2018年数学第四章三角函数与解三角形专题13三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式考场高招大全

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[基本知识] 1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α()α≠kπ＋π2，k∈Z.2．同角三角函数基本关系式的应用技巧一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立．()答案：(1)×(2)×二、填空题1．已知α∈()π2，π，sin α＝35，则tan α＝________.解析：∵α∈()π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45，于是tan α＝－34.答案：－342．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案：3[全析考法]考法一知弦求弦、切或知切求弦利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．[例1] (1)(2019·成都龙泉中学月考)设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k 1－k 2D ．－k1－k 2 (2)(2019·甘肃诊断)已知tan x ＝43，且角x 的终边落在第三象限，则cos x ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35[解析] (1)∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2， ∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k.故选B. (2)因为角x 的终边落在第三象限，所以cos x <0，因为tan x ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x ＝43，cos x <0，解得cos x ＝－35，故选D.[答案] (1)B (2)D [易错提醒]知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号． 考法二 知切求f (sin α、cos α)的值[例2] (2019·保定三校联考)已知tan(3π＋α)＝3，则3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝( )A.13B.89C.23D ．2[解析] ∵tan(3π＋α)＝3，∴tan α＝3，∴3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.故选B.[答案] B [方法技巧]利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： ①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切”代换法求解； ②sin α，cos α的齐次分式()如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)切化弦：利用公式tan α＝sin αcos α，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧． 考法三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[例3] (1)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12B ．±12C ．－14D ．－12(2)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α＝( )A.75 B.257 C.725D.2425[解析] (1)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0， 所以cos α－sin α＝－12.(2)∵sin α＋cos α＝15，∴1＋2sin αcos α＝125， ∴2sin αcos α＝－2425，(cos α－sin α)2＝1＋2425＝4925. 又∵－π2<α<0，∴cos α>0>sin α，∴cos α－sin α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝115×75＝257. [答案] (1)D (2)B [方法技巧]正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题中已知1个可求另外2个．[集训冲关]1.[考法一]已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选D ∵cos α＝－35且α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43.故选D.2.[考法三]已知sin α＋cos α＝13，则sin αcos α的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝19，解得sin αcos α＝－49.答案：－493.[考法二]已知tan α＝－43，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值； (2)1cos 2α－sin 2α的值； (3)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×()－43＋2＝87.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝()－432＋11－()－432＝－257. (3)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825. 突破点二 三角函数的诱导公式[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．已知cos(π＋α)＝－35，则sin ()3π2＋α等于________．解析：cos(π＋α)＝－cos α＝－35，则cos α＝35，sin ()3π2＋α＝－sin ()π2＋α＝－cos α＝ －35.答案：－352．已知sin ()α＋π6＝45，则sin ()α＋7π6等于________．解析：sin ()α＋7π6＝sin []()α＋π6＋π＝－sin ()α＋π6＝－45.答案：－453．已知tan ()π6－α＝33，则tan ()5π6＋α＝________.解析：tan ()5π6＋α＝tan ()π－π6＋α＝tan [ π－( π6－α ) ] ＝－tan ()π6－α＝－33.答案：－331．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[典例感悟](2019·武威六中第一次阶段性检测)已知f (α)＝[]sin ()π2－αtan (π＋α)－cos (π－α)2－14sin ()3π2＋α＋cos (π－α)＋cos (2π－α).(1)化简f (α)；(2)若－π3<α<π3，且f (α)<14，求α的取值范围．解：(1)f (α)＝(cos αtan α＋cos α)2－1－4cos α－cos α＋cos α＝(sin α＋cos α)2－1－4cos α＝2sin αcos α－4cos α＝－12sin α.(2)由已知得－12sin α<14，∴sin α>－12，∴2k π－π6<α<2k π＋7π6，k ∈Z.∵－π3<α<π3，∴－π6<α<π3.故α的取值范围为()－π6，π3.[方法技巧]应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．[针对训练]1．(2018·玉林陆川中学期中)sin 570°的值是( ) A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选A sin 570°＝sin(720°－150°)＝－sin 150°＝－12.故选A.2．(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ()π2－α＝( )A ．2 2B ．－22 C.24D ．±22解析：选D ∵sin(π＋α)＝－13，∴sin α＝13，∴tan ()π2－α＝cos αsin α＝±22，故选D.3．(2019·南充模拟)设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数．若f (2 019)＝－1，则f (2 020)＝( )A ．1B ．2C ．0D ．－1解析：选A ∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1，∴a sin α＋b cos β＝1，∴f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1.故选A.4．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3()π2＋α·sin (－α－2π)＝________.解析：原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案：1[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·新疆普通高中学业水平考试)已知x ∈()－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( )A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈()－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34.故选B. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ()α－π3＝13，则cos ()α＋π6的值是( )A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ()α－π3＝13，∴cos ()α＋π6＝cos []π2＋()α－π3＝－sin ()α－π3＝－13，故选A.3．(2019·重庆一模)log 2()cos 7π4的值为( )A ．－1B ．－12C.12D.22解析：选B log 2()cos 7π4＝log 2()cos π4＝log 222＝－12.故选B.4．(2019·遵义模拟)若sin ()π2＋α＝－35，且α∈( π2，π )，则sin(π－2α)＝( )A ．－2425B ．－1225解析：选A ∵sin ()π2＋α＝cos α＝－35，α∈()π2，π，∴sin α＝45，∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×()－35＝－2425.故选A.5．(2019·沈阳模拟)若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－95D.95解析：选C ∵1＋cos αsin α＝2，∴cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋(2sin α－1)2＝1,5sin 2α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍去)，∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95.故选C.6．(2019·庄河高中期中)已知sin ()α－π12＝13，则cos ()α＋17π12等于( )A.13B.223C ．－13D ．－223解析：选A cos ()α＋17π12＝cos []3π2＋()α－π12＝sin ()α－π12＝13.故选A. [B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·宝鸡金台区质检)已知sin 2α＝23，则tan α＋1tan α＝( )A. 3B.2 C ．3D ．2解析：选C tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2sin 2α＝223＝3.故选C.2．(2019·常德一中月考)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析：选C 因为sin α＋2cos α＝102，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α＝3或－13.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34或tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×()－131－()－132＝－34.故选C.3．(2019·株洲醴陵二中、四中期中联考)已知2sin α－cos α＝0，则sin 2α－2sin αcos α的值为( ) A ．－35B ．－125解析：选A 由已知2sin α－cos α＝0得tan α＝12，所以sin 2α－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＝－35.故选A. 4．(2019·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ()π2＋α＋cos ()3π2＋α＝15，则tan α的值是( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ()π2＋α＋cos ()3π2＋α＝15，得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴α∈()π2，π，∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43，故选A.5．(2019·平顶山、许昌联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B ．－35C ．－3D ．3解析：选A 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，∴cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋222＋1＝35. 6．(2019·河南中原名校联考)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝( )A.1－32B.1＋32C. 3D ．－3解析：选B ∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，∴sin θ＋ cos θ＝1－32，sin θ·cos θ＝m2，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m ＝2－32，解得m ＝－32.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m ＝1＋32，∴sin θ－cos θ＝ 1＋32＝1＋32，故选B. 7．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D ．1解析：选B 由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55， 即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55.故选B.8．(2019·武邑中学调研)已知sin α＝13，0<α<π，则sin α2＋cos α2＝________.解析：()sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43，又0<α<π，∴sin α2＋cos α2>0，∴sin α2＋cos α2＝233. 答案：2339．(2019·广西桂林等五市联考)已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈()π2，π，则tan θ＝________.解析：∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ＝125，∴sin θcos θ＝－1225，又π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，∴(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝4925，∴sin θ－cos θ＝75， 由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝15，sin θ－cos θ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.答案：－4310．(2019·浙江名校协作体检测)已知sin ()－π2－α·cos ()－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则 sin α＝________，cos α＝________.解析：sin ()－π2－αcos ()－7π2＋α＝－cos α(－sin α)＝sin αcos α＝1225.又∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.解⎩⎨⎧sin αcos α＝1225，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35，cos α＝45.答案：35 4511．(2019·惠安惠南中学月考)已知cos α－sin α＝5213，α∈()0，π4. (1)求sin αcos α的值；(2)求sin ()π2－2αcos ()π4＋α的值． 解：(1)∵cos α－sin α＝5213，α∈()0，π4， 平方可得1－2sin αcos α＝50169，∴sin αcos α＝119338.(2)sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12213， ∴原式＝cos 2αcos ()π4＋α＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)22(cos α－sin α)＝2(cos α＋sin α)＝2413.12．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ()π2＋A sin ()3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C2， 所以cos A ＋B 2＝cos ()π2－C 2＝sin C2，所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1.(2)因为cos ()π2＋A sin ()3π2＋B tan(C －π)＜0， 所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0， 即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎨⎧ cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎨⎧cos B ＞0，tan C ＜0，所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形.。

三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结知识点精讲一、基本概念角的概念包括正角、负角和零角。

其中正角是逆时针旋转而成的角，负角是顺时针旋转而成的角，零角是射线没旋转而成的角。

角α的弧度范围为(−∞,+∞)。

角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，α就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等）。

弧度制度是半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α=l/r（弧度或rad）。

与角α（弧度）终边相同的角的集合为β=α+2kπ，k∈Z，其意义在于α的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变。

弧度或rad可省略。

两制互化时，只需记忆π=180，1=π/180两个换算单位即可。

6）弧长公式：l=αr(α∈(0,2π])，扇形面积公式：S=1/2lr=αr2/2.底高=lr，如图4-1所示。

注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有S=l*r/2.二、任意角的三角函数1.定义已知角α终边上的任一点P(x,y)（非原点O），则P到原点O的距离r=OP=sqrt(x^2+y^2)。

sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。

此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广。

类比，对∠y，邻∠x，斜∠r，如图4-2所示。

2.单位圆中的三角函数线以α为第二象限角为例。

角α的终边交单位圆于P，PM垂直x轴于M，α的终边或其反向延长线交单位圆切线AT于T，如图4-3所示，由于取α为第二象限角，sinα=MP>0，cosα=OM<0，tanα=AT<0.3.三角函数象限符号与单调性在单位圆中r=sqrt(x^2+y^2)=1，则sinα=y，cosα=x，tanα=y/x。

在第一、二象限，三角函数值为正；在第三、四象限，sinα为负，cosα和tanα为正。

考点13三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1．任意角、弧度制（1）了解任意角的概念和弧度制的概念. （2）能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出2απ±，πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图象，了解三角函数的周期性.（3）理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=.一、角的有关概念 1．定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角． （2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合·3{|}60,S k k ββα==+︒∈Z ．3．象限角与轴线角第一象限角的集合为π2π2π,2k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第二象限角的集合为π2π2ππ,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ；第三象限角的集合为3π2ππ2π,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第四象限角的集合为3π2π2π2π,.2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 终边与x 轴非负半轴重合的角的集合为{}2π,k k αα=∈Z ； 终边与x 轴非正半轴重合的角的集合为{}2ππ,k k αα=+∈Z ； 终边与x 轴重合的角的集合为{}π,k k αα=∈Z ； 终边与y 轴非负半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴非正半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴重合的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与坐标轴重合的角的集合为π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ． 二、弧度制1．1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 规定：,ll rα=是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．2．弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．3．弧度与角度的换算180π180πrad ,1rad =57.3,1=rad π180⎛⎫︒=︒≈︒︒ ⎪⎝⎭． 4．弧长公式l r α=，其中α的单位是弧度，l 与r 的单位要统一.角度制下的弧长公式为：π180n rl =（其中n 为扇形圆心角的角度数）. 5．扇形的面积公式21122S lr r α==.角度制下的扇形面积公式为：2π360n r S =（其中n 为扇形圆心角的角度数）.三、任意角的三角函数 1．定义设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x y r r xααα===． 注意：正切函数tan y x α=的定义域是ππ,2k k αα⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R .2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos ,sin P αα，其中cos ,sin ,OM MP αα==单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则t a n AT α=．我们把有向线段,,OM MP AT 分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下：4．特殊角的三角函数值补充：sin15cos 75,sin 75cos15,︒=︒=︒=︒= tan152,tan 752︒=︒=+四、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系22sin cos 1αα+=．2．商的关系sin cos tan ααα=． 3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-； （2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=； （3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=． 五、三角函数的诱导公式考向一三角函数的定义1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集． 3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.典例1已知角α的终边落在直线y =x 上，求sin α,cos α,tan α的值.【名师点睛】任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．1．已知角终边上一点且sin 4y α=，求的值.考向二象限角和终边相同的角的判断及表示方法1．已知θ所在的象限，求nθ或n θ（n ∈N *）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k ）表示，然后两边同除以n 或乘以n ，再对k 进行讨论，得到nθ或n θ（n ∈N *）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k ·360°＋α（0°≤α<360°，k ∈Z ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.典例2 已知sin325α=,4cos 25α=-,试确定角α是第几象限的角.【名师点睛】角2α与α所在象限的对应关系： 若角α是第一象限角，则2α是第一象限角或第三象限角；若角α是第二象限角，则2α是第一象限角或第三象限角；若角α是第三象限角，则2α是第二象限角或第四象限角；若角α是第四象限角，则2α是第二象限角或第四象限角．2．如果sin cos 0αα⋅<，sin tan 0αα⋅<，那么角2α的终边在A ．第一或第三象限B ．第二或第四象限C ．第一或第二象限D ．第三或第四象限考向三同角三角函数基本关系式的应用1．利用22sin +cos 1αα=可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan ααα=可以实现角α的弦切互化．2．sin ,cos αα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin ,cos αα的齐次式，或含有22sin ,cos αα及sin cos αα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sin +cos 1αα=”代换后转化为“切”后求解.典例3已知sin β+cos β=15,且0<β<π. （1）求sin βcos β,sin β-cos β的值; （2）求sin β,cos β,tan β的值.∵sin βcos β<0且0<β<π,∴sin β>0,cos β<0. ∴sin β-cos β=75. （2）由sin β+cos β=15和sin β-cos β=75,得sin β=45,cos β=35-, ∴tan β=sin 4cos 3ββ=-.3．已知,则A ．43-或0B ．43或0 C ．43-D ．43考向四 诱导公式的应用1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πkα±的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．3．利用诱导公式化简三角函数式的思路：（1）分析结构特点，选择恰当公式；（2）利用公式化成单角三角函数；（3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求：（1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等；常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等.典例4 （1）化简：()()()()()sin2πtanπtancosπtan3πααααα-+---.（2）计算：25π25π25π5πcos cos tan sin6346⎛⎫++-+⎪⎝⎭.4．计算下列各题：（1）已知是第三象限角，()()()()()()sin πcos 2πtan πtan sin πf αααααα----=---，化简并求17π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）已知sin(θ＋k π)＝－2cos(θ＋k π)，k ∈Z ，求4sin 2cos 5cos 3sin θθθθ-+.考向五 同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角形中的应用与三角形相结合时，诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：πA B C +=-,222π2A B C +=-，π2222A B C ++=等，于是可得in i (s s n )A B C =+， cossin 22A B C+=等．典例5 在ABC △中，内角，，所对的边分别是，，，若，π3C =，，则______，________. 【答案】35，5．在ABC △中，sin cos 2A A +=，求的值．1．的值是A ．12B ．12-C ．-2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形圆心角的弧度数是 A ．1 B ．2 C ．3D ．43．已知点1()22P -在角θ的终边上,且π[)0,2θ∈,则角θ的值为 A ．8π5B ．7π4 C ．11π6D ．5π34．已知()1sin cos ,0,π5ααα+=-∈，则的值为A ．43-或34-B ．43- C ．34-D ．345．若tan 0α>，则A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α>6．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b7．已知()1cos 753α︒+=，为第三象限角，则=_________. 8．在平面直角坐标系中,点的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭,是第三象限内一点,,且3π4POQ ∠=,则点的横坐标为_________.9．在ABC △sin()3sin()2A A π-=π-，且cos A（π－B ），则C 等于． 10．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.11．已知π02α<<，()()cos 2πsin π5αα---=-. （1）求的值；（2）求223ππcos 2cos cos 22π1sin 2αααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.12．已知向量2,sin θ=（）a 与1,cos θ=（）b 互相平行，其中θ∈(0,)2π.（1）求sin θ和cos θ的值； （2）若sin （θ－φ）＝10，0<φ<2π，求cos φ的值．1．（2017新课标全国Ⅲ文科）函数1ππ()sin()cos()536f x x x=++-的最大值为A．65B．1C．35D．152．（2015福建文科）若5sin13α=-，且α为第四象限角，则tanα的值等于A．125B．125-C．512D．512-3．（2016新课标全国Ⅰ文科）已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)=.4．（2016四川文科）sin750︒=.1．【解析】sin4yα==,当时,.当时, sin yα==,解得.当时,3,,cos,tan3343P rαα⎛⎫=∴=-=-⎪⎪⎝⎭；当时,3cos ,tan 4αα=-=2．【答案】A3．【答案】B【解析】由题意可得,两边平方可得，则，则或，所以4tan 3θ=或0. 4．【解析】（1）由题意可得()()sin cos tan cos tan sin f ααααααα-==-，所以17π17πππ1cos cos 6πcos 33332f ⎛⎫⎛⎫==+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由已知得，∴，，即，所以4sin 2cos 4tan 282105cos 3sin 53tan 56θθθθθθ----===++-.5．【解析】∵sin cos 2A A +=①，∴()21sin cos 2A A +=，即，∴．∵，∴，．∴． ∵()23sin cos 12sin cos 2A A A A -=-=，∴ ②．①+②，得sin 4A =．①−②，得cos A =．∴sin tan 2cos A A A ===-．1．【答案】D【解析】()0sin600sin 2360120sin1202=⨯︒-︒=-︒=-. 2．【答案】C【解析】设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R ，由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==62162R R θθ，解得3=θ，即该扇形圆心角的弧度数是3，故选C ． 3．【答案】C【解析】点1)2P -在角θ的终边上，由三角函数的定义可知tan θ1-=，又点1)2P -在第四象限,且π[)0,2θ∈,所以θ=11π6.故选C. 4．【答案】C5．【答案】C【解析】由tan 0α>得α是第一、三象限角，若α是第三象限角，则A ，B 错；由sin 22sin cos ααα=知sin 20α>，C 正确；α取π3时，2211cos 22cos 12()1022αα=-=⨯-=-<，D 错．6．【答案】C【解析】∵b ＝cos55°＝sin35°>sin33°＝a ，∴b >a . 又∵c ＝tan35°＝sin 35cos35︒︒>sin35°＝cos55°＝b ，∴c >b .∴c >b >a .故选C.7．【答案】13【解析】∵()1cos 753α︒+=，为第三象限角，∴()s i n 753α︒+==-. 则原式()()()()1cos 18075sin 75α180cos 75sin 753ααα=︒-︒++︒+-︒=-︒+-︒+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.8．【答案】10-【解析】设xOP α∠=,则34cos ,sin 55αα==,Q 点的横坐标为3πcos 410α⎛⎫+=-⎪⎝⎭. 9．【答案】2π10．【解析】∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴α＝2k π＋π2－β(k ∈Z )． ∴tan(2α＋β)＋tan βπtan[2(2π)]tan 2k βββ=+-++＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.11．【解析】（1）化简()()cos 2πsin π5αα---=-得，两边平方得=1492cos sin 12cos sin 555αααα⇒=⇒+=， 因为π02α<<,所以.因为()29cos sin 5αα+=,所以cos sin 5αα+=. （2）根据（1）中可得cos sin cos sin 5αααα⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则cos sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则，故22222223ππcos 2cos cos sin 2cos sin sin 2cos sin 22π1cos sin 2cos 1sin 2ααααααααααααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===++⎛⎫+- ⎪⎝⎭22tan 2tan 444tan 2423ααα++==++.又sin （θ－φcos （θ－φ， ∴cos φ＝cos ＝cos θcos （θ－φ）＋sin θsin （θ－φ）=2.1．【答案】A【解析】由诱导公式可得ππππcos cos sin 6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则()1ππ6πsin sin sin 53353f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 函数()f x 的最大值为65.所以选A. 2．【答案】D【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin α、cos α、tan α三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角α的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题． 3．【答案】43-【解析】由题意得sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ,所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z , 从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-． 4．【答案】12【解析】由三角函数的诱导公式得1sin 750sin(72030)sin 302︒=︒+︒=︒=. 【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值化为特殊角的三角函数求值而得解．。

专题四 三角函数与解三角形4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式1.(2018北京文,7,5分)在平面直角坐标系中,AB⏜,CD ⏜,EF ⏜,GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是( )A.AB⏜ B.CD ⏜ C.EF ⏜ D.GH ⏜ 答案 C 本题主要考查三角函数的概念,同角三角函数的基本关系式.若点P 在AB⏜或CD ⏜(不包含端点A,D)上,则角α在第一象限,此时tan α-sin α=tan α(1-cos α)>0,与tan α<sin α矛盾,故排除A,B.若点P 在GH ⏜(不包含端点G)上,则角α在第三象限,此时tan α>0,cos α<0,与tan α<cos α矛盾,故排除D,故选C.2.(2014课标Ⅰ文,2,5分)若tan α>0,则( )A.sin α>0B.cos α>0C.sin 2α>0D.cos 2α>0答案 C 由tan α>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B 错;由sin 2α=2sin αcos α知sin 2α>0,C 正确;α取π3时,cos 2α=2cos 2α-1=2×(12)2-1=-12<0,D 错.故选C.评析 本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法,具有一定的灵活性.3.(2014大纲全国文,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) A.45B.35C.-35D.-45答案 D 由三角函数的定义知cos α=√(-4)2+32=-45.故选D.4.(2011课标,理5,文7,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y=2x 上,则cos 2θ=( )A.-45B.-35C.35D.45答案 B 解法一:由三角函数定义知,tan θ=2,则cos 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=-35.解法二:由三角函数定义知,tan θ=2,即sin θ=2cos θ,则sin 2θ=4cos 2θ.从而有cos 2θ=15.故cos 2θ=2cos 2θ-1=-35.5.(2015福建文,6,5分)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( ) A.125 B.-125 C.512 D.-512答案 D ∵sin α=-513,α为第四象限角, ∴cos α=√1-sin 2α=1213,∴tan α=sinαcosα=-512.故选D. 6.(2014课标Ⅰ理,8,5分)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则( ) A.3α-β=π2B.3α+β=π2C.2α-β=π2D.2α+β=π2答案 C 由tan α=1+sinβcosβ得sinαcosα=1+sinβcosβ,即sin αcos β=cos α+sin βcos α,所以sin(α-β)=cos α,又cos α=sin (π2-α),所以sin(α-β)=sin (π2-α),又因为α∈(0,π2),β∈(0,π2),所以-π2<α-β<π2,0<π2-α<π2,因此α-β=π2-α,所以2α-β=π2,故选C.7.(2014大纲全国理,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b 答案 C ∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a. 又∵c=tan 35°=sin35°cos35°>sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选C.8.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α=√102,则tan 2α=( )A.43B.34C.-34D.-43答案 C (sin α+2cos α)2=52,展开得3cos 2α+4sin αcos α=32,再由二倍角公式得32cos 2α+2sin 2α=0,故tan 2α=sin2αcos2α=-322=-34,选C.评析 本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换,考查转化与化归思想,考查学生灵活应用公式的能力和运算求解能力.三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关系和三角函数名之间的关系. 9.(2013大纲全国文,2,5分)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( ) A.-1213 B.-513 C.513 D.1213答案 A ∵α是第二象限角,∴cos α<0. ∴cos α=-√1-sin 2α=-1213.故选A. 评析 本题考查三角函数值在各象限的符号,同角三角函数关系,属容易题. 10.(2013广东文,4,5分)已知sin (5π2+α)=15,那么cos α=( ) A.-25 B.-15 C.15 D.25答案 C ∵sin (5π2+α)=sin (π2+α)=cos α,∴cos α=15.故选C. 11.(2016课标Ⅲ,5,5分)若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425 B.4825 C.1 D.1625答案 A 当tan α=34时,原式=cos 2α+4sin αcos α=cos 2α+4sinαcosαsin 2α+cos 2α=1+4tanαtan 2α+1=1+4×34916+1=6425,故选A.思路分析 利用二倍角公式将所求式子展开,再将其看成分母为1的式子,并用sin 2α+cos 2α代替1,然后分子、分母同除以cos 2α,得到关于tan α的式子,由此即可代值求解.12.(2011江西文,14,5分)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-2√55,则y= . 答案 -8解析 P(4,y)是角θ终边上一点,由三角函数的定义知sin θ=√,又sin θ=-2√55,∴√=-2√55,解得y=-8.评析 本题主要考查任意角三角函数的定义,考查运算求解能力,由题意得√=-2√55是本题求解的关键.13.(2016四川文,11,5分)sin 750°= . 答案12解析 sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=12. 解后反思 利用诱导公式把大角化为小角. 评析 本题考查了三角函数的诱导公式.14.(2013课标Ⅱ理,15,5分)设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 答案 -√105解析 tan θ=tan [(θ+π4)-π4]=12-11+12=-13,∴sin θ=-13cos θ,将其代入sin 2θ+cos 2θ=1得109cos 2θ=1,∴cos 2θ=910,又易知cos θ<0,∴cos θ=-310√10,∴sin θ=√1010,故sin θ+cos θ=-√105.。

三角函数的概念同角三角函数的基本关系式和诱导公式三角函数是数学中研究角和三角形的重要分支之一、它是用来描述角的位置、大小和比较角度之间关系的函数。

三角函数常用于解决与几何形体、物体运动、电流与电压等相关的问题。

在解决这些问题时，我们需要理解三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式。

1.概念角是以其中一点为顶点，以两条射线为边的图形。

三角函数是角的函数。

常见的三角函数有正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)和余切函数(cot)。

这些三角函数可以表示角度的大小和位置，并且它们在数学中有非常重要的应用。

2.同角三角函数的基本关系式同角三角函数是指在同一个角中，不同三角函数之间的关系。

常见的同角三角函数关系式有：(1) 正弦函数和余弦函数的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1这个关系式可以由勾股定理推导得出。

在单位圆中，θ角对应的直角三角形的斜边长为1，根据勾股定理可得到上述关系式。

(2) 正切函数和余切函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ，cotθ = cosθ / sinθ这个关系式说明，正切函数和余切函数可以分别由正弦函数和余弦函数表示。

(3) 正切函数和余切函数的关系：sinθ = 1 / cscθ，cosθ = 1 / secθ这个关系式说明，正弦函数和余弦函数可以分别由余切函数和正切函数表示。

这些基本关系式可以帮助我们在计算过程中简化和转化表达式，使得计算更加方便。

3.诱导公式诱导公式指的是通过基本关系式可以推导出其他三角函数之间的关系式。

常见的诱导公式有：(1) 余弦函数的诱导公式：cos(A ± B) = cosAcosB - sinAsinB根据这个公式，可以得到余弦函数的和差公式，通过计算角度之间的和差，可以快速得到余弦函数的结果。

(2) 正弦函数的诱导公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB根据这个公式，可以得到正弦函数的和差公式，通过计算角度之间的和差，可以快速得到正弦函数的结果。