四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学(理)试卷(含答案)

2019届四川省成都石室中学高三上学期入学考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设复数z满足z+i=3﹣i ，则A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i2．已知全集，集合A={x|x＜﹣1或x＞1}，则A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]3．命题“，”的否定是A．，B．，C．，D．，4．在如图的程序框图中，若输入，则输出的的值是A．3 B．7 C．11 D．335．在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m（m＞0）的概率为，则m的值等于A．B．3 C．4 D．﹣26．已知等比数列{a n}满足a1+a2=6，a4+a5=48，则数列{a n}前8项的和S8为A．510 B．126 C．256 D．5127．已知函数是定义域为的奇函数，，且当时，，则下列结论正确的是A．B．C．D．8．已知，实数x，y 满足，若z=3x+y最小值为1,则a的值为A．B．C．D．或9．已知抛物线的一条弦经过焦点为坐标原点，点在线段上，且，点在射线上，且，过向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,则的最小值为A．4 B．6 C．8 D．1010．向量满足：，，，则的最大值是A．24 B．C．D．11．若关于的不等式（其中为自然对数的底数，）恒成立，则的最大值为A ． 4B ． 5C ． 3D ． 2二、填空题12．《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的体积为A ． 2B ．C ． 1D ．13．_________.14．直线过双曲线 的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为_____________．15．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若则球O 的直径为________．16．函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为_______.三、解答题17．迈入2018年后，直播答题突然就火了.在1月6号的一场活动中，最终仅有23人平分100万，这23人可以说是“学霸”级的大神.随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如下表：(1)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？ (2)已知在参与调查的1000人中，有20%曾参加答题游戏瓜分过奖金，而男性被调查者有15%曾参加游戏瓜分过奖金，求女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率. 参考公式： ． 临界值表：18．如图，在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积． 19．某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成频率分布直方图如下：（1）若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50件的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50件的天数； （2）若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1200元，每售出一件利润为50元，求该门市一天获利不低于800元的概率； （3）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）．20．已知椭圆C 的两个顶点分别为 ，焦点在 x 轴上，离心率为.（1）求椭圆C的方程（2）设为C的左、右焦点，Q为C上的一个动点，且Q在x轴的上方，过作直线，记l与C的交点为P、R，求三角形面积的最大值.21．已知函数，，其中（1）若，求的单调区间；（2）若的两根为，且，证明：.22．在平面直角坐标系中，曲线，曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2）射线分别交于两点，求的最大值．23．已知函数．（1）解不等式；（2）设函数的最小值为c，实数a，b满足，求证：．2019届四川省成都石室中学高三上学期入学考试数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】复数z满足z+i=3-i,故答案为C。

四川省成都石室中学2019届高三2月开学考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数z=2+3ii对应的点的坐标为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (−2,3)D. (3,−2)2.已知集合A={x|y=ln（-x2-3x+4）}，B={y|y=22−x2}，则A∪B=（）A. (−4,4]B. (0,1)C. (−∞,4]D. (−4,+∞)3.设命题p：∀x≤0，√x2=-x，则￢p为（）A. ∀x≤0，√x2≠−xB. ∃x0≤0，√x02=−x0C. ∀x>0，√x2=−xD. ∃x0≤0，√x02≠−x04.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12（弦+矢）×矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为2π3，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（参考数据：π≈3.14，√3≈1.73）A. 220平方米B. 246平方米C. 223平方米D. 250平方米5.已知双曲线8x2-8y2=-1有一个焦点在抛物线C：x2=2py（p＞0）准线上，则p的值为（）A. 2B. 1C. 12D. 146.已知正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a7=20，a4•a7=64，则S6S9=（）A. 313B. 521C. 14D. 157.如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A. P=3N1000B. P=3M1000C. P=3M2000D. P=3N20008. 已知√2sin （θ-π4）cos （π+θ）=cos2θ，且sinθ≠0，则tan （θ+π6）的值为（ ）A. √3B. √33C. 2−√3D. 2+√39. 某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，且S 1=λS 2，则λ=（ ）A. 1B. 23C. 32D. 4310. 已知AB 是半径为2的圆M 的一条直径，四边形ABCD 是圆M 内接四边形，∠CMD =120°，若P 在线段CD 上（端点C 、D 除外）运动，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围（ ）A. (0,3)B. (1,3)C. [−3,0)D. (−3,3)11. 已知椭圆C 1：x 2a2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），双曲线C 2：x 2b2-y 2a 2−2b 2=1，F 1，F 2分别为C 2的左、右焦点，P 为C 1和C 2在第一象限内的交点，若△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标为2，C 1和C 2的离心率之积为32，则该内切圆的半径为（ ）A. 4√2−2√6B. 4√2+2√6C. 4√3−2√6D. 4√6−2√312. 已知函数f （x ）=xe x +lnx+1x，若关于x 的方程f 2（x ）-mf （x ）+m 2-1=0恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是（ ）A. (1,1e +1)B. (0,1e +1)C. (1,2√33)D. (0,2√33)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，动点P （x ，y ）在平行四边形ABCD 内部（含边界）运动，则z =2x -4y的最小值为______． 14. 将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有______种放法．（用数字作答）15. 已知函数f （x ）={13x 3−ax +1，0≤x ＜1alnx ，x ≥1，若f （x ）≥f （1）恒成立，则正实数a 的取值范围是______．16. 已知f （x ）=m sinωx -cosωx （m ＞0，ω＞0），g （x ）=e x ，若对∀x 1∈R ，∃x 2∈[0，ln2]，使得f （x 1）≤g（x 2）成立，若f （x ）在区间[0，π]上的值域为[-1，√2]，则实数ω的最大值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知数列{a n }，a 1=3，且对任意n ∈N *，都有a n +a n+22=a n +1．（1）设b n =a n +1-a n ，判断数{b n }是否为等差数列或等比数列． （2）若a 2=5，c n ={2a n −1,为偶数a n ,n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和S 2n ．18. 某房产中介公司对2018年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，y 表示2018年x 月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：x i 1 2 3 4 5 6 7 8 y i1214202224202630（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到0.01）；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动．若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为14，获得“二等奖”的概率为12，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X （千元）的分布列及数学期望．参考数据：∑8i=1x i y i =850，∑8i=1x i 2=204，∑8i=1y i 2=3776，√21≈4.58，√31≈5.57． 参考公式：相关系数r =∑x i n i=1y i −nx −y−√∑x i 2ni=1−nx −2√∑y i 2n i=1−ny−219. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，CD =√2，F 为棱PA 上一点，且AF =λAP （0＜λ＜1），M 为AD 的中点，四棱锥P -ABCD 的体积为2√63．（1）若无λ=12，N 是PB 的中点，求证：平面MNF ∥平面PCD ，（2）是否存在λ，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为√3311？20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上任意一点到其两个焦点F 1，F 2的距离之和等于2√5，焦距为2c ，圆O ：x 2+y 2=c 2，A 1，A 2是椭圆的左、右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，四边形A 1AA 2B 面积的最大值为2√5．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l 1：y =kx +m （m ≠0）与圆O 相切，且与椭圆相交于M ，N 两点，直线l 1与l 2平行且与椭圆相切于P （O ，P 两点位于l 1的同侧），求直线l 1、l 2距离d 的取值范围．21. 已知函数f （x ）=12x 2+m ln （1-x ），其中m ∈R ．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）＞14-14ln4．22. 在平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为{y =2sinθx=3cosθ，（θ为参数），P （x 0，y 0）是曲线C 上的任意一点，动点Q （x ，y ）满足{2y =3y 0x=x 0，记Q （x ，y ）轨迹为E ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R ），A 点的极坐标为（5，0）． （1）求E 的普通方程；（2）若l与E交于M，N两点，求△AMN的面积；23.已知函数f（x）=|x|．（1）求不等式f（x-1）+f（2x-1）≤2x的解集；（2）若a＞0，b＞0，c＞0，且1a +4b+9c=1，证明：f（x+a）+f（x-b-c）≥36．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵z==，∴在复平面内，复数z=对应的点的坐标为（3，-2）．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|y=ln（-x2-3x+4）}={x|-4＜x＜1}，B={y|y=2}={x|0＜y≤4}，∴A∪B={x|-4＜x≤4}=（-4，4]．故选：A．分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即，∃x0≤0，≠-x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：如图，由题意可得：∠AOB=，OA=20，在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=×20=10，可得：矢=20-10=10，由AD=AO•sin=20×=10，可得：弦=2AD=2×10=20，所以：弧田面积=（弦+矢）×矢=（20+10）×10≈223平方米．故选：C．在Rt△AOD中，由题意OA=20，∠DAO=，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：双曲线8x2-8y2=-1即为-=1，∴c2=+=，∴c=，∵抛物线C：x2=2py（p＞0）准线为y=-，∴-=-，即p=1，故选：B．根据双曲线的方程可得c=，再求出抛物线的准线方程，即可求出p的值．本题考查了双曲线的抛物线的方程和简单性质，考查了运算能力，属于基础题6.【答案】B【解析】解：∵正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a4+a7=20，a4•a7=64，∴a4，a7是一元二次方程x2-20x+64=0的两个根，且a4＜a7，解方程x2-20x+64=0，得a4=4，a7=16，∴，解得a1=1，q3=4，∴====．故选：B．推导出a4，a7是一元二次方程x2-20x+64=0的两个根，且a4＜a7，解方程x2-20x+64=0，得a4=4，a7=16，列方程组求出a1=1，q3=4，由此能求出的值．本题考查等比数列的前6项和与前9项和的比值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：随机输入X i∈（0，1），Y i∈（0，1），Z i∈（0，1），那么点P（X i，Y i，Z i）构成的区域为以1为边长的正方形，判断框内x2i+y2i+z2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i，z i）在单位球内部（球）内，并累计记录点的个数M，若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（球）外，并累计记录点的个数N，第2个判断框i＞2000，是进入计算此时落在单位球内的点的个数为M，一共判断了2000个点，那么球的体积/正方体的体积=，即=，解得：π=，（π的估计值），即执行框内计算的是P=．故选：B．由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力．8.【答案】D【解析】解：∵sin（θ-）cos（π+θ）=（sinθ-cosθ）•（-cosθ）=cos2θ-sinθcosθ，∵cos2θ=cos2θ-sin2θ，而已知sin（θ-）cos（π+θ）=cos2θ，∴cos2θ-sinθcosθ=cos2θ-sin2θ，即sinθcosθ=sin2θ．∵sinθ≠0，∴tanθ=2，则tan（θ+）===2+，故选：D．由题意利用两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得tanθ=2，从而求得tan（θ+）的值．本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意知，该柱体是圆柱体，且底面圆的直径等于母线长，如图所示；设底面圆的半径为R，则圆柱的母线长为2R，内切球的半径也为R，则圆柱体的表面积为S1=2πR2+2πR•2R=6πR2，其内切球的表面积为S2=4πR2，又S1=λS2，则λ===．故选：C．由题意知该柱体是圆柱，且底面圆的直径等于母线长，设底面圆的半径为R，求出圆柱的表面积和内切球的表面积，计算λ的值即可．本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题，也考查了旋转体的结构特征应用问题，是基础题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示；不妨设CD∥AB，由AB=4，∠CMD=120°，得M（0，0），A（-2，0），B（2，0），C（，1），D（-，1），由P在线段CD上（端点C、D除外），可设P（x，1），其中x∈（-，）；则=（-2-x，-1），=（2-x，-1），所以•=（-2-x）（2-x）+1=x2-3；又x∈（-，），所以γx2-3∈[-3，0），即•的取值范围是[-3，0）．故选：C．根据题意，建立平面直角坐标系，不妨设CD∥AB，设出点P的坐标，用坐标表示向量，即可求出•的取值范围．本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了圆与三角形的应用问题，是中档题．11.【答案】A【解析】解：设△PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1，PF2，F1F2的切点为M，N，K，可得|PM|=|PN|，|F2N|=|F2K|，|MF1|=|F1K|，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2b，即有|F1K|-|F2K|=2b，又|F2K|+|F1K|=2c，可得|F1K|=c+b，可得内切圆的圆心I的横坐标为b=2，C1和C2的离心率之积为，可得•=，解得a=4，可得椭圆方程为+=1，即有|PF1|-|PF2|=4，|PF1|+|PF2|=8，解得|PF2|=2，可得4-x P=2，解得x P=，P的纵坐标为，设内切圆的半径为r，可得r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=•4•，即r==4-2．故选：A．设△PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1，PF2，F1F2的切点为M，N，K，由切线长相等，以及双曲线的定义，可得内切圆的圆心横坐标为b，运用离心率公式，可得a=4，运用椭圆的焦半径公式可得P的坐标，再由三角形的等积法，解方程可得所求内切圆的半径．本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查离心率公式和三角形的内切圆的切线性质，以及等积法，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：因为f（x）=+，所以f′（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设t=f（x），则关于x的方程f2（x）-mf（x）+m2-1=0可化为t2-mt+m2-1=0，设关于t的方程t2-mt+m2-1=0有两根t=t1，t=t2，则关于x的方程f2（x）-mf（x）+m2-1=0恰好有4个不相等的实根，等价于函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数为4个，函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2位置关系如图，得：关于t的方程t2-mt+m2-1=0有两不等实根，且t1，t2∈（0，），设g（t）=t2-mt+m2-1，则有：，解得：1，故选：C．由方程解的个数与函数图象的交点个数的关系可得：关于x的方程f2（x）-mf（x）+m2-1=0恰好有4个不相等的实根等价于函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数为4个，利用导数研究函数的图象t=f（x）的图象，再利用二次方程区间根问题可得：关于t的方程t2-mt+m2-1=0有两不等实根，且t1，t2∈（0，），设g（t）=t2-mt+m2-1，则有：，解得：1，得解本题考查了方程解的个数与函数图象的交点个数的转化，利用导数研究函数的图象及二次方程区间根问题，属中档题13.【答案】-12【解析】解：由动点P（x，y）在平行四边形ABCD内部（含边界）运动，可行域如图，==（1，0）+（-1，2）+（3，2）=（2，4）．可得C（2，4）化目标函数z=2x-4y的最小值为×2-4×4=-12．故答案为：-12．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】10【解析】解：根据题意，将6个小球排成一排，排好后有5个可用的空位，在5个空位中任选3个，插入挡板，有C53=10种情况，可以将6个小球分成4组，依次放入4个不同的盒子中即可，则有10种不同的放法；故答案为：10．根据题意，用挡板法分析，将6个小球排成一排，排好后有5个可用的空位，在其中任选3个插入挡板即可，由组合数公式计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意用挡板法分析，属于基础题．15.【答案】（0，4]3【解析】因为由f（x）≥f（1）恒成立，又f（1）=0，故f（x）≥0恒成立．因为a＞0，故当x≥1时，f（x）=alnx是增函数，所以f（x）≥f（1）=0成立；当0≤x＜1时，恒成立，此时f′（x）=x2-a，故f（x）在上单调递减，在（上单调递增，当a≥1时，f（x）在[0，1）上单调递减，故，解得；当0＜a＜1时，成立；综上可知，a的取值范围是．故答案为：（0，]．由f（x）≥f（1）恒成立，又f（1）=0，故f（x）≥0，即函数f（x）在0≤x＜1和x≥1时f（x）≥0恒成立．本题考查分段函数最值得求法、导数在求解函数最值中的应用，属于中档题．16.【答案】43【解析】解：已知f（x）=msinωx-cosωx=sin（ωx+θ），其中tanθ=；可得f（x）的最大值为，由g（x）=e x在x∈[0，ln2]的最大值2，∴≤2，可得：0＜m≤1．要使ω最大，周期T最小，那么x∈[0，π]上单调性．∴．则ω≤2．根据区间[0，π]上的值域为[-1，]，可得（0＜m≤1）∴m=1，那么θ=或，当θ=时，则=，k∈Z；∴ω=．ω最大值为．当θ=时则=，k∈Z；∴ω=-．可得ω最大值为．故答案为：．由题意，求解f （x 1）的最大值和），g （x ）=e x 在x ∈[0，ln2]的最大值，结合f （x ）在区间[0，π]上的值域为[-1，2]，即可求解实数ω的最大值．本题主要考查三角函数的图象和性质，恒成立问题的转化思想，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）数列{a n }，a 1=3，且对任意n ∈N *，都有a n +a n+22=a n +1．所以：a n +2-a n +1=a n +1-a n ，所以：数列{a n }的公差为0时，b n +1=b n =0， 所以：数列{b n }是等差数列，不是等比数列． 当数列{a n }的公差不为0时，b n +1=b n ≠0，所以：数列{b n }既是等差数列，又是等比数列． （2）若a 2=5，由（1）知：a n +1-a n =a 2-a 1=2， 所以：a n =2n +1．则：c n ={2n +1(n =2k −1)4n (n =2k)，则：S 2n =S 奇+S 偶，=（3+7+11+…+2n +1）+（42+44+…+42n ）， =2n 2+n +16(16n −1)15．【解析】（1）首先利用分类讨论思想的应用，求出数列的通项公式． （2）利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在数列的求和中项的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 18.【答案】解：（1）由题意，计算x −=4.5，y −=21，又∑8i=1x i y i =850，∑8i=1x i 2=204，∑8i=1y i 2=3776，√21≈4.58，√31≈5.57；所以相关系数r =∑x i n i=1y i −nx −y−√∑x i 2ni=1−nx −2√∑y i 2n i=1−ny−2=850−8×4.5×21√204−8×452⋅√3776−8×212=94√42×√248=944×4.58×5.57≈0.92；因为0.92非常趋近1，所以变量x 、y 线性相关性很强，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）二人所获奖金总额X 的所有可能取值有0，3，5，6，8，10千元， 计算P （X =0）=14×14=116， P （X =3）=2×12×14=14， P （X =5）=2×14×14=18， P （X =6）=12×12=14，P （X =8）=2×12×14=14，P （X =10）=14×14=116； 所以随机变量X 的分布列为： X 0 3 5 6 8 10 P116 14 18 14 14 116数学期望为E （X ）=0×116+3×14+5×18+6×14+8×14+10×116=5.5（千元）． 【解析】（1）由题意计算、，求出相关系数r ，判断变量x 、y 线性相关性的强弱情况， 以及是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）二人所获奖金总额X 的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望． 本题考查了利用相关系数判断线性相关性问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题．19.【答案】证明：（1）∵λ=12，∴F 是A 的中点，∵N 是PB 的中点，∴FN ∥AB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，故FN ∥CD ， ∵CD ⊂平面PCD ，FN ⊄平面PCD ， ∴FN ∥平面PCD ，FM ∥DP ，DP ⊂平面PCD ，FM ⊄平面PCD ， ∴FM ∥平面PCD ，FM ∩FN =F ，FM ，FN ⊂平面FMN ， ∴平面FMN ∥平面PCD ．解：（2）连结PM ，过M 作ME ∥CD ，交BC 于E ， 由△PAD 是等边三角形，得PM ⊥AD ，面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD =AD ，PM ⊥AD ，PM ⊂面PAD ，∴PM ⊥平面ABCD ，以M 为原点，MA 为x 轴，ME 为y 轴，MP 为z 轴，建立空间直角坐标系，假设存在λ，满足题意，设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈（0，1）， 则A （1，0，0），P （0，0，√3），B （1，√2，0），M （0，0，0），MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，√2，0），AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ，0，√3λ）， 则MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-λ，0，√3λ）， 设面FMN 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +√2y =0(1−λ)x +√3λz =0， 取y =-√2，得m⃗⃗⃗ =（2，-√2，2λ−2√3λ），取PAD 的法向量n⃗ =（0，1，0）， 由题知|cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=|−√2|√6+(2λ−2√3λ)2=√3311，解得λ=12， ∴存在λ=12，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为√3311．【解析】（1）由，推导出四边形ABCD 是矩形，从而AB ∥CD ，FN ∥CD ，进而FN ∥平面PCD ，同理FM ∥平面PCD ，由此能证明平面FMN ∥平面PCD ．（2）连结PM ，过M 作ME ∥CD ，交BC 于E ，以M 为原点，MA 为x 轴，ME 为y 轴，MP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在λ=，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为．本题考查面面平行的证明，考查满足二面角的余弦值的实数值是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1（a ＞b ＞0）中，2a =2√5，解得a =√5； 又圆的直径AB ⊥x 轴时四边形A 1AA 2B 的面积最大，最大为2ac =2√5，解得c =1，所以b 2=a 2-c 2=4， 所以椭圆C 的方程为x 25+y 24=1；（2）由直线l 1：y =kx +m （m ≠0）与圆O 相切， 得√k 2+1=1，即|m |=√k 2+1；再设直线l 2：y =kx +n ，联立{x 25+y 24=1y =kx +n ，消去y 得（5k 2+4）x 2+10knx +5n 2-20=0；所以△=（10kn ）2-4（5k 2+4）（5n 2-20）=0，化简得n 2=5k 2+4； 因为d =√k 2+1=|m−n||m|=|1-n m |， 且(nm )2=5k 2+4k 2+1=5-1k 2+1；由k 2≥0，得0＜1k 2+1≤1，所以4≤(nm )2＜5；由O 、P 两点位于l 1的同侧，m 、n 异号，所以-√5＜nm ≤-2； 所以d =1-nm ∈[3，1+√5），即直线l 1、l 2距离d 的取值范围是[3，1+√5）． 【解析】（1）根据题意求出a 、a 和b 2，即可写出椭圆C 的方程； （2）由直线l 1与圆O 相切，得出d=r ，列出方程|m|=；再由直线l 2与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程； 再结合椭圆，从而求出直线l 1、l 2距离d 的取值范围．本题考查了椭圆的定义与简单几何性质的应用问题，也考查了直线与圆方程的应用问题，是中档题．21.【答案】解：（1）函数的定义域为（-∞，1），f ′（x ）=x -m1−x =−x 2+x−m1−x，1-x ＞0， 令-x 2+x -m =0，判别式△=1-4m ，当△≤0，则f ′（x ）≤0恒成立，即f （x ）在（-∞，1）上是减函数， 当△＞0，即m ＜14时，由x 2-x +m =0，得x 1=1−√1−4m2，x 2=1+√1−4m2，若0＜m ＜14，则x 1＜x 2＜1，则当x ＜x 1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x 1＜x ＜x 2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x 2＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减．若m ≤0，则x 1＜1≤x 2，则x ＜x 1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， x 1＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增 综上m ≤0时，f （x ）的单调递减区间为（-∞，1−√1−4m2），单调递增区间为（1−√1−4m2，1）．0＜m ＜14时，f （x ）的单调递减区间为（-∞，1−√1−4m 2），（1+√1−4m 2，1），单调递增区间为（1−√1−4m 2，1+√1−4m2），m ≥14时，f （x ）的单调递减区间为（-∞，1）．（2）函数的定义域为（-∞，1），f ′（x ）=x -m1−x =−x 2+x−m 1−x，若函数f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2， ∴f ′（x ）=0在（-∞，1）上有两个不同的根x 1，x 2，设g （x ）=-x 2+x -m ，则{△=1−4m ＞0−12×(−1)＜1g(1)＜0，得0＜m ＜14，从而{x 1x 2=m x 1+x 2=1，且x 1＜x 2，得0＜x 1＜12，0＜x 2＜12，f （x 1）+f （x 2）=12x 12+m ln （1-x 1）+12x 22+m ln （1-x 2）=12（x 12+x 22）+m ln （1-x 1）（1-x 2）] =12[（x 1+x 2）2-2x 1x 2]+m ln[（1-（x 1+x 2）+x 1x 2]=12（1-2m ）+m lnm ， 构造函数h （x ）=x lnx-x +12，0＜x ＜14， 则h ′（x ）=ln x ＜0，即h （x ）在0＜x ＜14上单调递减， ∴h （x ）＞h （14）=14-14ln4．即证． 【解析】（1）求函数的导数，结合一元二次方程根与判别式△的关系进行判断即可．（2）根据函数f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，得到f′（x ）=0有两个不同的根x 1，x 2，利用根与系数之间的关系转化证明即可．本题主要考查导数的综合应用，结合函数单调性，不等式与导数之间的关系，进行转化为一元二次方程，结合根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.【答案】解：（1）由已知Q （x ，y ）满足{2y =3y 0x=x 0及{y 0=2sinθx 0=3cosθ得{y =3sinθx=3cosθ， ∴曲线E ：x 2+y 2=9，（2）由于l 的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R ），即为y =x ，A （5，0）∵|MN |=6，d =5√2，S =12⋅6⋅5√2=15√22．【解析】（1）由已知Q （x ，y ）满足及得，消去θ可得E 的普通方程，（2）l 的极坐标方程化为直角坐标方程为y=x ，MN 为圆的直径，点到直线的距离求出三角形的高，代入面积公式可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f （x -1）+f （2x -1）=|x -1|+|2x -1|，当x ＞1时，|x -1|+|2x -1|=3x -2≤2x ，解得：x ≤1，故1＜x ≤2， 当12≤x ≤1时，|x -1|+|2x -1|=x ≤2x ，解得：x ≥0，故12≤x ≤1， 当x ＜12时，|x -1|+|2x -1|=2-3x ≤2x ，解得：x ≥25，故25≤x ＜12， 综上，不等式的解集是{x |25≤x ≤2}； （2）由绝对值不等式的性质得： f （x +a ）+f （x -b -c ）=|x +a |+|x -b -c |≥|x +a -x +b +c |=a +b +c ， ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且1a +4b +9c =1， ∴a +b +c=（a +b +c ）（1a +4b +9c ） =1+4+9+b+c a+4a+4c b+9a+9b c≥14+2√b a⋅4a b+2√c a⋅9a c+2√4c b⋅9b c=36，当且仅当b =2a ，c =3a 时“=”成立， 故原命题成立． 【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据基本不等式的性质求出代数式的最小值，从而证明结论．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

成都石室中学高2020届2019~2020学年上期入学考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A.1i -B.1i +C.1i --D.1i -+2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 3.下列判断正确的是（ ）A.命题“0,201920190xx ∀>+>”的否定是“000,201920190x x ∃≤+≤”B.函数()f x =的最小值为2C.“2x =”是“2x -=D.若0a b ⋅<，则向量a 与b 夹角为钝角4.对于函数()44sin cos f x x x =-，下列结论不正确的是（ ）A.在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B.图像关于y 轴对称 C.最小正周期为2π D.值域为[]1,1-5.在如图的程序框图中，若输入77,33m n ==，则输出的n 的值是（ ） A.3 B.7C.11D.336.某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，且21S S λ=，则（ ） A.1 B.C. D. 7.高三某6个班级从“青城山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“青城山”的不同的安排方式有多少种（ ） A.2454C A B.2456CC.2454A AD.2456A8.如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，若{}{}222ln(34),2xA x y x xB y y -==--+==A B =U (0,1)(4,4]-(,4]-∞(4,)-+∞=λ3234233AB AC AD EC ⋅=⋅，则ABAC的值是（ ）239.定义在R 上的函数满足()()2f x f x -=，且[)121+x x ∈∞、，有()()12120x x f x f x ->-，若()()1g x f x =+，实数a 满足()()212log log 21g a g a g ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则的最小值为（ ）A.B. C. D. 10.在平面区域2200x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩内任取一点(),P x y ，则存在R α∈，使得点P 的坐标(),x y 满足()2cos +sin 0x y αα-=的概率为（ ）A.316π B.3116π- C.434π- D.116π-11.ABC ∆中,已知7AB BC AC ===,D 是边AC 上一点,将ABD ∆沿BD 折起,得到三棱锥A BCD -.若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上,设BM x =,则x 的取值范围为（ ）A.(B.C.(D.(12.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点为A B 、，P 是双曲线上不同于A B 、的一点，设直线AP BP 、的斜率分别为m n 、，则当()4136ln ln 32a m nb mn mn ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A.12+B.2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若nxx )1(-的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 ．14.已知圆()()222:42C x y r -+-= 截y轴所得的弦长为过点()0,4且斜率为k 的直线l 与圆C 交于A B 、两点，若AB ，则k = ．15.已知抛物线x y 42=的一条弦AB 经过焦点,F O 为坐标原点，点M 在线段OB 上，且()f x a 1213223OB OM =，点N 在射线OA 上，且3ON OA =，过M N 、向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C D 、,则CD 的最小值为 ．16.已知函数()(1)(2)e e xf x m x x =----，若关于x 的不等式0)(>x f 有且只有一个正整数解，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示.第组 [160,165)第组 [165,170)第组 [170,175)第组 [175,180)第组 [180,185] （Ⅰ）求频率分布表中,n p 的值，并估计该组数据的中位数（保留1位小数）；（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 和{}n b 满足111,0a b ==，11434,434n n n n n n a a b b b a ++=-+=--. （Ⅰ）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （Ⅱ）设12n n c a n =-+，求数列{}n n c ⋅的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，PAD ∆是等边三角形，四边形ABCD是矩形，2=CD ，F 为棱PA 上一点，且)10(<<=λλAP AF ，M 为AD的中点，四棱锥P ABCD -的体积为362. （Ⅰ）若21=λ，N 是PB 的中点，求证：平面//MNF 平面PCD ； （Ⅱ）是否存在λ，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为1133?20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：上任意一点到其两个焦点的距离之和等于，焦距为，圆，是椭圆的左、右顶点，是圆的任意一条直径，四边形面积的最大值为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，直线与平行且与椭圆相切于（两点位于的同侧），求直线，距离的取值范围.21.（本小题满分12分），其中0mn ≠.（Ⅱ）若()()0f x g x +=的两根为12,x x ，且12x x >，证明： 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线041=-+y x C :，曲线为参数）θθθ(sin 1cos :2⎩⎨⎧+==y x C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线21C C ,的极坐标方程； （Ⅱ）射线),(:200παραθ<<≥=l 分别交21C C , 于N M ,两点，求||||OM ON 的最大值．)0(12222>>=+b a by a x 21,F F 52c 2222:c y x O =+21,A A AB O B AA A 21)0(:1≠+=m m kx y l O N M ,2l 1l P P O ,1l 1l 2l d成都石室中学高2020届2019~2020学年上期入学考试数学（理科）参考答案一、选择题：1—5：ABCCC 6—10：DDAAB 11—12：BD 二、填空题：13.-20 14.3415.4 16.32e e e a +<≤三、解答题：17. 解：（1）由已知：5302010100n ++++=，0.5000.3500.2000.100 1.000p ++++=，∴35,0.300n p ==，中位数估计值为171.7………4分（2）由已知，笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为3:2:1，现用分层抽样的方法选6名学生。

石室中学高2019届2018~2019学年上期入学考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足z+i=3﹣i，则A. ﹣1+2iB. 1﹣2iC. 3+2iD. 3﹣2i【答案】C【解析】复数z满足z+i=3-i,故答案为C。

2.已知全集，集合A={x|x＜﹣1或x＞1}，则A. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B. （﹣∞，﹣1]∪ [1，+∞）C. （﹣1，1）D. [﹣1，1]【答案】D【解析】【分析】直接进行补集的运算即可．【详解】∵A={x|x＜﹣1或x＞1}，∴[﹣1，1]故选：D【点睛】本题考查描述法、区间表示集合，以及补集的运算，属于基础题．3.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：B【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．4.在如图的程序框图中，若输入，则输出的的值是A. 3B. 7C. 11D. 33【答案】C【解析】该程序框图的作用是：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，直到余数为零，即整除时，最后得到的最大公约数，因为，，所以的最大公约数为，则输出的的值为，故选C．5.在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m（m＞0）的概率为，则m的值等于A. B. 3 C. 4 D. ﹣2【答案】C【解析】【分析】求出原区间长度，分类求出满足|x|≤m（m＞0）的解集的区间长度，由长度比为列式求得m值．【详解】区间[﹣3，5]的区间长度为5﹣（﹣3）=8，当0＜m≤3时，满足|x|≤m（m＞0）的解集的区间长度为2m，又在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m（m＞0）的概率为，∴=，得m=（舍）；当3＜m≤5时，满足|x|≤m（m＞0）的解集的区间长度为m+3，又在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m（m＞0）的概率为，∴，得m=4．∴m的值等于4．故选：C．【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．6.《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为A. 2B.C. 1D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图中的数据求出几何体的体积．【详解】根据三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC﹣A′B′C′，底面是一个直角三角形，两条直角边为=，斜边为2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的体积为V=Sh=×××2=2．故选：A．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7.已知等比数列{a n}满足a1+a2=6，a4+a5=48，则数列{a n}前8项的和S8为A. 510B. 126C. 256D. 512【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的通项公式建立方程关系求出首项和公比，结合前n项和公式进行计算即可．【详解】由a1+a2=6，a4+a5=48得得a1=2，q=2，则数列{a n}前8项的和S8==510，故选：A．【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．8.已知函数是定义域为的奇函数，，且当时，，则下列结论正确的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知f（x）关于直线x=1对称且周期为4，然后想法设法把自变量转化到单调区间上，即可比较大小. 【详解】∵R上的奇函数f（x）满足：，可知：函数f（x）的图象关于直线x=1对称．∴f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），因此函数f（x）的周期T=4．∴，，＞0，又在上单调递增，∴，即故选：D【点睛】本题考查大小的比较，考查函数的对称性与周期性，解题关键是利用函数性质把问题归结为同一个单调区间上的大小问题，属于中档题.9.已知，实数x，y满足，若z=3x+y最小值为1,则a的值为A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【详解】作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点C时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小．即3x+y=1，由，解得，即C（1，﹣2），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣2=﹣2a，解得a=1．故选：B．【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10.已知抛物线的一条弦经过焦点为坐标原点，点在线段上，且，点在射线上，且，过向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,则的最小值为A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】A【解析】【分析】设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，=，利用基本不等式即可得出结论．【详解】设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴==≥4，当且仅当y2=6时，取等号，即的最小值为4，故选：A．【点睛】本题考查|EG|的最小值的求法，具体涉及到抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11.向量满足：，，，则的最大值是A. 24B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，结合条件易得，利用三角换元法表示，由正弦型函数的有界性得到结果.【详解】设，则，又∴设则∴当时，的最大值是故选：C【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.12.若关于的不等式（其中为自然对数的底数，）恒成立，则的最大值为A. 4B. 5C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】变量分离可得﹣ex+2＞m，构造新函数h（x）=﹣ex+2，（x＞0），研究其最值即可.【详解】由题意可得：﹣ex+2＞m设h（x）=﹣ex+2，（x＞0），则h′（x）=e x+1﹣ex﹣e，令p（x）=h′（x）=e x+1﹣ex﹣e，则p′（x）=e x+1﹣e，当x＞0时，恒有p′（x）＞0，∴函数h′（x）在区间（0，+∞）为增函数，∴h′（x）＞h′（0）=0，∴函数h（x）在区间（0，+∞）上是增函数，∴x＞0时，h（x）＞h（0）=e+2≈4.72，又﹣﹣ln，∴整数m的最大值为4．【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13._________.【解析】【分析】由对数运算及根式运算可得结果.【详解】,故答案为：5【点睛】本题考查了对数式的运算性质，考查了算术平方根的性质，属于基础题.14.直线过双曲线的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C的离心率为_____________．【答案】【解析】【分析】结合双曲线的性质=2，0=，求出a，c即可．【详解】过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，因为过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点F的直线l：与C只有一个公共点，所以=2，0=，又因为a2+b2=c2，解得c=，a=1，所以e==，故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c 的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e的取值范围)．15.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若则球O的直径为________．【解析】试题分析：由下图可知，球心在的位置，球的半径为，故表面积为．考点：球的内接几何体．【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为，常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心，可利用正弦定理来求．若长方体长宽高分别为则其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点．直棱柱；有一条棱垂直于一个面的棱锥，设高为其外接球半径公式秒杀公式．16.函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为_______.【答案】【解析】【分析】化简得到，令，即恰有三个实根，分成两类分别讨论即可得到的范围.【详解】由题意可得，令，即恰有三个实根，三根为：①，k∵，∴∴或，当k=-1时，解得的范围为故答案为：【点睛】（1）研究函数时，要把看为一个整体，并结合函数的性质求解，在研究单调性时要注意的符号对单调性的影响。