应用数理统计复习题
1.设总体~(20,3)X N ，有容量分别为10，15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于0.3的概率.
解：设两样本均值分别为,X Y ，则1~(0,)2
X Y N - (||0.3)(0.424)(0.424)0.328P X Y -<=Φ-Φ-= 2.
其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计.
解：（1）矩估计：2
2
22(1)3(1)23EX θθθθθ=+⨯-+-=-+
14
(121)33
X =++=
令EX X =，得5ˆ6
θ=. （2）最大似然估计：
2
2
5
6
()2(1)22L θθθθθθθ=⋅⋅-=-
45ln()
10120d d θθθθ=-= 得5ˆ6
θ= 3. 设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望μ和方差2
σ均未知，抽查10件，测得重量为i X 斤10,,2,1 =i 。算出
10
1
1 5.410i i X X ===∑
10
21
() 3.6i
i X
X =-=∑
给定检验水平0.05 α=，能否认为该厂产品的平均重量为5.0斤？
附：t 1-0.025(9)=2.2622 t 1-0.025(10)=2.2281 t 1-0.05(9)=1.8331 t 1-0.05(10)=1.8125 解: 检验统计量为0
|
|/X T
S n
将已知数据代入，得 5.4 5.0
10
23.6/9t
1
/2
0.975(1)
(9)
2.2622
2t n t
所以接受0H 。
4. 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。
解： 0.95(2,9) 4.26F =，7.5 4.26F =>，认为因素A 是显著的.
5. 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据，求得
0.125,45.7886,0.3024,25.5218xx xy x y L L ====，2432.4566yy L =.
（1）建立y 关于x 的一元线性回归方程01
ˆˆˆy x ββ=+； （2）对回归系数1β做显著性检验（0.05α=）.
解：（1）1
25.5218
ˆ84.39750.3024
xy xx
l l β==
=
01
ˆˆ35.2389y x ββ=-= 所以，ˆ35.238984.3975y
x =+ （2）1ˆ2432.456684.397525.5218278.4805e yy xy Q l l β=-=-⨯= 2278.4805
ˆ19.8915214
e Q n σ
===- ˆ 4.46σ
==
10.4060t ===
0.025(14) 2.1604t =
10.4060 2.1604t =>
拒绝原假设，故回归效果显著.
6.
（2） 找出“算一算”的较优生产条件；（指标越大越好） （3） 写出第4号实验的数据结构模型。 解：
（2） “算一算”的较优生产条件为221A B C （3） 4号实验的数据结构模型为
2214y a b c με=++++，24~(0,)N εσ
7.设总体1122~(,),~(,)p p G N G N μμ∑∑，样品为X .已知
1 1.02.25.4μ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，
2 4.25.56.8μ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1
2.300.250.470.250.600.040.470.040.60-⎛⎫
⎪∑= ⎪ ⎪⎝⎭，123 1.83.67.0x X x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
（1） 求线性判别函数()X μ；
（2） 对样品X 的归属做判别.
解：（1）1
12 2.300.250.47 3.28.8()0.250.600.04 3.3 2.80.470.040.60 1.4 2.5αμμ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=∑-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2.6
3.96.1μ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
123()()8.8( 2.6) 2.8( 3.9) 2.5( 6.1)T X X x x x μαμ=-=------；
（2）()8.8(0.8) 2.8(0.3) 2.50.9 5.630X μ=-⨯--⨯--⨯=> 所以，1X G ∈.
8.掷一枚硬币100次，观察到正面出现58次，能否认为该枚硬币是均匀的？(0.05)α= 解：设正面出现的概率为p ，则
0:0.5H p =
222
(5850)(4250) 2.565050
χ--=+=
20.05(1)(1) 3.841r αχχ-==
20.052.56(1)χ<，故接受0H ，可以认为该枚硬币是均匀的.
9.设总体的密度函数(1)
(;),,0p x c x
x c c θ
θθθ-+=>>，c 为已知参数，0θ>为未知参数.
当样本容量为n 时，求θ的C R -下界. 解：ln (;)ln ln (1)ln p x c x θθθθ=+-+
ln (;)1
ln ln p x c x θθθ
∂=+-∂
222
ln (;)1
p x θθθ∂=-∂
22
2ln (;)1()p x I E θθθθ
⎛⎫∂=-= ⎪∂⎝⎭. 所以，θ的C R -下界为2
1()nI n
θθ=.
