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1.(2012·南阳测试)某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－13t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( ) A ．汽车刹车后1 s 内的位移B ．汽车刹车后1 s 内的平均速度C ．汽车刹车后1 s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1 s 时的位移解析：选C.由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 2.(2012·驻马店质检)某旅游者爬山的高度h (单位：m)是时间t (单位：h)的函数，关系式是h ＝－100t 2＋800t ，则他在2 h 这一时刻的高度变化的速度是( )A ．500 m/hB ．1000 m/hC ．400 m/hD ．1200 m/h解析：选C.∵h ′＝－200t ＋800，∴当t ＝2 h 时，h ′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．3.物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是________．解析：由题意可得，Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为Δs Δt ＝4.42＝2.2. 答案：2.24.若某段导体通过的电量Q (单位：C)与时间t (单位：s)的函数关系为Q ＝f (t )＝120t 2＋t －80，t ∈[0，30]，则f ′(15)＝________，它的实际意义是____________________．解析：Q ′＝f ′(t )＝110t ＋1，令t ＝15，则f ′(15)＝52 (C/s)，这表示t ＝15 s 时的电流强度，即单位时间内通过的电量．答案：52 C/s t ＝15 s 时的电流强度为52C/s[A 级 基础达标]1.圆的面积S 是半径r 的函数，S ＝πr 2，那么在r ＝3这一时刻面积的变化率是( )A ．6C ．9πD ．6π解析：选D.S ′＝2πr ，∴S ′(3)＝6π.2.(2012·宝鸡检测)自由落体的运动公式是s ＝12gt 2(g 为重力加速度)，则物体在下落3 s 到4 s 之间的平均变化率是(取g ＝10 m/s 2)( )A ．30B ．32C ．35D ．40解析：选C.v ＝Δs Δt ＝12g ×42－12g ×324－3＝72g ＝35. 3.某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，假设f ′(x )＞0恒成立，且f ′(10)＝10，f ′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( )A ．公司已经亏损B ．公司的盈利在增加，增加的幅度变大C ．公司在亏损且亏损幅度变小D ．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小解析：选D.导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．4.人体血液中药物的质量浓度c ＝f (t )(单位：mg /mL)随时间t (单位：min)变化，若f ′(2)＝0.3，则f ′(2)表示________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：服药2 min 时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg /mL 的速度增加5.(2012·西安调研)一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝3t 2＋t ，则速度v ＝10时的时刻t ＝________．解析：s ′＝6t ＋1，则v (t )＝6t ＋1，令6t ＋1＝10，则t ＝32. 答案：326.氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有500克氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为A (t )＝500×0.834t .(1)氡气的散发速度是多少？(2)A ′(7)的值是什么(精确到0.1)？它表示什么意义？解：(1)A ′(t )＝500×0.834t ×ln 0.834.(2)A ′(7)＝500×0.8347×ln 0.834≈－25.5，它表示7天时氡气散发的瞬时速度．[B 级 能力提升]7.(2012·宜春调研)细杆AB 的长为20 cm ，M 为细杆AB 上的一点，AM 段的质量与A 到M 的距离的平方成正比，当AM ＝2 cm 时，AM 的质量为8 g ，那么当AM ＝x cm 时，M 处的细杆线密度ρ(x )为( )A ．2xC ．4xD ．5x解析：选C.当AM ＝x cm 时，设AM 的质量为f (x )＝kx 2，因为f (2)＝8，所以k ＝2，即f (x )＝2x 2，故细杆线密度ρ(x )＝f ′(x )＝4x ，故选C.8.某人拉动一个物体前进，他所做的功W 是时间t 的函数W ＝W (t )，则W ′(t 0)表示( )A ．t ＝t 0时做的功B ．t ＝t 0时的速度C ．t ＝t 0时的位移D ．t ＝t 0时的功率答案：D9.(2012·西安测试)酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm ，上口宽6 cm ，水以20 cm 3/s 的流量倒入杯中，当水深为4 cm 时，水升高的瞬时变化率为________．解析：设水深为h 时，水面半径为r ，则h 8＝r 3，∴r ＝38h ， 经过t s 后，水的体积为20t ，则20t ＝13π(38h )2·h ，即h (t )＝ 320×643πt ， ∴h ′(t )＝13 320×643πt －23.又h ＝4时，r ＝32，V ＝3π， ∴t ＝3π20，h ′(320π)＝809π. 答案：809πcm/s 10.将1 kg 铁从0 ℃加热到t ℃需要的热量Q (单位：J)：Q (t )＝0.000297t 2＋0.4409t .(1)当t 从10变到20时函数值Q 关于t 的平均变化率是多少？它的实际意义是什么？(2)求Q ′(100)，并解释它的实际意义．解：(1)当t 从10变到20时，函数值Q 关于t 的平均变化率为Q （20）－Q （10）20－10≈0.4498，它表示在铁块的温度从10 ℃增加到20 ℃的过程中，平均每增加1 ℃，需要吸收热量约为0.4498 J.(2)Q ′(t )＝0.000594t ＋0.4409，则Q ′(100)＝0.5003，它表示在铁块的温度为100 ℃这一时刻每增加1 ℃，需要吸收热量0.5003 J.11.某食品厂生产某种食品的总成本C (单位：元)和总收入R (单位：元)都是日产量x (单位：kg)的函数，分别为C (x )＝100＋2x ＋0.02x 2，R (x )＝7x ＋0.01x 2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200 kg，250 kg，300 kg时的边际利润，并说明其经济意义．解：(1)根据定义知，总利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，所以边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x.(2)当日产量分别为200 kg，250 kg，300 kg时，边际利润分别为L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．其经济意义是：当日产量为200 kg时，再增加1 kg，则总利润可增加1元；当日产量为250 kg时，再增加1 kg，则总利润无增加；当日产量为300 kg时，再增加1 kg，则总利润反而减少1元．由此可得到：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．。
第二节 导数在实际问题中的应用3.2.1实际问题中导数的意义★ 学习目标1．理解用函数思想解决优化问题的基本思路； 2．能运用函数并结合导数知识解决简单的实际问题。
★ 学法指导通过实际问题的应用举例，逐步掌握运用函数思想解决优化问题的建模过程：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的结果。
★ 知识点归纳1．生活中经常遇到求 等问题，这些问题通常成为优化问题； 2 ．利用导数解决优化问题的实质是 ； 3 ．解决优化问题的步骤是2） ；（3） 。
★ 重点：掌握优化问题的建模过程；难点：将实际问题转化为数学中的函数问题，并根据实际意义正确确定函数的定义域； 剖析：1．生活和生产实践中优化问题的常见类型：费用、用料最省问题；利润最大问题；面积、体积最大问题等。
2． 在运用函数解决实际问题的过程中，要注意恰当地选择自变量，从而简化函数的解析式，简化问题解决的过程；3．在解决实际问题时，不仅要在准确理解变量关系的基础上正确建立函数关系，而且要根据实际意义正确确定函数的定义域；4．在实际问题中，有时会遇到在定义域内只有一点满足'()0f x =的情形，这时我们仍要确定它是极大值还是极小值，不应认为它就一定是解。
★ 典例分析例1 某机车拖运货物时对货物所做的功W （单位：J ）是时间t （单位：s ）的函数，设这个函数可以表示为：753-+=t tt w )(。
(1) 求t 从1s 变到3s 时，功W 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2) 求在t=1s 和t=3s 时,该机车每秒做的功。
分析：()W t 在0tt =处的导数'0()W t 为机车在0t t =时，每秒所做的功即功率。
变式练习1一辆加速行使的汽车，其速度关于时间的函数表达式为2()210,v f t t t ==-+求'(1)f ，并解释它的实际意义。
例2 用长为90cm ，宽为48cm 的长方形做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形转090角，再焊接而成（如图所示），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？分析：考察函数的概念，运用导数求最值的方法。
《生活中的优化问题举例》教学反思 人教A 版选修2-2的1.4节是《生活中的优化问题举例》。
“优化问题”是现实生活中常碰到的问题，比如费用最低、用料最省、效率最高等。
本节课的教学目标是：1.通过生活中的优化问题的学习，使学生体会导数在解决生活中的优化问题的广泛作用和强大实力，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；2.通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高，突出导数的应用研究。
本节课的难点主要有两个：难点之一是数学建模问题；学生难以写出函数关系式。
难点之二是学生的“用导数求函数最值”知识是否扎实。
教材选取的这三道题虽然都来自实际生活，但对于本校的学生来讲，还是有难度的，所以选择了面积、容积最值问题，利润最大问题，费用最省相对来说较容易的三个研学问题。
比如例题1，海报版面尺寸的设计问题，有些学生难以写出目标函数85122++=x
x S ，采用求导的方法求最值是一种方法，另外根据函数的形状，有一部分学生能够想到运用基本不等式。
在第二题容积最大问题中，较多学生易忽略定义域的问题。
利润与费用最省问题，也是实际中常遇见的问题。
因为考虑到部分学习能力强的学生，所以加入了一道高考题。
本节课总体来说学生反映不错，达到了学习目标。
最后，本堂课中难点是数学建模，数学建模是数学核心素养的一部分，素质教育的核心是创新教育,这已然成为全社会的共识。
要培养学生的创新意识创新精神,首先就要求教师具有创新精神,要能科学、合理正确地使用好教材, 提高课堂效率,发展学生的思维能力, 我想这也是每个中学教师都所面临的共同挑战。
