概率论与数理统计模拟试题

一．选择题

1.设,为两个分布函数，其相应的概率密度,是连续函数，则必为概率密度的是（D）

A B 2

C D

2．

设随机变量X~N（0,1），Y~N（1,4）且相关系数=1，则（D）

A P(Y=-2X-1)=1 B P(Y=2X-1)=1

C P(Y=-2X+1)=1 D P(Y=2X+1)=1

3.

已知概率论的期末考试成绩服从正态分布，从这个总体中随机抽取n=36的样本，并计算得其平均分为79，标准差为9，那么下列成绩不在这次考试中全体考生成绩均值μ的的置信区间之内的有（ ），并且当置信度增大时，置信区间长度（ ）。

645.105.0Z已知：

,减小 ,减小

,增大 ,增大

答案：D

解析：由题知，=9，n=36,X=79

当=时，1-2=

所以

2Z=05.0Z=

5325.76645.1369792/znX

4675.81645.1369792/znX

即μ的的置信区间为（，） 且当μ的置信度1-增大时，置信区间的长度也增大。

故，答案为D.

4.

下列选项中可以正确表示为分布函数F(x)或连续性随机变量的概率密度函数f(x)的是（ ）。

A.5,152,4320,310,0)(xxxxxF B.1,114,40,sin0,0)(xxxxxxxF

C.0,0,021)(22xxexfx D.其它,023,sin)(xxxf

答案：B.

解析：考点1.分布函数要满足右连续。A不满足右连续

考点2.连续性随机变量的概率密度函数的x范围为,，且在这个范围上积分和为.为，D为（-1）。故C，D错误

5.

设随机变量YX,服从正态分布)2,1(),2,1(NN,并且YX,不相关，YaX与bYX亦不相关，则（ ）.

（A）1ba （B）0ba （C）1ba （D）0ba

应选（D）.

解 X~)2,1(N，Y~)2,1(N，于是2,2YDXD.

又0),(,0),(bYXYaXCovYXCov.

由协方差的性质有 022),(),(),(),(),(baYbDXaDYYbCovYXabCovXYCovXXaCovaYXYaXCov

故0ba.故选（D）.

6.

设X为离散性随机变量，且......)2,1](a[piXPii，则X的期望EX 存在的充分条件是（ ）

A.0limnnpan B.0lim2nnpan

C.1nnnpa收敛 D.12nnpan收敛

答案：D

解析：EX存在nnpa1n收敛，所以是EX存在的必要条件并不一定是充分条件，而B不能保证收敛，因而正确选项是D

期望和级数知识的综合考察。

7．

设服从二项分布，其分布律为

若不是整数，则取何值最大

答案：D

解析：

方法一（排除法）：

求取何值最大，由为众数的时候最大，易得必须取整数 则：由题设可知不是整数，不对

可由不对可知，B也不是整数，不对

不一定是不是整数，不对

为取整函数，为整数，则为正确答案

方法二：

即

解得

①

② 由答案必须为整数，将联立并取整，即为答案

8.

假设A、B、C是三个随机事件，其概率均大于零，A与B相互独立，A与C相互独立，B与C互不相容，则下列命题不正确的是( )

与BC相互独立

与B∪C相互独立

与B-C相互独立

、BC、CA相互独立

答案：（A）

由A与B相互独立，A与C相互独立，B与C互不相容不能得出A与BC相互独立。

9. 设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（ ）.

服从正态分布；YXA. ;.222分布服从YXB

分布；都服从和222.YXC 分布；服从F/D.22YX

答案：C

解析：题中的X与Y未说明是相互独立的，所以.是不对的，

D.中X与Y都应除以它们各自的自由度。

10.

设平面区域D是由xy1与直线2,1,0exxy所围成（如图），二维随机变量),(YX在D上服从均匀分布，求),(YX关于X的边缘分布密度在2x处的值（D）

A、1 B、21 C、31 D、41

解：区域D的面积为21ln1212exdxxSeD

由题设可知，),(YX的概率密度为 其他其他0),(210),(1),(DyxDyxSyxpD

),(YX关于X的边缘密度为dyyxpxpX),()(

（1）当2ex或1x时，0)(xpX

（2）当21ex时，有

xdydyyxpxpxX2121),()(10

于是

其他0121)(2exxxpX

故 41)2(Xp

11.

设总体X服从正态N（，2）分布，1X,2X,3X,…，nX是来自正态总体X的样本，要使||1XXAnii是的无偏估计量，则A的值为（ D )

A.n1 B.n1 C.1n D.)1(2nn

解答：由题意得),(~2NXi且相互独立，i=1,2,…,n

故||||11XXnAEXXAEEnii

而)(11)(13212111nnXXXnXnnXXXnXXX

从而)10(~21nnNXX， 故dxnnxnnxXXE221)1(2exp121||||

dxnnxnnx220)1(2exp1212

nndttet122022•

n1-n22

因此•nnnAE122

故有1122•nnnA

即)1(2nnA时，是的无偏估计量，故选择答案D

12.

设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N），（10，Y的概率分布为21}1{}0P{YPY，记)(zFz为随机变量XYZ的分布函数，则函数)(zFz的间断点个数为 ( )

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

答案：B

解析：}1,{}0,{}{}{)(FzYzXYPYzXYPzXYPzZPz

当0z时，)(21}{21}1{}1{}1,{)(zzXPYPYzXYPYzXYPzFz

当0z时,)(2121}1,{}0,{)(zYzXYPYzXYPzFz

因此0z为其间断点

。

13.

设总体X的概率密度为

其它,010,)1()(xxxf

其中 >1 是未知参数，X1 ， X2， … ，Xn 是取自 X 的样本，

则参数的矩估计量是（ ）

Ａ.21XX B.121XX Ｃ.XX112 Ｄ.121XX

答案：C

解析：1=E(X)=dxxx10)1(=dxx101)1(=21，解得=11112，

的矩估计量为ˆ=XX112

14．

设总体221122(,),(,)NN，其中1122,0,,0都未知，1212(,,,),(,,,)mnXXXYYY分别是,的样本，两个样本相互独立，1111,mniiiiXXYYmn，22221211(),()mniiiiQXXQYY这时假设检验22012:H的统计量F=（）

(A)2122QQ (B)212211QmQn

(C)21221111QmQn (D)212211mQmnQn

解答：C.2221221111QnQmSSFyx

15.

现在有三个盒子装着小球，已知一号盒子装了２个红球１个黑球，二号盒子装了３个红球１个黑球，三号盒子装了２个红球２个黑球。现在某人从三个盒子中摸出一个红球。则红球取自一号盒子概率为（）

A.3613 B31 C3623 D72

解 记 Ａi ={ 取到第 i 号罐 } i=1, 2, 3; Ｂ ={ 取得红球 }

3111)|()()()|()(iiiABPAPAPABPB｜Ａ由贝叶斯公式得Ｐ１

其中 P(Ｂ|Ａ1)=2/3, P(Ｂ|Ａ2 )=3/4, P(Ｂ|Ａ3 )=1/2, P(Ａi)=1/3,i=1,2,3．

求得结果为3623.结果为Ｃ

16.

设121,,,,nnXXXX是来自正态总体2,N的样本，,11,11221niiniiXXnSXnX则统计量11nnSXXYn服从的分布是.

(A) 1,0N (B) )(nt (C) )1(nt (D) )1(nt

解：因为nNX2,~，因而211,0~nnNXXn，于是1,0~11NXXnnn.而1~/1222nSn，又2S与XXn1相互独立，故由t分布的定义知

)1(~11111221ntnnSXXnSnXXnnnn.因此，答案（D）正确.

17.