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第2章信息光学------ 二维线性系统分析

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光学信息第二章1-2

光学信息第二章1-2
r
a0 k U( x, y ) exp( jkz1 )exp{ j [( x x0 )2 ( y y0 )2 ]} z1 2z1
( x x0 )2 ( y y0 )2 r z1 2z1
• 说明：分母中 r 直接用z1替代，而指数项中 r 由 于波长λ极小，k 2 很大，上式中第二项不能 省略
coscos平面波的空间频率是信息光学中常用的基本物理量深入理解这个概念的物理含义是很重要的首先研究波矢量位于xz平面内的简单情况考虑cosexpcos复振幅在xy平面上周期分布的空间周期可以用相位差的两相邻等相位线的间距x表示则有x方向的空间频率用表示单位因此y方向的空间频率cos传播方向余弦为cos0的单色平面波在xy平面上的复振幅分布可用xy方向的空间频率来表示
注
意
空间频率的概念同样可以描述其它物 理量如光强度的空间周期分布，但它们有 不同的物理含义。 对于非相干照明的平面上的光强分布， 也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描 ( f x 不再和单色平面波 , fy) 述。但空间频率 exp j2 ( f x x 也就不再对应沿某一 f y y) 有关， 方向传播的平面波。
U ( x, y ) A exp j 2 ( f x x f y y )
• 代表了一个传播方向余弦为 (cos , cos ) 的单色平面波。 • 我们观察的不是某一个平面上而是整个空间光场分 cos 布，可以类似地定义沿z方向的空间频率 f z 有 U ( x, y, z ) a exp j 2 ( f x x f y y f z z ) • 由 cos2 cos2 cos2 1 有 f 2 f 2 f 2 1 x y z 2
2.2

光学信息处理全套课件

光学信息处理全套课件

2、已知函数
f x rectx 2 rectx 2 求下列函数，
并作出函数图形。 （1）
f x 1 （2） f xsgnx
3、已知连续函数 f x ，若 x0 b 0 ，利用
函数可筛选出函数在 x x0 b 的值，试写出运算式。
4、利用梳状函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。
假定光栅常数为 ，缝宽为 ，缝数为 。
x, y x y
1.1.2 脉冲响应和叠加积分(1)
• 函数作为基元函数的情况。根据 函数的筛选性质（A.7,或
《积分变换》P16中1.12式），任何输入函数都可以表达为
f x1, y f , x , y dd
• 积分就是“相加 ”,筛选性质表明任意函数都可以表示为无穷多的
函数的和,每个 函数的“大小”被输入函数“调制”。
2 2
27
傅里叶级数的三角形式和指数形式之间关系
• 根据欧拉公式，三角形式的傅里叶级数可以写成
g x
1 a0
a
n
e
j
2nf
0
x
n1
e j 2nf0x 2
bn e j2nf0x
e j 2nf0x 2j
•令
1 a0
an n1
jbn 2
e j 2nf0x
an
coskxdx 0 (k 1,2,3,...)
sin kxdx 0 (k 1,2,3,...)
sin kxsin lxdx 0 (k l, k,l 1,2,3,...)
coskxcoslxdx 0 (k l, k,l 1,2,3,...)
22
周期函数展开为傅里叶级数
• 第1章的主要内容是二维线性系统分析 ，抽样定理 • 第2章关于标量衍射理论，由傅里叶分析与综合导出近

现代光信息处理(2)

现代光信息处理(2)

线性系统分析－脉冲响应的叠加和积分
线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合
g( x , y )


f ( , )L{d ( x , y )} d d f ( , )h( x , y; , ) d d
叠加 积分



上式描述了线性系统输入和输出的变换关系
1) 线性系统的性质完全由它对单位脉冲的响应表征
即:只要知道系统对位于输入平面上所有可能点上的脉冲的响应,就可以通 过叠加积分完全确定系统的输出
2) 假若系统的输入函数f(x,y)和输出函数g(x,y)之间存在着 叠加积分所描述的关系,可认为这是一个线性系统
线性系统分析－脉冲响应的叠加和积分
线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合
线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合
叠 加 积 分
g( x , y )

f ( x , y )


f ( , )
d ( x , y ) d d
叠加 积分
f ( , )h( x , y; , ) d d

h(x, y;α,β )表示系统输出平面(x,y)点对位于输入平面(α,β) 点的δ 函数激励的响应,称为系统的脉冲响应.
对于线性不变系统，输入某一函数，如果相应的输出函数 仅等于输入函数与一个复常数 的乘积，此输入函数就是 此系统的本征函数。 通过系统时不改变函 f ( x , y ) af ( x , y ) 数形式，仅被衰减或 放大，或产生相移。 例 输入函数：
f ( x, y ) exp[ j 2 ( x y )]
x U ( P, t ) A( P) cos[ (t ) 0 ] v

第2章_经典光学信息处理

第2章_经典光学信息处理

t’()
(2)滤波器是一个狭缝，使 0 级和 +1、-1 级频谱通 过。滤波后的光场复振幅为
T(u)F(u)=(aB/d){sinc(Bu)+sinc(a/d)·sinc[B(u –1/d)] + sinc(a/d)·sinc[B(u + 1/d)]}
输出面得到它的傅里叶逆变换 t’()= F -1{T(u) F(u) }
1960 年 ， Cutrona 等 明 确 提 出 用 透 镜 进 行 傅 里叶变换的方案。
前焦面输入复振幅函数 f(x, y)，后焦面的复振幅函数就
是 f(x, y) 的傅里叶变换，记为 F(u，v)。
F(u,v)
f
(
x,
y
)
e
xp
i
2
(xu
yv)dxdy
略去相位因子
f(x, y)
g2(x,y) = ∞- ∞ f2(, )h(x- ,y- )dd 可得: α g1(, ) + β g2(, )
= ∞- ∞ [αf1(x,y) + β f2(, )]h(x- ,y- )dd 这样就证明了卷积是线性运算.
如果输入函数是 (x,y)，则输出 g(x,y) = h(x,y) h(x,y)称为系统对脉冲的响应(简称脉冲响应)．
t(x) = [rect(x/a)*(1/d)comb(x/d)]rect(x/B) 式中d 为缝间距，a 为缝宽， B 为光栅总宽度。
将物置于4f 系统输入面上，频谱为 T(u) =F {t(x)}
= (aB/d){sinc(Bu) + sinc(a/d)·sinc[B(u – 1/d)]
+ sinc(a/d)·sinc [B(u + 1/d)] + …} 其中u = x / f 。式中第 1 项为零级谱，第2、3 项分别为+1 、-1 级谱，后面依次为高级频谱，频 谱的强度分布实际上是栅状物的夫琅禾费衍射。

信息光学常用函数傅立叶变换相关卷积线性系统二维光场

信息光学常用函数傅立叶变换相关卷积线性系统二维光场
法国数学家、物理学家
1807年－《热的传播》推导出热传导方程 ，提出任一函数 都可以展成三角函数的无穷级数。
1822年－《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固 体中分布传播问题
频域
在你的理解中，一段音乐是什么呢？
时域：
频域：
傅里叶级数
傅里叶级数
周期为 1 的函数 f (t)可以展开为三角级数
aJ1( 2a f x 2 f y 2 ) fx2 fy2
(
f
)
1( 2
f
f0)
1( 2
f
f0)
高斯函数 g(x) exp(ax2 )
函数 (x)
1
常数
1
傅里叶变换的意义
三角形函数
原型
:
tri ( x)
1
0,
x,
x 1 其它 ,
标准型
:
tri
(
x
a
x0
)
1 0,
x x0 , a
x x0 1 a 其它
tri(x) 1
1
-1 0 1 x
-a+x0
x x0 a+x0
底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1
底宽:2|a|, 面积: S= |a|
x
曲线下面积 S=1； 0点位置 x=n (n=1, 2, 3…)等间隔； 偶函数
Sinc 函数
二维sinc函数:
sinc(x)sinc(y)
Sinc函数的重要性: 数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换
物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;
单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数
傅里叶变换

《光学信息技术原理及应用》(第2版)教学课件 光学信息处理第1讲B

《光学信息技术原理及应用》(第2版)教学课件 光学信息处理第1讲B

• 函数作为基元函数的情况。根据 函数的筛选性质（A.7,或
《积分变换》P16中1.12式），任何输入函数都可以表达为
fx1,yf,x,ydd
• 积分就是“相加”,筛选性质表明任意函数都可以表示为无穷多的
函数的和,每个 函数的“大小”被输入函数“调制”。
• 函数通过系统后的输出用算符可以表示为
gx2,y L f, x ,y d d
• 对于线性系统的一个重要子类——不变线性系统，分析才变得简单
• 大多数情况下，光学系统都可以看做不变线性系统
19
练习
1、已知函数 U x A ex j2 p f0 x 求下列函数，并作出函 数图形。（1）U x 2（2） UxU*x （3）UxU*x2
2、已知函数
fx re x c 2 r te x 2 c t 求下列函数，
2
近代光学对信息时代发展的重要作用
• 20世纪40年代末提出的全息术
• 50年代产生的光学传递函数
• 60年代发明的激光器
• 70年代发展起来的光纤通信
• 80年代成为微机标准外设的光驱
• 航天航空事业中应用的空间光学，神州五号搭载的相 机拍到美国军用机场照片分辨率一米
3
信息光学的研究方法和用途
17
1.1.2 脉冲响应和叠加积分(2)
• 根据线性系统的叠加性质，算符与加(乘)法的顺序可以交换,算符 与对基元函数积分的顺序也就可以交换
g x2, y f, L x , y d d
• 定义为系统的脉冲响应函数
h x 2 , y ; , L x , y
• 得到系统输出为 “叠加积分”
7
第一章 二维线性系统分析
• 把光学系统看成二维线性系统---信息传输系统，而不 是看成一个物理的成象系统或干涉、衍射系统

二维线性系统分析傅里叶变换

二维线性系统分析傅里叶变换
2 2
bn
t t

2
t
g ( x) sin(2nf0 x)dx 0
采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。
§1-2 二维傅里叶变换
指数傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为 指数傅里叶级数:
g ( x)
n
c


cos( 2 x )

2 cos( 6 x) 3
前3项的和
1/2
an
2/ 频谱图
1 2 2 cos( 2x) cos( 6x) ...... 2 3
…
fn
0
1
3
-2/3
三角傅里叶展开的例子
练习 0-15：求函数 g(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数 宽度 =1/2 周期 t =1
展开系数Cn 频率为n/t的分量

§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:
1 1 1 t 2 g ( x) lim t g ( x) exp( j 2 n x)dx exp( j 2 n x) t t t 2 n t
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 定义: circ(r ) , 0, 其它 称函数
1
r x2 y 2
是圆对
{circ(r )} 2 rJ 0 (2r )dr
0
作变量替换, 令r’ =2r, 并利用:
J
0

信号与线性系统分析第二章

信号与线性系统分析第二章
13
例：微分方程为 y''(t)+2y'(t)+y(t)=f"(t)+2f(t)， 已知y(0−)=1，y'(0−)=−1；f(t)=(t)。求y(0+)和y'(0+)。 解：将输入f(t)代入微分方程得 y''(t)+2y'(t)+y(t)="(t)+2(t) (1) 由上式可设 y(t)=a(t)+r0(t) (2) y'(t)=a'(t)+b(t)+r1(t) (3) y"(t)=a"(t)+b'(t)+c(t)+r2(t) (4) 将式 (2) 、 (3) 、 (4) 代入式 (1) ，由方程左右系数相等可 得到a=1，b=−2，c=5。 即 y(t)=(t)+r0(t)

0


0



得 y(0+)=y(0−) −2= −1 同理，对y"(t)等式两边从0−到0+积分
0 y ' ( 0 ) y ' ( 0 ) " ( t ) dt 2 ' ( t ) dt 5 ( t ) dt r ( t ) d 0 2 0 0 0
5
et
cost或sint
f(t)为常数1时，则特解为b0/a0。
考察函数f(t)在t0时作用，则全解的定义域[0，)。 y(1)(0)、…、y(n−1)(0)确定。
t0；y(0)=2，y'(0)=−1时的全解。 解：特征方程为 2+5+6=(+2)(+3)=0 特征根为−2、−3，微分方程的齐次解 yh(t)=C1e−2t+C2e−3t 当f(t)=2e−t(t0)时，特解为 yp(t)=Pe−t

信息光学资料导论第二章

信息光学资料导论第二章

第二章信息光学的数学基础◆引言在这一节，我们将以简明的格式，全面地罗列傅里叶变换和卷积、相关及其主要性质，着重从光学眼光看待那些公式和数学定理，给出相应的光学显示或光学模拟，这有助于生动地理解、掌握傅里叶变换和卷积、相关，其意义就不仅仅限于光学领域了。

2.1傅里叶变换◆傅里叶级数首先．让我们回忆周期函数的傅里叶级数展开式，这里，)(x g 称为原函数，n G 称为博里叶系数或频谱值，它是傅里叶分量nf x i e2π的幅值．◆频谱的概念频谱的概念，广义上讲就是求一个函数的傅立叶级数或一个函数的傅立叶变换。

因此，傅立叶分析也称频谱分析。

频谱分为振幅型频谱和相位型频谱。

相位型频谱用的较少，通常提到的频谱大都指振幅型频谱。

为了更深刻的理解不同形式的频谱概念，以实例来进一步说明。

对于光栅我们可以用透过率函数)(x g 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形波函数。

为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N 无限大.)(x g 是周期性函数 则：上式表明，图中表示的矩形波可以分解为不同频率的简谐波,这些简谐波的频率为),()(md x g x g +=),2,1,( ±±=m ++-+=)52cos(52)32cos(32)2cos(221)(000x p x f x f x g ππππππ这里f 称为空间频率. 0f 是f 的基频.。

周期性函数的频谱都是分立的谱,各谱线的频率为基频整数倍.在f =0处有直流分量.透过率函数也可用复数傅里叶级数表示:再回到光栅装置.由光栅方程,在近轴条件下因此透镜后焦面上频率为当单色光波入射到待分析的图象上时,通过夫琅和费衍射,一定空间频率的信息就被一定特定方向的平面衍射波输送出来. 这些衍射波在近场彼此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而达到分频的目的.故傅立叶变换能达到分频的目的。

◆傅里叶变换在现实世界中，不存在严格意义下的周期函数，非周期变化是更为普遍的现象．从数学眼光看，非周期函数可看作周期∞→d 的函数．据此，可将上述傅里叶级数求和式过渡到积分表达式．结果如下，上式(*******)称为傅里叶变换，下式******)称为博里叶逆变换．对于二维情形，傅里叶变换和逆变换的积分式为简单地表示为,5,3,1,dd d f =xf i n x f i xf i x f i x p i x f i x f i n e G e e e e e e xg 25252323222 )(51)(31)(121)(000000ππππππππππ∑=++++-++=--- ,sin λθn d =),2,1,0( ±±=n ,sin 0λλθnf d n f x =='≈λf xnf f '==0从光学眼光看),(y x g 代表一波前函数，线性相因子)(2y f x f i y x e+π代表—平面波成分，(y x f f ,)代表一空间频率，对应一特定方向的平面波．于是，积分式(******)表明，任一波前可以分解为一系列不同空间频率的平面波前成分的叠加．对于非周期函数，空间频率(y x f f ,)的取值不是离散的，而是连续的，存在于(∞∞-,)．因此，在(y x f f ,)一(y y x x df f df f ++,)频率间隔中，平面波成分的振幅系数dA 表示为这给出了谱函数G(y x f f ,)的光学意义一一频率空间中单位频率间隔的振幅系数，即振幅的谱密度函数，简称频谱。

二维线性系统分析 课程中心

二维线性系统分析 课程中心

第2章 标量衍射的角谱理论光的传播是光学研究的基本问题之一,也是光能够记录、存储、处理和传送信息的基础。

众所周知，几何光学的基本定律——光沿直线传播，是光的波动理论的近似。

作为电磁波的光的传播要用衍射理论才能准确说明。

衍射，按照索末菲定义是“不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离”。

衍射是波动传播过程的普遍属性，是光具有波动性的表现。

电磁波是矢量波，精确解决光的衍射问题，必须考虑光波的矢量性。

用矢量波处理衍射过程非常复杂，这是因为电磁场矢量的各个分量通过麦克斯韦方程联系在一起，不能单独处理。

但是在光的干涉、衍射等许多现象中，只要满足：（1）衍射孔径比波长大很多，（2）观察点离衍射孔不太靠近；不考虑电磁场矢量的各个分量之间的联系，把光作为标量处理的结果与实际极其接近。

在本书涉及的情况下这些条件基本上是满足的，因此只讨论光的标量衍射理论。

经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的。

他设想波动所到达的面上每一点是次级子波源，每一个次级波源发出的次级球面波向四面八方扩展，所有这些次级波的包络面形成新的波前。

1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理，考虑到子波源是相干的，认为空间光场是子波干涉的结果。

而后1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式。

在基尔霍夫衍射理论中，球面波是传播过程的基元函数。

由于任意光波场可以展开为平面波的叠加，因此用平面波作为基元函数也可以来描述衍射现象，这就是研究衍射的角谱方法。

光学课程中已经由基尔霍夫公式出发详细讨论了菲涅耳衍射公式，本章将采用平面波角谱理论导出同样的衍射公式，说明光的传播过程作为线性系统用频谱（角谱）方法在频域中分析，与用脉冲响应（点光源传播）方法在空域中分析是等价的。

进而用角谱方法讨论菲涅耳衍射和夫琅和费衍射。

最后，本章还要介绍分数傅里叶变换以及用分数傅里叶变换来表示菲涅耳衍射的优越性。

信息光学复习提纲华南师范大学

信息光学复习提纲华南师范大学

信息光学复习提纲（自编）第一章二维线性系统1.空间频率的定义是什么？如何理解空间频率的标量性和矢量性?2 .空间频率分量的定义及表达式?2 .空间频率概念光波的表示式为：j t j (x,y,z)(x, y,z,t) o(x,y,z)e ejK r j to(x,y,z)e e（1.10.2）显然，光波是时间和空间的函数，具有时间周期性与空间周期性。

对于单色光波。

时间量2 v 时间角频率空间量K 2空间角频率物理意义：①当，，900时f x, f y, f z 0 ,表示k沿正方向传播；当，，900时f x, f y, f z 0 ,表示k沿负方向传播。

f x d x /; f x d x\of cosfx②标量性，当 /时，当 \时，coscos其中：v ----时间频率T—时间周期其中: f ---空间频率-----空间周期条纹密d x\f f x/f\f/条纹疏d x /f f x\f/f\可见:条纹越密（d x小），衍射角越大条纹越疏（d x大），衍射角越小③标量性与矢量性的联系1f xd x3. 平面波的表达式①单色平面波的公式U x, y,乙tvv0 cos t k r°e j七vvjk re U x, y, z e式中复振幅为：U x, y, z v v e jk r 0 -0 ex) jk xcos ycos zcos令xcos ycos zcos c3.平面波的表达式和球面波的表达式?可见：等相面是一些平行平面②任一平面上的平面波表示式U x,y,z 0expjkzcos expjkxcos ycosoexpjkz^l co2exp jk xcos ycosU 0exp jk xcos ycos（1.10.36）令xcos ycos c可见，等位线是一些平行线4、球面波的表达式⑴单色球面波的复振幅发散波：(k与v一致)a0 jkr j t jU x, y, z,t -e e U x, y, z e r式中：U x, y,z 旦0e jkr(1.10.5)r会聚波：(k与反向)U x, y, z, t -a0 e jk r e j t U x, y, z e jr式中：U x, y,z 色e jkrr(1.10.6)r (x x))2(y y。

信息光学线性系统分析

信息光学线性系统分析

3. 极坐标系内的二维傅里叶变换 定义 xy面的极坐标r，θ；频谱面η、ξ上极坐标为ρ、ϕ。有以下关 系 x = r cos θ , y = r sin θ ξ = ρ cos ϕ ,η = ρ sin ϕ 代入直角坐标下的定义式得
F (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) = ∫
∞ 0
证明：设 t ' = at , 则有 t =
t' 1 , dt = dt ', a a
当 a > 0 时，利用检验函数f(t) ,
1 t' dt ' ∫−∞ δ ( at ) φ ( t ) dt = ∫−∞ a δ ( t ') φ a ∞ 1 1 1 ∞ = = φ ( 0) δ ( t ) φ= ( t ) dt ∫−∞ [ δ ( t )] φ ( t ) dt ∫ −∞ a a a ∴ δ (at ) = 1 δ (t ) |a|
Gaus ( x ) = e
性质
−π x 2
用于表示激光光束光强分布, 高斯函数非常光滑， 可以无穷次求导。
1.2 δ函数 1.2.1 δ函数定义 1. 类似普通函数形式的定义 一维坐标
x≠0 x=0 时 时
δ( x ) = 0 δ( x ) = ∞
∫
∞
−∞
δ ( x )dx = 1
二维坐标
δ( x , y ) =
G( ρ = ,ϕ )
∫
0
rg (r )
{∫
2π
0
exp[− j 2πρ r cos(θ − ϕ )]dθ dr
}
利用贝塞尔函数关系
∫
2π
0
exp[ − ja cos(θ − ϕ )]dθ = 2πJ 0 (a )

信息光学chap1线性系统分析

信息光学chap1线性系统分析

f (t)
a0 2
(an cos 2nt bn sin 2nt）
n1
（1.3.1）
系数为：
a0
2
0
f (t)dt
an
2
0
f (t) cos 2ntdt
bn
2
0
f (t)sin 2ntdt
21
22
1.3.2 傅里叶变换
1.直角坐标系内的二维傅里叶变换
非周期函数f(x,y)在整个无限xy平面上满足狄里赫利条件,
rect( x ) * rect( x )
xa / 2
d
ax
a(1
x )
a
a
a / 2
a
0 x a
rect( x ) * rect( x )
a/2
d a x a(1
x )
a
a
xa / 2
a
合并写成
x
rect( x ) * rect( x )
a
a
a 1 0
a
,
x a 其它
＝a( x ) a
对于一些理想化的函数，如余弦函数、阶跃函数、 常数、δ函数不存在经典意义下的傅里叶变换，但存在 广义的傅里叶变换。
24
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动 PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构 层图：
按
PCB
键
A
开关 键
传统机械按键设计要点： 1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的 按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键 设计间隙建议留 0.05~0.1mm，以防按键 死键。 3.要考虑成型工艺，合 理计算累积公差，以防
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