巧用“区域法”解答函数问题

J积分是处理非线性断裂问题的断裂参数，这个参数的引入基于能量守恒的概念，因而对裂纹尖端应力奇异性的依赖程度相对较弱。

J积分数学理论积分区域J积分的数学表达式为：其中定义为，为弹性应变能（对于弹-塑性材料和粘弹性材料而言，定义为弹性应变能密度与塑性耗散能之差），有上可知J积分计算只适用于简单加载的情况（全量理论）。

将J积分的表达式重新写成：积分区域如下：通过一系列的处理，公式推导得到最后J积分的数学表达式：其中为权重函数，其只是数学上的一种处理方式。

J积分守恒条件：1. 小变形几何关系2. 全量理论（J积分守恒性不允许卸载）3. 积分所包围的面积中不能有体积力等效区域法的有限元方法使用有限元方法求解J积分值时，通过单元的离散，计算每个单元上的J积分值，等值线单元环上（contour）所以单元J积分值之和，即为裂纹尖端处的J积分值。

单元内位移场通过节点位移值及形函数插值拟合，对于权重函数，也通过节点处权重函数值来插值拟合单元内的权重函数值分布。

具体等值线单元环上各节点权重函数取值参考《断裂力学中的数值计算方法及工程应用》中的具体介绍。

算例1模型为二维平面应变问题，采用缩减积分单元CPE8R，计算含裂纹尖端结构的J积分值。

模型的U Magnitude分布如图：ABAQUS计算得到的J积分值为: J1=1.0410E−07。

下面采用等效区域法计算该模型的J积分值。

选择的等值线单元环如图所示：采用等效区域法算得的该裂纹尖端的J积分值为：J2=1.0410E−07，与ABAQUS算得的J积分值相同，说明所编制的等效区域法求解J积分值的程序正确，另外与理论解相比较相同，因而验证了等效区域法的正确性。

算例2对于含耦合场的结构，由ABAQUS软件求解J积分值的应用范围可知，不能求解该类问题的J积分值，因而可以采用等效区域方法求解该类问题的J积分值。

采用二维平面应变模型，上部为压电单元（含耦合场），下部为线弹性材料，计算该结构的J积分值，该结构在机械/电载荷作用下的U Magnitude分布为：采用等效区域法算得的J积分值为：J=9.8780E−8，与不考虑压电耦合效应由ABAQUS 求得的J积分值比较，可判断该J积分值计算合理，从而验证了等效区域法在耦合情况下用于计算J积分值的可行性。

高中函数值域的12 种求法一、观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1 求函数y＝3＋√ （2－3x）的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√（2－3x）的值域。

解：由算术平方根的性质，知√（2－3x）≥ 0，故3＋√（2－3x）≥ 3。

∴函数的知域为[3 ，＋∞]。

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（ 1 ）被开方数的非负性，（2 ）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y＝[x]（0 ≤ x≤ 5）的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二、反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2 求函数y＝（x＋1）/（x ＋2）的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y＝（x＋1）/（x ＋2）的反函数为:x＝（1 －2y）/ （y－1 ）,其定义域为y≠ 1 的实数,故函数y 的值域为｛y∣ y≠ 1,y∈ R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y＝（10 x＋10 -x）/（10 x－10-x）的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣ y<－ 1 或y> 1 ｝）三、配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。

例3：求函数y＝√（－x2＋x＋2）的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2＋x＋2≥ 0,可知函数的定义域为x∈[－1 ，2]。

此时－x2＋x＋2＝－（x－1/2）2＋9/4 ∈ [0，9/4] ，∴ 0≤√ （－x2＋x＋2）≤ 3/2, 函数的值域是[0，3/2] 。

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

函数值域求解十法及练习题含参考答案函数值域是函数值的集合，值域是函数考查时最重要的考点之一.在高考数学中，通常以选择题和填空题的形式。

一般求函数的值域时要明确两点，一是值域的概念，二是函数的定义域和对应关系。

常用的方法有：观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反函数法、中间变量值域法、三角函数有界性、基本不等式求函数值域、导数法等.本文重点对以上进行举例分析，同时对抽象函数的值域问题进行举例分析，帮助同学们学习和提升.方法1.直接观察法:通过是基本的初等函数，能够直接判断函数的单调区间或图像，可直接求值域.例1：求函数211y x=+的值域. 解：20x ≥，210x +≥，故0<y 1≤方法2.换元法：将复杂的函数通过整体代换的方式转化为常见函数，从而求得原函数的值域.形如y ax b =+.例2：求函数y x =-.解：令t =则0,t ≥且212t t -=，故211(1)122y t =-++≤，所以函数的值域为1(,]2-∞. 方法3.配方法:若函数是二次函数形式，即可通过配方再结合二次函数的性质求值域.例3：求函数221x x y x x -=-+的值域. 解：2111y x x =--+，而22331(1)44x x x -+=-+≥，故214013x x <≤-+，所以函数的值域为4[,1)3-. 方法4.判别式法：求形如22ax bx c y dx ex f++=++的值域，常利用去分母的形式，把函数转化为一元二次方程，通过方程有实数根，判别式0∆≥求出值域.例4：求函数225851x x y x ++=+的值域. 解：由已知得2(5)850y x x y --+-=，,x R ∈得5y ≠时，2644(5)0y ∆=--≥ 得19y ≤≤，而5y =时，0x =;故函数的值域为[1,9].方法5.数形结合法：函数图像的可以简单画出来，或者通过基本初等函数图像变换可得，则常常通过数形结合法求值域.例5：求函数2||2y x x =--在区间[1,3]-的值域.解：函数2||||2y x x =--的图像是由函数22y x x =--的图像沿y 轴向左翻折即可.如图：可知当12x =-时取最小值， 3x =时取最大值；故函数的值域为9[,4]4-. 方法6.分离常数法：形如cx d y ax b +=+的函数，经常采用分离常数法，将cx d ax b++变形为()c bc bc ax b d d c aa a axb a ax b+---=+++,从而确定函数的值域. 例6：求函数211x y x -=+的值域. 解：2(1)312,11x y x x +-==-++且301x ≠+，故函数的值域为2y ≠. 方法7.反函数数:求函数的反函数，求值域,前提是要学会反向用含y 的代数式表示x .例7：求函数12x y x -=+的值域. 解：反向求得211y x y+=-，故函数的值域为1y ≠. 方法8.中间变量值域法，中间变量一般大小范围确定.例8：求函数2241x y x +=-的值域. 解：易得241y x y +=-，而20x ≥，故40,1y y +≥-得4y ≤-或1y ≥故函数的值域为(,4](1,)-∞-⋃+∞方法9.利用三角函数的有界性求值域，1sin 1x -≤≤，1cos 1x -≤≤例9：求函数sin 1sin x y x=+的值域. 解：由已知得sin sin ,y y x x +=(1)sin ,y x y -=即有sin [1,1]1y x y =∈-- 所以函数的值域是12y ≤方法10.基本不等式求值域,对常见的不等式要非常熟悉,才能快速正确求得函数的值域.例10:求函数y =的最大值.解：由不等式2a b +≤≤≤练习题1. 函数2y =的值域为_________;2. 函数y x =+_________;3. 函数211y x =+的值域为_________; 4. 函数21ax b y x +=+(0)a >的最大值为4，最小值为-1，则b a +=_________; 5. 函数3121x y x +=-的值域为_________; 6. 若224x y +=，那x y -的最大值是_________;7. 函数24813(1)6(1)x x y x x ++=>-+的最小值为_________; 8. 函数||x y e =的值域为_________;9. 函数3sin 1cos x y x-=+的值域为_________； 10.函数x y xe =的最小值为_________;参考答案1. [2,)-+∞2.[1,)-+∞3.(0,1]4.75.32y ≠ 6.7.2 8.[1,)+∞ 9.(,2][1,)-∞-⋃+∞ 10.1e -。

有些三角函数问题较为复杂，直接运用三角函数的图象、性质很难使问题获解.此时可直接对三角函数求导，分析导函数的性质，巧妙运用导数法来轻松获得问题的答案.尤其是三角函数的单调性问题、最值问题、零点问题，运用导数法，可使解题的过程变得简单，这样有利于提升解题的效率.一、求解三角函数单调性问题对于简单的三角函数单调性问题，可直接利用三角函数的单调性求解.而对于较为复杂的三角函数单调性问题，则需借助导数法，通过对函数求导，分析导函数与0之间的关系，从而判断出函数的单调性.一般地，若导函数大于0，则函数单调递增，其对应的区间为单调递增区间；若导函数小于0，则函数单调递减，其对应的区间为单调递减区间.例1.已知函数f ()x =cos 2x -2cos 2x 2，则f ()x 的单调递增区间为().A.æèöøπ3,2π3 B.æèöøπ6,π2C.æèöø0,π3 D.æèöø-π6,π6解：对函数求导可得：f ′()x =sin x ()1-2cos x =2sin x æèöø12-cos x ，由f ′()x >0，可得ìíîcos x -12>0，sin x <0，或ìíîcos x -12<0，sin x >0，由图1可得，当x ∈æèöø2kπ-π3,2kπ或x ∈(2kπ+π3,)2kπ+π,k ∈Z 时，f ′()x >0，此时函数单调递增.所以选项A 正确.该三角函数式较为复杂，无法直接利用三角函数的单调性判断出其单调递增的区间.于是运用导数法，对函数求导，根据导函数与函数单调性之间的关系，确定f ′()x >0,据此建立不等式，解该不等式，即可求得x 的取值范围，确定函数的单调递增区间.例2.已知函数f ()x =2sin æèöø2x +π6，求函数g ()x=的单调区间.解：由题意可知g ()x=+=，令t =sin æèöø2x +π6，t ∈[]-1,1，则g ()t =1+t+1-t ，g ′()t，当x ∈[)-1,0时，g ′()t >0，则函数g ()t 单调递增；当x ∈(]0,1时，g ′()t <0，则函数g ()t 单调递减.因为在()-1,0上，函数g ()t 单调递增，则-1≤sin æèöø2x +π6≤0，则2k π-π2≤2x +π6≤2k π，解得k π-π3≤x ≤k π-π12，k ∈Z ，2k π+π≤2x +π6≤2k π+3π2，解得k π+5π12≤x ≤k π+2π3，k ∈Z ，故函数g ()x 在éëùûk π+5π12,k π+2π3（k ∈Z ）上单调递减；在éëùûk π-π3,k π-π12（k ∈Z ）上单调递增.同理可得，函数g ()x 在éëùûk π-π12,k π+π6（k ∈Z ）上单调递减；在éëùûk π+π6,k π+5π12（k ∈Z ）上单调递增.综上可知，函数g ()x 的单调递增区间为éëùûk π-π3,k π-π12，éëùûk π+π6,k π+5π12，k ∈Z ；单调递减区间为éëùûk π-π12,k π+π6，éëùûk π+5π12,k π+2π3，k ∈Z .利用导数法解答三角函数单调性问题的基本思路为：①求出三角函数的导函数；②令导函数f ′()x >0或f ′()x <0，求出其解集；③根据导函数与函数单调性之间的关系判断三角函数的单调性，确定其单调区间.二、求解三角函数最值问题对于一些较为复杂的三角函数最值问题，利用导数法求解比较奏效.通常需先对三角函数式求导，并令f ′()x =0，求得其零点；然后用零点将函数的定义域划分为几个子区间，在每个子区间上判断出函数的单调图1刘伟解题宝典43解题宝典性，并求得函数的极值.一般地，若在x 0左侧的函数单调递增、右侧的单调递减，则f ()x 0是函数f ()x 的极大值；若在x 0左侧的函数单调递减、右侧的单调递增，则f ()x 0是函数f ()x 的极小值.最后将函数的极值与定义域的端点值相比较，即可求得三角函数的最值.例3.已知f ()x =2sin x +sin 2x ，则函数f ()x 的最小值是____.解：由题意可得f ′()x =2cos x +2()2cos 2x -1=2()2cos 2x +cos x -1，令t =cos x ,t ∈[]-1,1，∴f ′()t =2()t 2+t -1=2()2t -1()t +1，令f ′()t =0，可得t =-1或t =12，即cos x =-1或cos x =12，解得x =π3，x =5π3或x =π，∵函数f ()x =2sin x +sin 2x 是周期函数，且周期为2π，∴当x ∈æèöø0,π3⋃æèöø5π3,2π时，f ′()x >0；当x ∈æèöøπ3，π⋃æèöøπ，5π3时，f ′()x <0，∴函数f ()x 在æèöø0,π3⋃æèöø5π3,2π上单调递增，在æèöøπ3，π⋃æèöøπ，5π3上单调递减，∴f ()x ≥f æèöø5π3=2sin 5π3+sin 10π3=，∴函数f ()x 的最小值为.对三角函数式求导得到f ′()x ，并令f ′()x =0，即可确定函数的极值点.最后比较临界值和极值的大小，即可确定函数的最小值.用导数法求解三角函数的最值问题，关键是求函数的极值点和极值.三、求解三角函数零点问题对于函数式较为复杂的三角函数零点问题，需利用导数法，才能顺利获解.通常要先根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的极值；然后画出函数的大致图象，通过研究图象，确定函数图象与x 轴的交点的位置或取值范围，进而求得问题的答案.例4.已知函数f ()x =5||sin 2x -sin ||x -1，则该函数在区间éëùû-5π2,5π2上的零点个数是_____.解：令f ()x =5||sin 2x -sin ||x -1=0，可得||sin 2x -sin ||x =15，设g ()x =||sin 2x -sin ||x ，h ()x =sin 2x -sin x ，∴h ′()x =cos x ()2sin x -1，∴当x ∈éëùû0,π6时，h ′()x ≤0，∴函数h ()x 在éëùû0,π6上单调递减，且h ()x ≥0，∴g ()x 在éëùû0,π6上单调递增，且g ()x ≥0，由上表可画出函数g ()x 在éëùû0,5π2的图象，如图2所示.图2由图2可知函数g ()x 在éëùû0,5π2上有8个零点，且函数g ()x 为偶函数，∴函数g ()x 在区间éëùû-5π2,5π2上有16个零点.我们先根据函数零点的定义，令f ()x =0，并将其变形得||sin 2x -sin ||x =15，将问题转化为求函数y =||sin 2x -sin ||x 与y =15交点的个数；然后构造函数g ()x =||sin 2x -sin ||x ，h ()x =sin 2x -sin x ，通过分析两个函数的导数的性质，画出函数的图象，根据图象判断出函数零点的个数.通过上述分析，不难发现导数法是求解三角函数单调性问题、最值问题、零点问题的重要手段.值得注意的是，运用导数法解答三角函数问题，需熟练掌握并灵活运用求导公式、求导法则、导数与函数单调性之间的关系、极值.这是运用导数法解题的关键.（作者单位：安徽省灵璧中学）44。

excel表格中多个区域求和，还在逐个求和吗？这种方式一看
便懂
在日常工作中经常会遇到表格数据求和的问题，像下面图片中三个表格中有多个区域需要求和，如果我们逐个单元格以此求和，必然会浪费很多时间，而且还容易出错，下面“西北龙娃”就为您介绍一下多个区域快速同时求和的方法，学会了这种方法，工作效率必然提升。

像上面图片中灰色区域12个单元格该如何求和呢？
首先，选中整个数据区域以及需要求和的灰色区域；
然后左键点击“公式”项下的“自动求和”，或者按“Alt+=”即可。

这种方式还能自动识别数据区域中的非数字单元格，如上图中第3行将数字变成“西北龙娃赞“五个字，依旧可以用这种方式求和。

重复上面的求和过程，选中整个数据区域以及需要求和的灰色区域，然后左键点击“公式”项下的“自动求和”，或者按快捷键“Alt+=”，自动识别非数字单元格，求出结果。

那么像上图这样求和行下面还有数字的情况下又该如何操作呢，下面我们继续学习。

我们首先选中整个数字区域以及灰色求和区域，按快捷键“Ctrl+G”，出现“定位”，点击左下角“定位条件”，选择“空值”，点确定，即可选中需要求和的区域，再点击公式项下“自动求和”或按快捷键“Alt+=”即可。

下图即为计算结果。

这种快速多区域求和的方式有没有帮助到你呢，如果您想学习到更多的关于办公软件方面的知识，请关注“西北龙娃”，每日更新办公软件技巧。

【数学】求解函数问题最常用的9种方法【数学】求解函数问题最常用的9种方法1.配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简.何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”. 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题.【点评】本题通过配方,简化了所求的表达式.巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂.一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开.2、换元法换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来,或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.局部换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.【点评】此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件S＝x ＋y 与三角公式cos α＋sin α＝1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题.第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S＝x ＋y 而按照均值换元的思路,设x ＝＋t、y ＝－t,减少了元的个数,问题得以简化.3. 反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行逻辑推理，得到与已知条件、公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.【点评】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑,有可能使情况变得简单.本题还用到了“判别式法”“补集法”（全集R）,也可以从正面直接求解,即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围,再将三个范围并起来,即求集合的并集.两种解法,都要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻.4.参数法……5.等价转化法……6.分类讨论法……7.判别式法……8.数形结合法……9.函数与方程的思想方法……“集合与常用逻辑用语、函数与导数”等更多精彩内容，如数学名师为你精选的最新高考靓题、模拟新题，原创最具代表高考最新方向的“高仿题”，还有“巧用导数妙解8类高考热点问题”“揪出导数高考题之‘源’”“五个‘一’妙解函数图象问题”“构造函数应顺势而为”等.请详见2013《试题调研》数学第1辑，它360度全方位地对这部分知识进行解读，对高考考查的最热点进行多角度、全方位的剖析，为你的备考精准定位，让你在年年变化的高考中立于不败之地.。

数学思想方法专辑004巧用排除法处理函数图像问题(有参考答案)用排除法处理函数图像问题，一般按如下步骤进行选择：第一步：考虑函数的定义域，可能排除一或两个选项；第二步：考虑函数的奇偶性，可能排除一或两个选项；第三步：考虑特殊点(与坐标轴的交点、最高点或最低点)或特殊值，可能排除一或两个选项；第四步：考虑单调性，难一点的试题需要用导数，可能排除一或两个选项；第五步：看x→+∞(或x→-∞)时，y→常数还是y→∞，一般很难的试题才会用这个方法。

限于篇幅，处理函数图像问题的其它方法，本文不作讨论。

1.(2019全国Ⅲ卷理7)(共23题的第7题12道选择题第7题 150分占5分)函数3222x xxy-=+在[]6,6-的图象大致为( )2.(2019全国Ⅰ卷文5理5)(共23题的第5题12道选择题第5题 150分占5分) 函数()2sin cos x xf x x x+=+在[],ππ-的图像大致为( )3.(2018浙江文理同卷5)(共22题的第5题10道选择题第5题150分占4分) 函数2sin 2xy x =的图象可能是Bπ-πyxO4.(2018全国卷Ⅲ理7文9)(共23题的第7题 12道选择题第7题 150分占5分)函数422y x x=-++的图像大致为( )5.(2018全国卷Ⅱ理3文3)(共23题的第3题12道选择题第3题 150分占5分)函数()2x xe ef x x --=的图像大致为6.(2017全国卷Ⅰ文8)(共23题的第8题12道选择题第8题 150分占5分) 函数sin 21cos xy x=-的部分图像大致为7.(2017全国卷Ⅲ文7)(共23题的第7题12道选择题第7题 150分占5分) 函数2sin 1xy x x =++的部分图像大致为8.(2015浙江文5)(共20题 8道选择题第5题150分占5分) 函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(x ππ-≤≤且0x ≠)的图象可能为( )函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(x ππ-≤≤且0x ≠)9.(2013山东理8文9)(共22题 12道选择题第8题 150分占5分)函数cos sin y x x x =+的图象大致为( )10.(2013福建文5)(共22题 12道选择题第5题150分占5分)函数()()2ln 1=+f x x 的图像大致是( )11.(2013四川理7)(共21题 10道选择题第7题150分占5分)函数331x x y =-的图象大致是( )12.(2013江西理10)(共21题 10道选择题第10题 150分占5分) 如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线1l ，2l 之间，12l l ，l 与半圆相交于,F G 两点，与三角形ABC 两边相交于,E D 两点。

丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹三角函数是一种简单基本初等函数.有时我们会遇到一些较为复杂的三角函数问题，如含有指数式、对数式、高次幂、多种类型函数的积式等，这时采用常规方法求解，很难快速获得问题的答案.此时不妨运用导数法来解题，可达到化难为易的效果.下面，结合实例探讨一下如何巧妙运用导数法解答三类三角函数问题.一、三角函数单调性问题三角函数的单调性问题十分常见，常见的命题形式是根据已知三角函数式，求函数的单调区间，或判断函数在某区间上的单调性.在采用常规方法解题受阻时，可考虑运用导数法.首先对三角函数式求导，并令f′()x0=0，求得其零点；然后用零点将函数的定义域划分为几个子区间，并在每个子区间上讨论导函数f′()x与0的大小关系；再根据导函数与函数单调性之间的关系进行判断：若在某个子区间上f′()x<0，则函数在该区间上单调递减；若在某个子区间上f′()x>0，则函数在该区间上单调递增.例1.已知函数f()x=cos2x+a()sin x-cos x在区间éëùû0，π2上单调递增，则实数a的取值范围是______.解:对f()x=cos2x+a()sin x-cos x求导，可得f′()x=-2sin2x+a()cos x+sin x，因为函数f()x在区间éëùû0，π2上单调递增，所以-2sin2x+a()cos x+sin x>0，整理可得a>4sin x cos xcos x+sin x，令g()x=4sin x cos xcos x+sin x，而g()x=4sin x cos xsin x+cos x≤4sin x cos x2sin x cos x=2sin x cos x=2sin2x≤2，故a>2.该三角函数式较为复杂，无法直接判断出函数的单调性，于是运用导数法来解题，先对函数求导；然后根据函数的单调性与导数之间的关系，建立关系式f′()x>0，解该不等式，即可求得a的取值范围.可见，运用导数法解答三角函数单调性问题，关键是根据函数的单调性与导数之间的关系建立关系式.二、三角函数图象问题三角函数图象问题通常以选择题的形式出现，往往需根据函数的解析式画出函数的图象，但有时三角函数式较为复杂，我们无法直接画出函数的图象，此时可运用导数法来解题.首先对函数求导，并根据导函数与函数单调性之间的关系确定函数在定义域的每个子区间上的单调性，据此确定函数图象的走势、拐点、最高点、最低点；然后确定周期、对称轴、对称点等，即可画出函数的图象.例2.已知函数f()x在[]-π,π上的图象如图1所示，则函数f()x的解析式可能为（）.图1A.f()x=e x sin xB.f()x=e-x sin xC.f()x=-e x sin xD.f()x=-e-x sin x解:观察图象可知，当x→0且x>0时，f()x<0，故AB选项不满足题意，对于C，若f()x=-e x sin x，则f′()x=-2e x sinæèöøx+π4，令f′()x=0可得x=-π4+kπ()k∈Z，当x∈æèöøπ4，3π4或x∈æèöø3π4,π时，函数单调递增，当x∈æèöø-π4，π4或x∈æèöø-π,-3π4或x∈æèöø-3π4,-π4时，函数单调递减，则f()x在[]-π,π上的极值点，即拐点分别为-π4,3π4，故选项C不符合题意，对于D，若f()x=-e-x sin x，则f′()x=-2e-x cosæèöøx+π4，，陆慧洁探索探索与与研研究究52图2由图可知曲线y=h()x和y=g()x在æèöø0，3π2上只个交点，x≥3π2时，h()x=x sin x+cos x<x+1，可知g 探索探索与与研研究究。

数学高考必备技巧如何灵活运用数学方法解决函数题在高考数学中，函数题是考查学生灵活运用数学方法解决问题的重要考点之一。

针对函数题，我们需要采取一系列技巧，以确保解题的准确性和高效性。

本文将介绍一些数学高考必备的技巧，帮助同学们在应对函数题时能更加得心应手。

一、函数题的基本思路函数题一般考察函数性质、图像与方程、联立函数方程等知识点，解题时需要根据题目所给条件，构建合适的方程或模型，进而通过分析、计算等方法得到问题的解答。

二、函数易错知识点汇总在解决函数题时，存在一些常见的易错知识点，需要我们特别注意。

比如：1. 定义域与值域的求解，要分析函数的性质，考虑可能存在的约束条件；2. 函数值的判断，需要注意区分开函数值与函数表达式的关系；3. 求函数方程的解，可以采用代入法、联立方程法等求解思路；4. 函数的单调性、奇偶性的判断，要利用导数、图像等工具进行分析。

三、如何灵活运用数学方法解决函数题下面将介绍几种常见的解题技巧，帮助大家在应对函数题时更加得心应手。

1. 函数图像与方程的结合函数图像与方程是联系紧密的，我们可以通过分析函数的图像，得到函数的性质，并在此基础上构建方程求解问题。

比如，对于一元一次函数y=ax+b，我们可以通过观察a的正负与函数的单调性关系、通过y与x截距b的数值关系等，来分析方程性质，解决函数题。

2. 构建函数模型对于实际问题，可以通过构建合适的函数模型，将问题转化为函数求解的问题。

通过观察问题所涉及的物理量之间的关系，我们可以构建出与问题相适应的函数模型，然后通过方程求解来解决函数题。

3. 利用导数进行分析对于涉及到函数的单调性、极值等问题，可以利用导数进行分析。

通过求解函数的导数和导函数，并结合函数的图像，进行函数性质的判断、极值的求解等。

4. 联立函数方程对于存在多个函数关系的问题，需要联立函数方程进行求解。

在联立函数方程时，可以通过观察题目的条件，选择合适的消元或代入等方法，最终得到问题的解答。

巧用割补法解求解二次函数中的面积问
题
割补法是一种解决函数面积问题的有效方法，它可以用来计算二次函数中的面积。

割补法的基本思想是，将一个函数的面积分解为两个函数的面积之和，其中一个函数是原函数的一部分，另一个函数是原函数的补函数。

首先，我们需要确定二次函数的补函数，即将原函数的曲线上的点按照一定的规律反向移动，使其形成一条新的曲线，这条曲线就是补函数。

接下来，我们可以将原函数的面积分解为两个函数的面积之和，即原函数的面积加上补函数的面积。

最后，我们可以使用积分法来计算两个函数的面积，然后将两个函数的面积相加，就可以得到原函数的面积。

因此，割补法是一种有效的解决二次函数中面积问题的方法，它可以帮助我们快速准确地计算出二次函数的面积。