2019_2020学年高中数学课时分层作业14实际问题中导数的意义最大值最小值问题含解析北师大版选修2_2

课时分层作业(十九) 函数的最大（小）值与导数(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数f (x )＝x ＋cos x 在[0，π]上的( ) A ．最小值为0，最大值为π2B ．最小值为0，最大值为π2＋1C ．最小值为1，最大值为π2D ．最小值为1，最大值为π－1D [f ′(x )＝1－sin x ，由x ∈[0，π]知，f ′(x )≥0，即f (x )在[0，π]上是增函数，所以f (x )max ＝f (π)＝π－1，f (x )min ＝f (0)＝1.]2．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 等于( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．－1B [f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－13(舍)．由f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2知f (x )max ＝f (2)＝a ＋2＝3，解得a ＝1.]3．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( )A ．1B ．4C ．－1D ．0B [∵f ′(x )＝3ax 2， ∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2＞0，即f (x )在[1,2]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20， ∴c ＝4.]4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )【导学号：97792164】A ．0≤a ＜1B ．0＜a ＜1C ．－1＜a ＜1D ．0＜a ＜12B [∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0得x 2＝a .∴x ＝±a .又∵f (x )在(0,1)内有最小值， ∴0＜a ＜1，∴0＜a ＜1.故选B.]5．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32A [∵f ′(x )＝2x 3－6x 2， 令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝3， 验证可知x ＝3是函数的最小值点， 故f (x )min ＝f (3)＝3m －272，由f (x )＋9≥0恒成立，得f (x )≥－9恒成立， 即3m －272≥－9，∴m ≥32.]二、填空题6．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2e x 的值域为__________．[0，e] [f ′(x )＝2x －x2e x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2(舍)．又f (－1)＝e ，f (0)＝0，f (1)＝1e，则f (x )max ＝f (－1)＝e ，f (x )min ＝f (0)＝0，因此函数f (x )的值域为[0，e]．]7．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．(－4，－2) [f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0得，x ＝m2.由题意知－2<m2<－1，∴－4<m <－2.]8．若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为__________． 3－1 [f ′(x )＝a －x 2x 2＋a2(a >0)，令f ′(x )＝0得x ＝a 或x ＝－a (舍)．当0<a ≤1时，f ′(x )≤0，则f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，从而f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1， 当a >1时，x ∈[1，a )时，f ′(x )>0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0， 则当x ＝a 时，f (x )有最大值，即f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33，解得a ＝34不合题意． 综上知，a ＝3－1.] 三、解答题9．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数.【导学号：97792165】(1)求f (x )的表达式．(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． [解] (1)因为f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ， 所以g (x )＝f (x )＋f ′(x ) ＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为g (x )是奇函数， 所以g (－x )＝－g (x )， 从而3a ＋1＝0，b ＝0， 解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0. 解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝2， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.10．已知函数f (x )＝ax 2－ax －x ln x ，且f (x )≥0. (1)求a ；(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2＜f (x 0)＜2－2. [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 设g (x )＝ax －a －ln x ，则f (x )＝xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0.因为g (1)＝0，g (x )≥0，故g ′(1)＝0， 而g ′(x )＝a －1x，g ′(1)＝a －1，得a ＝1.若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x.当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以x ＝1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0. 综上，a ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x . 设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，h ′(x )＜0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＞0. 所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．又h (e －2)>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，h (1)＝0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上有唯一零点x 0，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上有唯一零点1，且当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0；当x ∈(x 0,1)时，h (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0.因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点． 由f ′(x 0)＝0得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0)． 由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12得f (x 0)＜14.因为x ＝x 0是f (x )在(0,1)上的最大值点， 由e －1∈(0,1)，f ′(e －1)≠0得f (x 0)>f (e －1)＝e －2. 所以e －2<f (x 0)<2－2.[能力提升练]1．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )A [令u (x )＝f (x )－g (x )， 则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴u (x )在[a ，b ]上为减函数，∴u (x )在[a ，b ]上的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )．]2．设直线x ＝m 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小值时m 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22D [|MN |＝x 2－ln x ，令F (x )＝x 2－ln x ，F ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0<x <22时，F ′(x )<0；当x >22时，F ′(x )>0；所以当x ＝22时，F (x )有极小值也就是最小值，故选D.] 3．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为________．[4，＋∞) [∵x ∈(0,1]， ∴f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝－2xx 4.令g ′(x )＝0，得x ＝12.当 0<x <12时，g ′(x )>0；当12<x ≤1时，g ′(x )<0. ∴g (x )在(0,1]上有极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4， 它也是最大值，故a ≥4.]4．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是__________.【导学号：97792166】(－∞，2ln 2－2] [f ′(x )＝e x－2，令f ′(x )＝0得x ＝ln 2. 又当x <ln 2时，f ′(x )<0，当x >ln 2时，f ′(x )>0，因此当x ＝ln 2时，函数f (x )有最小值，若函数f (x )有零点，则f (x )min ＝f (ln 2)＝eln2－2ln 2＋a ≤0，解得a ≤2ln 2－2.]5．设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，(1)讨论f (x )的单调性；(2)若当x ≥0时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．[解] (1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )，由a >1知，2a >2，当x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数；当2<x <2a 时，f ′(x )<0，故f (x )在区间(2,2a )上是减函数； 当x >2a 时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数．综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a )上是减函数．(2)由(1)知，当x ≥0时，f (x )在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值．f (2a )＝13(2a )3－(1＋a )(2a )2＋4a ·2a ＋24a ＝－43a 3＋4a 2＋24a ，f (0)＝24a .由假设知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，fa，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－43a a ＋a －，24a >0，解得1<a <6. 故a 的取值范围是(1,6).。

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2。

1 实际问题中导数的意义[A组基础巩固]1．已知函数y＝f（x),x∈R,则f′(x0）表示( ）A．自变量x＝x0时对应的函数值B．函数值y在x＝x0时的瞬时变化率C．函数值y在x＝x0时的平均变化率D．无意义解析：由导数的概念可知选B。

答案:B2．速度v关于时间t的函数关系式为v＝f(t)＝t2－10t，则t＝1时的加速度为( ) A．－9 B．－8C．9 D．8解析：f′（t）＝2t－10，∴f′(1)＝2×1－10＝－8,即为t＝1时的加速度．答案：B3．从时刻t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位:C)可由公式q＝2t2＋3t表示，则第5 s时电流强度为( )A．27 C/s B．20 C/sC．25 C/s D．23 C/s解析：某种导体的电量q在5 s时的瞬时变化率就是第5 s时的电流强度．∵q′＝4t＋3，∴当t＝5时,电流强度为4×5＋3＝23(C/s）．答案：D4．某公司的盈利y(元)和时间x(天）的函数关系是y＝f（x），假设f（x）>0恒成立,且f′（10)＝10，f′(20）＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较（) A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大C．公司在亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小解析：导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．答案:D5．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m）关于时间(单位：s)的函数为s(t）＝－错误!t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为( ）A．汽车刹车后1 s内的位移B．汽车刹车后1 s内的平均速度C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度D．汽车刹车后1 s时的位移解析：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．答案:C6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________.解析：s′＝6t＋1，则v(t)＝6t＋1，令6t＋1＝10，则t＝错误!。

课时分层作业(十四) 导数的几何意义(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1,2)，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2B [∵二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1,2)，∴过点(1,2)的切线平行于x 轴，即切线的斜率为0，∴f ′(1)＝0，选B.]2.已知函数y ＝f (x )的图象如图3­1­9，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )图3­1­9A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定B [f ′(x A )与f ′(x B )分别表示函数图象在点A ，B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )．] 3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 D [∵y ＝x 2，∴k ＝y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ，∴2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，则y ＝14.]4．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )【导学号：97792130】A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1A [由题意，知k ＝y ′|x ＝0 ＝lim Δx →0＋Δx2＋a ＋Δx ＋b －bΔx＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.]5．若曲线y ＝x 2上的点P 处的切线与直线y ＝－12x ＋1垂直，则过点P 处的切线方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．2x －y －2＝0C ．x ＋2y ＋2＝0D ．2x －y ＋1＝0A [与直线y ＝－12x ＋1垂直的直线的斜率为k ＝2.由y ＝x 2知，y ′＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则2x 0＝2，即x 0＝1，故y 0＝1.所以过P (1,1)且与直线y ＝－12x ＋1垂直的直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.]二、填空题6．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2等于________．3 [因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y ′|x ＝2＝3.] 7．已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)＝__________.2 [∵(1，f (1))在直线x －2y ＋1＝0上，∴1－2f (1)＋1＝0，∴f (1)＝1.又f ′(1)＝12，∴f (1)＋2f ′(1)＝1＋2×12＝2.] 8．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2.则ba＝__________. 2 [由导数的几何定义知y ′|x ＝1＝lim Δx →0a ＋Δx2＋b －a ＋bΔx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ＝2，∴a ＝1，把切点(1,3)代入函数y ＝ax 2＋b 得3＝a ＋b ，∴b ＝3－a ＝2，故ba＝2.] 三、解答题9．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线.【导学号：97792131】[解] 曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝limΔx→0＋Δx2－＋Δx＋2－3＋4－2Δx＝limΔx→0(3Δx＋2)＝2，∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.10．已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)过点P(3,9)与曲线相切的切线方程．[解] y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x＋Δx2－7]－x2－Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)，解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.[能力提升练]1．若直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点P(1,3)，则b等于( )A．3 B．－3 C．5 D．－5A[∵点P(1,3)既在直线上又在曲线上，∴3＝k＋1，且3＝1＋a＋b，即k＝2，a＋b＝2.根据导数的定义知y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，∴3×12＋a＝k，∴a＝－1，b＝3.]2．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图3­1­10所示，则该函数的图象是( )图3­1­10B [由函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右先增后减，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．]3．如图3­1­11，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝__________；lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝__________.(用数字作答)图3­1­112 －2 [由图象知f (0)＝4，f (4)＝2，故f (f (0))＝2， 又f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝k AB .且k AB ＝－2故lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝－2.]4．若曲线y ＝2x 2－4x ＋M 与直线y ＝1相切，则M ＝__________. 3 [y ＝2x 2－4x ＋M ＝2(x －1)2＋M －2 由题意知M －2＝1，即M ＝3.]5．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【导学号：97792132】[解] 由ΔyΔx＝x ＋Δx2＋1－x 2＋Δx＝2x ＋Δx ，得y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .设切点为P (x 0，y 0)，则切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0， 由点斜式得所求切线方程为：y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又因为切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1， 所以a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)， 即x 20－2x 0＋a －1＝0. 因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，且a 的取值范围是(－∞，2).。

课时分层作业(十六) 导数的几何意义(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．已知曲线y ＝3x上有一点A (1,3)，则曲线在点A 处的切线斜率是( )A ．3B ．－3C ．32D ．－32D [k ＝lim Δx →031＋Δx －3Δx＝lim Δx →03－31＋Δx1＋Δx Δx＝lim Δx →0－91＋Δx ·(3＋31＋Δx )＝－32.]2．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 D [∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x2Δx ＝2x又切线的倾斜角为π4，∴直线斜率为tan π4＝1，即2x ＝1，∴x ＝12，y ＝14，则切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.]3．如图，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f ′(4)＝( )A ．12B ．3C ．4D ．5A [由题图知直线l 过点(0,3)，(4,5)，所以直线l 的斜率k ＝12，则由导数的几何意义，知f ′(4)＝12.]4．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A ．14 B ．12 C ．1D ．2A [f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. 则曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.因为y ＝2x －1与坐标轴的交点为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以所求三角形的面积为S ＝12×1×12＝14.]5．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )A [函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )在区间[a ，b ]上是增函数，即在区间[a ，b ]上各点处的斜率k 是递增的，由图易知选A.注意C 中y ′＝k 为常数．]6．已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．0＜f ′(2)＜f ′(3)＜f (3)－f (2)B ．0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)C ．0＜f ′(3)＜f ′(2)＜f (3)－f (2)D ．0＜f (3)－f (2)＜f ′(2)＜f ′(3)B [从图象上可以看出f (x )在x ＝2处的切线的斜率比在x ＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0＜f ′(3)＜f ′(2)，过此两点的割线的斜率f (3)－f (2)3－2比f (x )在x ＝2处的切线的斜率小，比f (x )在x ＝3处的切线的斜率大，所以0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)，故选B.]7．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于________．1 [∵y ′＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1.]8．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 [可设点P 的横坐标为x 0，则f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋2(x 0＋Δx )＋3－(x 20＋2x 0＋3)Δx ＝lim Δx →0 (Δx ＋2x 0＋2)＝2x 0＋2，∴曲线C 在点P 处的切线的斜率为2x 0＋2.由已知，得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 的横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.] 9．已知曲线y ＝x 2.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线的过点M (3,5)的切线方程． [解] (1)易知点P 为切点，故切线斜率为 y ′|x ＝1＝lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx＝lim Δx →0 1＋2Δx ＋(Δx )2－1Δx ＝2，∴曲线y ＝x 2在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. (2)易知点M (3,5)不在曲线y ＝x 2上，设切点为(x 0，y 0)． ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝lim Δx →0 x 20＋2x 0·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx＝2x 0，∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)， 由M (3,5)在切线上，得5－y 0＝2x 0(3－x 0)，①又点(x 0，y 0)在曲线y＝x 2上，得y 0＝x 20，②联立①②，得x 0＝1或x 0＝5， 从而切点坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1， 当切点为(5,25)时，切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上所述，曲线y ＝x 2的过点M (3,5)的切线方程为y ＝2x －1或y ＝10x －25.10．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．[解] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0[3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2]＝3x 20＋2ax 0－9＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋a 32－9－a 23， ∴当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取到最小值－9－a 23. ∵函数f (x )斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线的斜率为－12. ∴－9－a 23＝－12，解得a ＝±3， 又a ＜0，∴a ＝－3.[能力提升练]1．曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处切线的斜率为k ，当k ＝3时的点P 坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18B [设P (x 0，y 0)， 则k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 3Δx＝lim Δx →0[(Δx )2＋3x 20＋3x 0·Δx ]＝3x 20.∵k ＝3，∴3x 20＝3，∴x 0＝1或x 0＝－1， ∴y 0＝1或y 0＝－1.∴点P 的坐标为(－1，－1)或(1,1)．]2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的导函数为f ′(x )，且f ′(0)＞0，函数f (x )的图象与x 轴恰有一个交点，则f (1)f ′(0)的最小值为( ) A ．2 B ．32 C ．3D ．52A [因为f ′(0)＝lim Δx →0 a (0＋Δx )2＋b (0＋Δx )＋1－(0＋0＋1)Δx＝lim Δx →0 (a Δx ＋b )＝b ＞0.又函数f (x )的图象与x 轴恰有一个交点，所以b 2－4a ＝0，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋1b ＝b 4＋1b＋1≥2b 4·1b ＋1＝2，当且仅当b 4＝1b ，即b ＝2时，等号成立．故f (1)f ′(0)的最小值为2.] 3．如图所示，是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图象，则f (2)＋f ′(2)＝________.98[由图可知，点P 处切线的斜率为 k ＝4.5－00－4＝－98，即f ′(2)＝－98. 切线方程为y ＝－98(x －4)，将x ＝2代入得f (2)＝94.则f (2)＋f ′(2)＝94－98＝98.]4．已知曲线f (x )＝a x－x 在x ＝4处的切线方程为5x ＋16y ＋b ＝0，则a ＝________，b ＝________.1 8 [∵直线5x ＋16y ＋b ＝0的斜率k ＝－516，∴f ′(4)＝－516.而f ′(4)＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋Δx －4＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4－4Δx＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋Δx －a 4－(4＋Δx －2)Δx＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 4(4＋Δx )－14＋Δx ＋2 ＝－a ＋416，∴－a ＋416＝－516，解得a ＝1. ∴f (x )＝1x －x ，f (4)＝14－4＝－74，即切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－74.∵⎝⎛⎭⎪⎫4，－74在切线5x ＋16y ＋b ＝0上，∴5×4＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74＋b ＝0，即b ＝8，从而a ＝1，b ＝8.]5．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解] ∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2－1Δx＝2x ＋Δx ，∴y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x .设切点坐标为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0， 由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1， ∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)， 即x 20－2x 0＋a －1＝0. ∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，此时a 的取值范围是{a|a<2}．。

课时作业23 导数的几何意义知识点一导数的几何意义1.下面说法正确的是( )A.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在答案 C解析曲线在点(x0，y0)处有导数，则切线一定存在；但有切线，切线的斜率不一定存在，即导数不一定存在．2．曲线y＝x2在x＝0处的( )A.切线斜率为1B.切线方程为y＝2xC.没有切线D.切线方程为y＝0答案 D解析k＝y′＝limΔx→00＋Δx2－02Δx＝limΔx→0Δx＝0，所以k＝0，又y＝x2在x＝0处的切线过点(0,0)，所以切线方程为y＝0.知识点二导函数的概念3.函数在某一点的导数是( )A.在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比B．一个函数C.一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率答案 C解析根据函数在一某点处的导数的定义，可知选C.4．设f(x)在定义域内的每一点处都存在导数，且满足lim Δx→0f1－f1－ΔxΔx＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为__________．答案－1解析由题意得limΔx→0f[1＋－Δx]－f1－Δx＝f′(1)＝－1，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝－1.5．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得x 2＋4＝x ＋10，即x 2－x －6＝0，∴x ＝－2或x ＝3.代入直线的方程得y ＝8或y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4， ∴y ′＝lim Δx →0x ＋Δx2＋4－x 2＋4Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6.即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0. 易错点 求切线方程时忽略导数的几何意义6.已知曲线f (x )＝x 上的一点P (0,0)，求曲线在点P 处的切线方程．易错分析 本题易认为曲线在点P 处的导数不存在，则曲线在该点处的切线不存在． 解f 0＋Δx －f 0Δx ＝Δx Δx ＝1Δx，根据切线的定义，当Δx →0时，割线的倾斜角无限逼近于π2，斜率不存在，故曲线在点P 处的切线为y 轴，即切线方程为x ＝0.一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A.f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B ) C.f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定 答案 B解析 由图象易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0.由导数的几何意义，得f ′(x A )<f ′(x B )．2．已知曲线y ＝－12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，则在点P 的切线的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.135° D.165°答案 C解析 ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52在曲线y ＝f (x )＝－12x 2－2上，则在点P 的切线斜率为f ′(1)＝k＝－1.∴在点P 的切线的倾斜角为135°.3．若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝ lim Δx →0[2x 0＋Δx2－4x 0＋Δx ＋a ]－2x 20－4x 0＋aΔx＝lim Δx →0(4x 0＋2Δx －4)＝4x 0－4＝0，∴x 0＝1.即切点坐标为(1,1)． ∴2－4＋a ＝1，即a ＝3.4．如果曲线y ＝x 3＋x －10的一条切线与直线y ＝4x ＋3平行，那么曲线与切线相切的切点坐标为( )A.(1，－8)B.(－1，－12)C.(1，－8)或(－1，－12)D.(1，－12)或(－1，－8)答案 C解析 设切点坐标为P (x 0，y 0)， 则y 0＝x 30＋x 0－10的切线斜率为k ＝lim Δx →0x 0＋Δx3＋x 0＋Δx －10－x 30＋x 0－10Δx＝lim Δx →03x 20Δx ＋3x 0Δx 2＋Δx 3＋ΔxΔx＝lim Δx →0[(3x 20＋1)＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1，当x 0＝1时，y 0＝－8， 当x 0＝－1时，y 0＝－12，所以切点坐标为(1，－8)或(－1，－12)． 二、填空题5．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 解析 ∵y ＝x 2， ∴k ＝y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ，∴2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，则y ＝14.6. 如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图象，则f (2)＋f ′(2)＝________.答案 98解析 由题图可知切线方程为y ＝－98x ＋92，所以f (2)＝94，f ′(2)＝－98，所以f (2)＋f ′(2)＝98.7．曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝__________. 答案 ±1解析 因为f ′(a )＝lim Δx →0a ＋Δx 3－a 3Δx ＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0，由题设知三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －23a |a 3|＝16，解得a ＝±1.三、解答题8．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →031＋Δx2－41＋Δx ＋2－3＋4－2Δx＝limΔx→0(3Δx＋2)＝2.∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.9．已知曲线y ＝1t－x上点P(2，－1)．求：(1)曲线在点P处的切线的斜率；(2)曲线在点P处的切线方程．解将P(2，－1)代入y＝1t－x，得t＝1，∴y＝11－x.∴y′＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx＝limΔx→011－x＋Δx－11－xΔx＝limΔx→0Δx[1－x＋Δx]1－xΔx＝limΔx→011－x－Δx1－x＝11－x2.(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝11－22＝1；(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.。

§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的意义2.2 最大值、最小值问题1.了解实际问题中导数的意义及最大值、最小值的概念.(难点)2.理解函数的最值与导数的关系.(重点)3.掌握利用导数求函数的最值及由导数解决实际中的优化问题.(难点)教材整理1 导数的实际意义阅读教材P63～P65“练习”以上部分，完成下列问题.在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量.以中学物理为例，速度是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数等.质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示( )A.t＝1 s时的速度B.t＝1 s时的加速度C.t＝1 s时的位移D.t＝1 s的平均速度【解析】v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度，故选B.【答案】 B教材整理2 函数的最值与导数阅读教材P66，完成下列问题.1.最大值点与最小值点.函数y＝f(x)在区间上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).函数y＝f(x)在区间上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不低于f(x0).2.最大值与最小值最大(小)值或者在极大(小)值点取得，或者在区间的端点取得.因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值.函数的最大值和最小值统称为最值.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值.( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值.( )(3)函数f (x )在区间上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)×2.函数f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( ) A.无最值 B.有极值 C.有最大值D.有最小值【解析】 f ′(x )＝2＋sin x >0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值. 【答案】 A预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：如图(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W (t )＝t 3－6t 2＋16t .图3­2­1(1)求t 从1 s 变到3 s 时，功W 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求W ′(1)，W ′(2)，并解释它们的实际意义. 【精彩点拨】 弄清题意，根据物理中导数的意义解答：(1)功的平均变化率表示平均每秒做的功；(2)功率是功关于时间的导数.【自主解答】 (1)当t 从1 s 变到3 s 时，功W 从W (1)＝11 J 变到W (3)＝21 J ，此时功W 关于时间t 的平均变化率为W （3）－W （1）3－1＝21－113－1＝5(J/s).它表示从t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间，这个人平均每秒做功5 J. (2)首先求W ′(t ).根据导数公式和求导法则可得W ′(t )＝3t 2－12t ＋16，于是，W ′(1)＝7 J/s ，W ′(2)＝4 J/s.W ′(1)和W ′(2)分别表示t ＝1 s 和t ＝2 s 时，这个人每秒做的功分别为7 J 和4 J.1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率.2.导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义.1.已知某商品生产成本c 与产量q (0<q <200)的函数关系为c ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系为p ＝25－18q ，求利润L 关于产量q 的关系式，用L ＝f (q )表示，并计算f ′(80)的值，解释其实际意义.【解】 ∵f (q )＝p ×q －c ＝⎝⎛⎭⎪⎫25－18q ×q －(100＋4q )，∴f (q )＝－18q 2＋21q －100(0<q <200)，∴f ′(q )＝－14q ＋21，∴f ′(80)＝－14×80＋21＝1. 说明产量q ＝80时，产量每增加1，利润也增加1.求函数f (x )【导学号：94210063】【精彩点拨】 求函数的最值与求函数的极值相似，先列出表格，再进行判断，从而求出最值. 【自主解答】 ∵f ′(x )＝12x 2＋6x －36， 令f ′(x )＝0，得2x 2＋x －6＝0，∴x ＝－2或32. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如表所示：∴f (x )在x ＝32处取极小值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝－4.又∵f (－2)＝57，f (3)＝32，∴f (x )的最大值为f (－2)＝57，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1154.求f (x )在上的最值的步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值点； (2)求出f (x )在区间端点和极值点的值；(3)将上述值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.2.已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋m (x ∈)，f (x )的最小值为1，则m ＝__________. 【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋6x ，x ∈. 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2， 当x ∈(－2，0)时，f ′(x )<0， 当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，∴当x ＝0时，f (x )有极小值，也是最小值， ∴f (0)＝m ＝1. 【答案】 1x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【精彩点拨】 (1)根据x ＝5时，y ＝11求a 的值.(2)把每日的利润表示为销售价格x 的函数，用导数求最大值. 【自主解答】 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，a ＝2. (2)由(1)知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3＜x ＜6， 从而，f ′(x )＝10＝30(x －4)·(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减由上表可得，x ＝4所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.1.经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.2.关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润＝收入－成本.(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为：p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？【解】 每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)，由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x ＝200或x ＝－200(舍去).因为f (x )在探究1 已知函数f (x )＝x2＋2ln x ，若当a >0时，f (x )≥2恒成立，如何求实数a 的取值范围？ 【提示】 由f (x )＝a x2＋2ln x 得f ′(x )＝2（x2－a ）x3，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1.要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e.故a 的取值范围为4.设f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围.【解】 (1)存在x 1，x 2∈使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于max ≥M . 由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝⎛⎭⎪⎫x －23. 由g ′(x )>0，得x <0或x >23，又x ∈，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上是单调递减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上是单调递增函数，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－8527，g (x )max ＝g (2)＝1.故max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ， 则满足条件的最大整数M ＝4.(2)对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )min ≥g (x )max . 由(1)可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，f (x )＝a x＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立.设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，可知h ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1<x <2时，h ′(x )<0；当12<x <1时，h ′(x )>0.即函数h (x )＝x －x 2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，在上单调递减，所以h (x )max ＝h (1)＝1，即实数a 的取值范围是函数的最大（小）值与导数—⎪⎪⎪⎪—最值—⎪⎪⎪⎪—最大值—最小值—求最值的步骤与方法—导数在实际问题中的应用—实际问题中导数的意义1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A.8B.203C.－1D.－8【解析】 原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.【答案】 C2.函数y ＝x 4－4x ＋3在区间上的最小值为( )【导学号：94210064】A.72B.36C.12D.0【解析】 因为y ＝x 4－4x ＋3，所以y ′＝4x 3－4.令y ′＝0，解得x ＝1.当x ＜1时，y ′＜0，函数单调递减；当x ＞1时，y ′＞0，函数单调递增，所以函数y ＝x 4－4x ＋3在x ＝1处取得极小值0.而当x ＝－2时，y ＝27，当x ＝3时，y ＝72，所以当x ＝1时，函数y ＝x 4－4x ＋3取得最小值0.【答案】 D3.函数y ＝x ex在上的最大值为________. 【解析】 ∵y ′＝x′·ex－x （ex ）′（ex ）2＝1－xex，令y ′＝0，得x ＝1∈. ∴f (1)＝1e ，f (0)＝0，f (2)＝2e2， ∴f (x )max ＝f (1)＝1e. 【答案】 1e4.某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产________千台.【解析】 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)， ∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6).令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点. 【答案】 65.已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)·(x －a ). (1)求导数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在上的最大值和最小值. 【解】 (1)由原式得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4.(2)由f ′(－1)＝0，得a ＝12， 此时有f (x )＝(x 2－4)·⎝⎛⎭⎪⎫x －12，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0，得x ＝43或x ＝－1. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0，∴f (x )在上的最大值为92，最小值为－5027.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

课时作业(十四)第2课时导数与函数极值、最值时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.设函数f(x)=+ln x,则()A. x=为f(x)的极大值点B. x=为f(x)的极小值点C. x=2为f(x)的极大值点D. x=2为f(x)的极小值点2.如图K14-1是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像,则下面判断正确的是()图K14-1A. 在(-2,1)上f(x)是增函数B. 在(1,3)上f(x)是减函数C. 当x=2时,f(x)取得极大值D. 当x=4时,f(x)取得极大值3.[2017·重庆第八中学月考]已知直线y=a与函数f(x)=x3-x2-3x+1的图像相切,则实数a的值为()A. -26或B. -1或3C. 8或-D. -8或4.[2017·成都模拟]函数f(x)=x3-4x2+4x的极小值是.5.若y=a ln x+bx2+x在x=1和x=2处有极值,则b-a=.能力提升6.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是()A. y=x3B. y=ln(-x)C. y=x e-xD. y=x+7.函数f(x)=x2-ln x的最小值为()A. B. 1C. 0D. 不存在8.已知函数f(x)=(2x-x2)e x,则()A. f(是f(x)的极大值也是最大值B. f()是f(x)的极大值但不是最大值C. f(-)是f(x)的极小值也是最小值D. f(x)没有最大值也没有最小值9.若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实数k的取值范围是()A. [1,+∞)B.C. [1,2)D.10.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a=()A. 1B. 2C.D.11.函数f(x)=x sin x+cos x+1(x∈[0,π))的最大值为.12.当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是.13.(15分)[2018·合肥八中月考]已知函数f(x)=ln x-a2x2+ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间与极值;(2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.14.(15分)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.难点突破15.(5分)[2017·衡水中学三调]已知函数g(x)=a-x2与h(x)=2ln x的图像上存在关于x 轴对称的点,则实数a的取值范围是()A. B. [1,e2-2]C. -D. [e2-2,+∞)16.(5分)已知函数f(x)=x2+,g(x)=-m.若对任意x1∈[1,2],存在x2∈[-1,1]使f(x1)≥g(x2),则实数m 的取值范围是.第2课时导数与函数极值、最值1.D[解析]函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-+=-.当x=2时,f'(x)=0;当x>2时,f'(x)>0,函数f(x)为增函数;当0<x<2时,f'(x)<0,函数f(x)为减函数.所以x=2为函数f(x)的极小值点.故选D.2. C[解析]由图可知,f'(-1)=0,f'(2)=0,f'(4)=0.当x∈(-1,2)或(4,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)为增函数;当x∈(-∞,-1)或(2,4)时,f'(x)<0,函数f(x)为减函数.所以x=2为函数f(x)的极大值点,x=-1和x=4为函数f(x)的极小值点.故选C.3. D[解析]因为直线y=a与x轴平行,所以只需求出函数f(x)的极值.f'(x)=x2-2x-3,令f'(x)=0,得x=-1或x=3,则f(-1)=,f(3)=-8.故选D.4. 0[解析]f'(x)=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2).令f'(x)>0得x∈-∪(2,+∞),则f(x)在-,(2,+∞)上单调递增;令f'(x)<0得x∈,则f(x)在上单调递减.所以f(x)的极小值为f(2)=23-4×22+8=0.5.[解析]y'=+2bx+1.由已知得a+2b+1=0,且+4b+1=0,解得a=-,b=-,所以b-a=.6. D[解析]由题可知,B,C选项中的函数不是奇函数,A选项中,函数y=x3单调递增,不存在极值,D选项中的函数既为奇函数又存在极值.故选D.7.A[解析]f'(x)=x-=-,x>0.令f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得0<x<1.所以f(x)在x=1处取得极小值也是最小值,所以f(x)min=f(1)=-ln 1=.8. A[解析]由题意得f'(x)=(2-2x)e x+(2x-x2)e x=(2-x2)e x.当-<x<时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x<-或x>时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.所以f(x)在x=处取得极大值f()=2(-1)>0,在x=-处取得极小值f(-)=2(--1)-<0.当x<0或x>2时,f(x)=(2x-x2)e x<0,当0<x<2时,f(x)=(2x-x2)e x>0,所以f()是f(x)的极大值也是最大值,f(x)无最小值.故选A.9. B[解析]f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=4x-,由f'(x)=0,得x=(负值舍去).由题意可知-解得1≤k<.-10.A[解析]因为f(x)是奇函数,且当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当x∈(0,2)时,f'(x)=-a,令f'(x)=0得x=,又a>,所以0<<2.所以当x<时,f'(x)>0,f(x)在上单调递增;当x>时,f'(x)<0,f(x)在上单调递减.所以f(x)max=f=ln-a·=-1,解得a=1.11.+1[解析]∵f'(x)=x cos x,∴当x∈时,f'(x)>0,f(x)为增函数;当x∈时,f'(x)<0,f(x)为减函数.∴f(x)max=f=+1.12.[-6,-2][解析]当x=0时,对任意实数a,已知不等式恒成立.当x≠0时,令t=,①当0<x≤1时,原不等式等价于a≥--+=-3t3-4t2+t,t∈[1,+∞).令g(t)=-3t3-4t2+t,则g'(x)=-9t2-8t+1=-(9t-1)(t+1),由于t≥1,故g'(x)<0,即函数g(t)在[1,+∞)上单调递减,则函数g(t)的最大值为g(1)=-6,则a≥-6.②当-2≤x<0时,原不等式等价于a≤--+=-3t3-4t2+1,t∈--.令g(t)=-3t3-4t2+t,则g'(t)=-9t2-8t+1=-(9t-1)(t+1).易知g(t)在区间--上的极值点为t=-1,且为极小值点,故函数g(x)在--上有唯一的极小值点,也是最小值点,则a≤g(-1)=-2.综上所述a∈[-6,-2].13.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+a-2a2x=---=--.①当a=0时,f(x)=ln x,f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值.②当a>0时,令f'(x)=0,得x1=-,x2=,且x1<0<x2,则当x∈时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,故当x=时,函数f(x)有极大值f=ln.③当a<0时,令f'(x)=0,得x1=-,x2=,且x2<0<x1,则当x∈时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈-时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,故当x=-时,函数f(x)有极大值f-=ln--.(2)由(1)知当a>0时,f(x)在上单调递减,所以≤1,得a≥1;当a<0时,f(x)在-上单调递减,所以-≤1,得a≤-.综上所述a的取值范围为--∪[1,+∞).14.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值.当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-ln a+a-1.因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0.则当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).15. B[解析]依题意得a-x2=-2ln x,即-a=2ln x-x2,在上有解.设f(x)=2ln x-x2,则f'(x)=-2x=.因为≤x≤e,所以f(x)在x=1处有唯一的极大值点,也是最大值点.因为f=-2-,f(e)=2-e2,f(x)max=f(1)=-1,又f(e)<f,所以方程-a=2ln x-x2在上有解等价于2-e2≤-a ≤-1,所以a的取值范围是[1,e2-2].16.-[解析]f'(x)=2x-,因为x1∈[1,2],所以f'(x1)≥0,所以f(x)在[1,2]上单调递增.易知g(x)在所给区间上单调递减.因为对任意x1∈[1,2],存在x2∈[-1,1]使f(x1)≥g(x2),所以只需f(x)min≥g(x)min即可,即f(1)≥g(1),解得m≥-.。

课时分层作业（二) 导数的几何意义（建议用时：60分钟)［基础达标练]一、选择题1．设f′（x0)＝0,则曲线y＝f(x）在点(x0,f（x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直B［由导数的几何意义可知选项B正确．]2．若函数f（x)＝x＋错误!，则f′(1）＝（)A．2 B.错误!C．1 D．0D[f′（1）＝错误!错误!＝错误!错误!＝0。

］3．已知点P（－1,1)为曲线上的一点,PQ为曲线的割线,当Δx→0时，若k PQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为( )A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2B［由题意可知，曲线在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1），即2x＋y＋1＝0.］4．在曲线y＝x2上切线倾斜角为错误!的点是（）A．（0，0) B．(2,4）C．错误!D．错误!D［∵y′＝错误!错误!＝错误! (2x＋Δx）＝2x，∴令2x＝tan 错误!＝1，得x＝错误!。

∴y＝错误!错误!＝错误!，所求点的坐标为错误!。

] 5．如图所示，函数y＝f（x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5）等于( ）A．2 B．3C．4 D．5A［易得切点P（5,3),∴f(5)＝3，k＝－1，即f′（5）＝－1。

∴f（5）＋f′（5)＝3－1＝2.］二、填空题6．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3）处的切线斜率为2，则错误!＝________.2 [∵f′（1）＝2，又错误!错误!＝错误!错误!＝错误!（aΔx＋2a)＝2a,∴2a＝2，∴a＝1。

又f(1)＝a＋b＝3,∴b＝2.∴错误!＝2.］7．曲线y＝x2－2x＋3在点A（－1,6）处的切线方程是__________.4x＋y－2＝0[因为y＝x2－2x＋3,切点为点A（－1，6),所以斜率k＝y′｜x＝－1＝错误!错误!＝错误!(Δx－4)＝－4,所以切线方程为y－6＝－4（x＋1)，即4x＋y－2＝0。