概率论与数理统计模拟试题与解答
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姓名 ______________________ 学号 □□□□□□□□□ 专业 _________________________ 授课教师 ________________________
答案不得写在此装订线上方
概率论与数理统计模拟试题与解答(3)
题号
1--8 9--16 仃--24 25 26 27 28 29 30 总分
分数
复核人
1 1 1 1 1
考生注意：1 •试卷共30小题，满分100分，考试时间为120分钟.2.答案必须写在试卷上 3 •字迹要清楚，卷面要整洁
得分 评卷人 一、选 2择题(本题共 8小题，每小题3分，共24分.在
【给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项
•母填在下面的表格内.)
每小题
前的字
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C B D C B C
(C) (A B) _C = A (B _C) (D) A B =AB AB
2.下列数组中可以作为离散型随机变量 X的分布列的有
(A)P,P2(P 为任意实数) (B) 0.1 ,0.2,0.3,0.4
2n
(C) 一(n =0,1，2…) (D) P,1—P (P <1
n! i
3•设连续型随机变量 X的密度函数有f (-x)二f (x)，F (x)是X的
分布函数，则下列成立的有
1
(A) F(d) =F(a) (B) F(£)匕卩⑻
1
(C) F(v) =1 _F(a) (D) F(£)=2 —F(a)
4.设…，Xg和丫1,…，丫 10分别来自两个相互独立的正态总体 N(_1,4)和
N (2,5)的样本，S2和S22分别是其样本方差，则下列服从 F亿9)的统计量
是
(A) 2S12
5S； (B) 5S12
4S； (D) 5S12
2S22
1 n
5.设总体X~N(4；「2)，X1， ,Xn为抽取样本，则 八(Xi_X)2是
n i4 10.设随机变量的密度函数为 ■ eJx
f(x)「0 x _ 0
x11•已知X ~ N(1,9)，则X的标准差为 3 则一
12.已知X ~ N(2,4) , 丫服从标准正态， X与Y相互独立，则P｛X・丫_2｝=
0.5 .
2
13 .设 X~N(丄二)，而 1.70, 1.75, 1.70, 1.65, 1.75 是从总体 X 中抽取的
样本，则J的矩估计值为 1.71 .
14. 设X ~U[a,1] ,
X1,…，Xn是从总体X中抽取的样本，求 a的矩估计为
2 一n
—/ 一 x - 1
n i 4
15. 已知 F°.1(8,20)=2，则 F°.9(20,8)= 0.5 .
16 .电路元件A与两个并联的元件 B、C串联而成，若 A、B、C损坏与
18. 随机变量的分布函数，贝U F(一
x)=1_F(x).
19. 分布的边缘分布仍是均匀分布
(A)」的无偏估计(B)二2的无偏估计 (C)」的矩估计 (D) c2的矩估计
6 .设两独立随机变量 X ~ N(0,1)，Y ~ 2(9)，则3入服从
(A) N(0,1) (B) t(3) (C) t(9) (D) F(1,9) 21 . X与Y相互独立的必要而非充分的条件
22. 的平方X2是总体期望平方“的无偏估计
23. 设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设 H1而确定的.
若与都是标准7•有人打靶击中的概率为
的概率为( ) 0.8，求他打了 10枪，直到第十枪击中 四、解答题(本题共6小题，满分44分，解答应写出文字说明、证
明过程和演算步骤.)
9
(A) 0.89 0.2 9
(B) 0.29 0.8
1 9
(C) G1。0.8 0.29 1 9
(D) C；0 0.2 0.89 得分 评卷人
25(本题满分8分)已知一批产品中，合格品占 90%，检
查时一个合格品被认为是次品的概率为 0.02，而一个次品
被认为是合格品的概率为 0.05,现在任取一件检查，求该
产品被认为是合格品的概率.
&设总体X的数学期望为 方差为二2， (X1, X 2)是X的一个样本, 解：B =｛产品被认为是合格品 ｝ , A1 =｛产品是合格品｝ , A2 =｛产品不是合
格品｝ 1.设A,B,C为任意三各随机事件，则下列命题正确的是
(A) (A B) _B =A _B (B)(A_B) B=A
(C) 概率为 0.314
(嘿！别忘了，背面还有哦！ Good LuCk!)则在下述的4个估计量中,
1 2
(A) ?小2X )是最优的. P(B^P(A1)P(B| A1) - P(A2)P(B | A2) = 0.9 0.98 0.1 0.05 = 0.887
2、,£ (B) ?2
1 1
(C) ?3\X1 2X 1、，
2 2 (D) ?4
二、填空题(本题共8小题，
案填在题中横线上.)
9. 一个产品须经过两道工序，
别为0.3和0.2,则一
个产品出厂后是次品的概率为 —0.44 得分 评卷人
1 1
= 1X1 + — X2
2 3
每小题2分，共16分.把答
每道工序产生次品的概率分 26. 4只晶体管，其中3只是正品，1只是次品. 测试，取出后不放回，直到次品被测试出为止. 布列和分布函数.
解： 从中随机地一只一只取出做
X表示测试的次数，求其分
X 1 2 3 4
P 0.25 0.25 0.25 0.25 0 , x ：::1
0.25 , 1
Fn(x)二 0.5, 2 :：: 3
0.75 , 3 乞 x ：： 4
1, x 畠4
27.机变量X在区间［1 , 6］上服从均匀分布，现在对 X进行3次独立观察, 求这3次观察中至少有两次观察值大于 4的概率
解：X的密度函数为：f (x) =1°.2甘1 % -6
0 其它
L
一次观察中观察值大于 4的概率为：
6
p =P{ X . 4} 0.2dx =0.4
4“
在三次观察中至少有两次观察值大于 4的概率为：
2 2 3
C2 0.42 (1 _0.4) 0.43 =0.3 5 2
28•某高校去年大学生中拥有手机的比率为 45%现对400名学生调查其拥
有手机情况，发现其中有 196名发现其中有 196名学生拥有手机.试在
:=0.05水平下检验拥有手机的学生比率是否有显著增
加.(Z0.05 =1.64 5 ,Z0.025 =1.96 , J0.2475=0.4975).
解： H 0 : p =p0 =0.45 i H1 : p . p0
统计量 Z = % -
po 近似服从N(0,1)
P0(1 - P0)
■ n
将 X =^, n =400, 代入计算得：Z =1.608
400
Z0.05 =1.645 >Z =1.608 ,
所以接受原假设，认为拥有手机的学生的比率没有显著增加. 1 n
样本的一阶原点矩为： x =2^-Xi
所以有:
31. 生产滚珠，从某天生产的产品中抽取 6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9
14.8 15.2 15.1 已知原来直径服从 N 0,0.06)，求：该天生产的滚珠直
径的置信区间•给定( a =0.05 , Z0.05 =1.645 , Z002^1.96 )
解：这是方差已知，均值的区间估计，所以有：
置信区间为：［X._lz ,x Z ］
_ 1
由题得：X (14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1) = 14.95
6
ot = 0.05 Z 0 025 = 1.96 n = 6
.0.06 、0.06 、
代入即得：［14.95. _____ .1.96,14.95. ____ ■ 1.96］
所以为：［14.754,15.146］
2
32. 生产的某种螺栓的长度 X (单位：mm服从正态分布
N(20, 0.2),
螺栓的长度超出范围 20 ±0.17 (mm为不合格品，若记标准正态分布函数为
"(X),且已知：：G(—0.85) =0.2 , 求:
(1) 生产一只螺栓为合格品的概率；
(2) 生产100只这样的螺栓,其中的合格品数记为 Y ,求EY, DY .
解：X ~ N(20,0.04)
(1) p{产品是合格品} = p{20_0.17 乞 X 乞20 - 0.17}
,-0.17 . X _20 0.17、
=p{ }
0.2 0.2 0.2
= <>(0.85) 事(_0.85) = 0.6
(2) p =0.6 , 丫〜B(100,0.6) , EY = np = 60 , DY = np(1 _ p) = 24
29•维随机变量(X, 丫)的联合密度函数为:
0 ：：:x ：：：2,0 ：：： y ：：：1 其他
求:
(1) 参数A ;
(2) X和Y的边缘分布并判断 X和Y是否独立;
(3) P{X _1,Y _0.5}
解:
(1) ： f (x, y)dydx =1
所以X和Y独立；
2 0.5
(3) P{X _1,Y <0.5} = dx f(x,y)dy =0.09375
1 0'
30 •随机变量X服从参数为■的指数分布，设 X1,X2/ ,Xn是子样观察值, 求■的极大似然估计和矩估计.
解：设X1,X2，…，Xn是子样观察值，极大似然估计：
n x
L( ■) =「bxi
i=1 f(x,y) Axy2
0
(2) f (x) - 二f(x,y)dy Wjxy'dy 二； 0 ：： x 2
f (y) 一 _ ： f (x,y)dx 二 2 2
xy dx =3y 0 ：：： y ::: 1
f (x) f (y^3xy2 = f(x, y)
