【高中课件】高中数学人教A版选修232.3.1离散型随机变量的均值课件ppt.ppt

①求顾客抽奖1次能获奖的概率． ②若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中 获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
【自主解答】 (1)由题意可得：m＋2m＝1，所以 m＝13，所以 E(X)＝0×13＋1×23＝23.故选 D.
(2)①记事件 A1＝{从甲箱中摸出的 1 个球是红球}， A2＝{从乙箱中摸出的 1 个球是红球}， B1＝{顾客抽奖 1 次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖 1 次获二等奖}，C＝{顾客抽奖 1 次能获奖}． 由题意知 A1 与 A2 相互独立，A1－A2与－A1A2 互斥， B1 与 B2 互斥，且 B1＝A1A2，B2＝A1－A2＋－A1A2，C＝B1 ＋B2.
◎变式训练
1．为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红 灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行 人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：
处罚金额x(单位：元) 0 5 10 Байду номын сангаас5 20 会闯红灯的人数y 80 50 40 20 10
(1)若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时 与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少？
(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 是否该对这箱余下的所有产品作检验？
解析 (1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p) ＝C220p2(1－p)18.因此 f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝ 2C220p(1－p)17(1－10p)．令 f′(p)＝0，得 p＝0.1.当 p∈(0，0.1) 时，f′(p)＞0；当 p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0.
所以 f(p)的最大值点为 p0＝0.1. (2)由(1)知，p＝0.1 (ⅰ)令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数， 依题意知 Y～B(180，0.1)， X＝20×2＋25Y，即 X＝40＋25Y. 所以 EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.

数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
x1
x2
P
p1
p2
··· x i
··· pi
··· x n
··· pn
则称
E ( X ) x1 p1 x2 p2 … xi pi … xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离
散型随机变量取值的平均水平。
情景回顾
X
18
24
简称分布列.如下表所示
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
P1
P2
…
Pi
…
Pn
3.两点分布列
X
0
1
P
1－P
P
问题引导 讲授新课
问题一：如果你期末考试各门成绩为：
90、81、79、69、85、91
那你的平均成绩是多少？
90 81 79 69 85 91
82.5
6
… xn
x1 x2
p1 p2
加权平均：计算若干数量的平均数时，考虑
到每个数量在总量中所具有的重要性不同，
分别给予不同的权数。
问题情景1
18元/kg
24元/kg
36元/kg
按3：2：1的比例混合，混合糖果
中每一粒糖果的质量都相等.
定价为混合糖果的平均价格才合理
情景探究
按3：2：1混合以下糖果
X
18 18元/kg
概率
0.1
股票B收益的分布列
0
2
收益Y / 元
0
1
2
0.3
0.6
概率

变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1， 试求Y的期望？
Y 3 1 6 5 1 6 7 1 6 9 1 6 11 1 6 13 1 6
P
所以随机变量Y的均值为 E(Y) =3× 1/6+5× 1/6 +7×1/6+9× 1/6+11× 1/6+13× 1/6=8 =2E(X)+1 合情猜想：如果ξ是随机变量，a,b是常数， 随机变量η=aξ+b,则 .

P
则称 E x1 p1 x2 p2 平均水平.
为 的数学期望或均值,它反映了随机变量取值的
xn pn
问题4：离散型随机变量 的期望与 可能取值 的算术平均数相同吗？
期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率 意义下的平均值。随机变量 ξ取每个值时概率不 同导致了期望不同于初中所学的算术平均数。
P( X 900) 1 P( X 900) 1 0.9 0.1
所以Y 的分布列为：
Y
P
0 0.3
2 0.4
6 0.2
10 0.1
于是 E (Y ) 0 0.3 2 0.4 6 0.2 10 0.1 3
故工期延误天数Y的值为3
.
归纳求离散型随机变量期望的步骤： ①确定离散型随机变量可能的取值。 ②写出分布列，并检查分布列的正确与否。
A的胜败
胜
1 2
1 1 1 P2 2 2 4
1 P （B ）= 1- P （A ）= 4
例3：（2012高考湖北理）根据以往的经验，某工程 施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如 下表：
降水量X
工期延误天数Y X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900

•
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
•
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
•
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
E(5X)＝5E(X)＝5×18＝90，
E(5Y)＝5E(Y)＝5×5＝25．
小结
从特殊到一般
1.离散型随机变量的均值或数学期望
解决此类问题的步骤 （1）确定取值 （2）求概率
（3）写出分不列（4）求E（X）
2.离散型随机变量均值的性质
（1）随机变量均值的线性性质 （2）服从两点分布的性均值 （3）服从二项分布的均值
思考: 解:设学学生甲生和甲学在生这乙次在测这试次测中验的中成选绩择一正确的选择题 个数分别定是会X和是Y9,0则分X吗～?B他(2的0,0均.9值),为Y～9B0(分20,0.25)， 所以E(X的)＝含20义×是0.什9＝么18?， E(Y)＝20×0.25＝5．
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩分别是5X和5Y.这样，他们在测验中的成绩的 期望分别是
X
1
0
P
p1Biblioteka p则 E 1 X p 0 (1 p ) p
变式：篮一球个运袋动子员里在装比有赛大中小每相次同罚的球3 个命中得1分， 罚不中得红0球分和．2个已黄知球某，运从动中员有罚放球回命地中的概率为 0.7，他取连5次续，罚求球取3次到；红球次数的数学
（（12） ）求 求期他X望的得期到望的。分数3X的分布列；

•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午9时32分9秒上午9时32分09:32:0921.9.15
•
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
历史故事
在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡 挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，
E 5 X1 5E（X1） 5 18 90, E 5 X 2 5E（X 2） 5 5 25.
均值问题的实际应用
根据气象预 报 ,某地区近期有小洪水 的概 率为0.25,有大洪水的概率为 0.01.该地区某工地 上有一台大型设备 ,遇到大洪水时要损失 60 000 元,遇到小洪水时要损失10 000元.为保护设备,有 以下三种方案 : 方案1 : 运走设备,搬运费为3 800元. 方案2 : 建保护围墙,建设费为2 000元.但围墙只能 防小洪水. 方案3 : 不采取措施,希望不发生洪水. 试比较哪种方案好 .
24
36
1
1
1
P
2
3
6
因此权数恰好是随机事变量X的分布列.这样,每
千克混合糖果的合理价格为
18PX 18 24PX 24 36PX 36.
一般地, 若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
xi
P
p1
p2
pi
则称 E（X） x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为随
E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×(－1370)－3＝－6125.
[变问法]本例条件不变，若 ξ＝aX＋3，且 E(ξ)＝－121，求 a 的值．

•
•
• 有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
复习巩固
21布..3离列.1散及离型其散随性型的机质随均变机值量变X量的概率分 2.两点分布 3.二项分布
学习目标
1.理解离散型随机变量的均值的含义， 能计算简单离散型随机变量的均值．
2.理解离散型随机变量均值的性质．
3.掌握两点分布、二项分布的均值．
问题引入
某商场要将单价分别为18元/kg，24元 /kg，36元/kg的三种糖果按3:2:1的比例 混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
电
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
–■
电

[跟踪训练1] 盒中装有 5 节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现 在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数 X 的分 布列及均值．
解 X 可取的值为 1,2,3， 则 P(X＝1)＝35，P(X＝2)＝25×34＝130， P(X＝3)＝25×14×1＝110.
答案
抽取次数 X 的分布列为
1 3
m
若 η＝aξ＋3，E(η)＝73，则 a＝________.
答案 2
答案
解析 由分布列的性质，得12＋13＋m＝1，即 m＝16， 所以 E(ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13. 则 E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝73， 即－13a＋3＝73，得 a＝2.
解析
探究 3 离散型随机变量均值的实际应用 例 3 某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满 500 元便得到抽奖券 1 张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，则商场返回顾 客现金 100 元．某顾客现购买价格为 2300 元的台式电脑一台，得到奖券 4 张．每次抽奖互不影响． (1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为 ξ，求 ξ 的分布列； (2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为 η(单位：元)，用 ξ 表示 η，并 求 η 的数学期望．
要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论： (1)E(C)＝C(C 为常数)； (2)E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)； (3)如果 X1，X2 相互独立，则 E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量 X 的数学期望 E(X)是个变量，其随 X 的变化而变化．( × ) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．( × ) (3)若随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ)＝3，则 E(4ξ－5)＝7.( √ )

2.3
离散型随机变量的均值与方差
-1-
2.3.1
离散型随机变量的均值
-2-
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1.理解离散型随机变量的均值的意义,会根据离散型随机变量的 分布列求出均值. 2.掌握离散型随机变量的均值的性质,掌握两点分布、二项分布 的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水 平解决一些相关的实际问题.
M 目标导航
1 2
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Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1.离散型随机变量的均值 (1)一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数 学期望. (2)离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量 取值的平均水平.
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2.随机变量的均值与样本平均值有怎样的关系 剖析随机变量的均值与样本的平均值的关系:随机变量的均值是 一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均值是一个随机变量, 它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样,随着样本容量的 增加,样本平均值越来越接近于总体的均值.

第 8页
第二章
2.3
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
2.均值的性质 若 Y＝aX＋b，其中 a，b 是常数(X 是随机变量)，则 Y 也是随机 变量，且有 E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (1)当 a＝0 时，E(b)＝b，即常数的数学期望就是这个常数本身； (2)当 a＝1 时，E(X＋b)＝E(X)＋b，即随机变量 X 与常数之和的 期望等于 X 的期望与这个常数的和；
第14页
第二章
2.3
第一课时
高考调研
(2)X 的所有可能值为 0,10,20,50,60，
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
2 1 C6 1 C1 2 3C6 且 P(X＝0)＝ 2 ＝ ，P(X＝10)＝ 2 ＝ ， C10 3 C10 5 2 1 C3 1 C1 2 1C6 P(X＝20)＝C2 ＝15，P(X＝50)＝ C2 ＝15， 10 10 1 1 C1 C3 1 P(X＝60)＝ 2 ＝ .故 X 的分布列如下. C10 15
概率为 0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交 保险费 100 元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿 a 元 (a>1 000)．问 a 如何确定可使保险公司的期望获益．
第18页
第二章
2.3
第一课时
高考调研
解析 布为： X P 100 0.995
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
第 9页
第二章
2.3
第一课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
(3)当 b＝0 时，E(aX)＝aE(X)，即常数与随机变量乘积的期望等 于这个常数与随机变量期望的乘积.
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