高三数学非练习型“土豪”题(4)

高三数学综合练习四班级 学号 姓名一、填空题1．含有三个实数的集合既可表示成a {，ab，}1，又可表示成2{a ，b a +，}0，则20162015b a += .2．已知22:12,:210,(0)p x q x x a a -≤-+-≥>，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．3．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=)0(1)0(lo g )(22x x x x x f ，则不等式0)(>x f 的解集为_________．4．已知函数()x f 是R 上的增函数，()()0,1,3,1A B -是其图像上的两点，那么()1f x <的解集是____________________5．=+⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛2410)2(lg 20lg 5lg 25.0232）（ .6． 已知2a = ，3b =，,a b 的夹角为60°，则2a b -=_____. 7．如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点， 且2BD DC =.若(,)AC mAB nAD m n =+∈R ，则____mn -=.8．下面五个命题中，其中正确的命题序号为________________． ①若非零向量,a b 满足,a b a b -=+则存在实数0,λ>使得b a λ=； ②函数()4cos(2)6f x x π=-的图象关于点(,0)6π-对称；③在ABC ∆中，sin sin A B A B >⇔>； ④在(,)22ππ-内方程 tan sin x x =有3个解； ⑤若函数c o s (y A xωϕ=+(0,A ω>>为奇函数，则2k πϕπ=+()k ∈Z ．9．已知函数()()sin f x M x ωϕ=+ （0,0M ω>>，2πϕπ≤≤）的部分图象如图所示，其中A,B 两点之间的距离为5，那么()1f -=__________．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n a =n S +3，则n a =____________． 11．等差数列{}{}n b b a ,的前n 项和分别为n n T S ,，且3213+-=n n T S n n ，则=1010b a ________． 12．设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，对于任意,x D ∈都有x k D +∈，且()()f x k f x +>恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 型增函数”，已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2f x x a a =--，若()f x 为R 上的“2015型增函数”，则实数a 的取值范围是______． 13．若1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a 的范围是 .（用区间来表示）14．数列{a n }的前n 项和是n S ，若数列{a n }的各项按如下规则排列：21，31，32，41，42，43，51，52，53，54，…，n 1，n 2，……......1nn -有如下运算和结论：①a 23＝83； ②S 11＝631；③数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…是等比数列；④数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…的前n 项和n T ＝42nn +；在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号________． 二、解答题 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 满足：,23cos sin sin cos cos =++B C A C A 且a ，b ，c 成等比数列， （1）求角B 的大小； （2）若2,tan 2tan tan ==+a BbC c A a ，求三角形ABC 的面积。

高三超难数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)的最小值是：A. 0B. 1C. 3D. 4答案：B2. 若复数z满足|z-1|=2，则z在复平面上对应的点位于：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：A3. 若函数f(x)=2sin(2x+π/4)的图像向右平移π/8个单位，所得图像对应的函数解析式为：A. f(x)=2sin(2x+3π/4)B. f(x)=2sin(2x-π/4)C. f(x)=2sin(2x+π/8)D. f(x)=2sin(2x-3π/8)答案：B4. 对于双曲线C：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，若其焦点在x轴上，且离心率为2，则a与b的关系为：A. b=aB. b=2aC. b=√3aD. b=√2a答案：C二、填空题（每题5分，共20分）5. 设等比数列{an}的首项为1，公比为2，则该数列的前5项和S5为：______。

答案：316. 若直线l的方程为x-y+1=0，且直线l与圆x^2+y^2=1相切，则直线l与圆的切点坐标为：（______，______）。

答案：(0,1)或(-2,-1)7. 设函数f(x)=x^3-3x，若f'(x)=0的根为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的值为：______。

答案：08. 若椭圆E的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a>b>0，且椭圆E 与直线y=x相切于点(1,1)，则a^2+b^2的值为：______。

答案：5三、解答题（每题15分，共40分）9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求证：对于任意x∈R，都有f(x)≥-1。

证明：首先求导f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。

令f'(x)=0，得到x=0或x=2。

当x<0或x>2时，f'(x)>0，函数单调递增；当0<x<2时，f'(x)<0，函数单调递减。

高三文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}24M x x =<，{}2230N x x x =--<，且M N =A ．{}2x x <-B ．{}3x x >C ．{}12x x -<<D ．{}23x x << 2．若函数2()log f x x =，则下面必在()f x 反函数图像上的点是反函数图像上的点是A ．(2)aa ， B ．1(2)2-，C ．(2)a a ，D ．1(2)2-，3．右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为A ．64+163B ． 16+334C ．163D ． 16 4．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为项和为21，则=++543a a a （ ）A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 5. 将函数)32sin(p+=x y 的图像向右平移12p=x 个单位后所得的图像的一个对称轴是：个单位后所得的图像的一个对称轴是：A. 6p=x B. 4p=x C. 3p=x D. 2p=x6． 若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆落在圆1022=+y x 内（含边界）的概率为内（含边界）的概率为A ．61 B ．41 C ．92D ．3677．下列有关命题的说法正确的是．下列有关命题的说法正确的是A ．“21x =”是“1-=x ”的充分不必要条件”的充分不必要条件 B ．“2=x ”是“0652=+-x x ”的必要不充分条件．”的必要不充分条件． C ．命题“x R $Î，使得210x x ++<”的否定是：“x R "Î， 均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．”的逆否命题为真命题．P T O ，ｍ）三点共线， 则ｍ的值为 ．．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是 ． a b b a a b 2的值为 ．p所得的弦长为所得的弦长为． pp ．开始开始 a =1 a =3a +1 a >100? 结束结束是否a =a +1 输出a33]3型号型号 甲样式甲样式 乙样式乙样式 丙样式丙样式 500ml2000 z 3000 700ml3000 4500 5000 A B C 2a0AF F F 13OF QN MQ a b a 21n +722p)ppp3122p]1 333222,0),(2,0),2a a --22,a 2)2a a a -22a -22a -222123a a -- QN MQ )33x x-1a£ïíïx=>上恒成立，0x >\只要24aa ì£ïí解：（1）由121n n na a a +=+得：1112n na a +-=且111a=，所以知：数列1n a ìüíýîþ是以1为首项，以2为公差的等差数列，为公差的等差数列， …………2分所以所以1112(1)21,21n nn n a a n =+-=-=-得：； ------------4分（2）由211n n b a =+得：212112,n n n n b b n=-+=\= ， 从而：11(1)n n b b n n +=+ ------------6分则 122311111223(1)n n n T b b b b b b n n +=+++=+++´´+=11111111()()()()1223341n n -+-+-++-+ 1111nn n =-=++ ------------9分（3）已知)1()1)(1)(1(12531-++++=n nb b b b P 246213521n n =····- 22212(4)(4)1,221n nn n n n +<-\<- 设：nn T n 2124523+´´´= ，则n n T P >从而：nn n n T P P n n n 2121223423122+´-´´´´=> 21n =+故：故： 21n T n >+ ------------14分。

哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2024年高三第四次联合模拟考试数学试卷注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i2i 1ix y +=-+，,R x y ∈，则x y +=（）A ．2B ．3C ．4D ．52．若a ，b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+ 与2a b -垂直，则λ=（）A ．0B ．2C ．1-D ．2-3．某种酸奶每罐净重X （单位：g ）服从正态分布()2184,2.5N .随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g 之间的概率为（）（注：若()2~,X N μσ，()0.6827P X μσ-<=，()20.9545P X μσ-<=，()30.9973P X μσ-<=）A ．0.8186B ．0.84135C ．0.9545D ．0.68274．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若12a =，378a a +=，则17S =（）A ．51B ．102C ．119D ．2385．过点(),P a b 作圆221x y +=的切线PA ，A 为切点，1PA =，则3a b +的最大值是（）AB C ．D ．6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，I 为12PF F △的内心，记1PF I ，2PF I △，12IF F △的面积分别为1S ，2S ，3S ，且满足3123S S S =+，则双曲线的离心率是（）A BC ．2D ．37．某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：下列结论正确的是（）A ．该校2023年与2022年的本科达线人数比为6:5B ．该校2023年与2022年的专科达线人数比为6:7C ．2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了80%D ．2023年该校不上线的人数有所减少8．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线1QB 与直线1DB 的夹角为30︒，则点Q 的轨迹长度为（）A ．π2B ．πC ．2πD ．3π二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．对于ABC 有如下命题，其中正确的是（）A ．若222sin sin cos 1ABC ++<，则ABC 为钝角三角形B．若1,30AB AC B ===︒，则ABC的面积为2C ．在锐角ABC 中，不等式sin cos A B >恒成立D．若π,3B a ==且ABC 有两解，则b的取值范围是(3,10．已知函数()e xxf x =-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的极值点为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()f x 的极值点为1C ．直线2214e e y x =-是曲线()y f x =的一条切线D ．()f x 有两个零点11．已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()111f x g x ++-=，则下列说法中正确的是（）A ．4为()f x 的一个周期B ．8为()g x 的一个周期C ．()20240g =D ．()20241422024n f n =-=∑三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知π1sin 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 26α⎛⎫+=⎪⎝⎭.13．命题“任意[]1,3x ∈，22x x a -≤+”为假命题，则实数a 的取值范围是.14．已知数列{}n a 满足113,1,2,n n n a n n a a a n ++-⎧==⎨⎩是奇数是偶数，22n n b a n =+，则1n n b b +=．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，11AA =.E 为11B C 的中点.(1)求直线1A D 与直线AE 所成角的余弦值；(2)求点1D 到直线AE 的距离.16．如图，在平面内，四边形ABCD 满足B ，D 点在AC 的两侧，1AB =，2BC =，ACD 为正三角形，设ABC α∠=.(1)当π3α=时，求AC ；(2)当α变化时，求四边形ABCD 面积的最大值.17．如图，已知椭圆221:14x C y +=和抛物线()22:20C x py p =>，2C 的焦点F 是1C 的上顶点，过F 的直线交2C 于M 、N 两点，连接NO 、MO 并延长之，分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，设OMN 、OAB 的面积分别为OMN S △、OAB S．(1)求p 的值；(2)求OM ON ⋅ 的值；(3)求OMN OABS S 的取值范围.18．2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会．某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图．(1)根据等高堆积条形图，填写下列22⨯列联表，并依据0.010α=的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；性别是否喜欢羽毛球运动合计是否男生女生合计(2)已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X ，求()P X k =取得最大值时的()*k k ∈N 值．附：α0.100.050.0100.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．19．已知2()e ln ,()ln x f x a x g x x x a ==+(1)当1a =时，求()f x 在1x =处切线方程；(2)若()()f x g x <在(0,1)x ∈恒成立，求a 的取值范围；(3)求证：411111322222123e e e e ln(1)234(1)n n n n +⋅+⋅+⋅++⋅<++ ．1．C【分析】根据条件得出()()i 1i 2i x y +=+-，再根据复数的乘法运算可得出i 3i x y +=+，然后即可求出x y +的值．【详解】解：i2i 1ix y +=-+，()()i 1i 2i 3i x y ∴+=+-=+，3x ∴=，1y =，4x y ∴+=.故选：C.2．A【分析】由数量积的定义可求出⋅a b ，再由向量垂直的性质求解即可得出答案.【详解】解：a ，b是夹角为60︒的两个单位向量，则1a b == ，111cos 602a b ⋅=⨯⨯︒= ，因为a b λ+ 与2a b -垂直，则()()()222220a b a b a a b b λλλ+⋅-=+-⋅-= ，即()121202λλ-+-⨯=，解得0λ=.故选：A.3．A【分析】根据正态分布的对称性，以及184μ=， 2.5σ=，即可求得净重在179g 与186.5g 之间的概率．【详解】由题意可知，184μ=， 2.5σ=，可得1792μσ=-，186.5μσ=+，净重在179g 与186.5g 之间的概率为()()179186.52P X P X μσμσ<<=-<<+，由正态分布的对称性可知，()()()()()1222P X P X P X P X μσμσμσμσμσ-<<+=-<+-<--<∣()10.68270.95450.68270.81862=+-=，所以净重在179g 与186.5g 之间的概率为()179186.50.8186P X <<=.故选：A.4．B【分析】结合等差数列的性质先求出公差d ，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【详解】等差数列{}n a 中，12a =，37528a a a +==，即54a =，所以511512a a d -==-，则171716117210222S ⨯=⨯+⨯=.故选：B.5．C【分析】根据圆的切线的性质得出PA OA ⊥，结合勾股定理可得2222PO PA OA =+=，即222a b +=，然后设3a b t +=，将222a b +=化为关于b 的一元二次方程，利用根的判别式大于等于0，求出t 的最大值，可得答案．【详解】解：根据题意，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径1r =.若PA 与圆O 相切于点A ，则PA OA ⊥，可得2222PO PA OA =+=，即222a b +=，设3a b t +=，则3a t b =-，可得()2232t b b -+=，整理得2210620b tb t -+-=，关于b 的一元二次方程有实数解，所以()22Δ364020t t =--≥，解得t -≤≤当a =5b =时，t 有最大值3a b +的最大值是故选：C.6．D【分析】利用三角形12PF F △的内切圆圆心I 到各边距离都等于半径r ，从而得到1112S PF r =，2212S PF r =，31212S F F r =，再由3123S S S =+找到,a c 的等量关系，进而求得离心率的值.【详解】设12PF F △的内切圆半径为r ，则1112S PF r =，2212S PF r =，31212S F F r =，所以()121212111222S S PF r PF r r PF PF ar -=-=-=，又3S cr =,3123S S S -=，所以13ar cr =，即3c a =，所以3e =，故选：D.7．C【分析】设2022年的高考人数为100，则2023年的高考人数为150，再根据扇形统计图中各个种类的人数所占的比例，逐个选项判断即可．【详解】不妨设2022年的高考人数为100，则2023年的高考人数为150，2022年本科达线人数为50，2023年本科达线人数为90，∴2023年与2022年的本科达线人数比为9:5，本科达线人数增加了9050480%505-==，故A 错误，C 正确；2022年专科达线人数为35，2023年专科达线人数为45，∴2023年与2022年的专科达线人数比为9:7，故B 错误；2022年不上线人数为15，2023年不上线人数也是15，不上线的人数无变化，故D 错误．故选：C.8．C【分析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，由空间向量的位置关系可证得1DB ⊥平面PMN ，可得点Q 的轨迹为圆，由此即可得．【详解】解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，()1,2,0P ，()0,1,2M ，()2,0,1N ，()0,0,0D ，()12,2,2B ，故()12,2,2DB = ，()1,1,2PM =--，()1,2,1PN =- ，设平面PMN 的法向量为(),,m x y z =，则()()()(),,1,1,220,,1,2,120m PM x y z x y z m PN x y z x y z ⎧⋅=⋅--=--+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ ，令1z =得，1x y ==，故()1,1,1m =，因为12DB m =，故1DB ⊥平面PMN ，Q 为平面PMN 上的动点，直线1QB 与直线1DB 的夹角为30°，1DB ⊥平面PMN ，设垂足为S ，以S为圆心，13r B S =为半径作圆，即为点Q的轨迹，其中11B D B D ==，由对称性可知，1112B S B D ==13r ==，故点Q 的轨迹长度为2π.故选：C.9．ACD【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断AB ，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C ，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D.【详解】选项A ：ABC 中，若222222sin sin cos sin sin 1sin 1A B C A B C ++=++-<，即222sin sin sin 0A B C +-<，所以由正弦定理得2220a b c +-<，又由余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以π,π2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为钝角三角形，A 说法正确；选项B ：ABC 中，若1,30AB AC B ===︒，则由正弦定理得sin sin AC AB B C =，解得sin C =所以60C =︒或120︒，所以90A ∠=︒或30A ∠=︒，ABC 的面积13sin 22S AB AC A =⋅⋅=或B 说法错误；选项C ：因为ABC 是锐角三角形，所以π2C <，所以ππ2A B C +=->，又π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π2A B >-，则ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又因为sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，C 说法正确；选项D ：如图所示，若ABC 有两解，则sin a B b a <<，解得3b <<D 说法正确；故选：ACD 10．BC【分析】利用导数与函数的极值的关系可判断AB ；结合函数的单调性与函数零点的知识可判断D ；利用导数的几何意义求得()f x 在2x =处的切线方程，从而得以判断．【详解】对A ：因为()e x x f x =-，所以()1e xx f x '-=，令()0f x '<，得1x <；令()0f x '>，得1x >，所以()f x 在(),1∞-上单调递减；在()1,∞+上单调递增.可知()f x 在1x =处取得唯一极小值，也是()f x 的最小值，所以()f x 的极值点为1x =，故A 错误，B 正确；对C ：因为()222e f =-，()212e f '=，所以()f x 在2x =处的切线方程为()22212e ey x +=-，即2214e e y x =-，故C 正确．对D ：因为()00f =，()110ef =-<，结合()f x 在(),1∞-上的单调性，可知0x =是()f x 在(),1∞-上的唯一零点；当1x >时，e 0x >恒成立，故()0e xxf x =-<恒成立，所以()f x 在()1,∞+上没有零点；综上：()f x 只有一个零点，故D 错误．故选：BC.11．BCD【分析】由题意可得()()21f x g x +-=，用x -替换()()111f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=，于是可得()()222f x f x ++-=，进而可得()f x 为周期函数，8为最小正周期，即可判断A ；用8x +替换且()()111f x g x ++-=的x ，即可判断B ；根据B 及()00g =即可判断C ；由()()222f x f x ++-=，可得()()42f x f x ++=，()()()()()()261014809080942024f f f f f f ++++⋅⋅⋅++=即可判断D.【详解】因为()f x 和()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-，且()00g =，又因为()()111f x g x ++-=，所以()()21f x g x ++-=，即()()21f x g x +-=，①用x -替换()()111f x g x ++-=中的x ，得()()111f x g x -++=，即()()21f x g x -+=，②由①＋②，得()()222f x f x ++-=，所以函数()y f x =关于()2,1中心对称，且()21f =，由()()222f x f x ++-=，可得()()42f x f x ++-=，()()()422f x f x f x +=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 为周期函数，8为周期，故A 错误；用8x +替换且()()111f x g x ++-=的x ，得()()18181f x g x ⎡⎤+++-+=⎣⎦，又因为()()181f x f x ++=+，所以()()()11818g x g x g x ⎡⎤⎡⎤-=-+=-+⎣⎦⎣⎦，所以()()8g x g x +=，所以()g x 为周期函数，8为周期，故B 正确；所以()()()20242538000g g g =⨯+==，故C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，即()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142f f +=，……令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以()()()()()()1012261014809080942222024f f f f f f ++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+=个所以()()()()()()()2024142261014809080942024n f n f f f f f f =⎡⎤-=++++⋅⋅⋅++=⎣⎦∑，故D 正确．故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查了判断抽象函数的对称性、周期性，考查函数的奇偶性，解题的关键是用x -替换()()111f x g x ++-=中的x ，再结合函数的奇偶性分析，考查推理能力和计算能力，属于较难题．12．78##0.875【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式可求得答案．【详解】因为π1sin 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25πππππ17sin 2sin 2cos 212sin 16323688αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：78.13．52a >【分析】根据题意，问题转化为存在[]1,3x ∈，22x x a ->+为真命题，即()min22x xa ->+，求出22x x y -=+的最小值得解.【详解】若命题任意“[]1,3x ∈，22x x a -≤+”为假命题，则命题存在[]1,3x ∈，22x x a ->+为真命题，因为13x ≤≤时，228x ≤≤，令2x t =，则28t ≤≤，则1y t t=+在[]28,上单调递增，所以56528y ≤≤，所以52a >.故答案为：52a >.14．2【分析】根据递推公式推导出2222(1)24n n a n a n +++=+，即可得解.【详解】由数列{}n a 满足11a =，13,2,n n n a n n a a n ++-⎧=⎨⎩是奇数是偶数，可得22(21)12121(21)322n n n n a a a n a n +++++==++-=+-，又由2122n n a a +=，所以22(21)12222n n n a a a n +++==+-因为22n n b a n =+，可得12222(1)24n n n b a n a n ++=++=+，所以1222422n n n n b a na nb ++==+.故答案为：215．(1)30【分析】（1）先利用直线的平行，找出所求的线线角，再放在三角形中，求角；（2）构造三角形，转化为求三角形的高.【详解】（1）如图：取1CC 中点，连接EF ，AF ，由长方体的性质可知1//A D EF ，所以AEF ∠(或其补角)即为1A D 与AE 所成的角，在AEF 中：161132AE =++=1514EF =+1916442AF =++=，由余弦定理：222cos 2·AE EF AF AEF AE EF +-∠=5811810443052322+-=⨯⨯10.（2）连接1AD ，1ED ，在1AD E 中：1415AD +116117ED =+=32AE =，所以2221111cos 2·AD AE D E D AE AD AE +-∠=10102532=⨯，所以1310sin 10D AE ∠=，所以点1D 到直线AE 的距离为：1131032sin 5102AD D AE ⨯∠16．3(2)5324+【分析】（1）在ABC 中，由余弦定理可得AC 的值；（2）由余弦定理可得2AC 的表达式，进而求出正三角形ACD 的面积的表达式，进而求出四边形ABCD 的面积的表达式，由辅助角公式及α的范围，可得四边形面积的范围．【详解】（1）因为1AB =，2BC =，π3B =，由余弦定理可得：2212cos 1421232AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯⨯=（2）由余弦定理可得2222cos 14212cos 54cos AC AB BC AB BC ααα=+-⋅=+-⨯⨯=-，因为ACD 为正三角形，所以2353344ACD S AC α==△，11sin 12sin sin 22ABC S AB BC ααα=⋅=⨯⨯=△，所以53π53sin 32sin 434ABC ACD ABCD S S S ααα⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭四边形△△，因为()0,πα∈，所以ππ2π333,α⎛-∈-⎫ ⎪⎝⎭，所以πsin ,13α⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以244ABCD S ⎛∈+ ⎝⎦四边形，故当5π6α=时，四边形ABCD 面积的最大值为5324+.17．(1)2p =(2)3-(3)[)2,+∞【分析】（1）由抛物线2C 的焦点坐标求p 的值；（2）设直线MN 的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理求OM ON ⋅ 的值；（3）设直线NO 、MO 的方程，与椭圆联立方程组表示出,A B x x ，由OMNOAB OM ON S S OB OA⋅=⋅ ，化简并结合基本不等式求取值范围.【详解】（1）椭圆221:14x C y +=的上顶点坐标为()0,1，则抛物线2C 的焦点为()0,1F ，故2p =.（2）若直线MN 与y 轴重合，则该直线与抛物线2C 只有一个公共点，不符合题意，所以直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为1y kx =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩可得2440x kx --=，216160k ∆=+>恒成立，则124x x =-，221212121241344x x OM ON x x y y x x ⋅=+=+=-+=- .（3）设直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，其中10k >，20k <，联立12244y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221414k x +=，解得x =点A在第三象限，则A x =，点B在第四象限，同理可得B x =且121212121164y y x x k k x x ===-121222OMNOAB B AOM ON x x x x S S OB OA x x ⋅⋅⋅===⋅⋅=2≥=，当且仅当112k =时，等号成立.OMNOABS S 的取值范围为[)2,+∞.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18．(1)填表见解析；能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联(2)20k =【分析】（1）根据等高堆积条形图，填写22⨯列联表，利用公式求2χ，与临界值对比后下结论；（2）依题意，随机变量13~30,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由不等式组3013113030301291303013131313C 1C12020202013131313C 1C 120202020kkk kk k k kk kk k -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，求()P X k =取得最大值时k 的值.【详解】（1）由题意，根据等高堆积条形图，完成22⨯列联表如下：性别是否喜欢羽毛球运动合计是否男生7525100女生5545100合计13070200零假设为0H ：该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联．220.010200(75455525)8.791 6.63510010013070x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，∴依据小概率值0.010α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联．（2）由列联表可知，该校学生喜欢羽毛球运动的频率为1301320020=，∴随机变量13~30,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴30301313()C 12020kkk P X k -⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．要使()P X k =取得最大值，则需3013113030301291303013131313C 1C12020202013131313C 1C 120202020k kk kk k kkk kk k -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得3834032020k ≤≤，∵*k ∈N ，∴当20k =时，()P X k =取得最大值．19．(1)e e 0x y --=；(2)1[,)e+∞；(3)证明见解析.【分析】（1）把1a =代入，求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）将不等式()()f x g x <等价变形成ln ln(e e)x x x a x a <，按e 1x a ≥及0e 1x a <<讨论，构造函数借助单调性质可得e x a x >，再分离参数即可求出a 的范围.（3）由（2）的结论，当1ea =时()()f x g x <成立，变形整理得1ln (1)e x x x x -<-，取1nx n =+，借助裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）当1a =时，()e ln x f x x =，求导得)1(()e ln x f x x x+'=，则(1)e f '=，而(1)0f =，所以()f x 在1x =处切线方程为e(1)y x =-，即e e 0x y --=.（2）2ln ln ln ln(e ()()e ln ln )(0,,e 1)e x xx xx x a x a x x x a x x x a x f a a g x +∀∈⇔<+⇔⇔<<<，当01x <<时，ln 0x x <，当e 1xa ≥时，0)ln(e e x x a a ≥，则不等式ln ln(e e )x xx a x a <恒成立，此时e x a x >，当0e 1x a <<时，令函数ln (),01x h x x x =<<，求导得21ln ()0xh x x -'=>，函数()h x 在(0,1)上单调递增，不等式ln ln(e e)xxx a x a <，即()(e )x h x h a <，因此e x a x >，从而)(0,1(e ),()e xx x x x x a x f a g ∀∈⇔⇔><>，令1(0),e x x x x ϕ=<<，求导得1()0e xx x ϕ'-=>，函数()ϕx 在(0,1)上单调递增，1(0,1),()(1)e x x ϕϕ∀∈<=，则1e a ≥，所以a 的取值范围是1[,)e+∞.（3）由（2）知，当1ea =时，不等式112e ln ln (1)e x x x x x x x x --<-⇔<-对(0,1)x ∀∈恒成立，取1n x n =+，得11ln (1)1e 11nn n n n n n n -+-+<++，即112l 1(1n e )n n n n n ++<-+，因此112l 1(1)n e n n n n n +++>，即112e ln 1)ln 1)((n n n n n +<+-+，则111324222211123e e e e ln 2ln14ln 3ln 2ln 23(1)(1)ln n n n n n +⋅+⋅+⋅++⋅+<-+-+++- ln(1)ln1ln(1)n n =+-=+，所以原不等式成立.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

⾼三数学复习专题练习题：解三⾓形（含答案）⾼三数学复习专题练习：解三⾓形（含答案）⼀. 填空题（本⼤题共15个⼩题，每⼩题5分，共75分）1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC ⼀定是三⾓形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CBsin sin 的值为 . 3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且⾯积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= . 4.在△ABC 中，BC=2，B=3π，若△ABC 的⾯积为23，则tanC 为 . 5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= . 8.在△ABC 中，若∠C=60°，则c b a ++ac b+= . 9.如图所⽰，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km, 灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 km.10.⼀船⾃西向东匀速航⾏，上午10时到达⼀座灯塔P 的南偏西75°距塔68海⾥的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南⽅向的N 处，则这只船的航⾏速度为海⾥/⼩时. 11. △ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c=2，b=6，B=120°,则a= .12. 在△ABC 中,⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tanB=3ac ，则⾓B 的值为 . 13. ⼀船向正北航⾏，看见正西⽅向有相距10 海⾥的两个灯塔恰好与它在⼀条直线上，继续航⾏半⼩时后，看见⼀灯塔在船的南偏西600，另⼀灯塔在船的南偏西750，则这艘船是每⼩时航⾏________ 海⾥.14.在△ABC 中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC 的⾯积为 .15.在△ABC 中，⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若（3b-c ）cosA=acosC ，则cosA= .（资料由“⼴东考神”上传，如需更多⾼考复习资料，请上 tb ⽹搜“⼴东考神”）⼆、解答题（本⼤题共6个⼩题，共75分）1、已知△ABC 中，三个内⾓A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的⾯积为S ，且2S=（a+b ）2-c 2，求tanC 的值. （10分）2、在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （11分）（1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是⾓A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2. (12分)（1）求⾓B 的⼤⼩；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的⾯积.4、△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. (12分) （1）求⾓A 的⼤⼩；（2）若a=3，求bc 的最⼤值；（3）求cb C a --?)30sin(的值.5、已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=． (12分)（1）求边长a 的值；（2）若A S ABC sin 3=?，求A cos 的值．6、在某海岸A 处，发现北偏东 30⽅向，距离A 处）（13+n mile 的B 处有⼀艘⾛私船在A 处北偏西 15的⽅向，距离A 处6n mile 的C 处的缉私船奉命以35n mile/h 的速度追截⾛私船. 此时，⾛私船正以5 n mile/h 的速度从B 处按照北偏东 30⽅向逃窜，问缉私船⾄少经过多长时间可以追上⾛私船，并指出缉私船航⾏⽅向. (12分)ACB3015· ·参考答案：⼀、填空题：1、等腰；2、53；3、45°；4、33；5、60°；6、45°或135°；7、65π；8、1；9、3a ；10、2617；11、2；12、3π或32π；13、10；14、103；15、33。