新教材新人教A版必修一 习题课三角恒等变换的应用 课件(30张)

1
2
2
−
3
(1
6
− 2) =
1
2
2
3
+ 2
6

3
+ )− .
6
6
−
3
6
1
3
1
3
1
= ( 2 + 2) − = (2
3 2
2
6
3



5
由0 < < ，得 < 2 + < ，
3
6
6
6



1
3
3
所以当2 + = ，即 = 时， = − = .

又
2
<

2

∴
2

<


2
2
8
− ，且
17
1−
2
=−
=

2
=
1+
2

2
15
= −4.
1+17
2
=
3



，求 ， ， 的值；
2
2
2
2
3
15
，∴ = − .
2
17
<<
<<
3
，
4
=
��
8
，且
17
4 17
；
17
15
1 −

1 +

1 −
= ±
， = ±
， = ±
，

【解析】(1)选B.因为 5 <θ<3π,
2
所以cos θ= 1 sin2＝ 4，5 3 .
54 2 2
所以 sin 0，cos 0.
2
2
所以 sin ＝ 1 cos＝ 3 10，
2
2
10
cos ＝ 1 cos＝ 10 .
2
2
10
所以
tan
＝ sin 2 cos
2
＝3.
所以 tan ＋cos ＝3
3
②函数f(x)=sin 6x的最大值为1,最小值为-1.
【延伸探究】在本例(2)中,如何证明函数f(x)的图象关于直线x= 对称?
12
【解析】函数的解析式化简为f(x)=3sin 2x-4sin32x=sin 6x.
方法一:由6x=kπ+ ,k∈Z,得x= k , k∈Z,所以函数f(x)=sin 6x的图
2
2
2
2
因为π<α< 3，所以 3，
2
22 4
所以cos <0,sin >0,
2
2
所以原式=
(sin cos )2
(sin cos )2
2
2＋ 2
2
2(sin cos ) 2(sin cos )
22
22Biblioteka sin cos sin cos
＝ 2
2＋ 2
2
2
2
则y=sin 6x, 点P(x,y)关于直线x= 的对称点为P′ ( x, y,)由于
12
6
=sin(π-6x)=sin 6x,所以点P′ ( x, y在) 函数图象上.
6
所以函数图象关于直线x= 对称.

辅助角公式
asin ωx+bcos ωx=sin(ωx+φ)=cos(ωx-θ)(其中a≠0,b≠0,tan φ=,tan θ=).
教材知识萃取
规律总结1.降幂公式： <m></m> ; <m></m> ; <m></m> 2.升幂公式： <m></m> ; <m></m> ; <m></m> .3.其他常用变式 <m></m> ; <m></m> ; <m></m> .
【解析】 .
2.［苏教必修二P65练习第1题变式］已知，则 的值为____．
【解析】 已知，则 .
3.［苏教必修二P67习题10.1（3）第2题变式］已知 , , 都是锐角，且,, ，则 __.
【解析】 因为,，所以.因为 ，所以.因为 , ,，所以，因为 ，所以，所以，所以 .
4. ［人A必修一P254复习参考题5第12题变式］
变式2 变条件已知，且， ，则 的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为 ，，所以，，又 ，所以，所以，,则 （【提示】） 故选B．
2.［苏教必修二P58例3变式］已知，则 ___.
【解析】 解法一 由题知， ，于是 .解法二 ，从而 .
3.［多选］［人A必修一P220练习第3题变式］下列计算正确的是( )
教材素材变式
1. ［人A必修一P229习题5.5第2题变式］
变式1 变数值已知锐角 , 满足，，则 的值为( )
A
A. B. C. D.

1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 16°，
＝( )
∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin
A．
3 2
C．－
3 2
B．12 D．－12
76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60° ＝12.]
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2．cos(－15°)的值是( )
A.
6－ 2
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37
2．已知 α 为锐角，β 为第三象限 角，且 cos α＝1123，sin β＝－35，则 cos(α －β)的值为( )
A [∵α为锐角，cos α＝1123， ∴sin α＝ 1－cos2α＝153，
A．－6635
B．－6353
∵β为第三象限角，sin β＝－35，
C.6635
D.6353
12
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③12cos
15°＋
3 2 sin
15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝ 22.
13
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14
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构 形式，然后逆用公式求值． 2．两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．
系和公式 C(α－β)求 cos(α－β)． (2)由已知角π3＋α 与所求角 α 的关系即 α＝π3＋α－π3寻找解题思路．
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19
(1)D [因为sin α－sin β＝1－ 23，

2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，

用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2

2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos

2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos

2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]

2

2

2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2

6
解：y sin x cos x

6

3
1
cos x sin x
2
2
1
3
sin x
cos x
2
2


sin x

3

sin x
T 2


2. y cos 2 x 2 sin 2 x
3


2
解：y cos 2 x 2sin x
2
2
a
a b
a b
b
辅助角公式 : a sin x b cos x a b sin( x- ), tan
a
a
2
2
或 a b cos( x + ), tan
b
2
2
辅助角公式化简
b
辅助角公式 : a sin x b cos x a b sin( x ), tan
=
2
=
1-sin 2
2
1
2θ=9,则 sin
=
8
1-(-9)
2
=
8
2θ=-9 .
17
,故选 B.
18
考点三
角的变换
典例突破
π π
π 1
2
跟踪训练：(2) 已知α∈(-3 , 6),sin (2 + 6 )=5, 则 sin α=(
4 -3 3
A. 10
4+3 3
B. 10
2+ 3
C. 5
2- 3
sin x 3
3
2

索引
4.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
(1)sin 15°＝±
1－cos 30° 2 .(
×
)
(2)对于∀α∈R，sinα2＝12sin α 都不成立.( × )
(3)存在 x∈R，使得 cos α2＝21cos α.( √ )
(4)若 5π<θ<6π，cosθ2＝a，则 cosθ4＝
题 型
壹
必问 备题 知导 识学 探预 究习
教 材
索内 引容
一纸江南
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必 备知识探究
一、半角公式
1.问题 我们知道在倍角公式中，“倍角是相对的”，对余弦的二倍角公式，
思考下面问题：
解析 ∵π2<α<π，知π4<α2<π2，则 sin α2>0，∵sin2α2＝12(1－源自os α)＝45，∴sin
α2＝2
5 5.
索引
(2)已知 sin α＝ 55，cos α＝255，则 tanα2 ＝__5_－__2___.
解析
tan
α2＝sin
α 2α＝1－sincoαs α＝
5－2.
cos 2
题型一 利用半角公式求值
例 1 已知 sin α＝－54，π<α<32π，求 sin α2，cos α2，tan α2的值.
解 ∵π<α<32π，sin α＝－45，
∴cos α＝－35，且π2<α2<34π，
∴sin α2＝
1－cos 2
α＝2 5
5，

邢
启 强
3
复习引入
3. 余弦函数的倍角公式变形:
cos 2 1 2sin2
12sin2cos2
2sin21cos2
sin21cos2
2
sin 1cos2
讲
课 人 ： 邢
2
启 强
4
复习引入
3. 余弦函数的倍角公式变形:
cos 2 2cos2 1 cos 2 1 2cos2
2cos2 1 cos 2
2sinAB2cosAcosB
2
22
2cosC 22cosA 2cosB 24cosA 2cosB2cosC 2
16
巩固练习 人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.5.2简单的三角恒等变换 (2份打包)
教材P226练习第1、2、3题.
讲 课 人 ： 邢 启 强
人教版高中数学新教材必修第一册课 件：5.5 .2简单 的三角 恒等变 换 (2份打包)
C
BP
14
典型例题 人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.5.2简单的三角恒等变换 (2份打包)
例4. 已知A+B+C=180°, 求证： sinA sinB sin C 4cosAcosBcosC 222
证明：因为A+B+C=180°, 所以
C=180°－(A+B),
C 90 AB
2
2
sinA+sinB+sinC 2sinA BcosA Bsin(A B )
例3.
如图，
记∠COP＝，求当角
取何值时，矩形ABCD的
面积最大？并求出这个
最大面积.
3
O
Q
D

（2）cos α·sin β = [sin(α + β) – sin(α – β)]；
1
2
2
θ+φ
（3）cos α·cos β = [cos(α + β) + cos(α – β)]； （3）cos θ + cos φ = 2cos
1
2
（4）sin α·sin β = – [cos(α + β) – cos(α – β)].
，tan =±
2
2
2
2
1+ cos α
α
2
思考：若 = β，你能表示出 sin β ，cos β ，tan β 的半角公式吗？
学习目标
新课讲授
总结归纳
课堂总结
降幂与升幂公式
降幂公式
半角公式：
sin2β
1− cos 2β
1+ cos 2β
1− cos 2β
2
2
=
，cos β =
，tan β =
2
2
1+ cos 2β
θ+φ θ–φ
cos
.
思考：结合上述证明，你还能发现其他类似的式子吗？
2
2
学习目标
新课讲授
课堂总结
总结归纳
积化和差与和差化积公式
积化和差
和差化积
θ+φ
1
2
（1）sin θ + sin φ = 2sin
1
2
（2）sin θ – sin φ = 2cos
（1）sin α·cos β = [sin(α + β) + sin(α – β)]；
2

1 题型分类 深度剖析
PART ONE
自主演练
题型一 三角函数式的化简
sin 2α－2cos2α 1.化简： sinα－π4 ＝ 2 2cos α .
2sin αcos α－2cos2α
解析 原式＝
＝2 2cos α.
2 2 sin
α－cos
α
2.化简：22tcaonsπ44x－－x2scions22xπ4＋＋12x＝
所以 cos θ＝cos2kπ－π2－α＝cosπ2＋α＝－sin α＝－153.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.若
tanα－4π＝16，则
tan
7 α＝___5___.
解析
方法一
∵tanα－4π＝t1a＋n αta－n αtatnanπ4π4＝t1a＋n αta－n α1＝61，
A.5
√9
B.2
5
C.2
D.2
解析
由题意知
f(x)＝32sin
1＋cos x＋4× 2
x
＝32sin x＋2cos x＋2＝52sin(x＋φ)＋2，
其中 cos φ＝35，sin φ＝45，
∵x∈R，∴f(x)max＝52＋2＝92，故选 B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
例 已知函数 f(x)＝4tan x·sinπ2－x·cosx－3π－ 3. (1)求f(x)的定义域与最小正周期；
解
f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ，k∈Z
.
f(x)＝4tan xcos xcosx－3π－ 3
＝4sin xcosx－3π－
3＝4sin