求数列的通项公式练习题

通项公式和前n 项和一、新课讲授： 求数列前N 项和的方法 1. 公式法〔1〕等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

〔2〕等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。

〔3〕其他公式较常见公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1答案：当x=1时，S n =1+5+9+······+〔4n-3〕=2n 2-n 当x ≠1时，S n =1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-〔4n-3〕xn]3. 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值4. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211n n 的前n 项和。

4.3.1.1等比数列的概念和通项公式知识点一 等比数列的概念(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q ≠0)表示． (2)符号语言：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，n ∈N *)【重点总结】(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．要点二 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 【重点总结】(1)若G 是a 与b 的等比中项，则G a ＝bG，所以G 2＝ab ，G ＝±ab.(2)与“任意两个实数a ，b 都有唯一的等差中项A ＝a ＋b2”不同，只有当a 、b 同号时a 、b 才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是ab 与－ab ；当a ，b 异号时没有等比中项．(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． 要点三 等比数列的通项公式设等比数列{a n }的公比为q ，则这个等比数列的通项公式是a n ＝11n a q (a 1，q ≠0且n ∈N *)． 【重点总结】(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列． (2)在公式a n ＝a 1q n －1中，有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a 1，q 为两个基本量．(3)对于等比数列{a n }，若q<0，则{a n }中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{a n }各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列为{a n }，且满足a na n －1＝q (n ≥2，q 为不等于0的常数)，则这个数列是等比数列．( )(2)在等比数列{a n }中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）×（4）× 2．(多选题)下列数列不是等比数列的是( )A ．2,22,3×22，… B.1a ，1a 2，1a3，…C ．s －1，(s －1)2，(s －1)3，…D ．0,0,0，… 【答案】ACD【解析】A 中，222≠3×2222，A 不是等比数列；B 中，1a 21a ＝1a 31a 2＝…，B 是等比数列；C 中，当s ＝1时，不是等比数列；当s ≠1时，是等比数列，所以C 不是等比数列；D 显然不是等比数列．故选ACD. 3．已知{a n }是等比数列，a 1＝1，a 4＝22，则a 3＝( ) A ．±2 B ．2 C ．－2 D ．4 【答案】B【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则有1×q 3＝22＝(2)3，∴q ＝2，∴a 3＝a 4q＝2，故选B.4．已知等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________. 【答案】－2n 或(－2)n【解析】∵a 1＝－2，a 3＝－8，∴a 3a 1＝q 2＝－8－2＝4，∴q ＝±2，∴a n ＝(－2)·2n －1或a n ＝(－2)·(－2)n －1，即a n＝－2n 或a n ＝(－2)n .题型一 等比数列通项公式的求法及应用 探究1 基本量的计算 【例1】在等比数列{a n }中 (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .【解析】(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22-53n .(2)方法一：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①得q ＝12，从而a 1＝32.又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 方法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1，得n ＝6. 【重点小结】 (1)由a 7a 4＝q 3便可求出q ，再求出a 1，则a n ＝a 1·q n －1.(2)两个条件列出关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再由a n ＝1求n ；也可以直接先由q ＝a 3＋a 6a 2＋a 5入手．【方法归纳】等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．探究2 等比数列的实际应用【例2】计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低13，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )A ．300元B ．900元C ．2 400元D ．3 600元 【答案】C【解析】降低后的价格构成以23为公比的等比数列，则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×⎝⎛⎭⎫233＝2 400(元)． 【方法技巧】关于等比数列模型的实际应用题，先构造等比数列模型，确定a 1和q ，然后用等比数列的知识求解． 【跟踪训练1】(1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q 等于( ) A ．－2 B ．1或－2 C ．1 D ．1或2 【答案】B【解析】a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2q 2＝2q ＋2q 2＝4， 即q 2＋q －2＝0，解得q ＝1或q ＝－2，故选B.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，已知a 1＝6，a 1＋a 2＋a 3＝78，则a 2等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．36 【答案】B【解析】设公比为q ，由已知得6＋6q ＋6q 2＝78， 即q 2＋q －12＝0解得q ＝3或q ＝－4(舍去)． ∴a 2＝6q ＝6×3＝18.故选B.(3)某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍． 【答案】1.259【解析】设这个林场今年的树木总量是m ，第n 年末的树木总量为a n ，则a n ＋1＝a n ＋a n ×25%＝1.25a n . 则a n ＋1a n＝1.25，则数列{a n }是公比q ＝1.25的等比数列． 则a 10＝a 1q 9＝1.259 m.所以a 10a 1＝1.259.题型二 等比中项【例3】已知等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．【解析】设该等比数列的公比为q ，首项为a 1， 因为a 2－a 5＝42，所以q ≠1，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168a 1q －a 1q 4＝42， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝168a 1q (1－q 3)＝42①②因为1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2)，所以由②除以①，得q (1－q )＝14.所以q ＝12.所以a 1＝4212－⎝⎛⎭⎫124＝96.若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝⎛⎭⎫1210＝9. 所以a 5，a 7的等比中项是±3. 【方法归纳】(1)首项a 1和q 是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法． (2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项． 【跟踪训练2】如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【解析】∵－1，a ，b ，c ，－9成等比数列， ∴a 2＝(－1)×b ，b 2＝(－1)×(－9)＝9 ∴b <0，∴b ＝－3.又b 2＝ac ，∴ac ＝9.故选B.题型三 等比数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝13(a 1－1)＝a 1，解得：a 1＝－12，当n ＝2时，S 2＝13(a 2－1)＝a 1＋a 2，解得a 2＝14.(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．【变式探究1】将本例中条件换为“数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1”，求证：{a n ＋1}成等比数列，并求a n .【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2×2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n －1.【变式探究2】将本例中的条件换为“数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1”，求a n . 【解析】令a n ＋1－A ·⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －A ·⎝⎛⎭⎫12n ，则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝⎛⎭⎫12n ＋1. 由已知条件知A3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －3×⎝⎛⎭⎫12n . 又a 1－3×⎝⎛⎭⎫121＝－23≠0， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －3×⎝⎛⎭⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列． 于是a n －3×⎝⎛⎭⎫12n ＝－23×⎝⎛⎭⎫13n －1，故a n ＝3×⎝⎛⎭⎫12n －2×⎝⎛⎭⎫13n . 【方法归纳】判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是常数)或a na n －1＝q (q 是常数，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列． 【易错辨析】忽略等比数列各项的符号规律致错【例5】在等比数列{a n }中，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．－27 【答案】B【解析】由等比中项的性质得a 27＝a 5a 9＝81，∴a 7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a 7＝9，故选B. 【易错警示】 1. 出错原因没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得a 7＝±9，错选A. 2. 纠错心得在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题时要小心谨慎，以防上当.一、单选题1．已知等比数列{}n a 中，3a 是1a ，2a 的等差中项，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．12-或1B ．12-C ．12D ．1【答案】A【分析】首先根据题意得到3122a a a =+，从而得到2210q q --=，再解方程即可. 【解析】由题知：3122a a a =+，所以221q q =+，即2210q q --=，解得12q =-或1q =.故选：A2．已知等比数列{}n a 满足2512,4a a ==，则公比q =（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】B 【分析】由352a a q =即可求出．【解析】 352a a q =，即3124q =，解得12q =． 故选：B ．3．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35【答案】B 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知可得q 和1a ，代入等比数列的求和公式即可 【解析】因为 2312a a a =23114a q a a ==，42a ∴=，3474452224a a a a q +=⨯=+， 所以11,162q a ==，551161231112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，故选：B.4．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（ ）个． A ．12 B ．24 C ．36 D ．48【答案】D 【分析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，根据题意，由()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩求解. 【解析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，由题意得：123123453493a a a a a a a a ⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，即()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩， 解得132a q =⎧⎨=⎩，所以45148a a q ==，故选：D5．在等比数列{}n a 中，若1614a a a ⋅⋅为定值，n T 为数列{}n a 的前n 项积，则下列各数为定值的是（ ） A ．11T B ．12TC ．13TD ．14T【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式用1,a q 表示出1614a a a ，然后再分别表示出各选项中的积进行判断． 【解析】设公比为q ，则()35133186161411111a a a a a q a q a q a q =⋅==为定值，即61a q 为定值，(1)112(1)211111n n n n n n n T a a q a qa qa q--+++-=⋅==，11555111111()T a q a q ==，不是定值，1211126621211T a q a q ⎛⎫== ⎪⎝⎭，不是定值，13786131311()T a q a q ==，是定值，1413131414221411()T a q a q ⨯==，不是定值．故选：C ．6．在各项都为正数的数列{}n a 中，首项12,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，且()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，则10S =（ ） A ．1022 B ．1024C ．2046D ．2048【答案】C 【分析】当2n ≥时，1n n n a S S -=-，故可以得到()()11220n n n n a a a a --+-=，因为120n n a a -+>，进而得到120n n a a --=，所以{}n a 是等比数列，进而求出102046S = 【解析】由()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，得22140nn a a --=，得()()11220n n n n a a a a --+-=， 又数列{}n a 各项均为正数，且12a =， ∴120n n a a -+>，∴120n n a a --=，即12nn a a -= ∴数列{}n a 是首项12a =，公比2q 的等比数列，其前n 项和()12122212n n nS +-==--，得102046S =，故选：C.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =-，则202120221S a +=（ ）A ．2B ．1C ．12D ．13【答案】B 【分析】由21n n S a =-，根据n a 与n S 的关系，得出{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【解析】由数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，当1n =时，可得11121a S a ==-，所以11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以202120212021122112S -==--，202120222a =，所以2021202211S a +=. 故选：B.8．在等比数列{}n a 中，()23122a a a a +=+，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．2 B ．1 C ．1-或1 D ．1-或2【答案】D 【分析】用1,a q 表示出已知等式后可得结论． 【解析】由题意知()()211210a q q a q +-+=，所以()()120q q +-=，所以1q =-或2q.故选：D .二、多选题9．(多选题)已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（ ） A ．若30a >，则20210a > B ．若40a >，则20200a > C ．若30a >，则20210S > D ．若30a >，则20210S <【答案】ABC【分析】根据等比数列通项式，前n 项和n S 代入即可得出答案. 【解析】设数列{}n a 的公比为q ，当30a >，则2018202130a a q=>，A 正确； 当40a >，则2016202040a a q=>，B 正确. 又当1q ≠时，()20211202111a q qS -=-，当1q <时，2021202110,10,0q qS ->->∴>，当01q <<时，2021202110,10,0q q S ->->∴>，当1q >时，2021202110,10,0q qS -<-<∴>当1q =时，2021120210S a =>，故C 正确，D 不正确. 故选：ABC10．(多选题)若数列{a n }是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有（ ） A ．{ca n }(c 为常数) B ．{a n ＋a n ＋1}C ．{a n ·a n ＋1)D ．{}3n a【答案】CD 【分析】A. 由c ＝0判断；B.q ＝－1时判断；CD.由等比数列的定义判断. 【解析】当c ＝0时，{ca n }不是等比数列，故A 错误；当数列{a n }的公比q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，故B 错误； 由等比数列的定义，选项CD 中的数列是等比数列，故CD 正确. 故选：CD11．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n T 是{}n a 的前n 项之积，227a =，369127a a a ⋅⋅=，则当n T 最大时，n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】AB【分析】 设等比数列{}n a 的公比为q ，求出q 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式，解不等式1n a ≥，求出n 的取值范围，即可得解.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则33696127a a a a ⋅⋅==，可得613a =，13q ∴==，所以，225212733n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 令531n n a -=≥，解得5n ≤，故当n T 最大时，4n =或5.故选：AB.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．在等比数列{}n a 中，1521,8,n a a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，若63k S =，则k =________．【答案】6【分析】由1521,8a a a ==，解得2q求解. 【解析】在等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为1521,8a a a ==，所以48,0q q q =≠，解得2q， 所以126312kk S -==-，解得6k =， 故答案为：613．在正项等比数列{}n a 中，若13a 、312a 、22a 成等差数列，则2021202020232022a a a a -=-________．【答案】19【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据已知条件求出q 的值，再结合等比数列的基本性质可求得结果.【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13a 、312a 、22a 成等差数列，则31232a a a =+，即211132a q a a q =+， 可得2230q q --=，0q >，解得3q =， 因此，()20212020202120202202320222021202019a a a a a a q a a --==--. 故答案为：19. 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若241,4n n a S b a a +==，数列{}n a 的通项公式为___________． 【答案】21()2n n a -= 【分析】当1n =时，求得102b a =>，再由n n S a b =-+，得到11(2)n n S a b n --=-+≥， 相减可得120n n a a --=，结合等比数列的通项公式，求得b ，进而求得数列的通项公式.【解析】由题意，正项数列{}n a 满足241,4n n a S b a a +==， 当1n =时，可得1111a S a a b =++=，则102b a =>， 由n n S a b =-+，则11(2,)n n S a b n n N +--=-+≥∈，两式相减可得120n n a a --=，所以1(22)1,n n n n N a a +-≥=∈， 即数列{}n a 为公比为12的等比数列， 所以2416,4b a a b ==，所以2441461a b a b =⨯=，解得4b =， 所以122b a ==，所以数列{}n a 的通项公式为1121112()()22n n n n a a q ---==⨯=.故答案为：21()2n n a -=.四、解答题15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，172n n S a ++=，2211log log n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2022n m T >对所有*n N ∈恒成立，求满足条件m 的最小整数值.【答案】（1）322n n a -= （2）674【分析】（1）利用递推公式，结合前n 项和与第n 项的关系、等比数列的定义进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可.（1）由题意172n n S a ++=，当2n ≥时，172n n S a -+=，两式相减得：17n n n a a a +=-，即：()182n n a a n +=≥，所以2n ≥时，{}n a 为等比数列又因为1n =时，217272216a S =+=⨯+=， 所以218a a =， 所以，对所有*n N ∈，{}n a 是以2为首项，8为公比的等比数列，所以132282n n n a --=⨯=；（2） 由题知：32312212211log log log 2log 2n n n n n b a a -++==⋅⋅ ()()13231n n =-+11133231n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭所以12111111111134473231331n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭所以111202220221674167433131n T n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以满足2022n m T >恒成立的最小m 值为674.16．等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =. （1）求n a 与n b ；（2）求12111nS S S +++. 【答案】（1）33(1)3n a n n =+-=，13n n b -=（2）()231n n + 【分析】（1）由{}n b 的公比22S q b =及2212b S +=可解得3q =，由11b =则n b 可求，又由22S q b =可得29S =，26a =，213d a a =-=，则n a 可求；（2）由（1）可得3(1)2n n n S +=，则122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故由裂项相消法可求12111nS S S +++. （1） 等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =，222212S q b b S ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3q =，13n n b -=. {}n b 各项均为正数，∴3q =，13n n b -=.由23b =，得29S =，26a =，213d a a =-=，∴()3313n a n n =+-=. （2）3(1)3(1)322n n n n n S n -+=+=， 122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111211111132231n S S S n n ⎛⎫+++=-+-++- ⎪+⎝⎭ 2121313(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝2a n －5，求证{a n －5}是等比数列．【答案】证明见解析【分析】由a n ＋1－5＝2(a n －5)结合等比数列的定义证明即可.【解析】证明：由a n ＋1＝2a n －5得a n ＋1－5＝2(a n －5)． 又a 1－5＝－1≠0，故数列{a n －5}是首项为－1，公比为2的等比数列．。

通项公式和前n 项和一、新课讲解：求数列前N 项和的办法 1. 公式法（1）等差数列前n 项和：特此外,当前n 项的个数为奇数时,211(21)k k S k a ++=+,即前n 项和为中央项乘以项数.这个公式在许多时刻可以简化运算. （2）等比数列前n 项和： q=1时,1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，,特别要留意对公比的评论辩论.（3）其他公式较罕有公式：1.)1(211+==∑=n n k S nk n 2.)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3.213)]1(21[+==∑=n n k S n k n[例1] 已知3log 1log 23-=x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和.[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.2. 错位相减法这种办法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的办法,这种办法重要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和,个中{ a n }.{ b n }分离是等差数列和等比数列.[例3]乞降：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………① [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和.演习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)xn-1答案：当x=1时,S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时,S n = 1 1-x[4x(1-x n ) 1-x+1-（4n-3）x n ]3. 倒序相加法乞降这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的办法,就是将一个数列倒过来分列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 4. 分组法乞降有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列恰当拆开,可分为几个等差.等比或罕有的数列,然后分离乞降,再将其归并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa an ,… 演习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和.5. 裂项法乞降这是分化与组合思惟在数列乞降中的具体运用. 裂项法的本质是将数列中的每项（通项）分化,然后从新组合,使之能消去一些项,最终达到乞降的目标. 通项分化（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10] 在数列{a n }中,11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ,又12+⋅=n n n a a b ,求数列{b n }的前n 项的和. [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项乞降）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立演习：求63135115131+++之和.6. 归并法乞降针对一些特别的数列,将某些项归并在一路就具有某种特别的性质,是以,在求数列的和时,可将这些项放在一路先乞降,然后再求S n .[例12]求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. [例14] 在各项均为正数的等比数列中,若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.7. 运用数列的通项乞降先依据数列的构造及特点进行剖析,找出数列的通项及其特点,然后再运用数列的通项揭示的纪律来求数列的前n 项和,是一个重要的办法. [例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 演习：求5,55,555,…,的前n 项和.以上一个7种办法固然各有其特色,但总的原则是要擅长转变原数列的情势构造,使其能进行消项处理或能运用等差数列或等比数列的乞降公式以及其它已知的根本乞降公式来解决,只要很好地掌控这一纪律,就能使数列乞降化难为易,水到渠成.求数列通项公式的八种办法一.公式法（界说法）依据等差数列.等比数列的界说求通项 二.累加.累乘法1.累加法 实用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥,则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=双方分离相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 知足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式. 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.例2 已知数列{}n a 知足112313n n n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式.解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+双方除以13n +,得111213333n n n n n a a +++=++, 则111213333n n n n n a a +++-=+,故 是以11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯,则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-2.累乘法 实用于： 1()n n a f n a += 若1()n n a f n a +=,则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 双方分离相乘得,1111()nn k a a f k a +==⋅∏例3 已知数列{}n a 知足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式. 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，,所以0n a ≠,则12(1)5n n na n a +=+,故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯三.待定系数法 实用于1()n n a qa f n +=+剖析：经由过程凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+; 解题根本步调： 1.肯定()f n2.设等比数列{}1()n a f n λ+,公比为2λ3.列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+4.比较系数求1λ,2λ5.解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式6.解得数列{}n a 的通项公式例4 已知数列{}n a 中,111,21(2)n n a a a n -==+≥,求数列{}n a 的通项公式. 解法一：121(2),n n a a n -=+≥又{}112,1n a a +=∴+是首项为2,公比为2的等比数列12n n a ∴+=,即21n n a =-解法二：121(2),n n a a n -=+≥两式相减得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥,故数列{}1n n a a +-是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的……例5 已知数列{}n a 知足1112431n n n a a a -+=+⋅=，,求数列{}n a 的通项公式. 解法一：设11123(3n n n n a a λλλ-++=+⋅),比较系数得124,2λλ=-=,则数列{}143n n a --⋅是首项为111435a --⋅=-,公比为2的等比数列, 所以114352n n n a ---⋅=-⋅,即114352n n n a --=⋅-⋅解法二： 双方同时除以13n +得：112243333n n n n a a ++=⋅+,下面解法略留意：例 6 已知数列{}n a 知足21123451n n a a n n a +=+++=，,求数列{}n a 的通项公式.解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ 比较系数得3,10,18x y z ===,所以2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ 由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠,得2310180n a n n +++≠则2123(1)10(1)18231018n n a n n a n n ++++++=+++,故数列2{31018}n a n n +++为认为21311011813132a +⨯+⨯+=+=首项,以2为公比的等比数列,是以2131018322n n a n n -+++=⨯,则42231018n n a n n +=---.留意：形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解剖析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的情势,比较系数可求得λ,数列{}1n n a a λ++为等比数列.例7 已知数列{}n a 知足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=,求数列{}n a 的通项公式. 解：设211(5)()n n n n a a a a λλλ++++=++比较系数得3λ=-或2λ=-,无妨取2λ=-,则21123(2)n n n n a a a a +++-=-,则{}12n n a a +-是首项为4,公比为3的等比数列11243n n n a a -+∴-=⋅,所以114352n n n a --=⋅-⋅四.迭代法例8 已知数列{}n a 知足3(1)2115nn n n a a a ++==，,求数列{}n a 的通项公式.解：因为3(1)21nn n n a a ++=,所以又15a =,所以数列{}n a 的通项公式为(1)123!25n n n n n a --⋅⋅=.注：本题还可分解运用累乘法和对数变换法求数列的通项公式. 五.变性转化法1.对数变换法 实用于指数关系的递推公式例9 已知数列{}n a 知足5123n n n a a +=⨯⨯,17a =,求数列{}n a 的通项公式.解：因为511237n n na a a +=⨯⨯=，,所以100n n a a +>>，. 双方取经常运用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++ 设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++（同类型四） 比较系数得,lg3lg3lg 2,4164x y ==+ 由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg 1lg 71041644164a +⨯++=+⨯++≠,得lg3lg3lg 2lg 04164n a n +++≠, 所以数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++是认为lg3lg3lg 2lg 74164+++首项,以5为公比的等比数列,则1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164n n a n -+++=+++,是以11111111116164444111115161644445415151164lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)54164464[lg(7332)]5lg(332)lg(7332)lg(332)lg(732)n n n n n n n n n n a n --------=+++---=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅则11541515164732n n n n n a -----=⨯⨯.2.倒数变换法 实用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例10 已知数列{}n a 知足112,12nn n a a a a +==+,求数列{}n a 的通项公式. 解：求倒数得11111111111,,22n n n n n n a a a a a a +++⎧⎫=+∴-=∴-⎨⎬⎩⎭为等差数列,首项111a =,公役为12,112(1),21n n n a a n ∴=+∴=+ 3.换元法 实用于含根式的递推关系 例11 已知数列{}n a知足111(14116n n a a a +=+=，,求数列{}n a 的通项公式.解：令n b =则21(1)24n n a b =-代入11(1416n n a a +=+得 即2214(3)n n b b +=+因为0n b =≥,则123n n b b +=+,即11322n n b b +=+, 可化为113(3)2n n b b +-=-,所所以{3}n b -认为13332b -===首项,认为21公比的等比数列,是以121132()()22n n n b ---==,则21()32n n b -=+,21()32n -=+,得2111()()3423n n n a =++.六.数学归纳法 经由过程首项和递推关系式求出数列的前n 项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳法加以证实.例12 已知数列{}n a 知足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，,求数列{}n a 的通项公式.解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++及189a =,得由此可猜测22(21)1(21)n n a n +-=+,下面用数学归纳法证实这个结论. （1）当1n =时,212(211)18(211)9a ⨯+-==⨯+,所以等式成立.（2）假设当n k =时等式成立,即22(21)1(21)k k a k +-=+,则当1n k =+时, 由此可知,当1n k =+时等式也成立.依据（1）,（2）可知,等式对任何*n N ∈都成立. 七.阶差法1.递推公式中既有n S ,又有n a 剖析：把已知关系经由过程11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩转化为数列{}n a 或n S 的递推关系,然后采取响应的办法求解.例13 已知数列{}n a 的各项均为正数,且前n 项和n S 知足1(1)(2)6n n n S a a =++,且249,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的通项公式. 解：∵对随意率性n N +∈有1(1)(2)6n n n S a a =++⑴ ∴当n=1时,11111(1)(2)6S a a a ==++,解得11a =或12a =当n ≥2时,1111(1)(2)6n n n S a a ---=++⑵ ⑴-⑵整顿得：11()(3)0n n n n a a a a --+--= ∵{}n a 各项均为正数,∴13n n a a --= 当11a =时,32n a n =-,此时2429a a a =成立当12a =时,31n a n =-,此时2429a a a =不成立,故12a =舍去 所以32n a n =-2.对无限递推数列例14 已知数列{}n a 知足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，,求{}n a 的通项公式.解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥① 所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+② 用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥ 故11(2)n na n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=③由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥,21222n a a a ==+取得,则21a a =,又知11a =,则21a =,代入③得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=. 所以,{}n a 的通项公式为!.2n n a =八.不动点法不动点的界说：函数()f x 的界说域为D ,若消失0()f x x D ∈,使00()f x x =成立,则称0x 为()f x 的不动点或称00(,())x f x 为函数()f x 的不动点.剖析：由()f x x =求出不动点0x ,在递推公式双方同时减去0x ,在变形求解.类型一：形如1 n n a qa d +=+例 15 已知数列{}n a 中,111,21(2)n n a a a n -==+≥,求数列{}n a 的通项公式. 解：递推关系是对应得递归函数为()21f x x =+,由()f x x =得,不动点为-1 ∴112(1)n n a a ++=+,…… 类型二：形如1n n n a a ba c a d+⋅+=⋅+剖析：递归函数为()a x bf x c x d⋅+=⋅+（1）如有两个相异的不动点p,q 时,将递归关系式双方分离减去不动点p,q,再将两式相除得11n nn n a p a pk a q a q++--=⋅--,个中a pck a qc-=-,∴111111()()()()n n n a q pq k a p pq a a p k a q -----=--- （2）如有两个雷同的不动点p,则将递归关系式双方减去不动点p,然后用1除,得111n n k a p a p +=+--,个中2ck a d=+.例16 已知数列{}n a 知足112124441n n n a a a a +-==+，,求数列{}n a 的通项公式.解：令212441x x x -=+,得2420240x x -+=,则1223x x ==，是函数2124()41x f x x -=+的两个不动点.因为112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+.所以数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是认为112422343a a --==--首项,认为913公比的等比数列,故12132()39n n n a a --=-,则113132()19n n a -=+-.。

数列的通项公式的求法训练题一、选择题(每小题5分,共12个小题,共60分)1、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ）A 、a n = 1－(－1)nB 、a n =1＋(－1)n ＋1C 、2sin 22πn a n = D 、a n =(1－cosn π)＋(n －1)(n －2)2、等差数列{a n }中，d 为公差，前n 项 和为s n =-n 2则（ ）A 、a n =2n-1 d=-2B 、 a n =2n-1 d=2C 、 a n = -2n+1 d=-2D 、 a n = -2n+1 d=23、若数列{}n a 的前n 项和为322+-=n n S n ，那么这个数列的前3项为（ ）A 、-1，1，3B 、2，1，0C 、2、1、3D 、2、1、64、数列{}n a 中，),1(11100≥+++==-n a a a a a n n ，则当1≥n 时，=n a （ ）A 、n2 B 、)1(21+n n C 、12-n D 、12-n5、数列-1，7，-13，19，…的通项公式（ ）A 、2n-1B 、-6n+5C 、(-1)n ×6n-5D 、(-1)n(6n-5) 6、数列{n a }满足1a =1, 2a =32，且n n n a a a 21111=++- (n ≥2)，则n a 等于（ ）． A 、12+n B 、(32)n -1 C 、(32)n D 、22+n7、在等比数列{a n }中．前n 项的和为s n ，且s n =2n -1则a 12+a 22+···+a n 2等于 ( ) A 、 (2n -1)2 B 、31(2n -1)2 C 、 4n -1 D 、31(4n -1) 8、已知数列{n a }中，)(2,211*+∈+==N n n a a a n n ，则100a 的值是（ ） A 、9900 B 、9902 C 、9904 D 、11000 9、已知数列{a n }中，,21,111nnn a a a a +==+则这个数列的第n 项n a 为（ ）A 、2n-1B 、2n+1C 、121-n D 、121+n 10、已知数列{a n }中，对任意的*∈N n 满足422++=n n n a a a ,且4,273==a a ，则15a 的值是（ ）A 、8B 、12C 、16D 、32 11、设函数f 定义如下，数列{x n }满足x 0=5,且对任意自然数均有x n+1=f(x n ),则x 2005的值为（ ）X 1 2 3 4 5 f(x)41352A 、1B 、2C 、4D 、5 12、把正整数按下图所示的规律排序:1→2 5→6 9→10… ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ 3 →4 7→8 11…则从2004到2006的箭头方向依次为( )↓ ↑ 2005→ →2005 A 、2005→ B 、 →2005 C 、 ↓ D 、 ↓一、选择题答题卡（请将选择题的答案直接填入下面的表格中） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(每小题4分,共4个小题,共16分)13、12,311+=-=-n n a a a ，则=n a ________________. 14、设数列{na }是首项为1的正数数列，且),3,2,1(0)1(1221 ==+-+++n a a na a n n n n n ，则它的通项公式是_______________.15、设数列{n a }满足)3)((31,313421121≥-=-==---n a a a a a a n n n n ，，则数列{n a }的通项公式为n a ＝_________________.16、nn n a a a 23,111+==+，则=n a _________________.三、解答题(共24分)17、(12分)写出下列数列的一个通项公式 （1）32-，83，154-，245，356-，… （2） ，，，，17161095421（3）7，77，777，7777， (4)23，45，169，25617,…18已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a .19 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

高中数学等差数列的通项公式训练练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A.第13项B.第14项C.第15项D.第16项2. 已知等差数列{a n}，a2=4，a6+a7=6+a9，则公差d=（）A.2B.1C.−2D.−13. 已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+12(n∈N∗)，则a99的值为( )A.48B.49C.50D.514. 在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a9−a10的值为( )A.6B.8C.12D.135. 数列{a n}中，若a1=1，a n+1=a n+4，则下列各数中是{a n}中某一项的是()A.2007B.2008C.2009D.20106. 若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则d1d2等于（）A.3 2B.23C.43D.347. 在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a na n+2(n∈N∗)，则a5等于( )A.2 5B.13C.23D.128. 已知等差数列{a n}的公差d为正数，a1=1，2(a n a n+1+1)=tn(1+a n)，t为常数，则a n=( )A.2n−1B.4n−3C.5n−4D.n9. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为()A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸10. 一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是()A. B. C. D.11. 等差数列{a n}，a1=0，公差d=1，则a8=________．712. 在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则a n=________．13. 等差数列{a n}中，若a3+a5=4，则a4=________．14. 已知数列{a n}的前n项和S n=n2−9n，则其通项a n=________．15. 已知等差数列{a n}，a n=4n−3，则首项a1为________，公差d为________．16. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为________．17. “欢欢”按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为{a n}，则数到2008时对应的指头是________，数列{a n}的通项公式a n=________．（填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）．18. 表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字70在表中出现的次数为________19. 已知数列的前n项和为，，，则________．20. 已知数列满足，，若，则数列的前n项和________．21. 数列{a n}中，a1=8，a4=2且满足a n+2=2a n+1−a n(n∈N∗)，数列{a n}的通项公式________．22. 在等差数列{a n}中，已知a4+a6=28，a7=20，求a3和公差d．23. 数列{a n}是等差数列，a1=f(x+1)，a2=0，a3=f(x−1)，其中f(x)=x2−4x+2，求通项公式a n．24. 设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)已知数列{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．25. 已知数列{a n},|b n}满足a1=2,b1=1 ,且当n≥2a n=23a n−1+13b n−1+2b n=1 3a n−1+23b n−1+2(1)令c n=a n+b n,d n=a n−b n ,证明：{c n}为等差数列，{d n}为等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式及前π项和S n26. 已知公差不为零的等差数列{a n}各项均为正数，其前n项和为S n，满足2S2=a2(a2+1)且a1,a2,a4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n+1⋅2a n，求数列{b n}的前n项和为T n.27. 已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=4，a5是a2与a11的等比中项．(1)求S n；(2)设数列{b n}满足b1=a2, b n+1=b n+3×2a n，求数列{b n}的通项公式．28. 已知递增等差数列{a n}满足a1+a5=4，前3项的积为8，求等差数列{a n}的通项公式．29. 在等差数列{a n}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d，a20，a n．30. 已知数列{a n}，对于任意n∈N∗，都有a n=n2−bn，是否存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列？这样的整数是否唯一？是否存在最大的整数？31. 在等差数列{a n}中，a2=3，a9=17，求a19+a20+a21的值．32. 在等差数列{a n}中，已知a3=8，且满足a10>21，a12<27，若d∈Z，求公差d的值．33. 已知数列{a n}为等差数列，且a4=9，a9=−6．（1）求通项a n；（2）求a12的值．34. 已知：公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3a4=117，a2+a5= 22．求数列{a n}的通项公式．35. 设无穷等差数列{a n}的前n项和为S n，求所有的无穷等差数列{a n}，使得对于一切正整数k都有S k3=(S k)3成立．36. 在等差数列{a n}中，公差d≠0，己知数列a k1，a k2，a k3，…a kn…是等比数列，其中k1=1，k2=7，k3=25．（1）求数列{k n}的通项公式；（2）若a1=9，b n=√a k n6+√k n2，S n=b12+b22+b32...+b n2，T n=1b12+1b22+1b32...+1b n2，试判断{S n+T n}的前100项中有多少项是能被4整除的整数．37. 设正数数列的前项和为，对于任意，是和的等差中项. （1）求数列的通项公式；（2）设，是的前项和，是否存在常数，对任意，使恒成立？若存在，求取值范围；若不存在，说明理由.38. 记等差数列的前项和，已知.（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围.39. 观察下表：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，……问：（1）此表第行的第一个数与最后一个数分别是多少？（2）此表第行的各个数之和是多少？（3）2019是第几行的第几个数？40. 等差数列{a n}中，d=2，a1=5，S n=60，求n及a n．参考答案与试题解析高中数学等差数列的通项公式训练练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】等差数列的通项公式【解析】根据等差数列51、47、43，…，得到等差数列的通项公式，让通项小于0得到解集，求出解集中最小的正整数解即可．【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47−51=−4，首项为51，所以通项a n=51+(n−1)×(−4)=55−4n，所以令55−4n<0解得n>554因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2.【答案】B【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）利用等差数列的性质进行解题即可.【解答】解：已知数列{a n}是等差数列，则a2=a1+d=4，a6+a7=2a1+11d=6+a1+8d，解得d=1 .故选B .3.【答案】D【考点】等差数列的通项公式【解析】的等差数列，由此能求出a99．由已知得数列{a n}是首项为a1=2，公差为a n+1−a n=12【解答】(n∈N∗)，解：∵在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+12∴数列{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，2∴a99=2+98×1=51．2故选D．4.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】由已知条件利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a1+3a8+a15=60，∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=5(a1+7d)=60，∴a1+7d=12，∴2a9−a10=2(a1+8d)−(a1+9d)=a1+7d=12.故选C.5.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的定义判断，再用通项公式求解即可．【解答】解：∵数列{a n}中有a1=1，a n+1=a n+4，∴数列{a n}为等差数列，且a1=1，公差d=4，即通项公式为：a n=4n−3，∵4n−3=2009，4n=2012，∴n=503且n=503是整数.故选C.6.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】由a，x1，x2，b为等差数列，根据等差数列的性质得到b=a+3d1，表示出d1，同理由a，y1，y2，y3，b为等差数列，根据等差数列的性质表示出d2，即可求出d1与d2的比值．【解答】解：∵a，x1，x2，b为等差数列，且公差为d1，∴b=a+3d1，即d1=b−a，3∵a，y1，y2，y3，b也为等差数列，且公差为d2，∴b=a+4d2，即d2=b−a，4则d 1d 2=43．故选C 7.【答案】 B【考点】等差数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由a n+1=2a nan+2，得1a n+1=a n +22a n=1a n+12，又a 1=1，所以数列{1a n}是以1为首项，12为公差的等差数列， 所以1a 5=1+4×12=3，所以a 5=13．故选B ． 8. 【答案】 A【考点】等差数列的通项公式 【解析】根据数列的递推关系式，先求出t ＝4，即可得到{a 2n−1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n−1＝4n −3，{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n −1，问题得以解决． 【解答】解：由题设2(a n a n+1+1)=tn(1+a n )，即a n a n+1+1=tS n ，可得a n+1a n+2+1=tS n+1， 两式相减得a n+1(a n+2−a n )=ta n+1， 所以a n+2−a n =t .由2(a 1a 2+1)=t(1+a 1) 可得a 2=t −1，由a n+2−a n =t 可知a 3=t +1.因为{a n }为等差数列，所以2a 2=a 1+a 3， 解得t =4，故a n+2−a n =4，由此可得{a 2n−1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n−1=4n −3， {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n =4n −1， 所以a n =2n −1. 故选A . 9. 【答案】 B【考点】等差数列的通项公式【解析】从冬至日起各节气日影长设为{a n}，可得{a n}为等差数列，根据已知结合前八项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解．【解答】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{a n}S n是其前？项和，则尺，所以a5=9.5尺，由题S S=9(a1+a5)24+a7=3a4=31.5所以a4=10.5，所以公差d=a5−a4=−1所以a12=a5+7d=2.5尺．故选：B．10.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】设等差数列{a n}的公差为|da4=23+5d,a7=23+6d，又：数列前六项均为正数，第七项起为负数，23+5d>0.23+6d<0−235<d<−236，又…数列是公差为整数的等差数列，d=−4，故选C．【解答】此题暂无解答二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】1【考点】等差数列的通项公式【解析】直接由等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}，由a1=0，公差d=17，得a8=a1+7d=0+7×17=1．故答案为：1．12.【答案】2n−3【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=1，a4=5，∴{a1+d=1a1+3d=5，解得{a1=−1d=2．∴a n=−1+2(n−1)=2n−3．故答案为2n−3．13.【答案】2【考点】等差数列的通项公式【解析】根据等差数列的定义和性质，结合题意可得2a4=a3+a5=4，由此解得a4的值．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3+a5=4，∴2a4=a3+a5=4，解得a4=2，故答案为：2．14.【答案】2n−10【考点】等差数列的通项公式【解析】利用递推关系a n={S1n=1S n−S n−1n≥2可求数列的通项公式【解答】解：∵S n=n2−9n，∴a1=S1=−8n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−9n−(n−1)2+9(n−1)=2n−10 n=1，a1=8适合上式故答案为：2n−1015.【答案】1,4【考点】等差数列的通项公式【解析】根据等差数列的通项公式求出公差d，令n=1求得首项a1．【解答】解：由题意得，等差数列{a n}，a n=4n−3，则公差d=4，令n=1得首项a1=1，故答案为：1、4．16.【答案】429等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．【解答】已知数列{a n}为等差数列，其中，a1＝5，a n＝1，S n＝90．，1＝5+(n−1)d，设公差为d，则90=n(5+1)2．解得：d=−42917.【答案】食指,4n−1【考点】等差数列的通项公式【解析】注意到数1，9，17，25，，分别都对应着大拇指，且1+8×(251−1)=2001，因此数到2008时对应的指头是食指．对应中指的数依次是：3，7，11，15，，因此数列{a n}是3为首项4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可得到答案．【解答】解：∵数1，9，17，25，，分别都对应着大拇指，且1+8×(251−1)=2001，∴数到2008时对应的指头是食指．∵对应中指的数依次是：3，7，11，15，因此数列{a n}的通项公式是a n=3+(n−1)×4=4n−1．故答案为：食指，4n−118.【答案】4【考点】等差数列的通项公式【解析】第1行数组成的数列A1j(j＝1, 2,…)是以2为首项，公差为1的等差数列，第j列数组成的数列Aij(i＝1, 2,…)是以j+1为首项，公差为j的等差数列，求出通项公式，就求出结果．【解答】第i行第j列的数记为Aij．那么每一组i与j的组合就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j(j＝1, 2,…)是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j＝2+(j−1)×1＝j+1，所以第j列数组成的数列Aij(i＝1, 2,…)是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以Aij＝(j+1)+(i−1)×j＝ij+1．所以ij＝69＝1×69＝3×23＝23×3＝69×1＝81．所以表中的数70共出现54，19.【答案】________、1,2n—1【考点】等差数列的通项公式根据a n−1=S n+1−S n ，代入后等式两边同时除以S n+1S n+1．即可得【解答】因为a n−1=S n+1−S n则a n−1+2S n+1S n =0可化简为S n−1−S n +2S n−1S n =0等式两边同时除以S n−1S n可得1S n −1S n+1+2=0．即1S n−1−1S n =2 所以数列为等差数列，首项1S 1=1a 1=1，公差d =2 所以1S n=1+(n −1)×2=2n −1 即S n =12n−1故答案为：12n−1I =加加】本题考查了数列的综合应用，通项公式与前n 项和公式的关系，等差数列通项公式的求法，属于中档题．20.【答案】s _、4”1−4,3【考点】等差数列的通项公式【解析】a n+1n+1−a n n =2，求得an n 的通项，进而求得a n =2n 2，得b n 通项公式，利用等比数列求和即可．【解答】由题为等差数列，a n n =a 11+n −1×2=2na n =2n 2∴ b n =22n ∴ S n =4(1−42)1−4=4n−1−43，故答案为4n+1−43三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ）21.【答案】a n =10−2n【考点】等差数列的通项公式【解析】本题考查等差数列通项公式，由条件 a n+2=2a n+1−a n 可得 a n+2−a n+1=a n+1−a n ，从而{a n }为等差数列，利用 a 1=8， a 4=2 可求公差，从而可求数列{a n }的通项公式．【解答】解：由题意， a n+2−a n+1=a n+1−a n ，∴ 数列 {a n } 为等差数列，设公差为d ，由a 1=8，a 4=2 ，得8+3d =2 ，解得d =−2，∴ a n =8−2(n −1)=10−2n ．故答案为：a n =10−2n ．22.【答案】解：在等差数列{a n }中，∵ a 4+a 6=28，a 7=20，∴ 由题意得{a 3+d +a 3+3d =28①，a 3+4d =20②，由①②解得{a 3=8，d =3.【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n }中，∵ a 4+a 6=28，a 7=20，∴ 由题意得{a 3+d +a 3+3d =28①，a 3+4d =20②，由①②解得{a 3=8，d =3.23.【答案】解：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1+a 3=2a 2，即f(x +1)+f(x −1)=0，又f(x)=x 2−4x +2，所以(x +1)2−4(x +1)+2+(x −1)2−4(x −1)+2=0，整理得x 2−4x +3=0，解得x =1，或x =3．当x =1时，a 1=f(x +1)=f(2)=22−4×2+2=−2，d =a 2−a 1=0−(−2)=2，∴ a n =a 1+(n −1)d =−2+2(n −1)=2n −4．当x =3时，a 1=f(x +1)=f(4)=42−4×4+2=2，d =0−2=−2，∴ a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×(−2)=4−2n ．所以，数列{a n }的通项公式为2n −4或4−2n ．【考点】等差数列的通项公式【解析】题目给出了一个等差数列的前3项，根据等差中项概念列式a 1+a 3=2a 2，然后把a 1和a 3代入得到关于x 的方程，解方程，求出x 后再分别代回a 1=f(x +1)求a 1，则d 也可求，所以通项公式可求．【解答】解：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1+a 3=2a 2，即f(x +1)+f(x −1)=0，又f(x)=x 2−4x +2，所以(x +1)2−4(x +1)+2+(x −1)2−4(x −1)+2=0，整理得x 2−4x +3=0，解得x =1，或x =3．当x =1时，a 1=f(x +1)=f(2)=22−4×2+2=−2，d =a 2−a 1=0−(−2)=2，∴ a n =a 1+(n −1)d =−2+2(n −1)=2n −4．当x =3时，a 1=f(x +1)=f(4)=42−4×4+2=2，d =0−2=−2，∴ a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×(−2)=4−2n ．所以，数列{a n }的通项公式为2n −4或4−2n ．24.【答案】解：(1)由题设可知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n =3n−1，S n =1−3n 1−3=3n −12.(2)设数列{b n }的公差为d ,∵ b 1=a 2=3，b 3=a 1+a 2+a 3=S 3=13，∴ b 3−b 1=10=2d ，∴ d =5，∴ b n =5n −2.【考点】等比数列的前n 项和等比数列的通项公式等差数列的通项公式【解析】（1）判断数列是等比数列，然后求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（2）利用数列的关系求出公差，然后求解通项公式．【解答】解：(1)由题设可知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n =3n−1，S n =1−3n 1−3=3n −12.(2)设数列{b n }的公差为d ,∵ b 1=a 2=3，b 3=a 1+a 2+a 3=S 3=13，∴ b 3−b 1=10=2d ，∴ d =5，∴ b n =5n −2.25.【答案】解：（1）数列{a n }，{b n }满足a 1=2,b 1=1,且 {a n =23a n−1+13b n−1+2b n =13a n−1+23b n−1+2(n ≥2), ∴ a n +b n =(a n−1+b n−1)+4(n ≥2)，因为c n =a n +b n ，即c n =c n−1+4(n ≥2)，∴ {c n }是首项为a 1+b 1=3, 公差为4的等差数列．且通项公式为c n =3+4(n −1)=4n −1,而a n −b n =(13a n−1−13b n−1)=13(a n−1−b n−1)(n ≥2)，因为d n =a n −b n ，即d n =13d n−1(n ≥2)， ∴ {d n }是首项为a 1−b 1=1, 公比为13的等比数列．且通项公式为d n =(13)n−1. （2）由（1）得到 {a n +b n =4n −1a n −b n =(13)n−1, 解得a n =12×3n−1+2n −12,∴ S n = 12×[1−(13)n ]1−13+2×n(n+1)2-12n =34−14×3+n 2+n 2． 【考点】由递推关系证明数列是等差数列等差数列与等比数列的综合数列的求和等比数列的通项公式等差数列的通项公式【解析】由题得到a n +b n =(a n−1+b n−1)+4(n ≥2)，即可得到c n =c n−1+4(n ≥2)，即可知{c n }是首项为a 1+b 1=3, 公差为4的等差数列．而a n −b n =13(a n−1−b n−1)(n ≥2)，即可得d n =13d n−1(n ≥2)，可知{d n }是首项为a 1−b 1=1, 公比为13的等比数列．由（1）得到 {a n +b n =4n −1a n −b n =(13)n−1,即可得到a n =12×3+2n −12,再利用分组转换求和法即可得解S n ．【解答】解：（1）数列{a n }，{b n }满足a 1=2,b 1=1,且 {a n =23a n−1+13b n−1+2b n =13a n−1+23b n−1+2(n ≥2), ∴ a n +b n =(a n−1+b n−1)+4(n ≥2)，因为c n =a n +b n ，即c n =c n−1+4(n ≥2)，∴ {c n }是首项为a 1+b 1=3, 公差为4的等差数列．且通项公式为c n =3+4(n −1)=4n −1,而a n −b n =(13a n−1−13b n−1)=13(a n−1−b n−1)(n ≥2)，因为d n =a n −b n ，即d n =13d n−1(n ≥2)， ∴ {d n }是首项为a 1−b 1=1, 公比为13的等比数列．且通项公式为d n =(13)n−1. （2）由（1）得到 {a n +b n =4n −1a n −b n =(13)n−1, 解得a n =12×3n−1+2n −12,∴ S n =12×[1−(13)n ]1−13+2×n(n+1)2-12n =34−14×3+n 2+n 2． 26.【答案】解：(1)设等差数列的公差为d ，由题意得{2S 2=a 2(a 2+1)，a 22=a 1a 4， 整理{a 12+2a 1d +d 2=3a 1+d ，a 1=d ，解得a 1=d =1，所以a n =n .(2)由(1)得b n =(n +1)2n ，则T n =2×21+3×22+4×23+⋯+(n +1)×2n ，2T n =2×22+3×23+4×24+⋯+(n +1)×2n+1，两式作差整理得，T n =n ⋅2n+1.【考点】等比中项数列的求和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设等差数列的公差为d ，由题意得{2S 2=a 2(a 2+1)，a 22=a 1a 4，整理{a 12+2a 1d +d 2=3a 1+d ，a 1=d ，解得a 1=d =1，所以a n =n .(2)由(1)得b n =(n +1)2n ，则T n =2×21+3×22+4×23+⋯+(n +1)×2n ，2T n =2×22+3×23+4×24+⋯+(n +1)×2n+1，两式作差整理得，T n =n ⋅2n+1.27.【答案】解：(1)由题意可得{a 1+2d =4，(a 1+4d )2=(a 1+d )(a 1+10d )，即{a 1+2d =4,2d 2=a 1d.又因为d ≠0，所以{a 1=2，d =1，所以a n =n +1，所以S n =n (2+n+1)2=n 2+3n 2；(2)由条件及(1)可得b 1=a 2=3．由已知得b n+1−b n =3×2n+1，b n −b n−1=3×2n (n ≥2)．所以b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b 2−b 1)+b 1=3(2n +2n−1+2n−2+⋯+22)+3=3×2n+1−9(n ≥2).又b 1=3满足上式，所以b n =3×2n+1−9．【考点】等比中项数列递推式等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：(1)由题意可得{a 1+2d =4，(a 1+4d )2=(a 1+d )(a 1+10d )，即{a 1+2d =4,2d 2=a 1d.又因为d ≠0，所以{a 1=2，d =1，所以a n =n +1，所以S n =n (2+n+1)2=n 2+3n 2；(2)由条件及(1)可得b 1=a 2=3．由已知得b n+1−b n =3×2n+1，b n −b n−1=3×2n (n ≥2)．所以b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b 2−b 1)+b 1=3(2n +2n−1+2n−2+⋯+22)+3=3×2n+1−9(n ≥2).又b 1=3满足上式，所以b n =3×2n+1−9．28.【答案】解：∵ 递增等差数列{a n }满足a 1+a 5=4，前3项的积为8，∴ {a 1+a 1+4d =4a 1(a 1+d)(a 1+2d)=8d >0，解得a 1=−4，d =3，∴ 等差数列{a n }的通项公式a n =−4+(n −1)×3=3n −7．【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出等差数列{a n }的通项公式．【解答】解：∵ 递增等差数列{a n }满足a 1+a 5=4，前3项的积为8，∴ {a 1+a 1+4d =4a 1(a 1+d)(a 1+2d)=8d >0，解得a 1=−4，d =3，∴ 等差数列{a n }的通项公式a n =−4+(n −1)×3=3n −7．29.【答案】解：解法一：∵ a 5=10，a 12=31，则{a 1+4d =10a 1+11d =31⇒{a 1=−2d =3∴ a n =a 1+(n −1)d =3n −5，a 20=a 1+19d =55解法二：∵ a 12=a 5+7d ⇒31=10+7d ⇒d =3∴ a 20=a 12+8d =55，a n =a 12+(n −12)d =3n −5【考点】等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】略30.【答案】解：∵数列{a n}，对于任意n∈N∗，都有a n=n2−bn，假设存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，∴a n+1−a n=[(n+1)2−b(n+1)]−(n2−bn)=2n+1−b>0，∴存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，且m=2n+1，n∈N∗．满足条件的整数m不是唯一的，但不存在最大值．【考点】等差数列的通项公式【解析】假设存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，则a n+1−a n=[(n+ 1)2−b(n+1)]−(n2−bn)=2n+1−b>0，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}，对于任意n∈N∗，都有a n=n2−bn，假设存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，∴a n+1−a n=[(n+1)2−b(n+1)]−(n2−bn)=2n+1−b>0，∴存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，且m=2n+1，n∈N∗．满足条件的整数m不是唯一的，但不存在最大值．31.【答案】解：∵等差数列{a n}中，a2=3，a9=17∴d=a9−a29−2=17−37=2∴a20=a2+18d=3+36=39∵a19+a20+a21=3a20=117【考点】等差数列的通项公式【解析】由已知结合公式d=a9−a29−2可求d，然后利用等差数列的性质及通项公式即可求解【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=3，a9=17∴d=a9−a29−2=17−37=2∴a20=a2+18d=3+36=39∵a19+a20+a21=3a20=11732.【答案】解：∵等差数列{a n}中，a3=8，且满足a10>21，a12<27，∴{a1+2d=8a1+9d>21a1+11d<27，∴{8−2d+9d>218−2d+11d<27，解得137<d <199．∵ d ∈Z ，∴ 公差d =2． 【考点】等差数列的通项公式 【解析】由已知条件利用等差数列通项公式能求出公差d 的值． 【解答】解：∵ 等差数列{a n }中，a 3=8，且满足a 10>21，a 12<27， ∴ {a 1+2d =8a 1+9d >21a 1+11d <27，∴ {8−2d +9d >218−2d +11d <27，解得137<d <199．∵ d ∈Z ，∴ 公差d =2． 33.【答案】 解：（1）∵ 数列{a n }为等差数列，且a 4=9，a 9=−6， ∴ {a 1+3d =9a 1+8d =−6，解得a 1=18，d =−3，∴ 通项a n =18+(n −1)×(−3)=21−3n ． （2）a 12=21−3×12=−15．【考点】等差数列的通项公式 【解析】（1）利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出通项a n ． （2）由通项通项a n ，能求出a 12的值．【解答】 解：（1）∵ 数列{a n }为等差数列，且a 4=9，a 9=−6， ∴ {a 1+3d =9a 1+8d =−6，解得a 1=18，d =−3，∴ 通项a n =18+(n −1)×(−3)=21−3n ． （2）a 12=21−3×12=−15． 34.【答案】解：在等差数列{a n }中，a 3+a 4=a 2+a 5=22，a 3⋅a 4=117， ∴ a 3，a 4是方程x 2−22x +117=0的两实根， ∵ 公差d >0，∴ a 3<a 4， ∴ a 3=9，a 4=13； 即{a 1+2d =9a 1+3d =13， 解得{a 1=1d =4；∴ 通项公式为a n =1+4(n −1)=4n −3． 【考点】等差数列的通项公式 【解析】根据题意，由a 3+a 4=a 2+a 5，a 3⋅a 4的值求出a 3、a 4；由此求出{a 1=1d =4；即得通项公式a n ． 【解答】解：在等差数列{a n }中，a 3+a 4=a 2+a 5=22，a 3⋅a 4=117， ∴ a 3，a 4是方程x 2−22x +117=0的两实根， ∵ 公差d >0，∴ a 3<a 4， ∴ a 3=9，a 4=13； 即{a 1+2d =9a 1+3d =13， 解得{a 1=1d =4；∴ 通项公式为a n =1+4(n −1)=4n −3． 35.【答案】解：若等差数列{a n }满足S k 3=(S k )3则当k =1时，有s 1=s 13，∴ a 1=0或a 1=1或a 1=−1当k =2时，有s 8=s 23，即8a 1+8×72d =(2a 1+d)3(1)当a 1=0时，代入上式得d =0或d =2√7或d =−2√7 ①当a 1=0，d =0时，a n =0，S n =0 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：0，0，0…②当a 1=0，d =2√7时，a n =2√7(n −1)，S n =2√7n(n−1)2=√7n(n −1)S 27≠(S 3)3 ∴ 不满足题意③当a 1=0，d =−2√7时，a n =−2√7(n −1)，S n =−2√7n(n−1)2=−√7n(n −1)S 27≠(S 3)3 ∴ 不满足题意(2)当a 1=1时，代入上式得d =0或d =2或d =−8 ①当a 1=1，d =0时，a n =1，S n =n 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：1，1，1…②当a 1=1，d =2时，a n =2n −1，S n =n 2 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：1，3，5…③当a 1=1，d =−8时，a n =−8n +9，S n =n(5−4n) S 27≠(S 3)3 ∴ 不满足题意(3)当a 1=−1时，代入上式得d =0或d =−2或d =8 ①当a 1=−1，d =0时，a n =−1，S n =−n满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：−1，−1，−1…②当a1=−1，d=−2时，a n=−2n+1，S n=−n2满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：−1，−3，−5…③当a1=−1，d=8时，a n=8n−9，S n=n(4n−5)S27≠(S3)3∴不满足题意∴满足题意的等差数列{a n}有：①0，0，0…②1，1，1…③1，3，5…④−1，−1，−1…⑤−1，−3，−5…【考点】等差数列的通项公式【解析】先由k=1，k=2时，确定首项和公差，再验证每一组解是否符合题意，从而可以找到符合题意的数列【解答】解：若等差数列{a n}满足S k3=(S k)3则当k=1时，有s1=s13，∴a1=0或a1=1或a1=−1d=(2a1+d)3当k=2时，有s8=s23，即8a1+8×72(1)当a1=0时，代入上式得d=0或d=2√7或d=−2√7①当a1=0，d=0时，a n=0，S n=0满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：0，0，0…=√7n(n−1)②当a1=0，d=2√7时，a n=2√7(n−1)，S n=2√7n(n−1)2S27≠(S3)3∴不满足题意=−√7n(n−1)③当a1=0，d=−2√7时，a n=−2√7(n−1)，S n=−2√7n(n−1)2S27≠(S3)3∴不满足题意(2)当a1=1时，代入上式得d=0或d=2或d=−8①当a1=1，d=0时，a n=1，S n=n满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：1，1，1…②当a1=1，d=2时，a n=2n−1，S n=n2满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：1，3，5…③当a1=1，d=−8时，a n=−8n+9，S n=n(5−4n)S27≠(S3)3∴不满足题意(3)当a1=−1时，代入上式得d=0或d=−2或d=8①当a 1=−1，d =0时，a n =−1，S n =−n 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：−1，−1，−1…②当a 1=−1，d =−2时，a n =−2n +1，S n =−n 2 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：−1，−3，−5…③当a 1=−1，d =8时，a n =8n −9，S n =n(4n −5) S 27≠(S 3)3 ∴ 不满足题意∴ 满足题意的等差数列{a n }有： ①0，0，0… ②1，1，1… ③1，3，5…④−1，−1，−1… ⑤−1，−3，−5… 36.【答案】 解：（1）设{a n }的首项为a 1，公差为d(d ≠0)， ∵ a 1，a 7，a 25成等比数列， ∴ (a 1+6d)2=a 1(a 1+24d)， ∴ 36d 2=12a 1d ，又d ≠0， ∴ a 1=3d...3分∴ a n =3d +(n −1)d =(n +2)d ， 又a k 2a k 1=a 7a 1=9d 3d=3，∴ {a k n }是以a 1=3d 为首项，3为公比的等比数列，∴ a k n =3d ⋅3n−1=d ⋅3n ，∴ (k n +2)d =d ⋅3n (d ≠0)， ∴ k n =3n −2(n ∈N ∗)．（2）∵ a 1=9，∴ 3d =9，解得d =3，∴ a k n =3n+1， ∴ b n =√a k n 6+√kn2=√3n +√3n −2√2， 则b n 2+1b n2=(b n +1b n)2−2=(√3n +√3n −2√2√3n −√3n −2√2)2−2=2×3n −2，∴ S n +T n =2×3n−1−32−2n =3(3n −1)−2n ，当n 为偶数时：3n−1=(8+1)n 2−1=8n 2+...+C n 2n 2−1⋅8，能被4整除，2n 也能被4整除，∴ S n +T n 能被4整除．当n 为奇数时，S n +T n =3n+1−1−2(n +1)， 3n+1−1=(8+1)n+12−1=8n+12+...+Cn+12n+12−1⋅8能被4整除，2(n +1)也能被4整除，∴ S n +T n 能被4整除，∴ {S n +T n }的前100项中有100项是能被4整除的整数．【考点】等差数列的通项公式 【解析】（1）设{a n }的首项为a 1，公差为d(d ≠0)，由题意可求得a 1=3d ，于是可求得a n 的关于d 的表达式，再利用a k 2ak 1=a 7a 1=9d3d =3，可求得其公比，继而可求得akn 的关系式，两者联立即可求得数列{k n }的通项公式k n ．（2）先求出b n ，进一步求出S n +T n 的通项公式，再利用二项式知识解决整除问题 【解答】 解：（1）设{a n }的首项为a 1，公差为d(d ≠0)， ∵ a 1，a 7，a 25成等比数列， ∴ (a 1+6d)2=a 1(a 1+24d)， ∴ 36d 2=12a 1d ，又d ≠0， ∴ a 1=3d...3分∴ a n =3d +(n −1)d =(n +2)d ， 又a k 2a k 1=a 7a 1=9d 3d=3，∴ {a k n }是以a 1=3d 为首项，3为公比的等比数列，∴ a k n =3d ⋅3n−1=d ⋅3n ，∴ (k n +2)d =d ⋅3n (d ≠0)， ∴ k n =3n −2(n ∈N ∗)．（2）∵ a 1=9，∴ 3d =9，解得d =3，∴ a k n =3n+1， ∴ b n =√a k n 6+√k n 2=√3n +√3n −2√2， 则b n 2+1b n2=(b n +1b n)2−2=(√3n +√3n −2√2√3n −√3n −2√2)2−2=2×3n −2，∴ S n +T n =2×3n−1−32−2n =3(3n −1)−2n ，当n 为偶数时：3n−1=(8+1)n 2−1=8n 2+...+C n 2n 2−1⋅8，能被4整除，2n 也能被4整除，∴ S n +T n 能被4整除．当n 为奇数时，S n +T n =3n+1−1−2(n +1)， 3n+1−1=(8+1)n+12−1=8n+12+...+Cn+12n+12−1⋅8能被4整除，2(n +1)也能被4整除，∴ S n +T n 能被4整除，∴ {S n +T n }的前100项中有100项是能被4整除的整数． 37.【答案】（1）a n =n ；（2）存在实数0≤λ<1符合题意．【考点】等差数列的通项公式 【解析】（1）根据S n 是a n 2和a n 的等差中项可知2S n =a n 2+a n ，且a n >0，则当n ≥2时，有2S n−1=(a n−1)2+a n−1，两式相减并化简即 可求解；（2）由（1）知a n =n ，由题意知，T n =1−(12)n，假设存在常数λ≥0，对任意n ∈N ，使恒成立等价于对任意n ∈N ′1−(12)n−λ(12)n>√λ恒成立整理化简，利用分离参数法求解恒成立问题即可．【解答】（1）由S n 是a n 2和a n 的等差中项可知，2S n =a n 2+a n ，且a n >0 则当n ≥2时，有2S n−1=(a n−1)2+a n−1两式相减可得，2S n −2S n−1=a n 2−a n−12+a n −a n−1即2a n =a n 2−a n−12+a n −a n+1,a n >0，化简可得，a n −a n−1=1(n ≥2) 所以数列{a n }是以1为首项1为公差的等差数列， 所以数列{a n }的通项公式为a n =n（2）由（1）知，a n =n ，因为b n =(12)n，所以数列{b n }的前几项和T n =1−(12)n假设存在常数λ≥0，对任意n ∈N ′，使T n −λ⋅2−a ,√λ恒成立 即对任意n ∈N1−(12)n−λ(12)n>√λ恒成立等价于对任意n ∈N ′1+√A <2n 恒成立即1+√2小于2a 的最小值即可．所以0≤λ<1满足对任意n ∈N ，使T n −λ⋅2−a >√λ恒成立．所以存在这样的实数？，对任意n ∈N ′，使恒成立，实数？的取值范围为0≤λ<1 38.【答案】（1）a n =−2n +8（2）{n|1≤n ≤8,n ∈N }【考点】等差数列的通项公式 【解析】（1）由已知可得a 4=0，再根据a 2=4可得a 1,d 的方程组，解得．（2）由（1）可知a 1=−3d ，故可用含d 的式子表示S n 和a n ，列出不等式求解即可． 【解答】（1）设等差数列{a n }的首项为a 1公差为d ；因为等差数列{a n }的前）项和S n 且S 4=S 3．a 4=0，又∵ a 2=4 {a 1+3d =0a 1+d =4，解得{a 1=4d =−2 所以a n =a 2+(n −2)⋅d =−2n +8 （2）因为a 1=−3d >0，所以d <0 所以S n =na 1+n (n−1)2d =−3nd +n (n−1)2da n =a 1+(n −1)⋅d =(n −4)d 因为S n ≥a n ，所以(n 2−n 2−3n)d ≥(n −4)d因为d <0，所以n 2−n2−3n ≤n −4整理得n 2−9n +8≤0，解得1≤n ≤8 所以”的取值范围是{n|1≤n ≤8,n ∈N } 39.【答案】（1）第几行的第一个数是n 2，最后一个数是n 2+2n （2）第八行各个数之和为2n 3+3n 2+n（3）2019是第44行第84个数．【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）根据此表的特点可知此表n行的第1个数为n2，第n行共有3+(n−1)×2=2n+ 1个数，依次构成公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式解之即可；（2）直接根据等差数列的前n项和公式进行求解；（3）1936=442×2019×452=2025，所以2019在第44行，然后设2019是此数表的第44行的第k个数，而第44行的第1个数为442，可求出k，从而得到结论．【解答】（1）由表可知，每一行都是公差为1的等差数列，第n行第一个数是n2，每一行比上一行多2个数，第一行有3个数，则第n行有3+(n−1)×2=2n+1个数，所以第一行最后一个数是n2+(2n+1−1)×1=n2+2n（当然也可以观察得出第n行最后一个数为(n+1)2−1)（2）由（1）知，第几行各个数之和为(2n+1)(n 2+n2+2n)2=(2n+1)(n2+n)=2n3+3n2+n（3）因为1936=442<2019<452=2025，所以2019在第44行，设2019是第44行第k个数，则2019=442+(k−1)×1，解得k=84，所以2019是第44行第84个数．40.【答案】解：等差数列{a n}中，d=2，a1=5，S n=60，∵前n项和S n=na1+12n(n+1)d，即5n+12×n(n−1)×2=60；解得n=6，n=−10（舍去）；∴通项公式是a n=a1+(n−1)d=5+2(n−1)=2n+3，∴a6=2×6+3=15．∴所求的n=6，a6=15．【考点】等差数列的通项公式【解析】由等差数列的前n项和公式求出n的值，再由通项公式求出a6即可．【解答】解：等差数列{a n}中，d=2，a1=5，S n=60，∵前n项和S n=na1+12n(n+1)d，即5n+12×n(n−1)×2=60；解得n=6，n=−10（舍去）；∴通项公式是a n=a1+(n−1)d=5+2(n−1)=2n+3，∴a6=2×6+3=15．∴所求的n=6，a6=15．。

数列求通项公式常用方法与典型题目（附答案）（一）题型一累加法1．数列{}n a 中，11a =，()12,nn n a a n n n N --=≥∈，则na=___________．2．已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n+=++，则n a =__________．3．如果数列{}n a 满足：()1111,22n n n a a a n --=-=≥，则n a =()A ．121n +-B ．1(1)21n n --⋅+C ．21n -D ．12n -4．在数列{}n a 中，10a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则{}n a 的通项公式为()．A ．ln n a n =B ．()()1ln 1n a n n =-+C ．ln n a n n=D ．ln 2n a n n =+-5．设数列{}n a 中，112,1+==++n n a a a n ，则通项n a =___________．6．已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，则2018a =()A ．20182019⨯B ．20172018⨯C ．20162017⨯D ．20182018⨯（二）题型二累乘法1．已知数列{}n a 满足11a =，()12311111231n n a a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+>-．数列{}n a 的通项公式是______．2．已知11a =，()()1n n n a n a a n N ++=-∈，则数列{}n a 的通项公式是()A ．21n -B ．11n n n -+⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2n D ．n3．已知12a =，12nn n a a +=，则数列{}n a 的通项公式n a 等于()A ．2122n n -+B ．2122n n ++C ．2222n n -+D ．2222n n --4．在数列{}n a 中，11a =，()32122223n n a a a a a n n*++++=∈N ，则n a =______．（三）题型三公式法1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若()11,1,31n n a a S n +=≥=则n a =____________．2．数列{}n a 满足，123231111212222n n a a a a n ++++=+ ，写出数列{}n a 的通项公式__________．3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2+n ，则a n ＝_____．4．若数列的前n 项和2133n n S a =+，则的通项公式是n a =________5．数列{}n a 的前n 项和23nn S =+，则其通项公式n a =________．6．数列{}n a 的前n 项和210n S n n =-，则该数列的通项公式为__________．7．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n =______．8．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若111,23n n a a S +==+，则数列{}n a 的通项公式为___________．9．已知数列{}n a 满足23123222241nnn a a a a ++++=- ，则{}n a 的通项公式___________________．10．数列{a n }满足()21*1232222n n na a a a n N -+++⋯+=∈，则a 1a 2a 3…a 10=()A ．551(2B ．1011()2-C ．911()2-D ．601()211．如果数列{}n a 的前n 项和为332n n S a =-，则这个数列的通项公式是()A ．()221n a n n =++B ．23nn a =⋅C ．32nn a =⋅D ．31n a n =+（四）题型四构造法1．数列{}n a 中，若11a =，()1231n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =()A ．123n +-B ．23n -C ．23n +D ．123n --2．已知数列{}n a 中，112,21n n a a a +==+则n a =___________．3．已知数列{}n a 满足11a =132n n a a +=+，则{}n a 的通项公式为__________________．（五）题型五倒数法1．在数列{n a }中，已知12a =，1122n n n a a a --=+，(2)n ≥，则n a 等于()A ．21n +B ．2n C ．3nD ．31n +2．若数列{}n a 满足11n n n a a a +=+，且123a =，则10a =___________．3．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11n n n n S S S S ++=⋅-()n N *∈，且11a=，则n a =_____．4．已知数列{}n a 满足12,a =11n n n n a a a a ++-=，那么31a 等于()A ．130-B ．261-C ．358-D ．259-5．已知数列{}n a 满足递推关系111,12n n n a a a a +==+，则2017a =()A ．12016B ．12018C ．12017D ．120196．若数列{}n a 满足1121n n n a a a --=+(2n ≥，*n N ∈)，且112a =，则n a =()A ．12nB ．2n C ．1122n +-D ．222n +7．已知数列{}n a 满足11a =，()*11nn n a a n N a +=∈+，则2020a =()A ．12018B ．12019C ．12020D ．12021（六）题型六周期数列1．在数列{}n a 中，112a =，111n n a a -=-(2n ≥，n ∈+N )，则2020a =()A ．12B ．1C ．1-D ．22．已知数列{}n a 中，13=4a ，111n n a a -=-(,2n N n +∈≥)，那么2020a 等于()A ．13-B ．34C ．2D ．43．已知数列{}n a 中，12213,6,n n n a a a a a ++===-,则2016a =()A ．6B ．6-C ．3D ．3-参考解析（一）题型一累加法1．()12n n +【解析】()112,1,nn n a a n n n Na -=≥=-∈ ，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+ ()()()()112122n n n n n n +=+-+-++=≥ ，验证1n =时成立．()12n n n a +∴=．故答案为：()12n n +2．31,1,2n n N n*-≥∈【解析】因为121n n a a n n +=++，所以121111n n a a n n n n +-==-++，则当2,n n N *≥∈时，213211121123...111n n a a a a a a n n -⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪⎪⎪-=-⎪-⎩，将1n -个式子相加可得11111111...12231n a a n n n -=-+-++-=--，因为112a =，则1131122n a n n=-+=-，当1n =时，1311212a =-=符合题意，所以31,1,2n a n n N n *=-≥∈．故答案为:31,1,2n n N n*-≥∈．3．C 【解析】由题意可得,112n n n a a ---=，212a a ∴-=，2322a a -=，…112n n n a a ---=,以上1n -个式子相加可得,21122 (2)n n a a --=+++()12122212n n --==--，21n n a ∴=-,故选B ．4．A 【解析】由已知得()11ln ln 1ln n n n a a n n n ++⎛⎫-==+- ⎪⎝⎭，所以()1ln ln 1n n a a n n --=--()()12ln 1ln 2n n a a n n ---=---32ln 3ln 2a a -=-21ln 2ln1a a -=-将上述1n -个式子相加，整理的1ln ln1ln n a a n n -=-=又因为10a =，所以ln n a n =．故选A ．5.()112++n n 【解析】∵112,1+==++n n a a a n ∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦ ()()()()11111111222n n n nn n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112++n n ；6.B 【解析】 数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，∴12n n a a n +-=，∴()121n n a a n --=-，()1222n n a a n ---=-，()2323n n a a n ---=-，……212a a -=，累加得：()()()112123 (1212)n n n a a n n n --=++++-=⋅=-⎡⎤⎣⎦，又 10a =，∴()1n a n n =-，∴201820182017a =⋅．故选B ．(二）题型二累乘法1.1,1,22n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩【解析】1231111(1)231n n a a a a a n n -=++++>- ，11a =当2n =时，211a a ==当2n >时，112311111231n n n a a a a a a n n+-∴=+++++- ，两式相减得：11n n n a a a n +-=，即11n n n a a n++=，∴11n n a n a n++=，11n n a n a n -=-，1212n n a n a n ---=-，⋯3232a a =，累乘得：22n a n a =，所以2n na =，()2n >1,1,22n n a n n =⎧⎪∴=⎨≥⎪⎩，故答案为：1,1,22n n a nn =⎧⎪=⎨≥⎪⎩2.D 【解析】由()()1n n n a n a a n N ++=-∈得：()()11n n n a na n N +++=∈，即()11n n a n n N a n+++=∈，则11n n a n a n -=-，1212n n a n a n ---=-，2323n n a n a n ---=-，……．．，2121a a =，由累乘法可得1na n a =，又因为11a =，所以n a n =．故选：D ．3.C 【解析】1122nn n n n n a a a a ++=∴= 当n ≥2时，2212122112122222nn n n n n n n n a a a a a a a a -+-----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ，经检验，1a 也符合上述通项公式．本题选择C 选项．4.21n n +【解析】由题意得：当2n ≥时，()31211222231n n a a a a a n --++++=- ，所以12n n n a a a n-=-，即()2211n n na n a --=，也即是11+1n n n n n a a n --=，所以121+1221211n n n n n a n n n a a a n ---===-=-= ，所以21n n a n =+，故答案为：21nn +．（三）题型三公式法1.21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩．【解析】()13,1n n a S n N n ++=∈∴= 时，23,2a n =≥时，13n n a S -=，可得13n n n a a a +-=，即14,n n a a +=∴数列{}n a 从第二项起为等比数列，2n ≥时，=n a 234n -⋅，故答案为21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩．2.16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩【解析】因为123231111212222n n a a a a n ++++=+ ,所以()12312311111121122222n n n n a a a a a n +++++++=++ ,两式相减得11122n n a ++=，即12,2n n a n +=≥，又1132a =，所以16a =，因此16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩3.2n 【解析】由题,当1n =时,21112a =+=,当2n ≥时,()()1112nn n a S S n n n n n -=-=+--=．当1n =时也满足．故2n a n =．故答案为：2n4.()12n --【解析】当n =1时，1112133a S a ==+，解得11a =，当n ≥2时，1n n n a S S -=-121213333n n a a -⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12233n n a a -=+，整理可得12313n n a a -=-，即12n n a a -=-，故数列{}n a 以1为首项，2-为公比的等比数列，所以()12n n a -=-，故答案为：()12n --．5.15,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩【解析】当1n =时，11235a =S =+=；当2n ≥时，11123232n n n n n n a S S ---=-=+--=；故15,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩故答案为：15,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩6.211n a n =-【解析】221110,11019,n S n n a S =-∴==-⨯=- 当2n ≥时()()221101101211,n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦当1n =时也适合，故211n a n =-．即答案为211n a n =-．7.1(2)n n a -=-；【解析】当n=1时，a 1=S 1=23a 1+13，解得a 1=1,当n≥2时，a n =S n -S n-1=(2133n a +)-(12133n a -+)=23n a -123n a -整理可得13a n ＝−23a n−1，即1n n a a -=-2，故数列{a n }是以1为首项，-2为公比的等比数列，故a n =1×(-2)n-1=(-2)n-1故答案为(-2)n-1．8.21,153,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【解析】n S Q 为数列{}n a 的前n 项和，111,23n n a a S +==+——①2n ≥时，123n n a S -=+——②①-②，得：12n n n a a a +=-，13n na a +∴=13n na a +∴=，21235a a =+= ，∴数列{}n a 的通项公式为21,153,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩．故答案为：21,153,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩．9.a n ＝3•2n ﹣2【解析】∵数列{a n }满足2a 1+22a 2+23a 3+…+2n a n ＝4n ﹣1，∴当n ≥2时，2n a n ＝(4n ﹣1)﹣(4n ﹣1﹣1)，化为a n ＝3•2n ﹣2．当n ＝1时，2a 1＝4﹣1，解得132a =，上式也成立．∴a n ＝3•2n ﹣2．故答案为a n ＝3•2n ﹣2．10.A 【解析】n =1时,a 1=12,∵211232222n n n a a a a -+++⋯+=,∴2n ≥时,22123112222n n n a a a a ---+++⋯+=,两式相减可得2n -1a n =12,∴12n n a =,n =1时，也满足∴12310a a a a = 55231012310111111222222++++⎛⎫⨯⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭,故选A11.B 【解析】由332n n S a =-，当2n ≥时，1113333332222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫⎛⎫=-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13nn a a -=，当1n =时，111332S a a ==-，此时16a =，所以，数列{}n a 是以6为首项，3为公比的等比数列，即16323n n n a -=⋅=⋅．故选：B ．（四）题型四构造法1.A 【解析】因为()1231n n a a n +=+≥，所以132(3)n n a a ++=+，即数列{3}n a +是以4为首项，2为公比的等比数列，所以1342n n a -+=⋅，故1142323n n n a -+=⋅-=-，故选：A2.1321n -⋅-【解析】因为121n n a a +=+，所以()112221n n n a a a ++=+=+且1130a +=≠，所以1121n n a a ++=+，所以{}1n a +是以3为首项，2为公比的等比数列，所以1132n n a -+=⋅，所以1321n n a -=⋅-，故答案为：1321n -⋅-．3.1231n -⨯-【解析】因为132n n a a +=+，11a =，所以()113331n n n a a a ++=+=+，即1131n n a a ++=+所以{}1n a +以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⨯所以1231n n a -=⨯-故答案为：1231n -⨯-（五）题型五倒数法1.B 【解析】将等式1122n n n a a a --=+两边取倒数得到11112n n a a -=+，11111=,2n n n a a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列，11a =12，根据等差数列的通项公式的求法得到()1111222n nn a =+-⨯=，故n a =2n．故答案为：B ．2.219【解析】11n n n a a a +=+ 11111n n n n a a a a ++∴==+，即1111n na a +-=∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1132a =为首项，1为公差的等差数列()131211222n n n n a -∴=+-=-=221n a n ∴=-10219a ∴=故答案为：2193.1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【解析】由11n n n n S S S S ++=⋅-，得1111n nS S +-=()n N *∈1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以11111S a ==为首相，1为公差的等差数列，11(1)1nn n S ∴=+-⨯=，1n S n ∴=，当2n ≥时，11111(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---，1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩故答案为：1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩4.D 【解析】11n n n n a a a a ++-= ,1111n n a a +∴-=,即1111n n a a +-=-,又12,a =所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12,公差为1-的等差数列,132n n a ∴=-+,3113593122a ∴=-+=-,故31259a =-,故选:D ．5.B 【解析】由11n n n a a a +=+，所以11111n n n n a a a a ++==+则1111n n a a +-=，又112a =，所以112a =所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公比的等差数列所以11n n a =+，则11n a n =+所以201712018a =故选：B6.A 【解析】当2n ≥且n *∈N ，在等式1121n n n a a a --=+两边取倒数得11121112n n n n a a a a ---+==+，1112n n a a -∴-=，且112a =，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且首项为2，公差为2，因此，()12212n n n a =+-=．12n a n∴=故选：A ．7.C 【解析】11n n n a a a +=+ ，∴两边同时取倒数得11111n n n n a a a a ++==+，即1111n n a a +-=，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差1d =的等差数列，首项为111a =．则11(1)1n n n a =+-⨯=，得1n a n =，则202012020a =，故选：C (六）题型六周期数列1.A 【解析】2111121a a =-=-=-，3211112a a =-=+=，431111122a a =-=-=，可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，202036731112a a a ⨯+∴===．故选：A ．2.B 【解析】因为13=4a ，111n n a a -=-，所以211113a a =-=-，32114a a =-=，431314a a =-=，…所以数列{}n a 是以3为周期的数列，所以202067331134a a a ⨯+===，故选：B 3.B 【解析】因为21n n n a a a ++=-,①则321n n n a a a +++=-,②①+②有:3n n a a +=-,即63n n a a ++=-,则6n n a a +=,即数列{}n a 的周期为6,又123,6a a ==,得3453,3,6a a a ==-=-，63a =-,则2016a =633663a a ⨯==-,故选:D ．。

数列求通项公式1、累加法 ：适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列，累加法是最基本的二个方法之一。

例1.1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

【答案：2n a n =】例1.2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

【答案：3 1.nn a n =+-】练1.1 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.【答案：12+-=n n a n 】练1.2 已知数列}{n a 满足)2()1(1,311≥-+==-n n n a a a n n ，求此数列的通项公式. 【答案：n a n 12-=】2、累乘法适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。

例2.1 已知数列{n a }中，n n a a a n n 2,111+==+，求数列的通项公式。

【答案：)(2)1(*∈+=N n n n a n 】 例2.2 已知数列{n a }中，n n a n na a )1(2,111+==+，求数列的通项公式。

【答案：12-=n n na 】 练2.1【理科】 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

【答案：(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯】练2.2.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通项公式是n a =________.【答案：na n 1=】3、待定系数法适用于1()n n a qa f n +=+ 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

等比数列的通项公式与求和公式练习题在学习数列与数列求和时，等比数列是一个重要的内容。

等比数列，顾名思义，是一种每一项与前一项比值相等的数列。

在这篇文章中，我们将探讨等比数列的通项公式和求和公式，并提供一些相关练习题，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、等比数列的通项公式对于等比数列，通项公式可以表示为：\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]其中，\(a_n\)表示第n项，\(a_1\)表示首项，\(r\)表示公比，\(n\)表示项数。

通过这个公式，我们可以轻松求解等比数列中任意一项的值，只要知道首项和公比即可。

现在，我们来看一个例子：例题1：已知等比数列的首项为3，公比为2，求第5项的值。

解析：根据等比数列的通项公式，代入已知条件，我们可以得到：\[a_5 = 3 \cdot 2^{(5-1)} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48\]所以，第5项的值为48。

二、等比数列的求和公式在求等比数列的和时，我们有一个特别的公式可以使用。

等比数列的求和公式可以表示为：\[S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r}\]其中，\(S_n\)表示前n项的和，\(a_1\)表示首项，\(r\)表示公比，\(n\)表示项数。

通过这个公式，我们可以快速求解等比数列前n项的和。

现在，我们来看一个例子：例题2：已知等比数列的首项为2，公比为3，求前4项的和。

解析：根据等比数列的求和公式，代入已知条件，我们可以得到：\[S_4 = \frac{2 \cdot (1 - 3^4)}{1 - 3} = \frac{2 \cdot (1 - 81)}{-2} =\frac{2 \cdot (-80)}{-2} = 40\]所以，前4项的和为40。

三、练习题现在，让我们通过一些练习题来巩固对等比数列的通项公式和求和公式的理解。

练习题1：已知等比数列的首项为2，公比为4，求第7项的值。

2023考点专题复习——数列的通项公式考法一：累加法——适用于)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

例2、已知数列}{n a 中, 0>n a 且)(21nn n a na S +=,求数列}{n a 的通项公式.例3、已知数列{}n a 满足112313n n n a a a ，，求数列{}n a 的通项公式。

练习1、已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n nN 写出数列{}n a 的通项公式.练习2、已知数列}{n a 满足13a ，11(2)(1)n n a a n n n -=+≥-求此数列的通项公式.练习3、已知数列{}n a 满足11211nn a a n a ，，求数列{}n a 的通项公式。

练习4、已知在数列{}n a 中，13a =，112(2)n n n a a n --=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21log (1)n n b a +=-，求11{}n n b b +的前n 项和n T ．练习5、在数列{}n a 中，12a =，122n n n a a +=++． （1）求数列{2}n n a -的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2(22)n n b a n =+-，求{}n b 的前n 项和n S ．练习6、已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

练习7、已知数列{}n a 满足11a =，1n n n a a +-=，则数列{}n a 的通项公式练习8、在数列{}n a 中，12a =，11ln 11n n a a n n n +⎛⎫⎪⎝+++⎭=，则数列{}n a 的通项公式练习9、已知数列{a n }满足11a =-，111+1n n a a n n +=-+，n ∈N *，求数列的通项公式a n .练习10、设数列{}n a 满足11a =，()*112n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式练习11、已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n+=++，则数列{}n a 的通项公式考法二：累乘法例1、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。

构造法求数列通项的八种技巧(一)【必备知识点】◆构造一:待定系数之a n +1=Aa n +B 型构造等比数列求关于a n +1=Aa n +B (其中A ,B 均为常数,AB (A -1)≠0)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为a n +1+M =A a n +M ,再利用待定系数法求出M 的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数M ,构造成等比数列.常数M 的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来.【经典例题1】已知a n 满足a 1=3,a n +1=2a n +1求数列a n 的通项公式.【解析】根据原式,设a n +1+m =2a n +m ,整理得a n +1=2a n +m ,题干中a n +1=2a n +1,根据对应项系数相等得m =1.∴a n +1+1=2a n +1 ,令b n =a n +1+1,b 1=a 1+1=3+1=4,所以a n +1 是4为首项,2为公比的等比数列.即a n +1=4⋅2n -1,a n =2n +1-1.【经典例题2】已知数列a n 中,a 1=1,a n +1=2a n +3,求数列a n 的通项公式.【解析】设a n +1+t =2a n +t ,整理得a n +1=2a n +t ,题干中a n +1=2a n +3,根据对应项系数相等,解得t =3,故a n +1+3=2a n +3 .令b n =a n +3,则b 1=a 1+3=4,且b n +1b n=a n +1+3a n +3=2.所以b n 是4为首项,2为公比的等比数列.所以b n =4×2n -1=2n +1,即a n =2n +1-3.【经典例题3】已知数列a n 中,a 1=1,a n +1=3a n +4,求数列a n 的通项公式.【解析】设a n +1+t =3(a n +t ),即a n +1=3a n +2t ,题干中a n +1=3a n +4,根据对应项系数相等,解得t =2,故a n +1+2=3a n +2 .令b n =a n +2,则b 1=a 1+2=3,且b n +1b n=a n +1+2a n +2=3.所以b n 是3为首项,3为公比的等比数列.所以b n =3×3n -1=3n ,即a n =3n -2.【练习1】数列a n 中,a n +1=2a n -1,a 3=2,设其前n 项和为S n ,则S 6=()A.874B.634C.15D.27【答案】A【解析】∵a n +1=2a n -1,a 3=2,可得2=2a 2-1,解得a 2=32,同理可得:a 1=54变形为a n +1-1=2a n -1 ,a 1-1=14. ∴数列a n -1 为等比数列,首项为14,公比为2.∴a n -1=14×2n -1,a n =2n -3+1.∴S 6=1426-12-1+6=874.故选:A .【练习2】已知数列a n 的前n 项和为S n ,若3S n =2a n -3n ,则a 2018=()A.22018-1B.22018-6C.122018-72D.132018-103【答案】A【解析】∵数列a n 的前n 项和为S n ,3S n =2a n -3n ,∴a 1=S 1=132a 1-3 ,解得a 1=-3,S n =132a n -3n ,(1),n ≥2,S n -1=132a n -1-3n +3 ,(2),(1)-(2),得a n =23a n -23a n -1-1,∴a n =-2a n -1-3,∴a n +1a n -1+1=-2,∵a 1+1=-2,∴a n +1 是以-2为首项,以-2为公比的等比数列,∴a n+1=(-2)n,∴a n=(-2)n-1,∴a2018=(-2)2018-1=22018-1.故选:A.【练习3】在数列a n中,a1=2,a n+1=2a n+1,则a5=_______.【答案】47【解析】数列 a n中, a1=2,a n+1=2a n+1,变形为:a n+1+1=2a n+1,a1+1=3,∴数列a n+1为等比数列,首项为3,公比为2,∴a n+1=3×2n-1,即a n=3×2n-1-1则a5=3×24-1=47.故答案为:47.【练习4】已知数列a n满足a1=3,a n+1=2a n+1,则数列a n的通项公式a n=______.【答案】a n=2n-1【解析】∵a n+1=2a n+1n∈N*,∴a n+1+1=2a n+1,∴a n+1是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.∴a n+1=2n,故a n=2n-1.【练习5】已知数列a n的首项a1=2,且a n+1=12a n+12n∈N*,则数列1a n-1的前10项的和为______.【答案】1023【解析】数列a n的首项a1=2,且a n+1=12a n+12(n∈N*),则:a n+1-1=12a n-1 ,整理得:a n+1-1a n-1=12(常数) ,所以：数列a n-1是以a1-1=2-1=1为首项,12为公比的等比数列,所以:a n-1=1*12n-1,当n=1时,符合通项.故：1a n-1=2n-1,所以:S n=20+21+22+⋯+2n-1=2n-1所以：S10=210-1=1024-1=1023.【练习6】已知数列a n中,a1=1,a n+1=3a n+2,则a n=_______.【答案】a n=2×3n-1-1【解析】因为a n+1=3a n+2,所以a n+1+1=3a n+1,因为1+a1=2,所以数列1+a n是以2为首项,以3为公比的等比数列,所以1+a n=2×3n-1,故答案为:a n=2×3n-1-1.◆构造二:待定系数之a n+1=Aa n+Bn+C型构造等比数列求关于a n+1=Aa n+Bn+C(A≠1,C≠0,B≠0)类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相似,只不过等式中多了一项Bn,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项pn再构造等比数列就可以,即令a n+1+p(n+1)+q=A a n+pn+q,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解p,q,从而得到a n+pn+q是公比为A的等比数列.【经典例题1】设数列a n满足a1=4,a n=3a n-1+2n-1(n≥2),求数列a n的通项公式.【解析】将递推公式转化为a n+pn+q=3a n-1+p(n-1)+q,化简后得a n=3a n-1+2pn+2q-3p,与原递推式比较,对应项的系数相等,得2p=22q-3p=-1,解得p=1q=1,令bn=a n+n+1,则b n=3b n-1,又b1=6,故b n=6⋅3n-1=2⋅3n,b n=a n+n+1,得a n=2⋅3n-n-1.【经典例题2】已知:a 1=1,n ≥2时,a n =12a n -1+2n -1,求a n 的通项公式. 【解析】设a n +pn +q =12a n -1+p (n -1)+q ,a n =12a n -1-12pn -12p -12q .与题干原式比较,对应项系数相等得-12p =2-12p -12q =-1,解得p =-4q =6 ,首项a 1-4+6=3.所以a n -4n +6 是3为首项,12为公比的等比数列.所以a n -4n +6=3⋅12 n -1,即a n =32n -1+4n -6.【练习1】已知数列a n 是首项为a 1=2,a n +1=13a n +2n +53.(1)求a n 通项公式;(2)求数列a n 的前n 项和S n .【解析】因为a n +1-3(n +1)+2=13a n -3n + 2),且a 1-3+2=1,所以数列a n -3n +2 是以1为首项,13为公比的等比数列,则a n -3n +2=13n -1,即a n =13n -1+3n -2.【练习2】已知数列a n 和b n ,a n 的前n 项和S n ,对于任意的n ∈N *,a n ,S n 是二次方程x 2-3n 2x +b n =0的两根.(1)求a n 和b n 通项公式;(2)a n 的前n 项和S n .【解析】因为a n ,S n 是一元二次方程x2-3n 2x +b n =0的两个根,所以a n +S n =3n 2a n S n =b n,由 a n +S n =3n 2得a n +1+S n +1=3(n +1)2,两式相减得a n +1-a n +S n +1-S n =6n +3,所以a n +1=12a n +12(6n +3),令a n +1+A (n +1)+B =12a n +An +B ,则a n +1=12a n -12An -12B -A ,比较 以上两式的系数,得-12A =3-12B -A =32,解得A =-6B =9 .所以a n +1-6(n +1)+9=12a n -6n +9 .又 a 1+S 1=3,a 1=32,所以数列a n -6n +9 是以92为首项、12为公比的等比数列.所以 a n -6n +9=9212 n -1,a n =6n +92n +9,S n =3n 2-a n =3n 2-6n -92n +9,所以 b n =6n +92n -9 3n 2-6n -92n +9 【练习3】设数列a n 是首项为a 1=1,满足a n +1=2a n -n 2+3n (n =1,2,⋯).问是否存在λ,μ,使得数列a n +λn 2+μn 成等比数列?若存在,求出λ,μ的值,若不存在,说明理由;【解析】依题意,令a n +1+λ(n +1)2+μ(n +1)+γ=2a n +λn 2+μn +γ 所以a n +1=2a n +λn 2+μn -2λn +γ-λ-μ,即λ=-1μ-2λ=3γ-λ-μ=0,解得λ=-1μ=1γ=0.所以数列a n -n 2+n 是以2为公比、a 1-1+1=1为首项等比数列.所以a n -n 2+n =2n -1,a n =n 2+2n -1-n ,即存在λ=-1,μ=1,使得数列a n -n 2+n 成等比数列.◆构造三:待定系数之a n+1=pa n+q n型构造数列求关于a n+1=pa n+q n(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)类型的通项公式时,共有3种方法.方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为a n+1+λq n+1=p a n+λq n,根据对应项系数相等求出λ的值,再利用换元法转化为等比数列求解.方法二:先在递推公式两边同除以q n+1,得a n+1q n+1=pq⋅a nq n+1q,引入辅助数列b n(其中b n=a nq n),得b n+1=pq⋅b n+1q,再利用待定系数法解决；方法二:也可以在原递推公式两边同除以p n+1,得a n+1p n+1=a np n+1p⋅qpn,引入辅助数列b n (其中b n=a n p n ),得b n+1-b n=1p⋅q.pn,再利用叠加法(逐差相加法)求解.【经典例题1】已知数列a n中a1=56,a n+1=13a n+12n+1,求an的通项公式.【解析】解法一:构造数列a n+1+λ12n+1=13a n+λ12n,化简成题干结构得a n+1=13a n-13λ12n+1,对应项系数相等得λ=-3,设b n=a n-312n,b1=a1-312 1=-23,所以数列b n 是以-23为首项,13为公比的等比数列,b n=-2313n-1,所以an=32n-23n.解法二:将a n+1=13a n+12n+1两边分别除12n+1,也就是乘2n+1,为方便计算,我们等式两边同乘2n+1,得2n+1⋅a n+1=232n⋅a n+1.令b n=2n⋅a n,则b n+1=23b n+1,这又回到了构造一的方法,根据待定系数法,得b n+1-3=23b n-3,所以数列b n-3是首项为b1-3=2×56-3=-43,公比为23的等比数列.所以b n-3=-43⋅23n-1即b n=3-2⋅23 n.所以a n=b n2n=32n-23n.解法三:将a n+1=13a n+12n+1两边分别除13n+1,也就是乘3n+1,得3n+1an+1=3n a n+32 n+1⋅令b n=3n⋅a n,则b n+1=b n+32 n+1,所以b n-b n-1=32 n,b n-1-b n-2=32 n-1，...，b2-b1=32 2⋅将以上各式叠加,得b n-b1=32 2+⋯+32 n-1+32 n,又b1=3a1=3×56=52=1+32,所以b n=1+32+32 2+⋯+32 n-1+32 n=1⋅1-32 n+11-32=2⋅32 n+1-2,即b n=2⋅32n+1-2.所以an=b n3n=32n-23n.【经典例题2】已知数列a n满足a n+1=2a n+4⋅3n-1,a1=-1,求数列a n的通项公式.【解析】解法一:设a n+1+λ⋅3n=2a n+λ⋅3n-1,待定系数法得λ=-4,则数列a n-4⋅3n-1是首项为a1-4⋅31-1 =-5,公比为2的等比数列,所以a n-4⋅3n-1=-5⋅2n-1,即a n=4⋅3n-1-5⋅2n-1.解法二:(两边同除以 q n+1) 两边同时除以3n+1得:a n+13n+1=23⋅a n3n+432,下面解法略.解法三:(两边同除以p n +1)两边同时除以2n +1得:a n +12n +1=a n 2n +32n -1,下面解法略.【练习1】已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=3a n +2n n ∈N * ,b n =a n +1a n.设t ∈Z ,若对于∀n ∈N *,都有b n >t 恒成立,则t 的最大值为()A.3B.4C.7D.9【答案】A【解析】解法一：因为a n +1=3a n +2n ,所以a n +12n =3a n 2n +1,所以a n +12n +1=32⋅a n 2n +12,所以a n +12n +1+1=32a n 2n +1 ,因为a 1=1,所以a 121+1=32,所以数列a n 2n +1 是以32为首相以32为公比的等比数列,所以a n 2n+1=32 n ,所以a n =3n -2n,故选A .解法二:令a n +1+A ⋅2n +1=3a n +A ⋅2n ,因为a n +1=3a n +2n ,对比系数得:A =1,所以数列 a n +2n 是以3为首项,3为公比的等比数列,所以a n +2n =3n ,所以a n =3n -2n,所以 b n =a n +1a n =3n +1-2n +13n -2n=3⋅32 n-232 n -1n =3+132 n -1,因为∀n ∈N *,所以32 n -1≥12.所以0<132 n -1≤2,所以3<b n ≤5,对于∀n ∈N *,都有b n >t 恒成立,所以t ≥3,所以t 的最大值为3,故选 A .【练习2】已知数列a n 满足a 1=2,a n +1=a n +2n +2n ∈N * .(1)判断数列a n -2n 是否为等差数列,并说明理由;(2)记S n 为数列a n 的前n 项和,求S n .【解析】(1)数列a n 满足a 1=2,a n +1=a n +2n +2n ∈N * ,所以a n +1-2n +1 -a n -2n =2. a 1-2=0,所以数列a n -2n 为等差数列,首项为0，公差为2.(2)由(1)可得:a n -2n=0+2(n -1),可得:a n =2n+2(n -1),所以S n =22n -1 2-1+2×n (0+n -1)2=2n +1-2+n 2-n【过关检测】一、单选题1.已知S n 为数列a n 的前n 项和，若a n +1=2a n -2,S 2=10，则a n 的通项公式为( )A.a n =3n -4B.a n =2n +2C.a n =n 2+nD.a n =3n 2-1【答案】B 【解析】令n =1可得a 2=2a 1-2，又S 2=a 1+a 2=10，解得a 1=4，又a n +1-2=2a n -4=2(a n -2)，则a 1-2=2，a n +1-2a n -2=2，即a n -2 是以2为首项，2为公比的等比数列，则a n -2=2⋅2n -1，a n =2n +2.故选：B .2.已知数列a n 中，a 1=1，a n +1=2a n +1，则数列a n 的通项公式为( )A.a n =n B.a n =n +1C.a n =2nD.a n =2n -1【答案】D 【解析】∵a n +1=2a n +1，∴a n +1+1=2(a n +1),又a 1=1，a 1+1=2，所以数列a n +1 是首项为2，公比为2 的等比数列，所以a n +1=2×2n -1，∴a n =2n -1.故选：D .3.已知数列a n 满足a 1=3，a n +1=5a n -8，则a 2022的值为( )A.52021-2 B.52021+2C.52022+2D.52022-2【答案】B 【解析】因为a n +1=5a n -8，所以a n +1-2=5(a n -2)，又a 1-2=1，所以{a n -2}是等比数列，公比为5，首项是1，所以a n -2=5n -1，a n =5n -1+2，所以a 2022=52021+2．故选：B ．4.设数列a n 的前n 项和为S n ，若S n =2a n -2n +1，则S 10=( )A.211-23 B.210-19C.3×210-23D.3×29-19【答案】C 【解析】当n =1时，S 1=a 1=2a 1-2+1，解得a 1=1.当n ≥2时，S n -1=2a n -1-2n +3，所a n =S n -S n -1=2a n -2n +1-2a n -1-2n +3 ，即a n =2a n -1+2，所以a n +2=2a n -1+2 ，即a n +2a n -1+2=2，所以数列a n +2 是首项为3，公比为2的等比数列，则a n +2=3×2n -1，从而S n =3×2n -2n -3，故S 10=3×210-23.故选：C5.在数列a n 中，a 1=1，且a n +1=2a n +1，则a n 的通项为( )A.a n =2n -1 B.a n =2nC.a n =2n +1D.a n =2n +1【答案】A 【解析】解：∵a n +1=2a n +1，∴a n +1+1=2a n +1 ，由a 1=1，得a 1+1=2，∴数列a n +1 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n +1=2⋅2n -1=2n ，即a n =2n -1．故选：A6.数列a n 中，a n +1=2a n +1，a 1=1，则a 100=( )A.2100+1B.2101C.2100-1D.2100【答案】C 【解析】数列a n 中，a n +1=2a n +1，故a n +1+1=2a n +1 ，故a n +1≠0，所以a n +1+1a n +1=2，因为a 1=1，所以a 1+1=2≠0，所以a n +1 是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n +1=2n ，即a n =2n -1，故a 100=2100-1，故选：C .7.数列a n 满足12a n =a n +1-12n +1，且a 1=12，若a n <13，则n 的最小值为( )A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】因为12a n =a n +1-12 n +1，等式两边同时乘以2n +1可得2n a n =2n +1a n +1-1，所以，2n +1a n +1-2n a n =1且2a 1=1，所以，数列2n a n 是等差数列，且首项和公差都为1，则2n a n =1+n -1=n ，所以，a n =n2n，因为a n +1-a n =n +12n +1-n 2n =n +1-2n 2n +1=1-n2n +1.当n =1时，a 1=a 2=12；当n ≥2时，a n +1<a n ，即数列a n 从第二项开始单调递减，因为a 3=38>13，a 4=14<13，故当n ≤3时，a n >13；当n ≥4时，a n <13.所以，a n <13，则n 的最小值为4.故选：B .8.已知数列a n 中，a 1=1，a n =3a n -1+4(n ∈N ∗且n ≥2)，则数列a n 通项公式a n 为( )A.3n -1 B.3n +1-2C.3n -2D.3n【答案】C 【解析】由已知得a 2=7，a n +2a n -1+2=3进而确定数列{a n +2}的通项公式，即可求a n .由a 1=1，a n =3a n -1+4知：a 2=7且a n +2a n -1+2=3(n ≥2)，而a 1+2=3，a 2+2=9，∴{a n +2}是首项、公比都为3的等比数列，即a n =3n -2，故选：C 9.数列a n 满足a n =4a n -1+3n ≥2 且a 1=0，则此数列第5项是( )A.15 B.255C.16D.63【答案】B 【解析】∵a n=4a n-1+3n≥2，∴a n+1=4a n-1+1n≥2，∴a n+1是以1为首项，4为公比的等比数列，则a n+1=4n-1．∴a n=4n-1-1，∴a5=44-1=255．故选：B．10.在数列a n中，已知a1=1，a n+1=2a n+1，则a n=( )A.2n-1B.2n-1C.nD.2n-1【答案】B【解析】由a n+1=2a n+1，得a n+1+1=2a n+2=2a n+1，故数列a n+1为等比数列，首项为a1+1=2，公比为2，所以a n+1=2n，a n=2n-1，故选：B.11.在数列a n中，a1=3，a n=2a n-1-n+2n≥2,n∈N+，若a n>980，则n的最小值是( )A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】因为a n=2a n-1-n+2n≥2,n∈N+，所以a n-n=2a n-1-n-1.n≥2,n∈N+因为a1=3，所以a1-1=2，所以数列a n-n是首项和公比都是2的等比数列，则a n-n=2n，即a n=2n+n,因为a n-a n-1=2n-1+1>0，所以数列a n是递增数列,因为a9=521<980，a10=1034>980，所以满足a n>980的n的最小值是10,故选：C12.设数列{an}中，a1=2，an+1=2an+3，则通项an可能是()A.5-3nB.3·2n-1-1C.5-3n2D.5·2n-1-3【答案】D【解析】设a n+1+x=2a n+x，则a n+1=2a n+x，因为an+1=2an+3，所以x=3，所以a n+3是以a1+3为首项，2为公比的等比数列，a n+3=5×2n-1，所以a n=5⋅2n-1-3故选：D13.在数列a n中，若a1=2，a n+1=3a n+2n+1，则a n=( )A.n ⋅2nB.52-12n C.2⋅3n -2n +1 D.4⋅3n -1-2n +1【答案】C 【解析】令b n =a n 2n +2，则b n +1b n =a n +12n +1+2a n 2n +2=3a n +2n +12n +1+2a n 2n +2=32，又b 1=a 12+2=3，所以b n 是以3为首项，32为公比的等比数列，所以b n =a n 2n +2=3×32 n -1，得a n =2⋅3n -2n +1．故选：C ．14.已知在数列a n 中，a 1=56，a n +1=13a n +12n +1，则a n =( )A.32n -23n B.23n -32nC.12n -23n D.23n -12n 【答案】A【解析】解:因为a 1=56，a n +1=13a n +12n +1，所以2n +1⋅a n +1=23⋅2n a n +1，整理得2n +1⋅a n +1-3=23⋅2na n -3 ，所以数列2n a n -3 是以2a 1-3=-43为首项，23为公比的等比数列．所以2n a n -3=-4323 n -1，解得a n =32n -23n ．故选：A 15.数列a n 满足a n +1=2a n +3,n ∈N *，若a 2017≥a 1，则a 1的取值范围为( )A.(-∞,-3]B.{-3}C.(-3,+∞)D.[-3,+∞)【答案】D【解析】由a n +1=2a n +3可得a n +1+3=2a n +3 ，所以a n +3=a 1+3 ×2n -1所以a n =a 1+3 ×2n -1-3，所以a 2017=a 1+3 ×22016-3≥a 1所以a 1+3 ×22016≥a 1+3，所以a 1+3≥0，所以a 1≥-3故选：D二、填空题16.设数列a n 满足a 1=1，且a n =3a n -1+4n ≥2 ，则数列a n 的通项公式为a n =___________.【答案】3n -2##-2+3n 【解析】解：因为a n =3a n -1+4n ≥2 ，∴a n +2=3a n -1+2 ，∴a n +2a n -1+2=3，∵a 1=1，则a 1+2=3，∴数列a n +2 是以3为首项，3为公比的等比数列.∴a n +2=3⋅3n -1=3n ，所以a n =3n -2，故答案为：3n -217.已知数列a n 中，a 1=1，a n +1=2a n +1，则a n 通项a n =______；【答案】2n -1【解析】因为a n +1=2a n +1，所以a n +1+1=2(a n +1),∴a n +1+1a n +1=2，所以a n +1 是一个以a 1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，所以a n +1=2×2n -1=2n ,∴a n =2n -1.故答案为：2n -118.数列{an }满足a 1=1，an +1=2an +1. (n ∈N *).数列{an }的通项公式为______．【答案】a n =2n -1n ∈N * ．【解析】∵a n +1=2a n +1(n ∈N *)，∴a n +1+1=2(a n +1)，又a 1+1=2∴a n +1 是以2为首项，2为公比的等比数列．∴a n +1=2n ．即a n =2n -1(n ∈N *)．故答案为：a n =2n -1n ∈N * ．19.数列a n 满足a n =4a n -1+3，且a 1=0，则a 6=_________.【答案】1023【解析】由题意知：a n +1=4a n -1+4=4(a n -1+1)，又a 1+1=1，故a n +1 是1为首项，4为公比的等比数列，故a 6+1=a 1+1 ×45=1024，故a 6=1023.故答案为：1023.20.已知数列a n 满足a n +1=2a n +12，且a n 前8项和为761，则a 1=______．【答案】52##2.5【解析】解：数列{a n }满足a n +1=2a n +12，整理得a n +1+12=2a n +12 ，若a 1=-12，则a n =-12，显然不符合题意，所以a n ≠-12，则a n +1+12a n +12=2(常数)；所以数列a n +12 是以a 1+12为首项，2为公比的等比数列；所以a n +12=a 1+12 ⋅2n -1，整理得a n =a 1+12 ⋅2n -1-12；由于前8项和为761，所以S 8=a 1+12 ⋅(1+2+...+27)-8×12=a 1+12 ×1-281-2-4=255a 1+12 -4=761，解得a 1=52．故答案为：52．三、解答题21.已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=3a n +2.(1)证明1+a n 为等比数列，并求a n 的通项公式；(2)记数列11+a n 的前n 项和为S n ，证明S n <34.【答案】(1)证明见解析，a n =2⋅3n -1-1(2)见解析【解析】(1)证明：因为a n +1=3a n +2，所以a n +1+1=3a n +1 ，又a 1+1=2，所以数列1+a n 是以2为首项，3为公比的等比数列，则a n +1=2⋅3n -1，所以a n =2⋅3n -1-1；(2)证明：由(1)得1a n +1=12⋅3n -1，因为1a n +1+11a n +1=12⋅3n 12⋅3n -1=13，1a 1+1=12，所以数列11+a n 是以12为首项，13为公比的等比数列，则S n =12×1-13n 1-13=341-13n ，因为1-13n <1，所以S n <34.22.已知数列a n 满足a 1=3,a n +1=2a n -2.(1)求a n 的通项公式；(2)求a n 的前n 项和S n .【答案】(1)a n =2n -1+2；(2)S n =2n +2n -1.【解析】(1)∵a n +1=2a n -2，∴a n +1-2=2a n -2 即∴a n +1-2a n -2=2∴数列a n -2 是以首相为1，公比为2的等比数列，∴a n -2=2n -1∴a n =2n -1+2(2)由(1)知a n =2n -1+2∴S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n=20+2 +21+2 +22+2 +⋯+2n -1+2=20+21+22+⋯+2n -1 +2n=1×1-2n 1-2+2n =2n +2n -123.已知数列a n 的首项a 1=1，且1a n +1=2a n+1．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若数列b n满足a n⋅b n=n，求数列b n的前n项和S n．【答案】(1)a n=12n-1(2)S n=n-12n+1+2-n n+12【解析】(1)∵1an+1=2an+1，等式两边同时加1整理得1an+1+1=21an+1又∵a1=1，∴1a1+1=2∴1an +1是首项为2，公比为2的等比数列．∴1an +1=2n， ∴a n=12n-1(2)∵a n⋅b n=n，∴b n=n an=n⋅2n-n.记n⋅2n的前n项和为T n则T n=1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n-1⋅2n-1+n⋅2n所以2T n=1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+n-1⋅2n+n⋅2n+1相减得-T n=21+22+23+24+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2n-n⋅2n+1整理得T n=n-12n+1+2.所以S n=n-12n+1+2-n n+1224.在数列a n中，a1=5，且a n+1=2a n-1n∈N*.(1)证明：a n-1为等比数列，并求a n的通项公式；(2)令b n=(-1)n⋅a n，求数列b n的前n项和S n.【答案】(1)证明见解析，a n=2n+1+1(2)S n=432n-1,n=2k,k∈N*,-2n+2+73,n=2k-1,k∈N*.【解析】(1)解：因为a n+1=2a n-1，所以a n+1-1=2a n-1，又a1-1=4，所以a n+1-1a n-1=2，所以a n-1是以4为首项，2为公比的等比数列.故a n-1=4×2n-1，即a n=2n+1+1.(2)解：由(1)得b n=(-1)n⋅2n+1+1，则b n=2n+1+1,n=2k,k∈N*-2n+1+1,n=2k-1,k∈N* ，①当n=2k,k∈N*时，S n=-22-1+23+1-24+1+⋯+-2n-1+2n+1+1=-22+23-24+25+⋯-2n+2n+1=22+24+⋯+2n=432n-1;②当n=2k-1,k∈N*时，S n=S n+1-b n+1=432n+1-1-2n+2+1=-2n+2+73，综上所述，S n=432n-1,n=2k,k∈N*-2n+2+73,n=2k-1,k∈N*25.已知数列a n的前n项和为S n，a1=2，且a n+1=2a n+2．(1)求数列a n的通项公式；(2)令b n=2n+1a n+2，记数列b n的前n项和为T n，求证：T n<3．【答案】(1)a n=2n+1-2(2)证明见解析【解析】(1)解：因为a1=2，a n+1=2a n+2，所以a n+1+2=2a n+2，所以a n+2是以4为首项，2为公比的等比数列，所以a n+2=4×2n-1=2n+1，所以a n=2n+1-2；(2)解：由(1)可知b n=2n+1a n+2=2n+12n+1=n+12n，所以T n=221+322+423+⋯+n+12n①，所以12T n=2 22+323+424+⋯+n+12n+1②；①-②得12T n=1+122+123+⋯+12n-n+12n+1=1+1221-12n-11-12-n+12n+1=32-n+32n+1所以T n=3-n+32n<3；。

求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n na a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解：22(1)4231a n a d S n n n n =-+∴=-=-=--23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3三、累加法例3 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

专题07 求数列的通项公式【考点1】已知前你n 项和，求通项公式的步骤(1) 、当n ＝1时，a 1＝S 1；(2) 、当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式． 【考点2】已知数列的前几项，求通项公式如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或 (－1)n＋1来调节.分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决. 对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决. 【考点3】已知数列的递推关系，求通项公式当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列； 当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列； 当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．三、解法解密 二、考点再现一、核心先导若数列{}n a 满足1n n a a an b ++=+，则数列{}{}221,n n a a -都是公差为a 的等差数列，若数列{}n a 满足()10,0,1n t n n a a a b a b b ++⋅=⋅≠≠≠，则数列{}{}221,n n a a -都是公比为b 的等比数列.题型一:公式法例1、（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））记n S 为各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，378S =，312a =，则5a =（ ）A ．14B ．18C ．1D ．2【变式训练1-1】、（2022·广西·模拟预测（理））在等比数列{}n a 中，若253,6a a ==，则11a =___________. 例2、（2022·浙江台州·模拟预测）已知公差为2的等差数列{}n a 中，3a ，4a ，7a 成等比数列. (1)求n a ；(2)设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)25n a n =-【变式训练2-1】、（2022·上海松江·二模）在等差数列{}n a 中，已知1210a a +=，34530a a a ++=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．题型二:累加法与累乘法(一) 、用累加法求数列的通项公式例3、（2022·上海市控江中学高二期末）己知数列{}n a 满足111,2(,1)n n a a a n n n +==+∈≥N ，则其通项公式n a =________．【答案】2n n 1-+ 【解析】 【分析】利用累加法即可求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，所以212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-，把以上1n -个式子相加，得()()()()()213243124621n n a a a a a a a a n -++++++++---=--……， 即()()122212n n a n a +---=，所以2211nn n a an n =-+=-+.故答案为：2n n 1-+.【变式训练3-1】、在数列{}n a 中,112a =,12141n n a a n +-=-,则该数列的通项公式n a = ． 【分析】题目已知条件是1()(2n n a a f n n --=≥,且n *∈N ）形式,用叠加原理求解.【解析】因为121111()4122121n n a a n n n +-==---+,所以运用累加法即可得到：1122111111111()()()[(1)()()](1)23352321221n n n n a a a a a a n n n ----+-++-=-+-++-=----,所以11143(1)22142n n a a n n -=+-=--,故应填4342n n --． 【点评】当1()(2n n a a f n n --=≥,且n *∈N ）满足一定条件时,可用1()n n n a a a -=-+12()n n a a ---+…211()a a a -+来求通项n a ,这种方法通常叫累加法. 本题用到裂项相消求和,相消时应注意消去的项规律,及消去哪些项,保留哪些项,于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同学会出现的错误,认为21d n n =-或21d n n =+是常数,实际上21d n n =-或21d n n=+是个变量,n 变化d 随之改变.【变式训练3-2】、（2022·浙江柯桥·高二期末）已知等差数列{}n a 中，16a =，前5项的和为590S =，数列{}n b 满足11b =，()*12N n n n b b n +-=∈．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)记n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)()6N*n a n n =∈，()*21N n n b n =-∈；(2)()()211234224234665n n n n n n T n n n ++⎧+-+≤⎪=⎨--+≥⎪⎩. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列求和公式可得6d =，进而可得()6N*n a n n =∈，再利用累加法可求n b ，即得； （2）由题可得()()62142615n n n n n n n c a b n n ⎧-+≤⎪=-=⎨--≥⎪⎩，然后利用分组求和法即得.(1)设公差为d ，由题设可得5456902d ⨯⨯+=， 解得6d =，所以()6N*n a n n =∈； 当2n ≥时，2123221111222222n n n n n b b b b b b b b ----=⎫⎪-=⎪⇒-=++⋅⋅⋅+⎬⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎭，∴122112nn n b -==--，当1n =时，11b =（满足上述的n b ），所以()*21N n n b n =-∈．(2)∵()()62142615n n n n n n n c a b n n ⎧-+≤⎪=-=⎨--≥⎪⎩．当4n ≤时，()()21271361222nn n T c c c n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦ ()()212761212nn n -++=-- 213422n n n +=+-+．当5n ≥时，()()561234222313761nn n T c c c n ⎡⎤=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+⎣⎦()()()54212463234122n n n ---+=+--1223466n n n +=--+．综上所述：()()211234224234665n n n n n n T n n n ++⎧+-+≤⎪=⎨--+≥⎪⎩． (二) 、用累乘法求数列的通项公式例4、（2022·安徽黄山·一模）已知数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则20211232020a a a a a =+++⋅⋅⋅+___________.【答案】10111010【解析】 【分析】利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，利用错位相减法可求得122020+++a a a ，即可求得所求代数式的值. 【详解】因为数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则()1221n n n a a n ++=+，所以，当2n ≥时，()()132112121232421223n n n n n a a a a a n a a a n--+⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=+⋅， 12a =也满足()112n n a n -=+⋅，所以，对任意的N n *∈，()112n n a n -=+⋅.令122020S a a a =+++，则012201922324220212S =⨯+⨯+⨯++⨯，可得1220192020222322020220212S =⨯+⨯++⨯+⨯，上述两个等式作差得()20191220192020202020202122222202122202122020212S --=++++-⨯=+-⨯=-⨯-，所以，202012202020202a a a S +++==⨯，因此，2020202120201232020202221011=202021010a a a a a ⨯=+++⋅⋅⋅+⨯. 故答案为：10111010. 例5、（2021·河北·沧州市一中高三阶段练习）已知数列{}n a 中，112a =，且满足1(1)n n na n a +=+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设112n n n b a λ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，若对任意的*N n ∈，数列{}n b 是单调递减数列，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)2n na = (2)1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用累乘法求得n a . （2）由10n nb b 分离常数λ，结合函数的性质求得λ的取值范围.(1)依题意0n a ≠，故11n n a n a n ++=，从而11n n a n a n -=-，2n ≥， 故3212112n n n a a a a na a a a -⋅==，2n n a =， 当1n =时，上式也符合，所以2n n a =. (2)由（1）知，112221n n n n b a n λλ+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 若对任意的*N n ∈，数列{}n b 是单调递减数列，则1422021n n n b b n n λ+⎛⎫-=--<⎪++⎝⎭对任意的*N n ∈恒成立， 即4221maxn n λ⎛⎫>- ⎪++⎝⎭， 又()()4222221123n n n n n n n-==++++++， 因为函数()20y x x x=+>在区间()0,2上单调递减， 在()2,+∞上单调递增，所以由对勾函数的性质可知，当1n =或2n =时，23n n++取得最小值6， 即4221n n -++取得最大值13，故实数λ的取值范围为1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【变式训练5-1】、数列{}n a 中，前n 项和为n S ， 2nn na S = (1)求数列{}n a 的通项公式；学=科网 (2)令2112n n n n n S S b S S ++++=+，证明： 12223n n b b b n <+++<+.【解析】(1) 2nn na S =， ()()11122n n n a S n ---=≥，两式相减得： ()1122n n n n a na a --=-， 整理得： ()()121n n n a n a --=-， （叠乘法）因为()1132n n a n n a n --=≥-，所以3221a a =， 4332a a =，…， 112n n a n a n --=-， 相乘得21na n a =-，且当n =1、2时，满足此式， 所以()21n a n a =-.(2) ()()()()()()22222112212122n n n a n na b n na n n a +++=++++ 22n nn n +=++， 因为n b 2>，所以122n b b b n +++>；222211211222n n nb n n n n n n +=++=++-+⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭ 12111112213242nb b b n n n +++⎛⎫=+-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭ 11122123212n n n n ⎛⎫=++--<+ ⎪++⎝⎭.【变式训练5-2】、（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且32n n a S n =+. (1)求数列{}n a 的通项公式： (2)证明：12123nn S S S ++⋅⋅⋅+<. 【答案】(1)()12n n n a +=(2)证明见解析 【分析】（1）利用n a 与n S 关系可推导得到111n n a n a n -+=-，利用累乘法即可求得n a ；题型三:已知前n 项和，求通项公式例6、（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）已知数列{}n a 中，前n 项的和为n S ，且34n n S a =- (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)如果123123n n a a a a ++++<92-823n⎛⎫⨯⎪⎝⎭恒成立，求n 最小值. nna ++，解不等式即可， nna ++12()23n n -++⨯32)312n -++⨯212()32()]3n -+++n⎫⎪⎭，【变式训练6-1】、（2022·四川资阳·一模（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足3232S a =+，且12n n a S a =+．(1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足11231232n nna b b b b +++++=-，求{}n b 的前n 项和n T ． 2q为公比的等比数列，2得13a a +122n -=⋅=n nna b ++=3131n n b b --+++=，2n ≥12，符合b 1212222n nn b ++=+++121231222n n n 012111112222n n n T T --==++++-题型四:构造法例7、（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）已知数列{}n a 满足13a =，()*121N n n a a n +=+∈.(1)求证：数列{}1n a +是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式及前n 项的和n S . 【答案】(1)证明见解析； (2)121n n a +=-，224n n S n +=--. 【解析】 【分析】 （1）证明出1121n n a a ++=+，即可证得结论成立； （2）由（1）的结论并确定数列{}1n a +的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法可求得n S . (1)证明：因为数列{}n a 满足13a =，()*121N n n a a n +=+∈，则()1121n n a a ++=+，且114a +=，则218a +=，3116a +=，，以此类推可知，对任意的N n *∈，10n a +>，所以，1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +为等比数列. (2)解：由（1）可知，数列{}1n a +是首项为4，公比为2的等比数列，则111422n n n a -++=⨯=，所以，121n n a +=-，因此，()()()()()23412341212121212222n n n S n ++=-+-+-++-=++++-()222122412n n n n +-=-=---.【变式训练7-1】、（2022·江苏镇江·高二期末）已知数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈(1)证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)令(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和.n T【答案】(1)证明见解析，21nn a =-(2)1(1)2 2.n n T n +=-⋅+ 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案； （2）根据错位相减法求和即可. (1)解：数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈112(1)n n a a ++=+，∴数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列， 11222n n n a -∴+=⋅=，即21n n a =-；∴21nn a =-(2) 解：(1)2n n n b n a n =+=⋅，231222322n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅，23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，2311112(21)22222222221n nn n n n n T n n n ++++-∴-=++++-⋅=-⋅=--⋅-，1(1)2 2.n n T n +∴=-⋅+A 组 基础巩固1．（2022·广西北海·一模（理））在等差数列{}n a 中，38a =，712a =，则12a =（ ） A ．19 B ．18C ．17D ．20【答案】C【分析】利用已知条件列方程组求出1,a d ，从而可求出12a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得1128612a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得161a d =⎧⎨=⎩， 所以1211161117a a d =+=+=， 故选：C.2．（2022·全国·模拟预测（文））在数列{}n a 中，()()()111,11N n n a n n a a n *+=+-=∈，则2022a =（ ）A ．40432022B ．20212022C ．40402021D ．20202021()21111111111212a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．（2022·广西·模拟预测（文））在等比数列{}n a 中，124a a +=，若1a 、22a +、3a 成等差数列，则{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B4．（2010·山西临汾·模拟预测（文））已知等差数列{}n a 的公差是2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于（ ） A ．6- B ．4- C ．8- D ．10-【答案】A【分析】利用等比中项，结合等差数列通项公式列方程求解即可. 【详解】解：因为等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，3a ，4a 成等比数列， 所以2314a a a =，即()()()2222224a a a +=-+， 解得26a =- ， 故选：A5．（2022·山西大附中三模（理））已知等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足652317a S a a ==，，则12a =（ ）A ．28B ．30C ．32D ．35【答案】D【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差和首项的值,进而代入即可求解.【详解】设公差为d 且0d >，由652317a S a a ==，，得()()111115172510230a d a a d a d a d d d +=⎧=⎧⎪+=++⇒⎨⎨=⎩⎪>⎩， 故1211123335a a d =+=+=， 故选：D6．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）若数列{}n a 满足121n n a a +=-，则称{}n a 为“对奇数列”．已知正项数列{}1n b +为“对奇数列”，且12b =，则n b =（ ）A ．123n -⨯B ．12n -C ．12n +D ．2n【答案】D【分析】根据题意可得()11211n n b b ++=+-，进而可得{}n b 为等比数列，再求得通项公式即可.【详解】由题意得()11211n n b b ++=+-，所以12n n b b +=，又12b =，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=．故选：D ．7．（2022·四川·成都七中模拟预测（文））设数列{}n a 满足11,1n n n a a a ++=-且112a =，则2022a =（ ）A ．2-B ．13-C ．12D ．38．（2020·云南·昆明一中模拟预测（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*3n n S a n =+∈N ，则实数a 的值是（ ） A ．3- B ．3 C ．1- D ．1【答案】C【分析】先求出1a 23,a a ，由2213a a a 解得即可；【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为()*3n n S a n =+∈N ，当1n =时，可得1113a a S +==，可得13a a =+，当2n ≥时，113n n S a --=+，则()1113323n n n n n n a S S a a ---==-=⋅-++所以213123236,2318a a --=⋅==⋅=因为{}n a 为等比数列， 所以2213a a a ，即()66183a ⨯=+解得1a =-，经检验符合题意. 故选：C ．9．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，4516a a +=，则6a =（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】C【分析】根据条件求出1,a d 即可.【详解】因为1231339a a a a d ++=+=，4512716+=+=a a a d ， 所以可解得1a 1,d 2，所以61511011a a d =+=+=， 故选：C10．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知数列{}n a 满足：①先单调递减后单调递增：②当3n =时取得最小值．写出一个满足条件的数列{}n a 的通项公式n a =_________．【答案】()()2*3N n n a n =-∈【分析】利用数列单调性的定义进行判断，从而得到数列的最值.【详解】设()()2*3N n a n n =-∈，则()212n a n +=-，()()2122325n n a a n n n +-=---=-，当120152,n n n n a a +-=-≤<≤，数列单调递减，当1503,2n n n a a n +-=->≥，数列单调递增，即1234a a a a >><<⋅⋅⋅， 可得当3n =时数列取得最小值，故答案为：()()2*3N n n a n =-∈11．（2022·河南开封·模拟预测（理））在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若33a =，39S =，则{}n a 的公比为______．12．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知等差数列{}n a 的公差1d =，且3a ，5a ，6a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和为n S ．13．（2022·河南·模拟预测（理））若数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +-=． (1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++<． ()2112(1)2(2)21a a a n n ++-+=-+-+++222(1)2n n -+⋅-=12=<； 111=-， 2311111111111112231n n a a a a n n ⎛⎫++=++++<+-+-++- ⎪-⎝⎭12n=-<12na ++<； 21n n -+.B 组 能力提升14．（2023·江西景德镇·模拟预测（理））已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列且公比2q .数列{}n a 和数列{}n b 的前n 和分别为n S 和n T ，且满足222n n T S +=，则等差数列{}n a 的通项公式为_____________. 【答案】42n a n =-【分析】分别令1,2,3n =，得到224468222T S T S T S+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，设{}n a 的公差为d ，化简得到114275634740a d a d -=⎧⎨-=⎩，解方程组可得答案.【详解】由已知得，令1,2,3n =得，222244446868222222T S T S T S T S T S T S ⎧+==-⎧⎪⎪+=⇒=-⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩，根据等比数列求和公式，得到2141613,15,63T b T b T b ===，故12141832152632b S b S b S =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩428225(2)221(2)S S S S -=-⎧⇒⎨-=-⎩，设{}n a 的公差为d ，则1111462105108282422142a d a d a d a d +-=+-⎧⎨+-=+-⎩，化简得111427562347404a d a a d d ⎧-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，42n a n =-故答案为：42n a n =-15．（2022·广西·模拟预测（文））已知等比数列{}n a 满足31352,4a a a a +=+=，则79a a +=___________. 16．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列{}n a 为等比数列，1272a a +=，2336a a +=，则4a =______. 【答案】6【分析】设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由题意可得到11(1)72(1)36a q a q q +=⎧⎨+=⎩，能求出1a 和q ，即可求出答案【详解】解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由题意可得1211223117236a a a a q a a a q a q +=+=⎧⎨+=+=⎩即11(1)72(1)36a q a q q +=⎧⎨+=⎩， 易得10q +≠，所以两式相除，解得12q =， 将12q =代入1(1)72a q +=可得148a =，所以3416a a q ==， 故答案为：617．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））若数列{}n a 满足12a =，()*121N n n n a a a n ++++=∈，则其前2020项和为___________. 【答案】675【分析】利用分组求和法求得正确答案. 【详解】12a =，121n n n a a a ++++=()()()2020123456720182019202016731675S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++⋯⋯+++=+⨯=故答案为：67518．（2022·安徽·全椒县第八中学模拟预测（理））雪花曲线是由瑞典人科赫（Koch ）于1904年提出的一种分形曲线，其形态似雪花，故称雪花曲线，又称科赫雪花．雪花曲线是由等边三角形开始，把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边．接着对所得新图形的每条边继续上述过程，即在每条边三分后的中段，向外画新的“尖形”．不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线．下图分别是0、1、2、3级的雪花曲线，若第0级的等边三角形边长等于1，则第4级的雪花曲线周长等于______．19．（2020·全国·模拟预测（文））记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=（n 为正整数），则数列{}n a 的通项公式为________．故答案为：21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 20．（2022·浙江宁波·一模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n 层放n a 个物体堆成的堆垛，则1210111a a a +++=__________． 【答案】2011【分析】由累加法即可求得n a ，再利用裂项相消法即可求解. 【详解】由题可知：1231,3,6a a a ===，即有()12n n a a n n --=≥， 所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+---+++(1)12342n n n +=+++++=，当n=1成立 所以1222(1)1n a n n n n ==-++，所以121011122222222223341011a a a +++=-+-+-++- 22021111=-=. 故答案为：201121．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和31n S n =-，数列{}n b 满足11b =-，()121n n b b n +=+-. (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式. (2)若n nn a b c n⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】(1)2,13,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，22n b n n =-(23)n ++-符合上式，∴n b =2,36,n n -=⎧=⎨-⎩C 组 真题实战练22．（2019·全国·高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．【详解】设正数的等比数列{an }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．23．（2021·全国·高考真题（文））记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】A【分析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=， ∴641167S S =+=+=. 故选：A.24．（2012·全国·高考真题（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为 A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100【答案】A【详解】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. ∵a 5＝5，S 5＝15，∴1145{545152a d a d +=⨯+=⇒111a d =⎧⎨=⎩⇒a n ＝n. ∴11n n a a +⋅＝()11+n n ＝111n n -+，S 100＝112⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1123⎛⎫- ⎪⎝⎭＋…＋11100101⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1－1101＝100101. 25．（2014·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于 A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C【详解】试题分析：利用等比数列的性质可得a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10．再利用对数的运算性质即可得出． 解：∵数列{a n }是等比数列，a 4=2，a 5=5， ∴a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10． ∴lga 1+lga 2+…+lga 8 =lg （a 1a 2…×a 8） ==4lg10 =4． 故选C ．考点：等比数列的前n 项和．26．（2014·天津·高考真题（文））设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2 B ．-2C ．12D ．12-【答案】D 【分析】把已知2214S S S 用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S ，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题． 27．（2010·湖北·高考真题（文））已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A ．12+ B ．12- C ．322+ D ．322-【答案】C【详解】试题分析：由已知3122a a a =+，所以21112a q a a q =+，因为数列{}n a 的各项均为正，所以21q =+，222910787878322a a a q a q q a a a a ++===+++．故选C ．考点：等差数列与等比数列的性质．28．（2015·浙江·高考真题（理））已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则 A ．140,0a d dS >> B ．140,0a d dS << C ．140,0a d dS >< D ．140,0a d dS <>【答案】B【详解】∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念29．（2019·全国·高考真题（理））记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4.【分析】根据已知求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【详解】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．30．（2019·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.31．（2008·四川·高考真题（文））设数列{}n a 中，112,1+==++n n a a a n ，则通项n a = ___________． 21⎤++++⎦)1+ 故应填【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；抓住1n n a a +=32．（2014·广东·高考真题（文））等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=_____.【答案】5.【详解】试题分析：由题意知21534a a a ==，且数列{}n a 的各项均为正数，所以32a =，()()()223512345152433352a a a a a a a a a a a a a ∴=⋅⋅=⋅==，()521222324252123452log log log log log log log 25a a a a a a a a a a ∴++++===．考点：1．考查等比数列的基本性质；2．对数的基本运算．33．（2015·安徽·高考真题（理））已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 . 2q ，项和1n a S =等比数列的性质；2.等比数列的前34．（2014·江苏·高考真题）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是_______. 【答案】4【详解】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为100q a >>，．∵8642a a a =+，∴7511123=+a q a q a q ，化为4220q q --=，解得22q =．∴261254124a a q a q ===⨯=．故答案为4．考点：等比数列的通项公式.35．（2015·全国·高考真题（理））n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 1n （Ⅱ））根据数列的递推关系，利用作差法即可求11n a +，利用裂项法即可求数列121n +++本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．36．（2021·全国·高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值．37．（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 113n n --+++121111333-⎫+++⎪⎭n ，230121*********323333n n n -⎫⎛⎫++++-++++=⎪ ⎪⎭⎝⎭0101233--+++113---n n 2111111212233-----+++n n ， ⑧ 311212233---+++nn ． ⑨211133-⎫++-⎪⎭n 123--⨯n n ． 03<⨯nn．113n n --+++3213n n -+++2111133333n n n n =++++-1)323n nn-⋅，3(134n n --1n b c ++=：导函数法 23+++=nx x x )()(1'1n x x ⎡⎤⎤-⎣⎦1-++=n nx1-n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 38．（2014·全国·高考真题（理））已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+. (1)证明12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：121113 (2)n a a a +++<. 【答案】（1）证明见解析，113322n n a -+=；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出1na ，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式. 试题解析：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧+⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n-. （2）由（1）知：n a =312n -，所以1231n n a =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +1na =31(1)23n -32<，+1n a 32<. 【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力。

数列11、 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

2、 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

3、 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4、 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

5、 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

6、 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项 公式。

数列2 1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a3、已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项4、已知在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a5、 已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

6、已知数列{}n a 中，11=a,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求na7、已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .8、已知数列｛n a ｝中，2111,1n n a aa a ⋅==+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a9、已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

数列大题综合练习(含答案)1、在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n。

1）设bn=an，证明数列{bn}为等差数列；2）求数列{an}的前n项和Sn。

2、已知数列{an}中，a1=11，且an-an+1=22an+1。

1）求数列{an}的通项公式；2）数列{bn}满足：b1=2，bn+1-2bn=22n+1，且{bn}是等差数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn。

3、已知数列{an}的前n项和为Sn，an=2，{bn}为首项是3的等差数列，且b3Sn/5=434。

1）求{bn}的通项公式；2）设{bn}的前n项和为Tn，求XXX的值。

4、设Sn是数列{an}的前n项和，点P(an,Sn)在直线y=2x-2上，(n∈N)1）求数列{an}的通项公式；2）记bn=2(1-1/n)，求数列{bn}的前n项和XXX。

5、已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+an+1/2，n∈N1）令bn=an+1-an，证明{bn}是等比数列；2）求数列{an}的通项公式。

6、数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an-3n，（n∈N）1）求数列{an}的通项公式an；2）令bn=31/n，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<Sn+3n+92.7、正项数列{an}满足f(an)=an2，（1）求证{an}是等差数列；（2）若bn=an，求数列{bn}的前n项和为Tn。

8、已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列各项均不为0，点Pn(an,Sn)在函数f(x)=x2+x上的图象上。

1）求数列{an}的通项an及前n项和Sn；2）求证：Pn+1≤Pn。

n1 an 1anan 1数列 an是等差数列。

2）bn3n an3n(n 121232 n 21 2 n 3n S n1 2 n 21 2 n 32n12n23n2)12n12n1)(n2) 12n12n232n 11.当$n=1$时，$a_1=S_1=1$，所以数列$\{a_n\}$是首项为1，公差为2的等差数列。

山东省烟台市芝罘区数学2015-2016高三专题复习 -数列（1）求通项方法及经典练习（含答案）烟台乐博士教育特供 明老师整理1、定义法：直接求首项和公差或公比。

2、公式法：1 (1) (2)n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩两种用途（列举），结果要验证能否写成统一的式子．例、数列{}n a 的各项都为正数，且满足()()2*14nn a S n N +=∈，求数列的通项公式．解一：由()()2*14nna S n N +=∈得()()()221114411n n n n n aS S a a +++=-=---化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为10,2n n n a a a +>∴-=，又()2111441S a a ==-得11a =，故{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21n a n =-．解二：由()()2*14nna S n N +=∈，可得()121,212n n n n n S a S S S n -=-∴=--≥化简可得()211n n S S --=，即11n n S S --=，又11S =，所以数列{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列，∴n S n =，从而2n S n =，所以121n n n a S S n -=-=-，又11a =也适合，故21n a n =-．练习：已知数列{a n }的前n 项和S n 满足120n n n a S S -+=（2n ≥），a 1=21，求n a ．答案：a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21n n n n ． 扩展一：作差法例、在数列}{n a 中，11a =，212323(1)n a a a na n n ++++=-+，求n a ．解：由212323(1)n a a a na n n ++++=-+，得2123123(1)(2)1n a a a n a n n -++++-=-+-，两式相减，得66n na n =-+，∴ 1 (=1)66 (2)n n a nn n⎧⎪=-⎨≥⎪⎩． 练习（理）：已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求n a ．解：由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，得1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+，两式相减，得1n n n a a na +-=，即11(2)n na n n a +=+≥，所以13222122![(1)43]2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=又由已知，得2122a a a =+，则211a a ==，代入上式，得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以，{}n a 的通项公式为 1 (1)! (2)2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩．扩展二、作商法例、在数列}{n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ∙∙∙∙=，求n a ． 解：∵2123n a a a a n ∙∙∙∙=，∴21232(1)n a a a a n -∙∙∙∙=-，故当2n ≥时，两式相除，得22(1)n n a n =-，∴221 (=1)(2)(1)n n a nn n ⎧⎪=⎨≥⎪-⎩． 3、 叠加法：对于型如)(1n f a a n n =-+类的通项公式．例、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .答案：na n 14-=. 例、已知数列{}n a 满足112231n n n n a a ++=++-（*n N ∈），352a =，求通项n a . 解：由112231n n n n a a ++=++-，两边同除以12n +，得()111131112222n n n n n n n a a n ++++-=-+≥，列出相加得121212121332323212212121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=---n a a n n n n又由已知求得16a =，∴()*231n n n n N a n ∈=∙++．练习：已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．答案：1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅=．4、叠乘法：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 的类型例（理）、已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式． 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅121[2(11)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-++⨯⨯(1)1(1)(2)21122[(1)32]53325!n n n n n n n n n ---+-+++-=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!n n n n a n --=⨯⨯⨯．练习：在数列{a n }中，112a =，11(1n n n a a a n --=⋅+≥2），求n a ． 答案：）1(1+=n n a n ． 5、构造法：型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a +1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与)1(11pqa p p q a n n --=--+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．例、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ． 解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n n n a a -=---=+-．练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ． 答案：12-=n n a ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nn n n qa p q a q ，令nn n a b q =，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解．例、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ． 解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2n a n )+1，令b n =2 n a n ，则b n+1=32b n +1，b n+1-3=32（b n -3） 易得 b n =3)32(341+--n ，即2n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =n n 2332+-．练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ．答案：31()222n n a n =-．(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）例、已知数列{}n a 满足11=a ，11212n n a a n -=+-（2n ≥），求．解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--，∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件， 得11[(1)]212n n b An B b A n B n ---=---+-，即11111(2)(1)2222n n b b A n A B -=++++-，令202A +=，1022A B +-=，解得A=－4，B=6，所以112n n b b -=，且46n n b a n =-+，∴{}n b 是以3为首项、以12为公比的等比数列，故132n n b -=，故13462n n a n -=+-． 点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解．练习：在数列{}a n 中，132a =，1263n n a a n --=-，求通项a n ．答案：a n n n -+=69912·()．解：由1263n n a a n --=-，得111(63)22n n a a n -=+-，令11[(1)]2n n a An B a A n B -++=+-+，比较系数可得：A=－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又1192b a A B ==++，∴{}n b 是首项为92，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n -+=69912·()．(4) f(n)为非等差数列，非等比数列法一、构造等差数列法例、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴数列2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21nnn a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+．练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。