《高等数学》试卷及答案
一． 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．22lim x x x x x →∞+=- ; 2．02sin lim x x
x
→= ;
3．1
lim(1)x
x x
→∞
-= ; 4．
'= ;
5．(2)x x
d e += ; 6．已知0'()1f x =, 则000
()()
lim x f x x f x x x
∆→+∆--∆=∆ ;
7．函数
0()2d x
F x t ⎛=
⎝
⎰的单调增区间为 ; 8．
2
1
d 1x x =+⎰ ; 9．d x x
= (-5) d(35ln )x -; 10．微分方程 0y y ''-=的通解是 y=C 1e x +C 2 . 二． 单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．函数()ln(1)arcsin f x x x =++的定义域是（ A ）。
A ．（-1 , 1 ]
B ．[ -1 , 1 ]
C ．（-1 , 2 ]
D ．[-1 , 2 ] 2．当0x →时，()tan sin f x x x =-是x 的（ D ）。
A ．低阶无穷小
B ．等阶无穷小
C ．同阶但不等阶无穷小
D ．高阶无穷小
3．设()2,0sin ,0
x a x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩在0x =上连续，则a 的值为（ ）。
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2 4．函数()ln f x x =在0x =点（ D ）。
A ．连续且可导
B ．连续但不可导
C ．不连续但可导
D ．不连续且不可导 5．下列论述正确的是（ C ）。
A ．驻点必是极值点
B ．极值点必是最值点
C ．可导的极值点必是驻点
D ．极值点必是拐点 6．下列凑微分正确的是（ ）。 A ．()
2
2
d d x x x
e x e
= B ．
()1
d d ln 11
x x x =++
C ．21arctan d d 1x x x ⎛⎫
=
⎪+⎝⎭
D ．1cos 2d d(sin 2)2x x x = 7．设()F x 是()f x 的一个原函数，则有下面成立的是（ C ）。
A ．dx x f dx x f d b a )()(=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎰ B ．
[]c x f dx x f dx d
+=⎰)()(
C ．dx x f dx x f d x a )()(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰
D ．c x f dx x f dx d x
a +=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎰)()(
8．下列那一项不是常微分方程（ A ）。
A ．2
320y x y -+= B ．2222
()d ()d 0x y x x y y ++-= C ．30y y '+= D ．3sin y x y ''=+ 三． 计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 1．0
1
1lim cot sin x x x x →⎛⎫-
⎪⎝⎭
2．设321ln 1x y x +=+，求d d y
x
3．dx x x
x ⎰+++21arctan 1
4．
4
d x
e x ⎰
5．求微分方程
)(e d d 3x x x
y
y +=-的通解。
四． 应用题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
1．已知曲线)(x y y =满足方程0sin =⋅+y
e x y ，试求曲线在点(0，0)处的切线方程。
2．计算抛物线2
x y =与x y =2
所围成的图形的面积。
3．要制作一个容积为V 的圆柱形带盖铁罐，问圆柱的高h 和底半径r 各为多少时，可使所用材料最少？
五． 证明题（本大题共5分）
当0>x 时，x e x
+>1.
