长为__________． 解：25272，，．
六．点与圆的位置关系
1．点与圆的位置有三种：
⑴点在圆外dr；⑵点在圆上dr；⑶点在圆内dr.
如下表所示：
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外
PrO 点在圆的外部 dr点P在O⊙的外部.
点在圆上 PrO 点在圆周上 dr点P在O⊙的圆周上.
点在圆内
PrO 点在圆的内部 dr点P在O⊙的内部.
2．过已知点作圆
⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．
⑵经过两点AB、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点AB、的圆，这样的圆也有无数个．
⑶过三点的圆：若这三点ABC、、共线时，过三点的圆不存在；若ABC、、三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
⑷过n4n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．
3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．
4．三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点
处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在
它的外部（如图3）.
图3图2图1OCBAOCBAOCBA
五．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定
设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离
lOdr 直线与圆没有公共点 dr直线l与O⊙相离
相切
lOdr 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 dr直线l与O⊙相切
相交
lOdr 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 dr直线l与O⊙相交
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
四．切线的性质及判定 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
圆心到直线的距离d与半径r的关系 dr dr dr
公共点名称 交点 切点 —
直线名称 割线 切线 —
1. 切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
2. 切线的判定
定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
3. 切线长和切线长定理：
⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
⑵ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
五．三角形内切圆
1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，
这个三角形叫做圆的外切三角形．
2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．
六．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定
设12OO、⊙⊙的半径分别为Rr、（其中Rr），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
外离
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部． dRr两圆外离
外切
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部． dRr两圆外切
相交
两个圆有两个公共点． RrdRr两圆相交
内切
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部． dRr两圆内切
内含
两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例． 0dRr两圆内含
说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
七．正多边形与圆
1. 正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．
2. 正多边形的相关概念：
⑴ 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
⑵ 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
⑶ 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
⑷ 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3. 正多边形的性质：
⑴正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；
⑵正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；
⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．
八、圆中计算的相关公式
设O⊙的半径为R，n圆心角所对弧长为l，
1. 弧长公式：π180nRl
2. 扇形面积公式：21π3602nSRlR扇形
3. 圆柱体表面积公式：22π2πSRRh
4. 圆锥体表面积公式：2ππSRRl（l为母线）
常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：
① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法
