概率论与数理统计模拟试题
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选择题
1. 设h⑴，卩2。）为两个分布函数，苴相应的概率密度/i（X）,/2（尤〕是连续函数，
则必为概率密度的是（D）
A /1U）/2W B 2f2WFlW
D fiMF2W + /2（尤）耳00
2.
设随机变量X飞（0,1）, Y~N （1,4）且相关系数二1，则（D）
A P（Y=-2X-1）=1 B P（Y=2X-1）=1 C P（Y=-2X+1）=1 D P（Y=2X+1）=1
3.
已知概率论的期末考试成绩服从正态分布，从这个总体中随机抽取n二36的样本，并计 算得英平均分为79,标准差为9,那么下列成绩不在这次考试中全体考生成绩均值卩的的宜 信区间之内的有（），并且当置信度增大时，置信区间长度（）。
已知：Z005 = 1.645
,减小 ，减小
，增大 ，增大
答案：D
解析：由题知,cr=9, n=36, X =79
当 & 二时，1-—= 2
所以 Z% 二Z。®二
— （J 9 X- — S =79 _ -— xl.645 = 76.5325
yjn 亠 J36
— c 9 X+ —Za/9 =79 +^=x 1.645 =81.4675
yjn 〜 J36
即卩的的置信区间为（，）
且当u的置信度1-a增大时，置信区间的长度也增大。
故，答案为D.
4・
下列选项中可以正确表示为分布函数F（x）或连续性随机变量的概率密度函数f（x）的是
答案：B.
解析：考点1.分布函数要满足右连续。A不满足右连续
考点2.连续性随机变量的概率密度函数的X范I期为(-8,*0),且在这个范|刑上
积分和为.为，D为(-1)。故C, D错误
5.
设随机变MX,r服从正态分布N(—1,2),“(1,2)，并且X, Y不相关,aX + Y与X +bY 亦不相关，则().
(A) a — b = 1 (B) a—b = 0 (C) a + b = 1 (D) a+b = 0
应选(D).
解 X~N(—1,2),厂N(l,2),于是D(X)= 2,D(K)=2.
又 Cov(X,Y) = 0.Cov(aX + Y^X+bY) = 0.
由协方差的性质有
Cov(aX + Y,X +aY)
=aCov(X, X) + Cov(Y, X) + abCov(X, Y) + bCov(Y、Y)
= aD(X)+bD(Y)
= 2a + 2b
=0
故a + b = 0•故选(D)・
&
设X为禽散性随机变量，且p = P[X=ad(i = l,2……)，则X的期望EX存在的充分
条件是()
0,x <0 0,x<0
-,0 < x < 2
A. F(x) = 3 3 —,2 < x<5 4 B. F(x)=
l,x> 5 7t
x.— < x< 1 4
l,x>l
C. f(x) = < ,x>0
0,x<0 D・ f(x)= sinsK 竺 2
0,其它
lim
ms B. lim
n t s
答案：D
解析：EX存在o 习伽|/川收敛，所以是EX存在的必要条件并不一泄是充分条件.而B
n=l
不能保证收敛，因而正确选项是D
期望和级数知识的综合考察。
7.
设£服从二项分布，其分布律为
P(£ = k) = CjPk(l - P)i,k = 0丄2・・・』
若(n + l)p不是整数，贝吹取何值P(£ = k)最大
A. k = (n + l)P B. k=(n + l)P-l
C・ k = np D・ k= [(n+l)P]
答案：D
解析：
方法一(排除法)：
求k取何值P(S = k)最大，由k为众数的时候最大，易得k必须取整数
贝叽A由题设可知不是整数，A不对
B可由A不对可知，B也不是整数，B不对
C不一左是不是整数，C不对
D为取整函数，为整数，则为正确答案
方法二：
P(€ = k) > P(e = k- 1)
P(£ = k) >P(£ = k+1)
即
C{Pk(l-P)tt-k > C铲】PlQ - P)xk+1
C書Pk(l-卩尸心 > Qk+ipk+lQ 一 p)n-k-i
解得
k >(n+l)P ① C.工00收敛
n=l D.工a®收敛 n=l 由答案必须为整数，将 联立并取整，即为答案D. k=[（n+i）P]
8.
假设A、B、C是三个随机事件，其槪率均大于零，A与B相互独立，A与C相互独立，B
与C互不相容，则下列命题不正确的是（）
与BC相互独立
与BUC相互独立
与B-C相互独立
、BC、CA相互独立
答案：（A）
由A与B相互独立，A与C相互独立，B与C互不相容不能得出A与BC相互独立。
9.
设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则（）•
AX +旳艮从正态分布； B.X2 + Y-服从才分布；
C.X?和厂都服从龙2分布； D.X2/y2服从F分布；
答案：C
解析：题中的X与Y未说明是相互独立的，所以.是不对的，
D.中X与Y都应除以它们各自的自由度。
10.
设平面区域D是由『=丄与直线y = ^x = \.x = e2所围成（如图），二维随机变量
x
M = （XV）在D上服从均匀分布，求（XV）关于X的边缘分布密度在x = 2处的值（D）
A解：区域D的面积为 =2
故 Px(2)=—
本，要使0 = A^\Xi-X\是o■的无偏估计戢，则A的值为(D )
,1 D 1 「兀 n f 7t A. —— B. — C. ―, D. I ------------
y/n n V/i -1 v 2/?(77 -1)
解答：由题意得XjNlW)且相互独立，：二1,2,…,n
而 X{-X =Xl--(Xl + X2+- + Xft) = —Xi--(X2 + X3+-Xn)由题设可知，(X,Y)的概率密度为
1
I心、y) = ] sD
o (A\yeD)
其他
UO')e£>
其他
(X V)关于X的边缘密度为Px⑴=匚"(x, y)dy
(1) 当 x>e2 或 xvl 时，px (x) = 0
(2) 当 1
Px (v)=匚"(x, y)dy = f = 土
于是 J丄 PXM = ]2X
0 \
其他
设总体X服从正态N (//, bb分布, Xn x2, x3>-^ 是来自正态总体X的样
故 E0 = E 切 Xj_XI i=i = nAE\X^X\
-- /? — 1 •>
从而 X\ — X ~ N0——CT2)
n
I 7t A
即A=> ---------- 时，&是(7的无偏估计量，故选择答案D
\ 2n(n -1)
12.
设随机变虽X与Y相互独立，且X服从标准正态分布7(0,1), Y的概率分布为 P{y = 0} = P{y
= l} = l,记尺⑵为随机变^Z = XY的分布函数，则函数尺⑵的间断 2
点个数为 ()
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
答案：B
解析：F.(z) = P{Z
当 z<0 时 ，
尺⑵= P(XY
2 2
当 z>0 时，Fz(z) = P{XY
2 2
因此z = 0为其间断点故 E\X{-X\= r dx
2仇 l)b
n . 15.
13・
设总体X的概率密度为
fW = < 0, 0<%<1
其它
其中«>1是未知参数，XI , X2, …，Xn是取自X的样本,
则参数&的矩估计量是()
A X+l D X+l 「、 2X-1 n 1-X /V • De J • --------------------- - D •
X + 2 2X-1 l — X 2X—1
答案：C
1 1
解析:“i =E (X) = fx(a + l)xadx=(a + 1)J X^/X = ^±L ,解得Q二屯匚1 o a +
2 1 -“i
a的矩佔计量为力二2X J
14・
设总体 §~N(“B),〃~N(“2，&) 其中“0>0刑。>0都未知，
（XjX?,…,乙）（片羽,・・.,｝；）分别是的的样本， 两个样本相互独立，
H°：b；=b；的统计量F二 () m __ n
0：=工(X 厂商,@
J-1 j
0L
(A) Q；
(C) ¥ 丄0；
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(B) H
牛:
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解答：c. F = *
Sy
