数列大题(学生版)1
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001 已知数列{a n }满足na n+1−(n +1)a n =1(n ∈N ∗)，且a 1=1. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足b n =
a n 2，求数列{
b n }的前n 项和S n .
002设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且535S S =，4223a a =-. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足*1
2
1
2
1
1,2n n n b b b n N a
a a +
++
=-∈，证明：38
n b ≤．
003已知等差数列{a n}的前n(n∈N∗)项和为S n，数列{b n}是等比数列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5−2b2=a3．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
，设数列{c n}的前n项和为T n，求T n．
（2）若c n=2
S n
004已知等差数列{a n}的公差为d，且关于x的不等式a1x2−dx−3< 0的解集为(−1,3)，
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；
(Ⅱ)若b n=2(a n+12)+a n，求数列{b n}前n项和S n．
005已知{a n}是等比数列，{b n}满足b1=2，b2=8，且a1b1+a2b2+⋯+a n b n=(2n−1)⋅3n−1．
(1)求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n的表达式；
(2)求数列{b n}的通项公式．
006已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n，n∈N+.递增的等比数列{b n}满足b1+b3=10，b22=16.
（Ⅰ）求数列{a n},{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a n⋅b n}的前n项和T n．
007已知数列{a n}满足2a1+3a2+4a3+⋯+(n+1)a n=2n.（1）求数列{a n}的通项公式；
，求数列{b n}的前n项和S n.
（2）设b n=a n
n+3
a n+1（n∈N*）008已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=n+1
2
（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{na n}是等比数列，并求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{n2a n}的前n项和T n；
a n+1≤(n+6)λ恒成立，求实数λ的（Ⅲ）对任意n∈N*，使得n
3
最小值．
009在①a n+1
a n =−1
2
，②a n+1−a n=−1
6
，③a n+1=a n+n−8这三个
条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=4，______________，求{a n}的通项公式，并判断S n是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
010已知等差数列{a n}的公差d≠0，a3=7，且a1，a2，a6成等比数列，数列{b n}满足b n+b n+1=a n．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）求{b n}的前20项和S20．
011在①n(a n+1+1)=(n +1)(a n +4n +1)；②a n+1−a n =2(√a n+1+1+√a n +1)；
③a n −a n−1=8n −4（n ≥2）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
问题：已知数列{a n }中，a 1=3，__________． （1）求a n ；
（2）若数列{1a n
}的前n 项和为T n ，证明：13 ≤ T n <1
2
．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
012设{a n }是公比大于1的等比数列，a 1+a 2+a 3=14，且a 2+1是a 1，a 3的等差中项．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若b n =a n log 2(12)n
，求数列{b n }的前n 项和T n ．
013在数列中，，当时，其前项和满足．（1）求的表达式；
（2）设，求的前项和．
014己知数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,S n=2S n−n(n≥2).
a }是否是等比数列，并说明理由；
（1）试判定{1
n
（2）求数列{na n}的前n项和T n；
015已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，等差数列{b n}的公差为2d，设A n，B n分别是数列{a n}，{b n}的前n项和，且b1=3，A2=3，A5= B3.
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
，数列{c n}的前n项和为S n，证明：S n<（2）设c n=b n+1
a n⋅a n+1
(n+1)2.
016已知数列{a n}满足a2＝2a1＝4，且a n＋1－b n＝2a n，数列{b n}是公差为－1的等差数列。
(1)证明{a n－n}是等比数列；
(2)求使得a1＋a2＋…＋a n>2200成立的最小正整数n的值。
017已知等差数列{a n}的前n项和为S n=pn2−n+q(p,q∈R),n∈N （1）求q的值；
（2）若a1与a5的等差中项为14，且b n满足a n=2log2b n，求数列的{b n}前n项和.
018已知数列{a n}是正项等比数列，满足2a3+a4=a5，a1+a2=1．（1）求{a n}的通项公式；
}的前n项和T n．
（2）设t n=log2(3a n)，求数列{1
t n+1t n+2
019设数列n 的前n 项和为S n ，在①{2n 2+2n
b n
2}成等差数列.
②{
2n 2+2n
b n
2}成等差数列中任选一个，补充在下列的横线上，并解答.
在公比为2的等比数列{2n 2+2n
b n
2}中，
(1)求数列{2n 2+2n
b n
2}的通项公式;
(2)若{
2n 2+2n
b n
2}求数列{2n 2+2n
b n
2}的前n 项和R
（注：如选择两个条件分别解答，按第一个解答计分）
020给出下列三个条件：①34a ，43a ，52a 成等差数列；②对于
N n *∀∈，点(n ，n S )均在函数2x y a =-的图像上，其中a 为常数；③
37S =．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
设{}n a 是一个公比为q (q ＞0，q ≠1)的等比数列， ，且它的首项11a =．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令22log 1n n b a =+(N n *∈)，证明11n n b b +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和1
2n
T <．。
