刚体的基本运动

第三章 刚体力学§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 刚体运动微分方程 §3.4 刚体平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与定轴转动 §3.7刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析 一、描述刚体位置的独立变量1.刚体是特殊质点组dr ij =0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。

2.描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变,如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需9个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6个变量即可。

刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α,β,γ。

二、刚体的运动分类1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。

可以用平行于固定平面的截面代表刚体。

需要三个独立变量。

4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。

需三个独立的欧拉角。

5.一般运动: 平动+转动 §3.2 角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.刚体在dt 时间内转过的角位移为d n ，则角速度定义为0limt d t dt ∆→∆==∆n nω角速度反映刚体转动的快慢。

线速度与角速度的关系：,t d d d d =⨯⨯∴==rv r n r ωr Q§3.3 刚体运动微分方程 一、 基础知识1.力系：作用于刚体上里的集合。

平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系。

等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同。

力系的简化：用一简单力系等效地代替一复杂力系称为力系的简化或合成。

二、公理：1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作用下必呈平衡。

2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原力系的运动效应。

3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，并不改变其作用效果，F 与F `等效。

三、力偶力偶矩1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。

力偶所在平面叫力偶面。

2. 力偶矩: 力F 对任意一点O 的位置矢量为r ,则力偶矩为 =⨯M r F ，其大小为 M=Fd ,d 为力偶臂。

上式表明:1) 力偶矩与矩心无关,故M 可画在过力偶面任意点且与力偶面垂直的直线上,它是一自由矢量;2) M 的唯一效果是引起转动效应;3) 力偶不能与一力等效.(因为若等效,则可取其作用线上任意一点为矩心,则有M=0, 发生矛盾). 3. 等效力偶:(1)力偶可在力偶面内任意般动, M 不变时等效； (2)可使M 不变,改变F,d, 与原力偶等效。

四、力的平移定理若将作用于刚体上的力F ϖ平移至同一刚体上不在力F ϖ的作用线上的其它点O ，则必须相应增加一个附加力偶，其力偶矩M ϖ等于原力F ϖ对平移点O 的矩，才能保证原力对刚体的作用效果。

这一结论称为力的平移定理。

显然M ϖ垂直于由点O 与原力F ϖ的作用线所作出的平面。

上述定理的逆定理也成立，即当作用于刚体上某点O 的某个力1F ϖ与作用于同一刚体上的某个力偶的力偶矩M ϖ垂直时，则该力和力偶可以合成为一个力F ϖ，其力矢与原长1F ϖ相同，平移的垂直方向为M F ϖϖ⨯1方向，平移和垂直距离为M / F 1 。

力的平移定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。

而其逆定理则表明，可以将同一平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。

力的平移定理是任意力系向某点简化的理论基础。

五、空间任意力系的简化空间任意力系向任一点O （称为简化中心）简化后，一般可得一个力和一个力偶。

其中这个力的作用线过简化中心，其力矢与该力系主矢R ϖ相同，这个力偶的力偶矩与该力系对简化中心的主矩O M ϖ相同。

上表说明，力系的主矢R ϖ和主矩O M ϖ完全确定了力系的最简简化结果，由此也就不难理解力系的主矢和主矩为什么是力系两个极其重要的特征量了。

六、平行力系平行力系中心若平行力系存在合力，当平行力系的各力保持其大小和作用点不变，而将它们的作用线沿相同方向转过任意相同角度，所得到的所有平行力系的合力作用线始终通过的那个唯一确定的点C ，称为平行力系中心。

取力的作用线的某一方向为正向，其单位矢量为e ϖ，则平行力系中各力可表示为),...,2,1(n i e F F i i==ϖϖ，若它们的作用点相对于空间某一确定点O 的矢径为),...,2,1(n i r =ϖ，则平行力系中心相对于点O 的矢径公式为∑∑=iii C Fr F r ϖϖ例 沿图示长方体三个互不相交且互不平行的棱边分别作用着力1F ϖ、2F ϖ和3F ϖ，它们的大小均等于F ，当它们能简化为一合力时，长方体的长、宽、高的尺寸a 、b 、c 之间的关系如何？ 解 1) 建立图示直角坐标系oxyz2) k F F j F F i F F ϖϖϖϖϖϖ===321,, 于是力系的主矢为∑=++==31i i kF j F i F F R ϖϖϖϖϖ3) 取点O 为简化中心，各力对点O 的矩为0)(1=F m O ϖϖ, iFc F m O ϖϖϖ-=)(2 ,j Fa i Fb F m O ϖϖϖϖ-=)(3于是力系对点O 的主矩为jFa i Fc Fb F m M i i O O ρρρρρ--==∑=)()(314) 显然0,0≠≠O M R ρρ，因此，该力系要简化为一个合力，则必须0=⋅O M R ρρ，即0)()(=-+-Fa F Fc Fb F 于是有 c b a -= 七、刚体运动微分方程取刚体的质心为简化中心，把质点组的质心运动定理和对质心的动量矩定理应用到刚体上，就是刚体运动微分方程，即,c d m dt ''==J a FM ，在直角坐标系中为cx x cy ycy yma F ma F ma F === ''''''yx z x yz dJ dJ dJ M MM dtdtdt ===对保守力系，机械能守恒定律成立，即有 T + V = E §3.4 刚体平衡方程一、刚体的平衡刚体相对于惯性参考系处于静止或匀速直线平动状态，称为物体的平衡。

物体在平衡力系的作用下不一定处于平衡状态，这一点将在动力学中看到，但物体若平衡，则作用于其上的力系必为平衡力系，即力系的平衡仅是物体的平衡的必要条件，而非充分条件。

二、平面任意力系的平衡方程 1）一矩式)(,0,0111===∑∑∑===ni i A ni iy ni ix F m F F ρ其中x 、y 轴不平行，可以是正交的，也可以是斜交的。

2）二矩式0,0)(,0)(111===∑∑∑===n i il n i i B n i i A F F m F m ρρ其中A 、B 两点的连线不与投影轴l 垂直，il F 表示i F ρ在l 轴上的投影。

3） 三矩式0)(,0)(,0)(111===∑∑∑===n i i C n i i B n i i A F m F m F m ρρρ其中A 、B 、C 三点不共线。

三、平面特殊力系的平衡方程 1） 平面汇交力系(1),011==∑∑==ni iy ni ixF F(其中x 、y 轴不平行)(2))(,011==∑∑==ni i A ni ix F m F ρ(其中点A 与汇交点的连线不与x 轴垂直)(3)0)(,0)(11==∑∑==n i i B ni i A F m F m ρρ (其中点A 、B 与汇交点不共线)2） 平面力偶系1=∑=ni iM(i M 为平面力偶系中第i 个力偶的力偶矩，它为一个代数量)3） 平面平行力系(1))(,011==∑∑==ni i A ni ix F m F ρ (其中x 轴不与各力的作用线垂直)(2)0)(,0)(11==∑∑==n i i B n i i A F m F m ρρ (其中A 、B 两点的连线不与各力的作用线平行)四、空间任意力系的平衡方程的基本形式0)(,0)(,0)(,0,0,0111111======∑∑∑∑∑∑======n i i z n i i y ni i x ni iz ni iy ni ix F m F m F m F F F ρρρ空间力系的平衡方程还有其它形式的方程组及相应的附加条件，但讨论起来比较麻烦，一般不作教学要求。

§3.5 转动惯量一、转动动能22222111111()()sin 222n n n i i i i i i i i i i i T m r r m r m ωωωθωρ====⨯⨯==∑∑∑g 令21ni i i I m ρ==∑ 则转动动能为212T I ω=二、转动惯量转动惯量计算公式为：21ni i i I m ρ==∑对刚体可用积分形式 dmr I m z 2⎰=式中i ρ是质点)(dm m i 到z 轴距离，dm 是微元体的质量。

转动惯量反映物体转动时惯性的大小。

物体的转动惯量，一方面决定于物体的形状，另一方面又决定于转动轴的位置。

平行轴定理 2md I I c z +=z 轴与c z 轴平行，两者之间的距离为d ，C 为刚体的质心。

三、惯量张量刚体对坐标轴的轴转动惯量222222(),(),()xx yy zz I y z dm I z x dm I x y dm=+=+=+⎰⎰⎰惯量积的定义为,,xy yx yz zy zx zx I I xydm I I yzdm I I zxdm======⎰⎰⎰若刚体绕任一转动轴转动，其相对于坐标轴的方向余弦为α、β、γ ，则刚体绕此转动轴的转动惯量为222222xx yy zz xy yz zx I I I I I I I αβγαββγγα=++---3个轴转动惯量和6个惯量积作为统一的一个物理量，来代表刚体转动时惯性的量度，可以排成一个矩阵形式，我们把它叫惯量张量xx xy xz yxyy yz zx zyzzI I I I I I I I I ⎛⎫--⎪-- ⎪⎪--⎝⎭刚体的转动惯量可表示为 I =（α β γ）xx xy xz yxyy yz zx zyzzI I I I I I I I I ⎛⎫--⎪-- ⎪⎪--⎝⎭αβγ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭四、惯量主轴选择适当的坐标轴，可以使惯量积等于零。