2018届高考数学(文)大一轮复习检测课时作业：第6章不等式、推理与证明课时作业38(含答案)

课时规范训练 A 组 基础演练1．用数学归纳法证明2n＞2n ＋1，n 的第一个取值应是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.∵当n ＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n＞2n ＋1不成立； 当n ＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n ＋1不成立； 当n ＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n ＋1成立． ∴n 的第一个取值应是3.2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( ) A ．一切正整数命题成立 B ．一切正奇数命题成立 C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对解析：选B.n ＝1为奇数，n ＝k ＋2为奇数．故B 项正确．3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B.当n ＝8时，1＋12＋14＋…＋127＝255128＞12764.4．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1n －n ＋ B.12nn ＋C.1n －n ＋D.1n ＋n ＋解析：选C.当n ＝2时，13＋a 2＝(2×3)a 2，∴a 2＝13×5.当n ＝3时，13＋115＋a 3＝(3×5)a 3，∴a 3＝15×7.故猜想a n ＝1n －n ＋.5．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，k ＋2＋k ＋＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋3k ＋＋k ＋＝k ＋2＝(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：选D.在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．6．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．解析：因为n 为正奇数，所以与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1. 答案：2k ＋17．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *)，通过计算a 1，a 2，a 3，a 4，可猜想a n ＝________.解析：∵a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋1＝32，a 3＝12a 2＋1＝74，a 4＝12a 3＋1＝158.由此可猜想a n ＝2n－12n －1.答案：2n－12n －18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________.解析：由(S 1－1)2＝S 21得：S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2得：S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3得：S 3＝34.由此可猜想S n ＝nn ＋1.答案：nn ＋19．设数列{a n }各项均为正数，且满足a n ＋1＝a n －a 2n . 求证：对一切n ≥2，都有a n ≤1n ＋2. 证明：∵数列{a n }各项均为正数，且满足a n ＋1＝a n －a 2n ，∴a 2＝a 1－a 21＞0，解得0＜a 1＜1.当n ＝2时，a 2＝a 1－a 21＝14－(a 1－12)2≤14，不等式成立，假设当n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即a k ≤1k ＋2， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k －a 2k ＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122≤14－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋2－122＝k ＋1k ＋2＜k ＋1k ＋k ＋＝1k ＋＋2， ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立， 由数学归纳法知，对一切n ≥2，都有a n ≤1n ＋2. 10．已知数列{a n }满足a 1＝a ＞2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：对任意n ∈N *，a n ＞2； (2)判断数列{a n }的单调性，并说明理由． 解：(1)证明：用数学归纳法证明a n ＞2(n ∈N *)． ①当n ＝1时，a 1＝a ＞2，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1)时结论成立，即a k ＞2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋2＞2＋2＝2，所以n ＝k ＋1时，结论也成立．故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n ∈N *，都有a n ＞2成立． (2){a n }是单调递减的数列．因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2n ＝－(a n －2)(a n ＋1)， 又a n ＞2，所以a 2n ＋1－a 2n ＜0，所以a n ＋1＜a n . 故{a n }是单调递减的数列．B 组 能力突破1．用数学归纳法证明1＋2＋3…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C.k ＋4＋k ＋22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2解析：选D.等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n 2.故n ＝k ＋1时，最后一项是(k ＋1)2，而n ＝k 时，最后一项是k 2，应加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.2．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明n ＝k ＋1时，只需展开( ) A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：选A.假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可． 3．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k)解析：选D.(1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除． (2)假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立， 即3(2＋7n)能被9整除， 那么当k ＝n ＋1时有3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立． 由(1)(2)知，命题对k ∈N *成立．4．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1＞n －22(n ≥2)．证明：①当n ＝2时，左边＝12＞0＝右边，∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立．即12＋13＋14＋…＋12k －1＞k －22成立，那么n ＝k ＋1时，12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1＞k －22＋12k －1＋…＋12k ＞k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k＝k －22＋2k －12k＝k ＋－22，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时恒成立．5．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n (n ∈N *)，且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解：(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1，b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，∴P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1 ＝b k1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝1也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．。

课时分层训练(三十四) 基本不等式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知x >－1，则函数y ＝x ＋1x ＋1的最小值为( ) 【导学号：31222211】A ．－1B ．0C ．1D ．2C2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”成立的( )【导学号：31222212】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B3．(2016·吉林东北师大附中等校联考)函数f (x )＝ax －1－2(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx －ny －1＝0上，其中m >0，n >0，则1m ＋2n的最小值为( ) 【导学号：31222213】A ．4B ．5C ．6D ．3＋2 2D4．(2016·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16B5．(2016·郑州外国语学校月考)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <QC 二、填空题6．(2016·湖北华师一附中3月联考)若2x ＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是__________． 27．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为__________．948．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．20 三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x －2x 的最大值．(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.2分当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，4分 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.6分(2)∵0<x <2， ∴2－x >0， ∴y ＝x－2x ＝2·x－x≤2·x ＋2－x2＝2，8分当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x－2x 的最大值为 2.12分10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，2分又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.5分 (2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y·8yx＝18.8分当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )【导学号：31222214】A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元C2．(2015·山东高考)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．23．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值．(1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t ，1≤t ≤20，559＋140t－4t ，20<t ≤30.5分(2)当t ∈时，401＋4t ＋100t≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值).7分当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，10分所以t ∈时，W (t )的最小值为441万元.12分。

课时规范训练A 组 基础演练1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33D ．27解析：选B.5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，…… 推出x －20＝12，所以x ＝32.2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 B ．76 C ．123D ．199解析：选 C.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123. 3．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a ＞|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：选B.从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.4．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22C.lr 2 D ．不可类比答案：C5．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127解析：选D.正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127. 6．老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两个说对了，则四名学生中说对了的两人是( ) A ．甲 丙 B ．乙 丁 C ．丙 丁D ．乙 丙解析：选D.如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对；如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D.7．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( ) 13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31 … … … A ．809 B ．852 C ．786 D ．893解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809. 8．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： (1)1]( ) A ．n B ．n ＋1 C ．n －1D ．n 2解析：选A.由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝ (1)9．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是()A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<nC．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－m解析：选D.法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．法二：m＋n<0⇒m<－n⇒n<－m，又由于m<0<n，故m<－n<n<－m成立．10．n个连续自然数按如下规律排列：则从2 018到2 020，箭头的方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓解析：选C.由题意可知箭头变化的周期为4，又2 018＝504×4＋2，故由可知从2 018到2 020箭头的方向依次为↑→.B组能力突破1．已知集合A n＝{1,3,7，…，(2n－1)}(n∈N*)，记A n中所有可能的k(k＝1,2,3，…，n)个数的乘积的和为T k(若k＝1，规定乘积为此数本身)，记S n＝T1＋T2＋T3＋…＋T n.例如当n＝1时，A1＝{1}，T1＝1，S1＝1；当n＝2时，A2＝{1,3}，T1＝1＋3，T2＝1×3，S2＝1＋3＋1×3＝7，则S n＝()A．2n－1 B．22n－1－1C．2n(n－1)＋1－1 D．－1解析：选D.本题考查推理与证明．当n＝3时，A3＝{1,3,7}，T1＝1＋3＋7＝11，T2＝1×3＋1×7＋3×7＝31，T3＝1×3×7＝21，所以S3＝11＋31＋21＝63.由于S1＝21－1，S2＝23－1，S3＝26－1，所以可猜想S n＝21＋2＋3＋…＋n－1＝－1. 2．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＋c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O-ABC中，∠AOB＝∠B OC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3解析：选A.如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，由立体几何知识知，AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12OC ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·OD 2 ＝S 21＋S 22＋S 23.3．观察分析下表中的数据：多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是__________________． 解析：观察分析、归纳推理． 观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2. 答案：F ＋V －E ＝24．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝__________.解析：由S n ＝2a n －n ①，得到S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2) ②，①－②得a n ＝2a n －2a n －1－1(n ≥2)，即a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2)，对①式，令n ＝1，有a 1＝1，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.答案：2n －1 5．给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的一个交点； 命题2：点(2,4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x 的一个交点； 命题3：点(3,9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x 的一个交点； ……请观察上面的命题，猜想出命题n (n 是正整数)为：________.解析：点的横坐标是命题“n ”的值，纵坐标为n 2，直线的斜率为n ，曲线的系数为n 3，总结为点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x 的一个交点．答案：点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x 的一个交点6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4________，________，T 16T 12成等比数列．解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12， T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 8。

（时间：40分钟）1．函数f (x )＝错误!的定义域是（ )A ．(－∞，1)∪（3，＋∞）B ．(1，3)C ．(－∞，2）∪（2，＋∞)D ．（1，2)∪（2,3)答案 D解析 由题意知错误!即错误!故函数f （x ）的定义域为（1，2)∪(2，3)．2．不等式x 2－4〉3｜x |的解集是( ）A ．（－∞,－4)∪（4，＋∞) B．(－∞，－1）∪（4,＋∞)C ．（－∞，－4）∪（1,＋∞) D．（－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析 ∵|x |2－3|x |－4〉0，∴(|x |－4）（|x ｜＋1)>0，∴｜x ｜〉4,x 〉4或x 〈－4，选A 项．3．下列选项中，使不等式x 〈1x<x 2成立的x 的取值范围是( ） A ．(－∞，－1)B ．（－1,0)C ．(0,1）D ．（1，＋∞)答案 A解析当x>0时，原不等式可化为x2〈1〈x3，解得x∈∅，当x〈0时，原不等式可化为错误!解得x<－1,选A。

4．已知关于x的不等式错误!〉0的解集是(－∞，－1）∪错误!，则a的值为（)A．－1 B.错误!C．1 D．2答案D解析由题意可得a≠0且不等式等价于a(x＋1)·错误!>0，由解集的特点可得a〉0且错误!＝错误!，故a＝2.故选D。

5．已知不等式ax2＋bx＋2〉0的解集为｛x|－1<x〈2｝，则不等式2x2＋bx＋a〈0的解集为( )A。

错误!B.错误!C．｛x｜－2〈x〈1｝D．{x｜x〈－2或x>1}答案A解析由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根，且a<0。

由韦达定理错误!⇒错误!∴不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1〈0，可知x ＝－1，x ＝错误!是对应方程的根,∴选A.6．不等式（a －2)x 2＋2（a －2)x －4〈0对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是________．答案 （－2,2]解析 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4〈0，对一切x ∈R 恒成立,当a ≠2时，则有错误!即错误!∴－2〈a 〈2.综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．7．不等式x ＋1x≤3的解集为________． 答案 错误!解析 x ＋1x ≤3，即x ＋1－3x x≤0, 1－2x x ≤0⇔错误!⇔错误!解得x ≥错误!或x <0.故原不等式的解集为错误!。

课时规范训练《第六章不等式与推理证明》6-1A 组基础演练1．若a ＜b ＜0，则下列不等式一定成立的是()A.1a －b ＞1b B ．a 2＜ab C.|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1D ．a n ＞b n解析：选C.取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验选项可知，仅C 选项成立．2．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为()A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |x ≤1或x ≥2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ＜1或x ＞2}解析：选A.由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0，所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．3．设αβ∈0，π2，那么2α－β3的取值范围是()－π6，C ．(0，π)－π，解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.4．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的()A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分必要条件D ．必要不充分条件解析：选D.由“a ＋c >b ＋d ”不能得出“a >b 且c >d ”，反过来，由“a >b 且c >d ”可以得出“a ＋c >b ＋d ”，因此“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件，故选D.5．设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0|－1<x <13ab 的值为()A ．－6B ．－5C ．6D ．5解析：选C.由题意得－1，13是方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根，且a <0，－b a ＝－1＋13，1×13，解得a ＝－3，b ＝－2，∴ab ＝6，故选C.6．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a ，ab ，ab 2的大小关系是________．(用“＞”连接)解析：由－1＜b ＜0，可得b ＜b 2＜1.又a ＜0，∴ab ＞ab 2＞a .答案：ab ＞ab 2＞a7．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是________．解析：由x 2＋x －12≥0得(x －3)(x ＋4)≥0，∴x ≤－4或x ≥3.答案：(－∞，－4]∪[3，＋∞)8．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1＞0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为________．解析：由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)＜0，即k2＞2，∴k＞2或k＜－ 2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)9．解关于x的不等式(1－ax)2＜1.解：由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0，当a＝0时，x∈∅.当a＞0时，由ax(ax－2)＜0，得a20，即0＜x＜2a.当a＜0，2a＜x＜0.综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；当a＞0时，不等式解集|0＜x；当a＜0|2a＜x＜. 10．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a＞0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．解：将原不等式整理为关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9＞0.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.因为f(a)＞0在|a|≤1时恒成立，所以(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，可得(－1)＞0(1)＞0，即2－7x＋12＞02－5x＋6＞0，解得x＜2或x＞4.B组能力突破()A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析：选A.法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2，∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②解得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图象知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．2．关于x 的不等式ax －b >0x 的不等式ax －2b－x ＋5>0的解集是()A ．(1,5)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，5)D ．(－∞，1)∪(5，＋∞)解析：选A.不等式ax －b >0的解集是a >0，且a －2b ＝0，则不等式ax －2b －x ＋5>0等价于x －1－x ＋5>0⇔(x －1)(x －5)<0⇔1<x <5，故选A.3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则()A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－1＜a ＜3D ．－3＜a ＜1解析：选C.(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 成立．∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0恒成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，∴－1＜a ＜3.4．设奇函数f (x )在[－1,1]上是单调函数，且f (－1)＝－1.若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值范围是__________．解析：∵f (x )为奇函数，f (－1)＝－1，∴f (1)＝－f (－1)＝1.又∵f (x )在[－1,1]上是单调函数，∴－1≤f (x )≤1，∴当a ∈[－1,1]时，t 2－2at ＋1≥1恒成立，即t 2－2at ≥0恒成立．令g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，2－2t ≥0，2＋2t ≥0，解得t ≥2或t ＝0或t ≤－2.答案：(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)5．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，＜0，＝4－4m(1－m)＜0，不等式组的解集为空集，即m无解．综上可知不存在这样的m.。

课时规范训练 [A 级 基础演练]1．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明：由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .① 因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②得，B ＝π3.③由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④得，a 2＋c 2－ac ＝ac .即(a －c )2＝0，因此a ＝c .从而有A ＝C .⑤ 由②③⑤得，A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．2．已知函数f (x )＝3x－2x ，求证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f （x 1）＋f （x 2）2≥f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.证明：要证明f （x 1）＋f （x 2）2≥f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即证明（3x 1－2x 1）＋（3x 2－2x 2）2≥3x 1＋x 22－2·x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22－(x 1＋x 2)≥3x 1＋x 22－(x 1＋x 2)，即证明3x 1＋3x 22≥3x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2，由于x 1，x 2∈R 时，3x 1＞0，3x 2＞0，由基本不等式知3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2显然成立，故原结论成立．3．设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．[B 级 能力突破]1．已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n na n (n ∈N *)，e 为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝1＋x －e x的单调区间，并比较⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n与e 的大小； (2)计算b 1a 1，b 1b 2a 1a 2，b 1b 2b 3a 1a 2a 3，由此推测计算b 1b 2…b na 1a 2…a n的公式，并给出证明．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x. 当f ′(x )＞0，即x ＜0时，f (x )单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＞0时，f (x )单调递减．故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． 当x ＞0时，f (x )＜f (0)＝0，即1＋x ＜e x. 令x ＝1n ，得1＋1n＜e 1n ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＜e . ①(2)b 1a 1＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋111＝1＋1＝2；b 1b 2a 1a 2＝b 1a 1·b 2a 2＝2·2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝(2＋1)2＝32；b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1a 2·b 3a 3＝32·3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋133＝(3＋1)3＝43. 由此推测：b 1b 2…b n a 1a 2…a n＝(n ＋1)n. ②下面用数学归纳法证明②.(ⅰ)当n ＝1时，左边＝右边＝2，②式成立． (ⅱ)假设当n ＝k 时，②式成立，即b 1b 2…b k a 1a 2…a k＝(k ＋1)k.当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1a k ＋1，由归纳假设可得b 1b 2…b k b k ＋1a 1a 2…a k a k ＋1＝b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k (k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1＝(k ＋2)k ＋1. 所以当n ＝k ＋1时，②式也成立．根据(ⅰ)(ⅱ)，可知②式对一切正整数n 都成立． 2．已知函数f (x )＝1＋ln xx.(1)若函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围；(2)求证：当x ≥1时，不等式f (x )>2sin xx ＋1恒成立．解：(1)因为f (x )＝1＋ln xx(x >0)，则f ′(x )＝－ln xx2(x >0)，当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0；当x ＝1时，f ′(x )＝0.所以函数f (x )在(0，1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调递减，所以函数f (x )在x ＝1处取得极大值．因为函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ＋12>1，解得12<a <1.(2)证明：当x ≥1时，不等式f (x )>2sin x x ＋1⇔（x ＋1）（1＋ln x ）x>2sin x . 记g (x )＝（x ＋1）（1＋ln x ）x(x ≥1)，所以g ′(x )＝[（x ＋1）（1＋ln x ）]′x －（x ＋1）（1＋ln x ）x2＝x －ln xx 2. 令h (x )＝x －ln x ，则h ′(x )＝1－1x，由x ≥1得h ′(x )≥0，所以h (x )在min ＝h (1)＝1>0，从而g ′(x )>0， 故g (x )在min ＝g (1)＝2.因为当x ≥1时，2sin x ≤2，所以g (x )≥2sin x . 又因为当x ＝1时，2sin x ＝2sin 1<2， 所以当x ≥1时，g (x )>2sin x ， 即（x ＋1）（1＋ln x ）x>2sin x ，所以当x ≥1时，不等式f (x )>2sin xx ＋1恒成立．。

课时分层训练(三十五) 合情推理与演绎推理 A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确C2．如图6­4­4，根据图中的数构成的规律，得a 表示的数是( )【导学号：31222223】图6­4­4A ．12B ．48C ．60D ．144D3．某种树的分枝生长规律如图6­4­5所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )【导学号：31222224】图6­4­5A ．21B ．34C ．52D ．55 D4．如图6­4­6所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )图6­4­6A.5＋12B.5－12 C.5－1 D.5＋1A5．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数B二、填空题6．把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝a2＋b22(其中a，b为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝__________.a2＋b2＋c227．观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为__________．【导学号：31222225】1＋122＋132＋142＋152＋162<1168．(2017·东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．丙9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；4分 (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；8分(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.12分10．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明. 【导学号：31222226】f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3 ＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，2分同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时， 均有f (x 1)＋f (x 2)＝33.6分 证明：设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝x 1＋3＋x 2＋3x 1＋3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3x 1＋3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋2×3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋23＝33.12分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．给出以下数对序列： (1,1)；(1,3)(2,2)(3,1)； (1,4)(2,3)(3,2)(4,1)； …记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则a nm ＝( ) A ．(m ，n －m ＋1) B ．(m －1，n －m ) C ．(m －1，n －m ＋1) D ．(m ，n －m )A2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和33．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.5分(2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.7分证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.12分 法二：三角恒等式为sin 2 α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.7分证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋－2α2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.12分。

课时规范训练A 组 基础演练1．若a ＜b ＜0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a －b ＞1b B ．a 2＜ab C.|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1 D ．a n ＞b n 解析：选C.取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验选项可知，仅C 选项成立．2．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( )A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |x ≤1或x ≥2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ＜1或x ＞2}解析：选A.由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0，所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．3．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，5π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6 C ．(0，π) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π 解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 4．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( )A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分必要条件D ．必要不充分条件解析：选D.由“a ＋c >b ＋d ”不能得出“a >b 且c >d ”，反过来，由“a >b 且c >d ”可以得出“a ＋c >b ＋d ”，因此“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件，故选D.5．设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1<x <13，则ab 的值为( ) A ．－6B ．－5C ．6D ．5解析：选C.L 由题意得－1，13是方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－1＋13，1a ＝－1×13，解得a ＝－3，b ＝－2，∴ab ＝6，故选C.6．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a ，ab ，ab 2的大小关系是________．(用“＞”连接) 解析：由－1＜b ＜0，可得b ＜b 2＜1.又a ＜0，∴ab ＞ab 2＞a .答案：ab ＞ab 2＞a7．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是________．解析：由x 2＋x －12≥0得(x －3)(x ＋4)≥0，∴x ≤－4或x ≥3.答案：(－∞，－4]∪ B ．C ．D ．解析：选A.法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2，∴－1≤x ≤0； ①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②解得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图象知f (x )≥x 2的解集为．2．关于x 的不等式ax －b >0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则关于x 的不等式ax －2b －x ＋5>0的解集是( ) A ．(1,5)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，5)D ．(－∞，1)∪(5，＋∞)解析：选A.不等式ax －b >0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞⇒a >0，且a －2b ＝0，则不等式ax －2b －x ＋5>0等价于x －1－x ＋5>0⇔(x －1)(x －5)<0⇔1<x <5，故选A. 3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：选C.(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 成立． ∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0恒成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，∴－12＜a ＜32.4．设奇函数f (x )在上是单调函数，且f (－1)＝－1.若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈都成立，则当a ∈时，t 的取值范围是__________．解析：∵f (x )为奇函数，f (－1)＝－1，∴f (1)＝－f (－1)＝1.又∵f (x )在上是单调函数，∴－1≤f (x )≤1，∴当a ∈时，t 2－2at ＋1≥1恒成立，即t 2－2at ≥0恒成立．令g (a )＝t 2－2at ，a ∈，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≥2或t ＝0或t ≤－2. 答案：(－∞，－2]∪{}0∪[2，＋∞) 5．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意； 当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＝4－4m －m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的m .。

第 3 讲 基本不等式, [学生用书 P115])a ＋ b1． 基本不等式 ab ≤ 2(1)基本不等式建立的条件： a ≥ 0， b ≥ 0． (2)等号建立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号． 2． 算术均匀数与几何均匀数设 a>0，b>0 ，则 a ，b 的算术均匀数为 a ＋ b ab ，基本不等式可表达为：2 ，几何均匀数为 两个正实数的算术均匀数不小于它们的几何均匀数．3． 利用基本不等式求最值问题 已知 x>0， y>0，则(1)假如积 xy 是定值 p ，那么当且仅当 x ＝ y 时， x ＋y 有最小值是 2 p ． (简记：积定和最小 ) p 2(2)假如和 x ＋y 是定值 p ，那么当且仅当 x ＝y 时，xy 有最大值是 ．(简记：和定积最大 )41． 辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值， “一正，二定，三相等”三个条件缺一不行； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号建立的条件一致． 2． 活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥ 2ab(a ，b ∈ R )；ba ＋ ab ≥ 2(a ，b 同号且都不为0)；ab ≤ a ＋ b 2(a ， b ∈R )； a ＋ b 2 ≤ a 2＋ b 2(a ， b ∈ R )．2 2 2 3．巧用 “拆”“ 拼”“凑”在运用基本不等式时， 要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其知足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．1.教材习题改编 将正数 m 分红两个正数 a 与 b 之和，则 ab 的范围为 ()m 2 m 2A ．(0， 2 ]B ．(0， 4 ]m2m2C ．[ 2 ，＋∞ )D ．[ 4 ，＋∞ )B [分析 ] a ＋ b ＝m ≥ 2 ab ，m 2 所以 ab ≤ 4 ，应选 B.教材习题改编 1的值域为 ()2. 函数 f(x)＝x ＋ x A ．[－2，2] B ．[2，＋∞ )C ．( －∞，－ 2]∪ [2，＋∞ )D ． RC [分析]1 1当 x>0 时， x ＋ ≥ 2x ·xx ＝ 2.当 x<0 时， － x>0.－ x ＋ 1≥ 2（－ x ） ·1＝ 2.－ x（－ x ）1≤ －2.所以 x ＋ x1所以 f(x)＝ x ＋ x 的值域为 (－ ∞， － 2]∪ [2，＋ ∞) ．应选 C. 教材习题改编 用长为 a(a>0) 的铁丝折成一个矩形，则矩形面积的最大值为() 3.a 2a 2 A ． 2 B ． 4a2a2C ． 8D ． 16D[分析 ] 设折成的矩形的两边分别为x ， y(x>0 ，y>0) ．a则 x ＋ y ＝2.因为 x ＋y ≥ 2 xy ，1 a2 所以 xy ≤4(x ＋ y)2＝16，a2即 S 矩形≤16.aa 2当且仅当 x ＝ y ＝ 4时， (S 矩形 )max ＝ 16.应选 D.4的最小值为 ________．4．若 x>1，则 x ＋x － 1[分析 ] x ＋ 4 ＝ x － 1＋ 4＋ 1≥ 4＋ 1＝ 5.x － 1 x － 1 当且仅当 x － 1＝ 4 ，x － 1即 x ＝ 3 时等号建立． [答案]55．若实数 x ， y 知足 xy ＝ 1，则 x 2＋ 2y 2 的最小值为 ______．1 [分析 ] 因为 xy ＝ 1，所以 y ＝ x ， 所以 x 2＋ 2y 2＝ x 2＋ 22 ≥2x 2· 22＝ 2 2.x x 即 x 2＋ 2y 2 的最小值为 2 2.[答案]2 2利用基本不等式求最值(高频考点 )[ 学生用书 P115]利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考察主要有以下三个命题角度：(1)知和求积的最值；(2)知积乞降的最值；(3)求参数的值或范围．[ 典例引领 ](1)(2017 ·安徽合肥二模 )若 正数，则 1＋ b 1＋ 4a的最小值为 ()a bA ． 7B ． 8C ．9D ． 101 1 1 2(2)(2017 安·徽安庆二模 )已知 a>0 ， b>0 ， a ＋ b ＝ a ＋b ，则 a ＋ b 的最小值为 ( A ． 4 B ．2 2 C ．8D ． 16b 4a b 4a【分析】(1) 因为 a ，b 都是正数 ，所以 1＋ a 1＋ b ＝ 5＋a ＋ b ≥ 5＋ 2 当且仅当 b ＝ 2a>0 时取等号．应选 C.a ，b 都是)b 4a· ＝ 9，a b1 1a ＋b 1 2≥ 2 1 2 1 2 (2)由 a>0，b>0，a ＋ b ＝ a ＋ ＝，得 ab ＝ 1，则 ＋·＝2 2.当且仅当＝ ，baba ba ba b即 a ＝ 22， b ＝ 2时等号建立．应选 B.【 答案】 (1)C (2)B[ 题点通关 ]角度一 知和求积的最值1＋2＝ ab ，则 ab 的最小值为 ( )1．若实数 a ， b 知足 abA ． 2B ． 2C ．2 2D ． 4C [分析] 由1 2ab 知 a>0， b>0，所以1 2≥22 ，a ＋ b＝ab ＝ a ＋ bab即 ab ≥ 2 2，1 2，a ＝b当且仅当1a ＋ 2b ＝ab ，即 a ＝ 42，b ＝ 2 42时取 “＝ ”，所以 ab 的最小值为 2 2.角度二知积乞降的最值2．已知函数y＝ a x＋3－2(a>0 ， a≠ 1)的图象恒过定点A，若点 A 在直线x＋ y＝－ 1 上，m n且 m， n>0，则 3m＋ n 的最小值为 ________．[分析 ] 易知函数 y＝ a x＋3－ 2(a>0， a≠1) 恒过定点 (－3，－ 1)，所以 A(－ 3，－ 1)．又因为点 A 在直线m x＋yn＝－ 1 上，所以3 ＋1＝ 1.m n3＋1＝ 10＋3m 3n 3m 3n所以 3m＋ n＝(3m＋ n) ·n ＋≥10＋2 ·＝16，m n m n m当且仅当 m＝n 时，等号建立，所以 3m＋ n 的最小值为16.[答案 ] 16角度三求参数的值或范围3．已知不等式(x＋ y) 1＋a x y≥ 9 对随意的正实数x， y 恒建立，则正实数 a 的最小值为________．1 a y ax≥ 1＋ a＋2 a＝ ( a＋ 1)2(x， y， a>0)，[分析 ] (x＋ y) x＋y＝1＋ a＋x＋y当且仅当 y＝ax 时取等号，1 aa＋1) 2，所以 (x＋ y) ·x＋y 的最小值为 (于是 ( a＋ 1)2≥ 9 恒建立．所以 a≥ 4.[答案]4利用基本不等式解决实质问题[学生用书 P116][ 典例引领 ]小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场检查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为 3 万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8 万件时，W(x)＝13x2＋ x(万元 )．在年产量不小于 8 万件时， W(x)＝6x＋100x－38(万元 )．每件产品售价为 5 元．经过市场剖析，小王生产的商品能当年所有售完．(1)写出年收益L(x)(万元 )对于年产量x(万件 )的函数分析式；(注：年收益＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获收益最大？最大收益是多少？【解】(1) 因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当 0<x<8 时，L(x)＝ 5x－13x2＋x － 3＝－13x2＋ 4x－ 3；当 x≥8 时， L(x)＝ 5x－1006x＋ x － 38 － 3＝35－100x＋ x.－ 13x2＋ 4x－3， 0<x<8，所以 L(x)＝10035－ x＋x，x≥ 8.1(2)当 0< x<8 时， L(x)＝－3(x－ 6)2＋ 9.此时，当 x＝ 6 时，L(x)获得最大值 L(6)＝ 9 万元，100 100≤35－2 x·＝35－ 20＝15，当 x≥ 8 时， L(x)＝ 35－ x＋x x100此时，当且仅当 x＝x，即 x＝ 10 时， L(x)获得最大值15 万元．因为 9<15，所以当年产量为10 万件时，小王在这一商品的生产中所获收益最大，最大收益为 15 万元．某商品每件成本价为80 元，售价为8100 元，每日售出 100 件．若售价降低 x 成 (1 成＝ 10%)，售出商品数目就增添5x 成．要求售价不可以低于成本价．(1)设该商铺一天的营业额为y ，试求 y 与 x 之间的函数关系式 y ＝ f( x)，并写出定义域．(2)若要求该商品一天营业额起码为10 260 元，求 x 的取值范围．x 8[解 ] (1) 由题意得 y ＝100 1－ 10 ·100 1＋ 50x .x因为售价不可以低于成本价，所以 100 1－ 10 － 80≥ 0，得 x ≤ 2.所以 y ＝f(x)＝ 20(10 － x)(50 ＋8x)，定义域为 [0， 2]．2113(2)由题意得 20(10－ x)(50＋ 8x)≥ 10 260，化简得 8x － 30x ＋13≤ 0.解得 ≤ x ≤4.2所以 x 的取值范围是 1， 2.2,[学生用书P117]) ——忽略最值获得的条件致误(1) 已知 x>0， y>0，且1x＋2y＝ 1，则 x＋ y 的最小值是 ________．3 (2)函数 y ＝ 1－2x － x (x<0)的最小值为 ________．【分析】 (1) 因为 x>0， y>0， 所以 x ＋y ＝ (x ＋ y) 1＋ 2＝ 3＋y ＋ 2x≥ 3＋ 2 x y 2(当且仅当 y ＝ 2x 时取等号 )，x y所以当 x ＝ 2＋ 1， y ＝ 2＋ 2时， (x ＋ y)min ＝ 3＋ 2 2.3 3 3＝1＋ 2 6， (2)因为 x<0，所以 y ＝ 1－ 2x － ＝ 1＋ (－2x)＋ (－ ) ≥1＋ 2（－ 2x ）·xx－ x6当且仅当 x ＝－ 2 时取等号 ，故 y 的最小值为1＋2 6.【答案】 (1)3＋ 2 2 (2)1＋ 2 6(1) 利用基本不等式求最值 ，必定要注意应用条件 ，如本例 (2)易忽略条件 3≥2 6.x<0 而误用基本不等式得 2x ＋ x(2)尽量防止多次使用基本不等式 ，若一定多次使用 ，必定要保证等号建立的条件一致．当 3 ＜ x ＜ 12 时 ， 函 数 y ＝（x－ 3）（ 12－ x）的最大值为 ________．x（x－3）（ 12－ x）[分析 ] y＝x－ x2＋ 15x－ 36＝x36＝－ x＋x ＋ 1536≤ － 2x·＋15＝ 3.x36当且仅当 x＝x，即 x＝ 6 时， y max＝3. [答案]3,[学生用书P269(独立成册 )])1． (2017 ·口调研海 )已知 a， b∈ (0，＋∞ )，且 a＋b＝ 1，则 ab 的最大值为 ()1A ． 1B ． 412C ．2D ． 2 B [分析 ] 因为 a ， b ∈(0，＋ ∞ )，所以 1＝ a ＋ b ≥2 ab ，1所以 ab ≤ 4，1当且仅当 a ＝ b ＝ 2时等号建立．2．已知 f(x)＝ x ＋1－ 2(x<0) ，则 f(x)有 ( )xA ．最大值为 0B ．最小值为 0C ．最大值为－ 4D ．最小值为－ 41C [分析 ] 因为 x<0 ，所以 f(x)＝－ （－ x ）＋ － 2≤－2－2＝－ 4，（－ x ） 当且仅当－ x ＝1，即 x ＝－ 1 时取等号．－x1≥ M 恒建立，则 M 的最大3．(2017 安·徽省六校联考 )若正实数 x ，y 知足 x ＋ y ＝ 2，且 xy值为 ()A ． 1B ． 2C ．3D ． 4A [分析 ] 因为正实数 x ， y 知足 x ＋ y ＝ 2，（ x ＋ y ） 2221所以 xy ≤ 4 ＝ 4 ＝1，所以 xy ≥ 1； 1又 xy ≥ M恒建立 ，所以 M ≤1，即 M 的最大值为 1.4．已知函数9y ＝x － 4＋ x ＋ 1( x>－ 1)，当 x ＝ a 时， y 获得最小值 b ，则 a ＋ b 等于 ()A ．－ 3 C ．3B ． 2D ． 8C [分析 ] y ＝ x － 4＋9 ＝x ＋ 1＋x ＋ 19 －5，x ＋ 1因为x>－1，所以x ＋ 1>0 ，9>0. x ＋ 1所以由基本不等式 ，得 y ＝ x ＋1＋9 －5≥2x ＋ 1（ x ＋ 1）· 9x ＋ 1－5＝1，当且仅当 x ＋ 1＝9， x ＋ 1即 (x ＋ 1)2＝ 9，即 x ＋ 1＝ 3，x ＝ 2 时取等号 ， 所以 a ＝ 2， b ＝1， a ＋ b ＝3.5．已知 x>0 ， y>0， x ＋ 3y ＋ xy ＝9，则 x ＋3y 的最小值为 ( )A ． 2B ． 4C ．6D ． 8C[分析 ] 由已知得 x ＋ 3y ＝9－ xy ，又因为 x>0， y>0，所以 x ＋ 3y ≥ 2 3xy ，2x ＋ 3y所以 3xy ≤，当且仅当 x ＝ 3y 时，即 x ＝ 3， y ＝ 1 时取等号 ， (x ＋ 3y)2＋ 12(x ＋ 3y)－108≥ 0.令 x ＋ 3y ＝ t ，则 t>0 且 t 2＋ 12t － 108≥ 0， 得 t ≥ 6 即 x ＋3y ≥ 6.6．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备花费为 800 元，若每批生产 x 件，则均匀仓储时间为x天，且每件产品每日的仓储花费为1 元．为使均匀到每件产品的生产准8()备花费与仓储花费之和最小，每批应生产产品A ．60 件B ．80 件C ．100 件D ． 120 件800xB[分析 ] 若每批生产 x 件产品 ，则每件产品的生产准备花费是x 元，仓储花费是 8800 ＋ x ≥ 2 800 x元，总的花费是 x 8 x ·＝20，8当且仅当800 ＝ x，即 x ＝ 80 时取等号．x 82 17． (2017 郑·州检测 )已知 a>0 ， b>0， a ＋ 2b ＝3，则 a ＋b 的最小值为 ________．1 2[分析 ] 由 a ＋2b ＝ 3 得3a ＋ 3b ＝ 1，2 1 1 2 2 1所以 a ＋ b ＝ 3a ＋ 3b a ＋b 4 a 4b ≥ 4 a 4b 8＝ ＋ ＋ ＋2 · ＝3 3b 3a 3 33b 3a 3.当且仅当 a ＝ 2b ＝ 2时取等号．[答案 ] 8 3a8．已知函数 f(x) ＝4x ＋ x (x>0， a>0) 在 x ＝ 3 时获得最小值，则 a ＝ ________．a a a ，即 a ＝ 4x 2≥ 2 4x ·4x ＝ x 时取等号 ，则由题意知[分析 ] f( x)＝ 4x ＋ xx ＝ 4 a ，当且仅当a ＝ 4× 32＝ 36.[答案 ] 369．正实数 x ， y 知足 x ＋ 2y ＝ 2，则 3x ＋ 9y 的最小值是 ______． [分析 ] 利用基本不等式可得3x ＋9y ＝ 3x ＋ 32y≥ 2 3x·32 y ＝ 2 3x ＋2y.因为 x ＋2y ＝ 2，所以 3x ＋ 9y ≥ 2 32＝ 6，当且仅当 3x＝ 32 y，即 x ＝1， y ＝ 1时取等号．2[答案]610．不等式 x 2＋ x<a ＋ b对随意 a ，b ∈ (0，＋∞ )恒建立，则实数 x 的取值范围是 ________．b a[分析 ] 依据题意 ，因为不等式 x 2＋ x<a ＋ b对随意 a ，b ∈(0，＋ ∞ )恒建立 ，则 x 2＋x<a ＋ bb a b a，因为 a b a b，求解此一元二次＋ ≥ 2 ·＝ 2，当且仅当 a ＝ b 时等号建立 ，所以 x 2＋ x<2minb a b a不等式可知－ 2<x<1，所以 x 的取值范围是 (－2， 1)．[答案 ] (－2，1)11．已知 x>0， y>0，且 2x ＋ 8y － xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋ y 的最小值．[解 ] (1) 由 2x ＋ 8y － xy ＝0， 得 8 2x ＋ y ＝ 1，又 x>0，y>0 ，则 8 2 8 281＝ ＋ ≥2·＝.x y x y xy得 xy ≥ 64，当且仅当 x ＝ 16，y ＝ 4 时，等号建立．所以 xy 的最小值为 64.8 2(2)由 2x ＋ 8y －xy ＝ 0，得 x ＋ y ＝ 1，8 2则 x ＋ y ＝ x ＋ y ·(x ＋ y)＝ 10＋ 2x 8y 2x 8yy ＋ ≥ 10＋2 · ＝ 18.x y x 当且仅当 x ＝ 12 且 y ＝ 6 时等号建立 ， 所以 x ＋y 的最小值为 18.12．(2017 ·北育才学校模拟东 → (1，－ → →，b>0，)设OA ＝ 2)，OB ＝ (a ，－1)，OC ＝ (－ b ，0)( a>02＋ 1的最小值是 ()O 为坐标原点 )，若 A ， B ， C 三点共线，则 a b9A ． 4B ． 2C ．8D ． 9D → → →[分析 ] 因为 AB ＝OB － OA ＝ (a － 1， 1)， → → → AC ＝ OC － OA ＝ (－ b － 1， 2)，若 A ，B ，C 三点共线 ，→ → 则有 AB ∥AC ，所以 (a － 1)×2－ 1× (－ b － 1)＝ 0，所以 2a ＋ b ＝1，又 a>0， b>0，2 121所以 a ＋ b ＝ a ＋ b ·(2a ＋b)＝ 5＋ 2b ＋ 2a ≥ 5＋2 2b 2aa b a · ＝9，2a ， b2ba ＝ b即 a ＝ b ＝ 1 当且仅当3时等号建立． 2a ＋ b ＝ 1， 13．已知 x>0， y>0，且 2x ＋5y ＝ 20.求： (1)u ＝ lg x ＋ lg y 的最大值；11(2) ＋ 的最小值．[解 ] (1) 因为 x>0， y>0，所以由基本不等式 ，得 2x ＋ 5y ≥ 2 10xy. 因为 2x ＋ 5y ＝ 20，所以 2 10xy ≤20， xy ≤ 10， 当且仅当 2x ＝ 5y 时，等号建立．2x ＋ 5y ＝ 20， x ＝ 5，所以有 2x ＝ 5y ， 解得 y ＝ 2，此时 xy 有最大值 10.所以 u ＝ lg x ＋ lg y ＝ lg( xy)≤ lg 10＝1.所以当 x ＝ 5， y ＝2 时， u ＝lg x ＋ lg y 有最大值 1. (2)因为 x>0，y>0，1 1 1 1 2x ＋5y 1 5y2x≥所以 x ＋ y ＝ x ＋ y · 20 ＝ 20 7＋ x ＋ y 1 7＋ 2 5y 2x 7＋ 2 1020 x · ＝ 20 .y5y 2x当且仅当 x ＝ y 时，等号建立．2x ＋ 5y ＝ 20， x ＝ 10 10－ 203 ，由 5y 解得2x ， 20－ 4 10x ＝ yy ＝ 3 .所以 1＋ 7＋ 2 10 .1的最小值为 20x y14．(2017 常·州期末调研 )某学校为了支持生物课程基地研究植物生长， 计划利用学校空地建筑一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形地区，分别栽种 三栽种物， 相邻矩形地区之间间隔1 m ，三块矩形地区的前、 后与内墙各保存 1 m 宽的通道， 左、右两块矩形地区分别与相邻的左右内墙保存 3 m 宽的通道， 如图．设矩形温室的室内长为 x( 单位： m)，三块栽种植物的矩形地区的总面积为S(单位： m 2)．(1)求 S 对于 x 的函数关系式；(2)求 S 的最大值．[解 ] (1) 由题设，得 S＝ (x－ 8) 900－ 2 ＝－ 2x－7 200＋ 916， x∈(8，450)．x x(2)因为 8<x<450，7 200 7 200所以 2x＋x≥2 2x×x＝ 240.当且仅当 x＝ 60 时等号建立，进而 S≤ 676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块栽种植物的矩形地区的总面积最大，最大为 676 m2.。