2019年高中数学北师大版必修五达标练习：第2章 §1-1.1 正弦定理 Word版含解析

1.1 第2课时《正弦定理与余弦定理》一、选择题1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( ) A ．14B ．34C ．24D ．23[答案] B[解析] 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34. 2．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )．若p ∥q ，则∠C 的大小为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．23π [答案] B[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )且p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12. ∴C ＝π3. 3．在△ABC 中，已知2a 2＝c 2＋(2b ＋c )2，则∠A 的值为( )A ．30°B ．45°C ．120°D ．135°[答案] D[解析] 由已知得2a 2＝c 2＋2b 2＋c 2＋22bc ，∴a 2＝b 2＋c 2＋2bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝－2bc ，又b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，∴2bc cos A ＝－2bc ，∴cos A ＝－22，∴A ＝135°. 4．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A ．43 B ．8－4 3C ．1D ．23[答案] A[解析] 本题主要考查余弦定理的应用． 在△ABC 中，C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ＝4，∴ab ＝43，选A ． 5．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A ．(0，π6] B ．[π6，π) C ．(0，π3] D ．[π3，π) [答案] C[解析] 本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，∴0<A ≤π3，故选C ． 6．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形[答案] D[解析] 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 和B ＝60°，得ac ＝a 2＋c 2－ac ，(a －c )2＝0.所以a ＝C ．又B ＝60°，所以三角形是等边三角形．二、填空题7．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又最大角的正弦等于32，则三边长为__________． [答案] 3,5,7[解析] ∵a －b ＝2，b －c ＝2，∴a >b >c ，∴最大角为A ．sin A ＝32，若A 为锐角，则A ＝60°， 又C <B <A ，∴A ＋B ＋C <180°，这显然不可能，∴A 为钝角．∴cos A ＝－12， 设c ＝x ，则b ＝x ＋2，a ＝x ＋4.∴x 2＋(x ＋2)2－(x ＋4)22x (x ＋2)＝－12， ∴x ＝3，故三边长为3,5,7.8．(2014·天津理，12)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．[答案] －14[解析] 本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理．∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c又∵b －c ＝14a ∴b ＝34a c ＝12a ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝916a 2＋14a 2－a 22×34a ×12a ＝－14. 三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求B ．[解析] 解法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°.由a ＋c ＝8，ac ＝15，则a 、c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19. ∴b ＝19.解法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19. ∴b ＝19.10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C 2. (1)求sin C 的值；(2)若 a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．[解析] (1)由已知得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ， 即sin C 2(2cos C 2＋1)＝2sin 2C 2由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2， 即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得sin C ＝34. (2)由sin C 2－cos C 2＝12>0得π4<C 2<π2， 即π2<C <π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74. 由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，得(a －2)2＋(b －2)2＝0，得a ＝2，b ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，∴c ＝7＋1.一、选择题1．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( )A ．19B ．－14C ．－18D ．－19[答案] D[解析] 在△ABC 中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则cos B ＝49＋25－362×5×7＝1935. 又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B )＝－|AB →|·|BC →|cos B＝－7×5×1935＝－19. 2．在△ABC 中，若△ABC 的面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则∠C 为( ) A ．π4B ．π6C ．π3D ．π2 [答案] A[解析] 由S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，得12ab sin C ＝14×2ab cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝π4. 3．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( ) A ．1010 B ．105C ．31010D ．55[答案] C [解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理．由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ·cos π4＝2＋9－2×2×3×22＝5.∴AC ＝ 5. 由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A， ∴sin A ＝BC sin B AC ＝3×225＝31010. 4．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( ) A ．－32B ．－23C ．23D ．32[答案] D[解析] ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos<AB →，AC →>，由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB →|＝3，|AC →|＝2，cos<AB →，AC →>＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝14. 故AB →·AC →＝3×2×14＝32. 二、填空题5．在△ABC 中，已知(b ＋c ) (c ＋a ) (a ＋b )＝4 5 6，求△ABC 的最大内角为________．[答案] 120°[解析] 设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k ＞0)．则a ＋b ＋c ＝7.5k ，解得a ＝3.5k ，b ＝2.5k ，c ＝1.5k .∴a 是最大边，即角A 是△ABC 的最大角．由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12， ∵0°＜A ＜180°，∴A ＝120°，即最大角为120°.6．已知钝角△ABC 的三边，a ＝k ，b ＝k ＋2，c ＝k ＋4，求k 的范围是________．[答案] (2,6)[解析] ∵c >b >a ，∴角C 为钝角．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0，∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6.而k ＋(k ＋2)>k ＋4，∴k >2，故k 的范围是(2,6)．三、解答题7．(2014·安徽理，16)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c 且b ＝3，c ＝1，A ＝2B ．(1)求a 的值；(2)求sin(A ＋π4)的值． [解析] (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac， 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13， 由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223， 故sin(A ＋π4)＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋(－13)×22＝4－26. 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ．(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，C ．[分析] 利用三角形正弦定理，将已知条件a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B 中的角转化为边，再利用余弦定理即可求得B 角，然后再利用正弦定理求得a ，c 的值．[解析] (1)∵a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B∴a 2＋c 2－2ac ＝b 2∴a 2＋c 2－b 2＝2ac∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22∴B ＝45°(2)由(1)得B ＝45°∴C ＝180°－A －B ＝180°－75°－45°＝60°由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C∴a ＝b ·sin A sin B ＝2×sin75°sin45°＝2×6＋2422＝3＋1 c ＝b ·sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝2×3222＝6. [方法总结] 本题主要考查正、余弦定理的综合应用，考查考生利用所学知识解决问题的能力．解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边、角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程序，进行三角形中边、角关系的互化，要抓住两个定理应用的信息；当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．。

答案：C
3．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于ห้องสมุดไป่ตู้)
A.B.
C.D.
解析：∵2asinB＝b，∴2sinAsinB＝sinB.
∵sinB≠0，∴sinA＝.
∵A∈，∴A＝.故选A.
答案：A
4．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()
∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.
答案：D
4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是()
A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70°
B．a＝30，b＝25，∠A＝150°
C．a＝7，b＝8，∠A＝98°
D．a＝14，b＝16，∠A＝45°
解析：A中已知两角及一边，只有一解；B中∠A是钝角，∴只有一解；C中∠A是钝角且a<b，∴无解；D中bsinA<a<b，∴有两解．
A．x>2B．x<2
C．2<x<2D．2<x<2
解析：∵满足条件的三角形有两解，∴asinB<b<a，即xsin45°<2<x，解得2<x<2.
答案：C
5．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝()
A.B.
C.D．1
解析：根据正弦定理，＝，则sinB＝sinA＝×＝，故选B.
答案：B
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．不确定
解析：∵＝＝，∴sinBcosC＋sinCcosB＝sinAsinA，

1.1正弦定理双基达标限时20 分钟1．以下对三角形解的状况的判断中，正确的选项是()．A ． a＝ 4， b＝ 5， A ＝ 30°，有一解B．a＝ 5， b＝4， A ＝ 60°，有两解C．a＝3， b＝2， B＝ 120 °，有一解D． a＝3， b＝6， A ＝ 60°，无解分析关于 A ， bsin A<a<b ，故有两解；关于 B ， b<a，故有一解；关于C， B＝ 120°且a>b，故无解；关于D， a<bsin A ，故无解．答案D2．相关正弦定理的表达：①正弦定理只合用于锐角三角形；②正弦定理不合用于直角三角形；③在某一确立的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是必定值；④在△ABC中，sin A ∶ sin B ∶ sin C＝ a∶b∶ c.此中正确的个数是()．A ． 1B． 2C． 3D． 4分析正弦定理合用于随意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确立了，故③正确；由比率性质和正弦定理可推知④正确．答案B3．已知锐角△ABC的面积为 33，BC＝4，CA＝3，则角 C的大小为()．A．75°B．60°C． 45°D． 30°分析由 S△ABC＝ 33＝1BC·CA·sin C ＝1×3×4sin C 得 sin C＝3，又 C 为锐角．故 C＝22260°.答案B4．在△ ABC 中，由“ a>b ”推出“ sin A>sin B ；由”“ sin A>sin B ”推出“ a>b．”(填“能够”或“不能够”)分析在△ ABC 中，必有 sin B>0 ，由正弦定理得a＝sin A，于是，若 a>b，则a>1，则sin A>1.b sin B b sin B由 sin B>0 ，可得 sin A>sin B ；反之，若sin A>sin B ，由 sin B>0 ，可得sin Aasin B >1，则 b >1， a>b.答案能够 能够5．已知 a ，b ，c 分别是△ ABC 的三个内角所对的边，若 a ＝ 1，b ＝ 3，A ＋ C ＝2B ，则 sin A＝ ________.分析π∵ A ＋ C ＝2B ，A ＋ B ＋ C ＝π，∴ B ＝ ，3∴由正弦定理，a ＝b ， 1 ＝3.∴ sin A ＝1.sin Asin Bsin A π2sin 3答案126．在△ ABC 中，已知 a ＝10， B ＝75°， C ＝ 60°，试求 c 及△ ABC 的外接圆半径 R.解∵A ＋B ＋ C ＝ 180°，∴ A ＝ 180°－ 75°－ 60°＝ 45°.3由正弦定理，得a ＝ c ＝ 2R ，∴ c ＝ a ·sin C＝10×2 ＝ 5 6，∴ 2R ＝ a＝ 10＝sin A sin Csin A2sin A 222 102，∴ R ＝ 5 2.综合提升（限时 25 分钟）7．在△ ABC 中，AB ＝ 3，A ＝ 45°，C ＝ 75°，则 BC ＝()．A ．3－ 3B. 2C ． 2D ．3＋ 3分析 ∵AB ＝ 3， A ＝ 45°， C ＝ 75°，由正弦定理得：BC ＝ AB BC ＝ AB ＝3 ，sin A sin C ?sin 45°sin 75 °6＋ 24∴ BC ＝3－ 3.答案 A8．已知△ ABC 中， A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c.若 a ＝c ＝ 6＋ 2且 A ＝ 75°，则 b 等于() ．A ． 2B ． 4＋2 3C ．4－ 2 3D.6－ 2分析 sin A ＝ sin 75 ＝°sin(30 °＋45°)＝ sin 30 cos ° 45 °＋ sin 45 cos ° 30 °＝2＋6，4由 a ＝ c ＝ 6＋2可知， C ＝ 75°，因此1B ＝30°， sin B ＝ .2由正弦定理得 b ＝a ·sin B ＝ 2＋ 6 1sin A × ＝2，应选 A.2＋ 6 24答案 A9．在△ ABC 中， a ＝ 3 2， cos C ＝ 1， S △ABC ＝ 4 3，则 b ＝ ______. 3分析1 sin C ＝ 221 12 2 ＝ 4 3? b ＝ 2 3.cos C ＝ ?； S ABC ＝ absin C? ·32·b ·33△223答案2 310．已知△ ABC 中， a ＝x ，b ＝2，∠B ＝ 45°，若三角形有两解， 则 x 的取值范围是 ________．分析 由正弦定理，得 x ＝bsin A＝ 2 2sin A ，sin B∵ 45°<A<90°或 90°<A<135°，∴ 2<x<2 2.答案2<x<2 2111．在△ ABC 中，已知 tan B ＝ 3， cos C ＝ 3，AC ＝ 3 6，求△ ABC 的面积．解设 AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b.由 tan B ＝ 3，得 B ＝ 60°，∴ sin B ＝3 1 2， cos B ＝ .2又 sin C ＝ 1－ cos2C ＝ 2 3 2，2 2由正弦定理，得c ＝ bsin C ＝3 6× 3 ＝ 8.sin B32 又∵ A ＋ B ＋ C ＝ 180°，∴ sin A ＝sin(B ＋C)＝ sin Bcos C ＋ cos Bsin C＝ 3 1 1 2 2 ＝ 322 × ＋ ×3 6＋.3 2 3∴所求面积 S △ABC ＝1bcsin A ＝6 2＋ 8 3.212．( 创新拓展 )在△ ABC 中，已知b ＋ a sin B，且 2sin A ·sin B ＝ 2sin2＝C ，试判断其形asin B － sin A状．解 由正弦定理可得 b ＋ a ＝ sin B ＝ b ，a sin B － sin Ab － a∴ b 2－ a 2＝ ab ，① 又∵ 2sin Asin B ＝ 2sin 2C ，∴由正弦定理，得 2ab ＝ 2c 2.②由①、②得b2－ a2＝ c2，即 b2＝ a2＋ c2.∴该三角形为以 B 为直角极点的直角三角形．。

高中数学 2.1.1 正弦定理同步精练北师大版必修5 基础巩固1在△ABC中，下列式子与asin A相等的是( )A.bcB.bcos BC.sin Bsin CD.bsin B2在△ABC中，A＝178°，B＝1°，则有( )A.asin A＞bsin BB.asin A＜bsin BC.asin A＝bsin BD．以上结论都不对3在△ABC中，sin A＝sin B，则△ABC是( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．锐角三角形4在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )A．1∶5∶6 B．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不确定5在△ABC中，A＝45°，AB＝2，则AC边上的高等于 ( )A．2 B. 2C．2 2 D．不确定6在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a＋b＋c＝2＋1，sin A＋sin B＝2sin C，则c＝______.7在△ABC中，分别根据所给条件指出解的个数：(1)a＝4，b＝5，A＝30°；(2)a＝5，b＝4，A＝60°；(3)a＝3，b＝2，B＝120°；(4)a＝3，b＝6，A＝60°.8(1)△ABC中，a＋b＝6＋63，A＝30°，B＝60°，求边c；(2)已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c；(3)已知△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求角A、角C及边c.9如图所示，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m至点S，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，求山高BC.综合过关11已知△ABC 中，BC ＝x ，AC ＝2，B ＝45°，若这个三角形有两解，则x 的取值范围是________．12如图，已知△ABC ，BD 为角B 的平分线，利用正弦定理证明AB ∶BC ＝AD ∶DC .13三角形的两边长为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，求此三角形的面积．14已知△ABC 的面积S ＝14(b 2＋c 2)，其中b ＝AC ，c ＝AB .求△ABC 的三个内角的大小．能力提升15在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，讨论当b 为何值时(或在什么范围内)三角形有一解；有两解；无解？参考答案1答案：D2解析：由正弦定理，知a sin A ＝bsin B .答案：C3解析：a b ＝sin Asin B＝1，则a ＝b .答案：B4解析：由正弦定理，知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 答案：A5解析：AC 边上的高等于AB sin A ＝2sin45°＝ 2. 答案：B6解析：由sin A ＋sin B ＝2sin C ，得sin A sin C ＋sin B sin C ＝2，由正弦定理得a c ＋bc ＝2，所以a ＋b ＝2c .所以2c ＋c ＝2＋1.所以c ＝1.答案：17解：(1)∵角A 为锐角，a ＜b ，b sin A ＝52＜4，∴有两解．(2)∵a ＞b ，角A 为锐角，∴B ＜A .∴有一解． (3)∵角B 为钝角，a ＞b .∴无解． (4)∵角A 为锐角，a ＜b ，b sin A ＝6×32＝322， ∴a ＜b sin A ＜b .∴无解．8分析：(1)可用正弦定理的合比形式求解；(2)由A ＋B ＋C ＝180°，可求角B ，再应用正弦定理求边b ，c ；(3)先应用正弦定理求得sin A ，这样角A 可能为锐角，也可能为钝角，应注意讨论．解：(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及C ＝180°－30°－60°＝90°，得a ＋bsin A ＋sin B＝csin C ，即6＋6312＋32＝c1， ∴c ＝12.(2)∵A ＝30°，C ＝45°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，又由正弦定理得c ＝a sin Csin A＝20sin45°sin30°＝202，b ＝a sin B sin A ＝20sin105°sin30°＝10(6＋2)．∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2. (3)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝a ·sin Bb ＝32. ∵B 为锐角，a ＞b 且a sin B ＝62＜b ，即a sin B ＜b ＜a ，∴该三角形有两种，即A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°.c ＝b ·sin C sin B ＝6＋22.当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝6－22.∴A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°， c ＝6－22. 9解：∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－15°＝30°，∴∠ASB ＝180°－30°－15°＝135°.在△ABS 中，AB ＝AS ·sin135°sin30°＝1 000×2212＝10002，∴BC ＝AB ·sin45°＝1 0002·22＝1 000. ∴山高BC 为1 000 m.10在△ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S (精确到0.1 cm 2)． (1)已知a ＝14.8 cm ，c ＝23.5 cm ，B ＝148.5°； (2)已知B ＝62.7°，C ＝65.8°，b ＝3.16 cm. 10解：(1)应用S ＝12ca sin B ，得S ＝12×23.5×14.8×sin148.5°≈90.9(cm 2)；(2)根据正弦定理，bsin B＝csin C，c ＝b sin Csin B， S ＝12bc sin A ＝12b 2sin C sin Asin B，A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(62.7°＋65.8°)＝51.5°， S ＝12×3.162×sin65.8°sin51.5°sin62.7°≈4.0(cm 2)．11解析：如图所示，AB 边上的高CD ＝22x ，要使三角形有两解，必须满足CD ＜2＜x ，即22x ＜2＜x ，解得2＜x ＜2 2.答案：(2,22)12分析：角B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为ABsin∠ADB＝AD sin∠ABD ，BC sin∠BDC ＝DCsin ∠DBC，再根据角相等则正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论．证明：在△ABD 中，利用正弦定理得AB sin∠ADB ＝AD sin∠ABD ，即AB AD ＝sin∠ADBsin∠ABD.在△BCD 中，利用正弦定理得BCsin∠BDC ＝DC sin∠DBC ，即BC DC ＝sin∠BDC sin∠DBC.∵BD 是角B 的平分线，∴∠ABD ＝∠DBC . ∴sin∠ABD ＝sin∠DBC . ∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°，∴sin∠ADB ＝sin(180°－∠BDC )＝sin∠BDC .∴AB AD ＝sin∠ADB sin∠ABD ＝sin∠BDC sin∠DBC ＝BCCD. ∴AB BC ＝ADDC，即AB ∶BC ＝AD ∶DC .13解：∵5x 2－7x －6＝0的两根为－35、2，设已知两边夹角为C ，则cos C ＝－35(∵cos C＝2＞1不可能，舍去)．∴sin C ＝1－cos 2C ＝45，∴S △ABC ＝12×3×5×45＝6(cm 2)．14分析：由于S ＝12bc ·sin A ，因此，可得b 、c 、sin A 的一个方程，通过配方及三角函数的有界性即可求解．解：由已知S ＝14(b 2＋c 2)，而S ＝12bc ·sin A ，∴b 2＋c 2－2bc sin A ＝0.∴(b －c )2＋2bc (1－sin A )＝0. ∵(b －c )2≥0,2bc (1－sin A )≥0， ∴b ＝c 且sin A ＝1.∴△ABC 为等腰直角三角形． ∴A ＝90°，B ＝C ＝45°.15解：由正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R 知：①当b sin A ＜a ＜b 时有两解，此时23＜b ＜43； ②当a ≥b 或B 为90°(b 为斜边)时，有一解， 此时b ≤23或b ＝43；③当a ＜b sin A 时无解，此时b ＞4 3.。