《高等数学》练习测试题库及答案
一.选择题
1.函数y=
1
1
2+x 是( ) A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数
2.设f(sin 2
x
)=cosx+1,则f(x)为( )
A 2x 2-2
B 2-2x 2
C 1+x 2
D 1-x 2 3.下列数列为单调递增数列的有( )
A . ,,,
B .23
,32,45,54
C .{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数,为奇数n n
n n n n
1,1 D. {n n 21
2+}
4.数列有界是数列收敛的( )
A .充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5.下列命题正确的是( )
A .发散数列必无界
B .两无界数列之和必无界
C .两发散数列之和必发散
D .两收敛数列之和必收敛
6.=--→1
)
1sin(lim
21x x x ( ) .0 C 2
7.设=+∞→x x x
k
)1(lim e 6 则k=( )
.2 C 6 8.当x →1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是( )
2
B. x 3-1
C.(x-1)2 (x-1)
(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的( ) A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时,y= ( )
A、是连续的
B、无界函数
C、有最大值与最小值
D、无最小值
11、设函数f(x)=(1-x)cotx要使f(x)在点:x=0连续,则应补充定义f(0)为()
A、B、e C、-e D、-e-1
12、下列有跳跃间断点x=0的函数为()
A、xarctan1/x
B、arctan1/x
C、tan1/x
D、cos1/x
13、设f(x)在点x0连续,g(x)在点x0不连续,则下列结论成立是()
A、f(x)+g(x)在点x0必不连续
B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有
C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续
D、在点x0必不连续
在区间(- ∞,+ ∞)上连续,且f(x)=0,则a,b满足()
14、设f(x)=
A、a>0,b>0
B、a>0,b<0
C、a<0,b>0
D、a<0,b<0
15、若函数f(x)在点x0连续,则下列复合函数在x0也连续的有()
A、B、
C、tan[f(x)]
D、f[f(x)]
16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的()
A、[0,л]
B、(0,л)
C、[-л/4,л/4]
D、(-л/4,л/4)
17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的()
A、充分条件
B、必要条件
C、充要条件
D、无关条件
18、f(a)f(b) <0是在[a,b]上连续的函f(x)数在(a,b)内取零值的()
A、充分条件
B、必要条件
C、充要条件
D、无关条件
19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有()
A、f(x)=x+1
B、f(x)=x-1
C、f(x)=x2-1
D、f(x)=5x4-4x+1
20、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为()
A、k=0
B、k=1
C、k=2
D、-1/2
21、若直线y=x与对数曲线y=log
x相切,则()
a
A、e
B、1/e
C、e x
D、e1/e
22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是()
A、x-y-1=0
B、x-y+3e-2=0
C、x-y-3e-2=0
D、-x-y+3e-2=0
23、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切,则a=()
A、±1
B、±л/2
C、±(л/2+1)
D、±(л/2-1)
24、设f(x)为可导的奇函数,且f`(x0)=a,则f`(-x0)=()
A、a
B、-a
C、|a|
D、0
25、设y=㏑,则y’|x=0=()
A、-1/2
B、1/2
C、-1
D、0
26、设y=(cos)sinx,则y’|x=0=()
A、-1
B、0
C、1
D、不存在
27、设yf(x)= ㏑(1+X),y=f[f(x)],则y’|x=0=()
A、0
B、1/ ㏑2
C、1
D、㏑2
28、已知y=sinx,则y(10)=()
A、sinx
B、cosx
C、-sinx
D、-cosx
29、已知y=x㏑x,则y(10)=()
A、-1/x9
B、1/ x9
C、x9
D、x9
30、若函数f(x)=xsin|x|,则()
A、f``(0)不存在
B、f``(0)=0
C、f``(0) =∞
D、f``(0)= л
31、设函数y=yf(x)在[0,л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定,则|dy/dx|x=0=( )
A 、-1
B 、0
C 、л/2
D 、 2
32、圆x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线斜率,K=( )
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、 2
33、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的( )
A 、充分条件
B 、必要条件
C 、充要条件
D 、无关条件
34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的( )
A 、充分条件
B 、必要条件
C 、充要条件
D 、无关条件 35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是( )
A 、0
B 、-dx
C 、dx
D 、 不存在
36、极限)ln 11(lim 1x
x x x --→的未定式类型是( )
A 、0/0型
B 、∞/∞型
C 、∞ -∞
D 、∞型
37、极限 0
1
2
)sin lim(→x x x
x 的未定式类型是( ) A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型
38、极限 x
x x x sin 1
sin
lim
20
→=( )
A 、0
B 、1
C 、2
D 、不存在 39、x
x 0时,n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x
x 0 的( )
A 、(n+1)阶无穷小
B 、n 阶无穷小
C 、同阶无穷小
D 、高阶无穷小
40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导,且f`(x) >0,xf(0) <0则f(x)在[0,+ ∞]内有( )
A 、唯一的零点
B 、至少存在有一个零点
C 、没有零点
D 、不能确定有无零点
41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为()
A、2
B、1/2
C、1
D、0
42、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为()
A、0
B、1/2
C、1
D、2
43、若函数f(x)在(a,b)内存在原函数,则原函数有()
A、一个
B、两个
C、无穷多个
D、都不对
44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=()
A、2e x/2
B、4 e x/2
C、e x/2 +C
D、e x/2
45、∫xe-x dx =( D )
A、xe-x -e-x +C
B、-xe-x+e-x +C
C、xe-x +e-x +C
D、-xe-x -e-x +C
46、设P(X)为多项式,为自然数,则∫P(x)(x-1)-n dx()
A、不含有对数函数
B、含有反三角函数
C、一定是初等函数
D、一定是有理函数
47、∫-10|3x+1|dx=()
A、5/6
B、1/2
C、-1/2
D、1
48、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于()
A、л
B、2л
C、4л
D、6л
49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是()
A、л
B、6л/15
C、16л/15
D、32л/15
50、点(1,0,-1)与(0,-1,1)之间的距离为()
A、B、2 C、31/2D、21/2
51、设曲面方程(P,Q)则用下列平面去截曲面,截线为抛物线的平面是()
A、Z=4
B、Z=0
C、Z=-2
D、x=2
52、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为()
A、椭圆
B、双曲线
C、抛物线
D、两相交直线
53、方程=0所表示的图形为()
A、原点(0,0,0)
B、三坐标轴
C 、三坐标轴
D 、曲面,但不可能为平面 54、方程3x 2+3y 2-z 2=0表示旋转曲面,它的旋转轴是( )
A 、X 轴
B 、Y 轴
C 、Z 轴
D 、任一条直线 55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是( )
A 、双叶双曲面
B 、单叶双曲面
C 、椭圆抛物面
D 、圆锥曲面 56下列命题正确的是( )
A 、发散数列必无界
B 、两无界数列之和必无界
C 、两发散数列之和必发散
D 、两收敛数列之和必收敛
(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的( ) A 、.必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件
58函数f(x)=tanx 能取最小最大值的区间是下列区间中的( ) A 、[0,л] B 、(0,л) C 、[-л/4,л/4] D 、(-л/4,л/4)
59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有( ) A 、f(x)=x+1 B 、f(x)=x-1
C 、f(x)=x 2-1
D 、f(x)=5x 4-4x+1
60设y=(cos)sinx ,则y’|x=0=( )
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、 不存在
二、填空题
1、求极限1
lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=( )
2、求极限 0
lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=( )
3、求极限2
lim →x x-2/(x+2)1/2=( )
4、求极限∞
→x lim [x/(x+1)]x =( )
5、求极限0
lim →x (1-x)1/x = ( )
6、已知y=sinx-cosx ,求y`|x=л/6=( )
7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2,求d ρ/d ψ| ψ=л/6=(
)
8、已知f(x)=3/5x+x 2/5,求f`(0)=( )
9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切,则a=( ) 10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=( ) 11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是( ) 12、函数y=x 2-2x-1的最小值为( ) 13、函数y=2x-5x 2的最大值为( ) 14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为( )
15、点(0,1)是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点,则有b=( ) c=( ) 16、∫xx 1/2dx= ( )
17、若F`(x)=f(x),则∫dF(x)= ( ) 18、若∫f(x)dx=x 2e 2x +c ,则f(x)= ( ) 19、d/dx ∫a b arctantdt=( )
20、已知函数f(x)=??
??
?=≠?-0,0,022)1(1x a x x t dt e x
在点x=0连续, 则a=( ) 21、∫02(x 2+1/x 4)dx=( ) 22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=( ) 24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=( ) 25、∫л/3л
sin(л/3+x)dx=( )
26、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 27、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 28、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 29、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 30、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 31、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( )
32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=()
33、满足不等式|x-2|<1的X所在区间为( )
34、设f(x) = [x] +1,则f(л+10)=()
35、函数Y=|sinx|的周期是()
36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是()
37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是()
38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为()
39、三点(1,1,2),(-1,1,2),(0,0,2)构成的三角形为()
40、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离,则该点的轨迹方程是
()
41、求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是()
42、求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=0的交点是( )
43、求平行于xoz面且经过(2,-5,3)的平面方程是()
44、通过Z轴和点(-3,1,-2)的平面方程是()
45、平行于X轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程是()46求极限
lim[x/(x+1)]x=()
x
∞
→
47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=()
48∫49 x1/2(1+x1/2)dx=()
49y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是()
50求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是()
三、解答题
1、设Y=2X-5X2,问X等于多少时Y最大并求出其最大值。
2、求函数y=x2-54/x.(x<0=的最小值。
3、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。
4、相对数函数y=㏑x上哪一点处的曲线半径最小求出该点处的曲率半径。
5、求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。
6、求y=e x,y=e-x与直线x=1所围图形的面积。
7、求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程。
8、求过点(4,-1,3)且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。
9、求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影。
10、求曲线y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围图形的面积。
11、求曲线y=3-2x-x2与x轴所围图形的面积。
12、求曲线y2=4(x-1)与y2=4(2-x)所围图形的面积。
13、求抛物线y=-x2+4x-3及其在点(0,3)和(3,0)得的切线所围成的图形的面积。9/4
14、求对数螺线r=e aθ及射线θ=-л,θ=л所围成的图形的面积。
15、求位于曲线y=e x下方,该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。
16、求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
17、求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。
18、求曲线y=achx/a,x=0,y=0,绕x轴所产生旋转体的体积。
19、求曲线x2+(y-5)2=16绕x轴所产生旋转体的体积。
20、求x2+y2=a2,绕x=-b,旋转所成旋转体的体积。
21、求椭圆x2/4+y2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积。
22、摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱,y=0所围图形绕y=2a(a>0)旋转所得旋转体体积。
23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。
24、计算曲线y=x/3(3-x)上相应于1≤x≤3的一段弧的长度。
25、计算半立方抛物线y2=2/3(x-1)3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。
26、计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点M(x,y)的弧长。
27、求对数螺线r=e aθ自θ=0到θ=ψ的一段弧长。
28、求曲线rθ=1自θ=3/4至θ4/3的一段弧长。
29、求心形线r=a(1+cosθ)的全长。
30、求点M(4,-3,5)与原点的距离。
31、在yoz平面上,求与三已知点A(3,1,2),B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。
32、设U=a-b+2c,V=-a+3b-c,试用a,b,c表示2U-3V。
33、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离。求这动点的轨迹方程。
34、将xoz坐标面上的抛物线z2=5x绕轴旋转一周,求所生成的旋轴曲方程。
35、将xoy坐标面上的圆x2+y2=9绕Z轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程。
36、将xoy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程。
37、求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影方程。
38、求球体x2+(y-1)2+(z-2)2≤9在xy平面上的投影方程。
39、求过点(3,0,-1),且与平面3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。
40、求过点M0(2,9,-6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程。
41、求过(1,1,1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程。
42、一平面过点(1,0,-1)且平行于向量a={2,1,1}和b={1,-1,0},试求这平面方程。
43、求平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角弦。
44、求过点(4,-1,3)且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。
45、求过两点M(3,-2,1)和M(-1,0,2)的直线方程。
46、求过点(0,2,4)且与两平面x+2z=1和y-3z=z平行的直线方程。
47、求过点(3,1,-2)且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/1的平面方程。
48、求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影。
49、求点P(3,-1,2)到直线x+2y-z+1=0的距离。
50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。
51求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。
52求y=e x,y=e-x与直线x=1所围图形的面积。
53求曲线y2=4(x-1)与y2=4(2-x)所围图形的面积
54求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。
四、证明题
1.证明不等式:?
-≤
+≤1
1
43
812dx x 2.证明不等式?>≤-≤21
0)2(,6
121n x dx n π
3.设)(x f ,g(x)区间[])0(,>-a a a 上连续,g(x)为偶函数,且)(x f 满足条件 。为常数)()()(A A x f x f =-+证明:
??
=-a
a
a
dx x g A dx x g x f 0
)()()(
4.设n 为正整数,证明??
=2
20
cos 2
1
sin cos π
π
xdx xdx x n n
n
n
5.设)(t ?是正值连续函数,),0(,)()(>≤≤--=?-a a x a dt t t x x f a
a
?则曲线
)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。 6.证明:??+=+1
1
122
11x x x dx x dx 7.设)(x f 是定义在全数轴上,且以T 为周期的连续函数,a 为任意常数,则
?
?+=T
a a
T
dx x f dx x f 0
)()(
8.若)(x f 是连续函数,则???-=??
????x x
u du u f u x du dt t f 000)()()(
9.设)(x f ,)(x g 在[]b a ,上连续,证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得 ??=ξ
ξ
ξξa
b
dx x f g dx x g f )()()()(
10.设)(x f 在[]b a ,上连续,证明:??-≤??
? ??b
a b a dx x f a b dx x f )()()(2
2
11.设)(x f 在[]b a ,上可导,且M x f ≤')(,0)(=a f 证明:
?
-≤
b
a
a b M
dx x f 2)(2
)(
《高等数学》练习测试题库参考答案
一. 选择题
1——10 ABABD CCDAA 11——20 ABABB CAADC 21——30 DCDAA BCCCA 31——40 BABDD CCAAD 41——50 ABCDD CACCA 51——55 DDCCA 56------60 DACDC
二. 填空题 1.2 2.3/4 3.0 4.e -1 5.e -1
6.(31/2+1)/2 7.
42(1+2
π) 8.9/25 9.
2π-1或1-2
π 10.2 11.-1,0 12.-2 13.1/5 14.0 15.0,1 16. C + 2 x 3/2/5 17. F(x)+C 18. 2xe x
2(1+x)
8 6 23. π/3a 24. π/6
26. 2(31/2-1) 27. π/2 28. 2/3 29. 4/3 30. 21/2 31. 0 32. 3π/2 33. (1,3) 34. 14 35. π
36. 7/6 37. 32/3 38. 8a
39. 等腰直角
40. 4x+4y+10z-63=0 41. 3x-7y+5z-4=0 42. (1,-1,3) 43. y+5=0 44. x+3y=0
45. 9x-2y-2=0 46. e -1
48. 21/2 49. 7/6
50. 3x-7y+5z-4=0
三. 解答题
1. 当X=1/5时,有最大值1/5
2. X=-3时,函数有最小值27
3. R=1/2
4. 在点(
22,-2
2ln )处曲率半径有最小值3×31/2/2
5. 7/6
6. e+1/e-2
7. x-3y-2z=0
8. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5 9. (-5/3,2/3,2/3) 10. 2(21/2-1) 11. 32/3 12. 4×21/2/3 13. 9/4
14.4
2a (a π2-e π2-)
15. e/2 16. 8a 2/3 17. 3л/10 18.
??
????
-+-)(224222e e a a a π 19. 160л2
20. 2л2 a 2b 21.
π3
6
16 22. 7л2 a 3
23. 1+1/2㏑3/2
33
25.???
?????-??
? ??1259823
26.p
y p y p p y p y 2
222ln
2
2++++
27.
ψ
a e a
a 21+ 2+5/12
29. 8a 30. 5×21/2
31. (0,1,-2) 32. 5a-11b+7c
33. 4x+4y+10z-63=0 34. y 2+z 2=5x 35. x+y 2+z 2=9
36. x 轴: 4x 2-9(y 2+z 2)=36 y 轴:4(x 2+z 2)-9y 2=36
37. x 2+y 2(1-x)2=9 z=0 38. x 2+y 2+(1-x)2≤9 z=0 39. 3x-7y+5z-4=0 40. 2x+9y-6z-121=0 41. x-3y-2z=0 42. x+y-3z-4=0 43.
3
31
44. 24-x =11+y =53
-z 45. 43--x =22+y =11-z
46. 2-x =32-y =14-z
47. 8x-9y-22z-59=0 48. (-5/3,2/3,2/3)
49.
2
2
3 50. ?
?
?=-+-=--+0140
117373117z y x z y x
51. R=1/2
52. e+1/e-2 53. 4×21/2/3 54. 3л/10 四.证明题
1.证明不等式:?
-≤
+≤1
1
43
812dx x 证明:令[]1,1,1)(4-∈+=x x x f 则4
34
312124)(x
x x
x x f +=
+=
',
令,0)(='x f 得x=0 f(-1)=f(1)=2,f(0)=1 则2)(1≤≤x f
上式两边对x 在[]1,1-上积分,得不出右边要证的结果,因此必须对f(x)进行分析,显然有,1)1(211)(222424x x x x x x f +=+=++≤+=于是
??
?---+≤+≤1
1
21
1
4
11
,)1(1dx x dx x dx 故
?-≤
+≤1
1
43
812dx x
2.证明不等式?>≤-≤21
0)2(,6
121n x dx n π
证明:显然当??
?
???∈21,0x 时,(n>2)有
??==-≤-≤?-≤-≤21021
0226
021arcsin 112111
11
1π
x x dx x dx x x n n
即,?>≤-≤21
0)2(,6121n x dx n π
3.设)(x f ,g(x)区间[])0(,>-a a a 上连续,g(x)为偶函数,且)(x f 满足条件 。为常数)()()(A A x f x f =-+证明:??
=-a
a
a
dx x g A dx x g x f 0
)()()(
证明:
dx x g x f dx x g x f dx x g x f a
a
a
a
???
+=--0
)()()()()()(
dx x g x f du u g u f u x dx x g x f a
a
a
???
-=---=-0
00
)()()()()()(令Θ
[]?????=-+=+-=∴-a
a a a a a
dx
x g A dx x g x f x f dx x g x f dx x g x f dx x g x f 0
)()()()()()()()()()(
4.设n 为正整数,证明??
=202
cos 2
1sin cos ππ
xdx xdx x n n
n
n
证明:令t=2x,有
?
?
?
++=
=
π
π
π
1
20
20
1
sin 212)2(sin 21sin cos tdt x d x xdx x n n n n n
n
,sin sin 212201???
? ??+=??+πππ
tdt tdt n
n n
又,???=---=0
2
20
2
sin )(sin sin ππ
ππ
ππudu du u u t tdt n n
n
,
所
以,
?
?
???==+=+ππ
π
π
π
π2
2
2020
201sin 2
1
sin 21)sin sin (21
sin cos xdx tdt tdt tdt xdx x n n
n
n
n
n
n n
n
又,
???
=--=
20
2
2
cos cos 2
sin π
πππ
π
xdx tdt t x xdx n n
n
因此,??
=202
cos 2
1
sin cos π
π
xdx xdx x n n
n
n
5.设)(t ?是正值连续函数,),0(,)()(>≤≤--=?-a a x a dt t t x x f a a
?则曲线
)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。
证明:?
?--+-=
x
a
a
x
dt t x t dt t t x x f )()()()()(??
????----+-=x
a
a
x
x a
x
a
dt t x dt t t dt t t dt t x )()()()(???? ????--+=-='x
a
x
a
x
a
a
x
dt t dt t dt t dt t x f )()()()()(????
0)(2)()()(>=+='x x x x f ??? 故,曲线)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。
6.证明:??+=+1
1
122
11x x x dx x dx 证明:????=
+=+=-?++=
1
1
1111
1222
2
1
2
11)1(111
1x x x x u
x x dx u du du u u
x dx
令 7.设)(x f 是定义在全数轴上,且以T 为周期的连续函数,a 为任意常数,则
?
?+=T
a a
T
dx x f dx x f 0
)()(
证明:?
??
?=++=+=
+=+=
a
a
a T x f x f T x f T
u x T
a T dx x f dx
T x f du T u f dx x f 0
)()
()()()()()(为周期以令ΘΘ
0)()(0
=+∴
?
?
+T
a T
a
dx x f dx x f
在等式两端各加
?
T
dx x f 0
)(,于是得??+=T a a
T
dx x f dx x f 0
)()(
8.若)(x f 是连续函数,则???-=??
????x x
u du u f u x du dt t f 000)()()(
证明:????-=??????x u x
u du u uf x dt t f u du dt t f 000
0)(0)()(
??-=x
x du u uf dt t f x 0
)()(
?-=x
du u f u x 0
)()(
9.设)(x f ,)(x g 在[]b a ,上连续,证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得 ??=ξ
ξ
ξξa
b
dx x f g dx x g f )()()()(
证明:作辅助函数??=x a
b
x
dt t g dt t f x F )()()(,由于)(x f ,)(x g 在[]b a ,上连续,所以
)(x F 在[]b a ,上连续,在(a,b )内可导,并有0)()(==b F a F 由洛尔定理),(,0)(b a F ∈='ξξ
即ξ
ξ
==??
?????-='
??
????????x b x x
a x x x a b
x x g dt t f dt t g x f dt t g dt t f )()()()()()(
??-=b
a
dx x f g dx x g f ξ
ξ
ξξ)()()()(
=0 亦即,??=ξ
ξ
ξξa
b
dx x f g dx x g f )()()()(
10.设)(x f 在[]b a ,上连续,证明:??-≤??
? ??b
a b a dx x f a b dx x f )()()(22
证明:令??--??
? ??=x a x a dt t f a x dt t f x F )()()()(22
[]?≤--='x
a
dt x f t f x F 0)()()(2
Θ
故)(x f 是 []b a ,上的减函数,又0)(=a F ,0)()(=≤a F b F
故 ??-≤??
? ??b
a b a dx x f a b dx x f )()()(22
11.设)(x f 在[]b a ,上可导,且M x f ≤')(,0)(=a f 证明:
?
-≤
b
a
a b M
dx x f 2)(2
)( 证明:由题设对[],,b a x ∈?可知)(x f 在[]b a ,上满足拉氏微分中值定理,于是有
()x a a x f a f x f x f ,),)(()()()(∈-'=-=ξξ 又M x f ≤')(,因而,)()(a x M x f -≤ 由定积分比较定理,有 ?
?-=
-≤b
a
b
a
a b M
dx a x M dx x f 2)(2
)()(
北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》(下)期末试题(A2) 1.极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e . 2.设()2y z x y x ?=++,其中?具有连续二阶偏导数, 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++. 3.曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -. 4.函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点(2,1,0 )处的方向导数的最大值为 5.设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+. 6.幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- . 7.设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?,是周期为2的周期函数,则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 . 8.设2222y z R ++=∑:x 外侧,则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π. 9.已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ,则div (A )B ? =3224x y z x z ---. 10.设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9,则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- .(用格林公式易) 二(8分).将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数,并指出其收敛域. 解:若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++
一.选择题(3分?10) 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ( ). A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2,则有( ). A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是( ). A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ). A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题(4分?5) 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ,则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题(5分?6) 1.设v e z u sin =,而y x v xy u +==,,求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定,求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径). 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题(10分?2)
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+? D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B ) 、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin
《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的() A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的() A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有(). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是() A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+?D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是(). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C )、()()x f dx x f dx d x a =???????D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?() A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7.设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(()
模拟试卷一 一、单项选择题(每题3分,共24分) 1、已知平面π:042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是( ) (A )垂直 (B )平行但直线不在平面上 (C )不平行也不垂直 (D )直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x ( ) (A )不存在 (B )3 (C )6 (D )∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的( )条件. (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ,这里0 a ,则a =( ) (A )4 (B )2 (C )1 (D )0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分,则=a ( ) (A )-1 (B )0 (C )2 (D )1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22( ),其中.1 10:222???==++z z y x L (A ) 5 π (B )52π (C )53π (D )54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散,则级数 ∑∞ =1 n n ka (k 为常数)( ) (A )发散 (B )可能收敛也可能发散 (C )收敛 (D )无界 8、微分方程y y x '=''的通解是( ) (A )21C x C y += (B )C x y +=2 (C )22 1C x C y += (D )C x y += 2 2 1 二、填空题(每空4分,共20分) 1、设xy e z sin =,则=dz 。
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是 等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .
期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ,2b i j k =-+r r r r ,则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周222a y x =+(0≥y ),则曲线积分221L ds x y +?= a π 5.交换二重积分的积分次序:??--012 1),(y dx y x f dy =dy y x dx ),(f 0x -121?? 6.级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 ( B ) A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 ( C ) A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??( A )
A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ,则??=D dxdy ( A ) A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点(1,-2)处取得最大方向导数的方向是 ( A ) A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为 ( B ) A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7.下列表达式中,微分方程430y y y ''-+=的通解为 ( D ) A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8.lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的 ( B ) A 、充要条件 B 、 必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是 三、已知1=a ?,3=b ?,b a ??⊥,求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()()2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ).
大一高数试题及答案 一、填空题(每小题1分,共10分) 1.函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 2.函数 2e x y += 上点( 0,1 )处的切线方程是______________。 3.设f(X )在0x 可导,且A (x)f'=,则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ = _____________。 4.设曲线过(0,1),且其上任意点(x ,y )的切线斜率为2x ,则该曲线的方程是 ____________。 5.=-?dx x x 4 1_____________。 6.=∞→x x x 1 sin lim __________。 7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 9.微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ 10.设级数 ∑ an 发散,则级数 ∑ an _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分) 1.设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则f[g(x)]= ( ) ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x
2.11 sin +x x 是 ( ) ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 3.下列说法正确的是 ( ) ①若f( X )在 X =Xo 连续, 则f( X )在X =Xo 可导 ②若f( X )在 X =Xo 不可导,则f( X )在X =Xo 不连续 ③若f( X )在 X =Xo 不可微,则f( X )在X =Xo 极限不存在 ④若f( X )在 X =Xo 不连续,则f( X )在X =Xo 不可导 4.若在区间(a,b)内恒有 0)(",0)('> 四川理工学院试卷(2007至2008学年第一学期) 课程名称: 高等数学(上)(A 卷) 命题教师: 杨 勇 适用班级: 理工科本科 考试(考查): 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项: 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方,否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到,若出现遗漏,后果自负。 4、 如有答题纸,答案请全部写在答题纸上,否则不给分;考完请将试卷和答题卷 分别一同交回,否则不给分。 试 题 一、单选题(请将正确的答案填在对应括号内,每题3分,共15分) 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1; (B) 0; (C) 2; (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ,则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(; (B) c e F x +--)(; (C) c e F x +-)(; (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ; (B)dx x ? -111 ; (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1; (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数,则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导,则)(x f 一定连续; (B) )(x f 可微,则)(x f 不一定可导; (C) )(x f 可积(常义),则)(x f 一定有界; (D) 函数)(x f 连续,则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ,则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点; (B) 存在间断点1=x ; (C) 存在间断点0=x ; (D) 存在间断点1-=x 二、填空题(请将正确的结果填在横线上.每题3分,共18分) 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ,则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续,且22 ) (lim 2=-→x x f x ,则_____)2(='f 5.由实验知道,弹簧在拉伸过程中需要的力F (牛顿)与伸长量s 成正比,即ks F =(k 为比例系数),当把弹簧由原长拉伸6cm 时,所作的功为_________焦耳。 6.曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时,)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小,求常数c b a ,,的值(6分) 《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.(每题2分,共20分) ( )1. 收敛的数列必有界. ( )2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. ( )3. 闭区间上的间断函数必无界. ( )4. 单调函数的导函数也是单调函数. ( )5. 若)(x f 在0x 点可导,则)(x f 也在0x 点可导. ( )6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导,则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. ( )7. 若)(x f 在[b a ,]上可积,则)(x f 在[b a ,]上连续. ( )8. 若),(y x f z =在(00,y x )处的两个一阶偏导数存在,则函数),(y x f z =在(00,y x )处可微. ( )9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. ( )10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数,且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.(每题2分,共20分) 1. 设2 )1(x x f =-,则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ,则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du . 5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题(每题5分,共40分) 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在(0,+∞)内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成,计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题(每题10分,共20分) 1. 证明:tan arc x = )(+∞<<-∞x . 高等数学(下)模拟试卷一 一、填空题(每空3分,共15分) (1)函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 (2)已知函数 arctan y z x =,则z x ?= ? (3)交换积分次序, 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? = (4)已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段,则 ()L x y ds +=? (5)已知微分方程230y y y '''+-=,则其通解为 二、选择题(每空3分,共15分) (1)设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?,平面π为4220x y z -+-=,则() A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 (2)设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定,则在点(1,0,1)-处的dz =() dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -(3)已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域,将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为() 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? (4)已知幂级数,则其收敛半径() 2112 2(5)微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =() ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题(每题8分,共48分) 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L :21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =,求z x ??,z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤,利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 课程名称 高等数学I (A )解答 一 选择题(4小题,每题4分,共16分) 1. 下列数列收敛的是( C )。 (A) n n x n n 1] 1)1[(++-= (B) n n n x )1(-= (C) n x n n 1)1(-= (D) n n x n 1-= 2.已知函数231)(22+--=x x x x f 下列说法正确的是( B )。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点,1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点,1个跳跃间断点 3.设 ?????>≤=1,1,3 2)(23x x x x x f ,则)(x f 在x =1处的( B )。 (A) 左右导数都存在 (B) 左导数存在,右导数不存在 (C) 左导数不存在,右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 4.函数 2)4(121++ =x x y 的图形( B ) (A) 只有水平渐近线 (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线 (C) 只有铅直渐近线 (D) 无渐近线 二 填空题(4小题,每题4分,共16分) 1.x x x 23sin lim 0→=__3/2_________ 2. x x e y x sin ln 2-+=则='y _2e x +1/x -cos x _ 3. 已知隐函数方程:024=-+y xe x 则='y -(4+e y ) / (x e y ) 4. 曲线332x x y +=在 x = 1 处对应的切线方程为: y =11x -6 . 三 解答题(5小题,每题6分,共30分) 《高等数学》试题30 考试日期:2004年7月14日 星期三 考试时间:120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+? D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B ) 、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin 《高数》习题1(上) 一.选择题 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? - + ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 10.设()f x 为连续函数,则()10 2f x dx '?等于( ). (A )()()20f f - (B )()()11102f f -????(C )()()1 202f f -??? ?(D )()()10f f - 二.填空题 1.设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续,则a = . 2.已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π,则()2f '=. 3. ()21ln dx x x = +?. 三.计算 1.求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2.求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3.求不定积分x xe dx -? 《高等数学-广东工业大学》 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2l n 2x x x dx C =+? B )、s i n c o s t d t t C =-+ ? C )、 2a r c t a n 1dx dx x x =+? D )、211 ()dx C x x - =-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????? ?? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B )、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin 范文范例参考 《高数》试卷1(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题 3 分,共 30 分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是(). (A )f x ln x2和 g x2ln x( B) (C )f x x 和g x 2 x(D ) f x| x | 和 g x x2 f x | x | g x1 和 x sin x 4 2 x0 2.函数f x ln 1x在 x 0 处连续,则a() . a x0 (A )0( B)1 (D)2 (C)1 4 3.曲线y x ln x 的平行于直线 x y 1 0 的切线方程为() . (A )y x 1( B)y( x 1)(C )y ln x 1x 1(D)y x 4.设函数f x| x |,则函数在点x0 处() . (A )连续且可导( B)连续且可微( C )连续不可导( D)不连续不可微 5.点x0 是函数y x4的(). (A )驻点但非极值点(B)拐点(C)驻点且是拐点(D)驻点且是极值点 6.曲线y 1 ) . 的渐近线情况是( | x | (A )只有水平渐近线( B)只有垂直渐近线( C )既有水平渐近线又有垂直渐近线(D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7.f 11 ). x x2 dx 的结果是( (A ) 1 C 1 C 1 C (D) f 1 f( B)f( C )f C x x x x 8. dx x e e x 的结果是(). (A )arctan e x C () arctan e x C ( C )x e x C ( D )x e x )C B e ln( e 9.下列定积分为零的是() . (A )4arctanx dx (B)4x arcsin x dx (C) 1 e x e x 1x2x sin x dx 1x212 dx (D) 44 1 10 .设f x为连续函数,则1 f 2x dx 等于() . 0 (A )f 2f0(B)1 f 11 f 0 (C) 1 f 2 f 0 (D) f 1 f 0 22 二.填空题(每题 4 分,共 20 分) f x e 2x1 x0 在 x 0处连续,则 a 1.设函数x. 《高等数学》试题 30 考试日期: 2004 年 7 月 14 日 星期三 考试时间: 120 分钟 一. 选择题 1. 当 x 0 时, y ln(1 x) 与下列那个函数不是等价的 ( ) A) 、 y x B)、 y sin x C) 、 y 1 cos x D)、 y e x 1 2. 函数 f(x) 在点 x 0 极限存在是函数在该点连续的( ) A 必要条件 B )、 充分条件 C )、 充要条件 D )、 无关条件 )、 3. 下列各组函数中, f (x) 和 g( x) 不是同一函数的原函数的有( ) . A) 、 f ( x) 1 x e x 2 1 e x e x 2 2 e , g x 2 B)、 f (x) ln x a 2 x 2 , g x ln a 2 x 2 x C)、 f ( x) arcsin 2x 1 , g x 3 2arcsin 1 x D)、 f ( x) csc x sec x, g x tan x 2 4. 下列各式正确的是( ) A )、 x x dx 2x ln 2 C B )、 sin tdt cost C C )、 dx dx arctan x D )、 ( 1 )dx 1 C 1 x 2 x 2 x 5. 下列等式不正确的是( ) . A )、 d b f x dx f x B )、 d b x f x dt f b x b x a a dx dx d x f x dx f x D )、 d x F x C )、 a F t dt dx dx a x t) dt 6. lim ln(1 x ( ) x 0 A )、0 B )、 1 C )、 2 D )、 4 7. 设 f (x) sin bx ,则 xf ( x)dx ( ) A )、 x cosbx sin bx C B )、 x cosbx cosbx C b b C )、 bxcosbx sinbx C D )、 bxsin bx b cosbx C 高等数学测试试题 一、是非题( 3’× 6=18’) 1、 lim (1 x) x e. ( ) x 0 2、函数 f ( x) 在点 x x 0 处连续,则它在该点处必可导 . ( ) 3、函数的极大值一定是它的最大值. ( ) 4、设 G ' x f ( x), 则 G( x) 为 f ( x) 的一个原函数 . ( ) 1 0. ( ) 5、定积分 x cos xd x 1 6. 函数 y x 2 是微分方程 x d y 2 y 0 的解 . ( ) d x 二、选择题( 4’× 5=20’) 7、函数 f ( x) sin 1 是定义域内的( ) x A 、单调函数 B 、有界函数 C 、无界函数 D 、周期函数 8、设 y 1 2x ,则 d y ( ) A 、 2 x d x B 、 2 x ln 2 C 、 2x ln 2 d x D 、( 1+ 2x ln 2) d x 9、设在区间 [ a, b] 上 f ' (x) 0, f " ( x) 0, 则曲线 y f ( x) 在该区间上沿着 x 轴正向( ) A 、上升且为凹弧 B 、上升且为凸弧 C 、下降且为凹弧 D 、下降且为凸弧 10、下列等式正确的是( ) A 、 C 、 f '( x) d x f ( x) f '( x) d x f ( x) C B 、 D 、 f ( x) d x f '( x) f ( x) d x f '( x) C 2 2 2 11、 P cos 2 x d x, Qsin 3x d x, R sin 2 x d x, 则( ) 2 A 、 P Q R B 、 Q P R C 、 P R Q D 、 R Q P 三、选择题( 4’× 5=20’) 12.函数 f ( x) x 2 的间断点为( ) 3 x 3 A 、 3 B 、 4 C 、 5 D 、6 13、设函数 f ( x) 在点 x 0处可导,且 lim h 1 , 则 f ' (0) ( ) h 0 f ( h) f (0) 2高等数学上考试试题及答案
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