一种由两个复杂的正弦波合成的振幅等于两者总和的振幅和振荡频率单一正弦形的文献翻译

一种由两个复杂的正弦波合成的振幅等于两者总和的振幅和振荡频率单一正弦形,频率是两
个相应和加权平均。方程式(53),意味着即使两个真正的频率是实际值,由1给出的结果很
复杂,即会有一些宽度有规律的来说明这两波峰值相差2。换句话说,这个洛伦兹曲
线给出频谱的仿真分辨率较低。这个简单的实例表明,即使问题是未确定，（M ﹤K）的情况
下这种方法不会是无效的。同时注意,在趋近于零的情况下,即单正弦波情况下,方程式
(53)和(54)可以得到准确的结果
M ＝2的情况下,
依据两个洛夫函数要求使用N＝4的信号点,需要用以下2 ×2广义矩阵解决特征值问题,

从相应特定的方程的根，我们可以得出特征值。在Cn情况下替代假定的形式，方程(52)，我
们可以得到两根是u1=e)(_wwi和u2=e)_(_wwi解方程(55)然后得方程的特征向量, 使他
们规
方程式(51)

然后得到两振幅d1=d和d2=dl.
因此,一个由两个正弦波合成的复杂的正弦波无噪声信号的谱参数可以计算，
基本上只是用四个精确的信号点,不管两个频率彼此有多么接近。传统的英国《金融时报》
光谱分析就需要一个非常好的频率间距网格(用不到),因此有许多时域积分解决两个非
常接近的线条,不管其多高信噪比。那是,英国《金融时报》不能充分利用高信噪比的优势,
而在参数的适合的信号自然的灵敏度转化为高分辨率信息。
可能会有用,对M>K(在这里K=2)和u1和u0矩阵必须为奇异和M—K零特征值。这种情况下需要
特殊的算法(如方程[45]算法)照顾奇异性,然而,它可以得到对例M=3相应的3×3一般-个性
化特征值问题都具有相同的K=2正确的本征值,以及他们的两个特征向量得出正确的幅度。
5.快速扩展:转变为正则化直接谱估计解决方案
振幅dk频率k被用于谱估计根据方程(13)或方程(14)。另外,由于解决方案
方程(39),无限的时间正弦对角化谱线可以被直接估计(即避免直接的解决方案
利用广义特征值问题)解决方案利用变换公式[14]

在我们所定义的另一个数据矩阵的形式吗
一个矩阵束:

（注意,在R(s)地方我们将经常使用R简化符号）
而令人惊讶的是,方程(56)是一个计算表达。在如此的情况下方程(11)正是可以满足的,它
产量确切的无限的时间正弦对角化谱,如果我们选择M=k,即使只有很有限的部分Cn大小的
N=2M的信号，参数dk和k不是计算的。结果如果M>K也准确，尽管在这种情况下M×K矩阵
需要虚拟反矩阵，因此这矩阵并不是正弦的，因而对其进行一些调节是必要的。

当计算（s）解决广义特征值问题(48)也许是个好主意
能够产生结果的所有值并没有额外费用。然而,它并不需要一个快速线性的系统(如下R（s）
X(s)󰀀=C)求解可得到,如果它可以利用这种特殊形式和(56)的依赖关系的解决方案，或者,
更重要的是,如果它允许一个人去实施有效的正则化方案,不过这些都是这里的情况。(注意
到两个的粗略性和有效规范化的调节正弦对角化可应用一个通用的多维静止的信号是开放
的问题。)
在下文中我们提出一个简单的讨论正规化的讨论，更精心讨论非线性系统规范化，在后面的
教程中找到Neumaier[46]。
现在有几个选择

5.1通过奇异值分解规范化
奇异值分解方阵Kwin×Kwin矩阵R是定义如下

用方阵Kwin×Kwin联合W和V和对角矩阵=diag（）和 1 ≥2≥.„. ≥0 现
在的问题是调节R的逆矩阵改变为调节对角矩阵的逆矩阵，因此我们可以写
定义一个虚拟的变量

这个简单的调节过程和截断的起一直分解相对应，

截断奇异值分解是一个很好的选择,在这种情况下的时候有一个明确的阈值之间的子集
i

《q正弦奇异值（ “空空间”)另一个值i》q (“范围空间”)。不幸的是,为了现实信号
这往往并非如此尚没有统一的方法对如何选择q,结果可能对q的依赖不会突变。所以使用
该技术的常伴随着限制和主体性。一个更好的正则化是,例如,在这种情况下“奇异的”贡献
不突然移除。

虽然方程(62)是一个光滑正则化的调节，与之相关的主要问题仍然是缺乏一般方法对如
何选择q。如此便宜的和最容易的方法选择最优q和建立最好的谱线，解决办法是产生规格
几个q值。一般来说,很昂贵,使用不同的q的利益并没有额外的成本。
5.2提卡诺夫正则化
数值比起一直分解便宜许多,提卡诺夫正规化【41,42]在这一过程中,虚拟值的获得通过
在哪里,又,q所起的作用——一个正则化参数。这样一个正则化的奇异性分母被用.R†R 1 q2.
代替，是一个厄密共轭和正定矩阵。
方程(58)现在可以解决厄密共轭的最小二乘问题,

之后用