圆知识点总结及归纳
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圆的方程
(一)圆的定义及方程
1、圆的标准方程与一般方程的互化
(1)将圆的标准方程 (x -a )2+(y -b )2=r 2 展开并整理得x 2+y 2-2ax -2by +a 2+b 2-
r 2=0,取D =-2a ,E =-2b ,F =a 2+b 2-r 2,得x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.
(2)将圆的一般方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0通过配方后得到的方程为:
(x +D 2)2+(y +E 2
)2=
D 2+
E 2-4F
4
①当D 2+E 2-4F >0
时,该方程表示以(-D 2,-E 2)为圆心,
1
2
D 2+
E 2-4
F 为半径的
圆; ②当
D 2+
E 2-4
F =0
时,方程只有实数解x =-D 2,y =-E 2,即只表示一个点(-D
2
,-
E
2
);③当D 2+E 2-4F <0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
2、圆的一般方程的特征是:x2和y2项的系数都为1 ,没有xy 的二次项.
3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.
(三)直线与圆的位置关系
方法一:
方法二:
(四)圆与圆的位置关系
1 外离
2外切
3相交
4切
5含
(五)圆的参数方程
(六)温馨提示
1、方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的条件是: (1)B =0; (2)A =C ≠0; (3)D 2+E 2-4AF >0.
2、求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算. (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在任一弦的中垂线上.
(3)两圆切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
3、中点坐标公式:已知平面直角坐标系中的两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),点M (x ,y )是线段AB 的中点,则x =
122x x + ,y =12
2
y y + .
考点一:有关圆的标准方程的求法
()()()2
2
20x a y b m m +++=≠的圆心是 ,半径是 .
【例2】 点(1,1)在圆(x -a )2+(y +a )2=4,则实数a 的取值围是( )
A .(-1,1)
B .(0,1)
C .(-∞,-1)∪(1,+∞)
D .(1,+∞)
【例3】 圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( )
A .x 2+(y -2)2=1
B .x 2+(y +2)2=1
C .(x -1)2+(y -3)2=1
D .x 2+(y -3)2=1
【例4】 圆(x +2)2+y 2=5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( )
A .(x -2)2+y 2=5
B .x 2+(y -2)2=5
C .(x +2)2+(y +2)2=5
D .x 2+(y +2)2=5
()()()()12240x x y y --+-+=,则圆心坐标为
【变式2】已知圆C 与圆()2
211x y -+=关于直线y x =- 对称,则圆C 的方程为
【变式3】 若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x -3y =0和x 轴都相切,则该圆的标准方程是( )
A .(x -3)2+
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y -732=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1
C .(x -1)2+(y -3)2=1
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x -322+(y -1)2=1
【变式4】已知ABC ∆的顶点坐标分别是()1,5A -,()5,5B ,()6,2C -,求ABC ∆外接圆的方程.
形结合思想的运用.
考点二、有关圆的一般方程的求法
【例1】 若方程x 2+y 2+4mx -2y +5m =0表示圆,则m 的取值围是( )
A .14<m <1
B .m <14或m >1
C .m <14
D .m >1
【例2】 将圆x 2+y 2-2x -4y +1=0平分的直线是( )
A .x +y -1=0
B .x +y +3=0
C .x -y +1=0
D .x -y +3=0
【例3】 圆x 2-2x +y 2-3=0的圆心到直线x +3y -3=0的距离为________.
【变式1】 已知点P 是圆22:450C x y x ay +++-=上任意一点,P 点关于直线
210x y +-=的对称点也在圆C 上,则实数a =
【变式2】 已知一个圆经过点()3,1A 、()1,3B -,且圆心在320x y --=上,求圆的方程.
【变式3】 平面直角坐标系中有()()()()0,1,2,1,3,4,1,2A B C D -四点,这四点能否在同一个圆上?为什么?
【变式4】 如果三角形三个顶点分别是O (0,0),A (0,15),B (-8,0),则它的切圆方程为________________.
2.熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化
考点三、与圆有关的轨迹问题
【例1】 动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍,则动点P 的轨迹方程为( )
A .x 2+y 2=32
B .x 2+y 2=16
C .(x -1)2+y 2=16
D .x 2+(y -1)2=16
【例2】 方程y = )
A. 一条射线
B. 一个圆
C. 两条射线
D. 半个圆
【例3】 在ABC ∆中,若点,C B 的坐标分别是(-2,0)和(2,0),中线AD 的长度是3,