考点集训20 直角三角形 浙江《中考面对面》课件PPT

4．点P(a，a－3)在第四象限，则a的取值范围是( A ) A．0＜a＜3 B．a＜3 C．a＞0 D．－3＜a＜0
【解析】P(a，a－3)在第四象限知a>0，a－3<0由此知 0<a<3.
5．如下图，已知某容器是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥 同底等高的圆柱组合而成，若往此容器中注水，设注入水的体积为y， 高度为x，则y关于x的函数图象大致是( A )
【解析】由图知甲，乙两车相距 500 米.100 秒后，乙车追上甲车，从 200 秒 到 220 秒这 20 秒时间，两车相背而行了 900 米，设甲车速为 m，乙车速为 n，则
有12000mn＋－2010n0＝m＝ 905000 解得mn＝ ＝2205
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，4)，将OA绕坐 标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是 (－4，3) ．
－1 【解析】(x＋y)2＝x2＋y2－2 化简得 xy＝－1 即 y＝ x .故在第二象限或第四 象限．
二、填空题 7．在平面直角坐标系中，点(－4，4)在第 二 象限．
8．函数 y＝x＋x 2中自变量 x 的取值范围是 x≠－2 ． 【解析】x＋2≠0即x≠－2.
9．设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始 甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来， 把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原 地返回．设x秒后两车间的距离为y千米，y关于x的函数 关系如图所示，则甲车的速度是 20 米/秒．
(3)乙店重新开业后，乙店的销售收入 y 与天数 x 的函数关系式为：y＝10000 ＋1000(x－28)＝1000x－18000. 当 0≤x≤20 时，600x＋500x＝30000.解得 x＝ 31010.舍去．当 20<x≤28 时，600x＋10000＝30000.解得 x＝1030.舍去．当 28<x≤48 时，600x＋1000x－18000＝30000.解得 x＝30.答：经过 30 天，甲、乙两店销售 收入合在一起刚好达到 3 万元

【分析】根据方向角的定义即可得到结论． 【自主解答】由图可得，目标A在南偏东75°方向5 km处，故选D.
例5 (2019·宁波)如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400 米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方 向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为________米．(精确到1米，参 考数据： ≈1.414， ≈1.732)
墙PM是否需要拆除？请说明理由．
解：(1)∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为
(2)该文化墙PM不需要拆除． 理由如下： 如图，作CD⊥AB于点D，则CD＝6米．
易错易混点一 构造直角三角形解三角函数问题
例1 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都 在格点上，则sin∠ACB的值为( )
解：(1)如图，过点C作CE⊥BD于点E，
则有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°， ∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°.
(2)由题意得，CE＝AB＝30(m)， 在Rt△CBE中，BE＝CE·tan 20°≈10.80(m)， 在Rt△CDE中，DE＝CE·tan 18°≈9.60(m)， ∴教学楼的高BD＝BE＋DE＝10.80＋9.60≈20.4(m)． 则教学楼的高BD约为20.4 m.
考点二 利用解直角三角形解决测量问题
【要点知识拓展】 已知角度及其三角函数值时，可以构造直角三角形，通过解直角三角形帮 助解决长度计算问题．
例2 (2019·金华)如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简 易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°， 则此时观察楼顶的仰角度数是________．
解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 理由如下：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 根据题意可知∠ABC＝30°，∠ACD＝60°. ∵∠ACD＝∠ABC＋∠BAC，∴∠BAC＝30°＝∠ABC， ∴CB＝CA＝20. 在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠ACD＝60°，

2.6 直角三角形
性质1
A
直角三角形的两个锐角互余
几何语言
在△ABC中
B
C
∵∠ACB=90°( 已知 )
∴∠A+∠B=90°
( 直角三角形的两个锐) 角互余
性质2 直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一
半。
∵ CD是Rt∆ABC 斜边上的中线 A
CD 1 AB 2
C
D
B
性质3
在直角三角形中，30°角所对的 直角边等于斜边的一半。
1.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
∵∠Ｃ=90°
A
∴△ABC是直角三角形
B
C
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
∵∠A+∠B=90°
∴△ABC是直角三角形
练一练
1. 根据下列条件判断△ABC是不是直角三角 形,并说明理由
(1)∠B=50°,∠C=40°. (2) ∠B=∠C=45° (3)∠A,∠B,∠C的度数比为5:3:2.
1.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
３、如果一个三角形一边上的中线等于这条 边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，
那么这条直角边所对的角等于300.
A
1
已知Rt △ ABC中，∠ACB＝Rt∠, BC= 2 AB ，
若直三角角三角形形中斜一边边上上中的线中等线于斜等边于的这一条半。
边逆命的题一：半一，边上那的么中这线等个于三这角条形边的是一直半角的三三角形
角是直形角。三角形。
如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，且

直角三角形一、选择题1．(2014·泉州)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为斜边AB 的中点，AB ＝10 cm ，则CD 的长为( A )A ．5 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm,第1题图) ,第2题图)2．(2013·鄂州)一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是( A )A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°3．(2013·泸州)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，O 是斜边AB 的中点，点D ，E 分别在直角边AC ，BC 上，且∠DOE＝90°，DE 交OC 于点P ，则下列结论：①图形中全等的三角形只有两对；②△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍；③CD＋CE ＝2OA ；④AD 2＋BE 2＝2OP·OC.其中正确的结论有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．(2014·泰安)如图①是一个直角三角形纸片，∠A ＝30°，BC ＝4 cm ，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C′处，折痕为BD ，如图②，再将②沿DE 折叠，使点A 落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE 的长为( A )A.83cm B ．2 3 cm C ．2 2 cm D ．3 cm 5．(2014·张家界)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°，DE 是斜边AC 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于D ，E 两点．若BD ＝2，则AC 的长是( B )A ．4B ．4 3C ．8D ．8 3,第5题图) ,第6题图)6．(2013·重庆)如图，在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝30°，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝1，则AB 的长为( D )A ．2B ．2 3 C.33＋1 D.3＋1二、填空题7．(2014·黄石)如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是__90°__．,第7题图) ,第8题图)8．(2013·鄂州)著名画家达·芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没有弹性的木棒的两端A ，B 能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P 处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB ＝20 cm ，则画出的圆的半径为__10__cm.9．(2014·无锡)如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点．若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于__8__．,第9题图) ,第10题图)10．(2014·潍坊)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是__25__尺．11．(2014·新疆)如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，DE 垂直平分AC ，垂足为O ，AD ∥BC ，且AB ＝3，BC ＝4，则AD 的长为__258__．,第11题图) ,第12题图)12．(2014·宜宾)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝__1.5__．三、解答题13．(2012·黄石)如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F.探究：线段OE 与OF 的数量关系并说明理由．OE ＝OF.其理由如下：∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠1＝∠2.∵MN∥BC ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OE ＝OC.同理可证OC ＝OF ，∴OE ＝OF14．(2014·乐山)如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D.求CD 的长．由勾股定理得AC ＝12＋22＝5.∵12BC×2＝12AC·BD ，即12×2×2＝12×5BD ，∴BD ＝455.在直角△BCD 中，由勾股定理知，CD ＝BC 2－BD 2＝25515．(2014·上海)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE⊥CD，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，AH ＝2CH.(1)求sin B 的值；(2)如果CD ＝5，求BE 的值．(1)∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴∠ACH ＋∠BCD ＝90°，CD ＝BD ，∴∠B ＝∠BCD ，∵AE ⊥CD ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°，∴∠B ＝∠CAH ，∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理得AC ＝5CH ，∴CH ∶AC ＝1∶5，∴sinB ＝55 (2)∵sinB ＝55，∴AC ∶AB ＝1∶5，∵CD ＝5，∴AB ＝25，∴AC ＝2，则CE ＝1，在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴BC ＝4，∴BE＝BC －CE ＝316．(2014·温州)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a 2＋b 2＝c 2.证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF ＝EC ＝b －a.∵S 四边形ADCB ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12b 2＋12ab. 又∵S 四边形ADCB ＝S △ADB ＋S △DCB ＝12c 2＋12a(b －a) ∴12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a(b －a) ∴a 2＋b 2＝c 2.请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a 2＋b 2＝c 2.如图，连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF ＝b －a ，∵S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ABE ＋S △ADE ＝12ab ＋12b 2＋12ab ，又∵S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ABD ＋S △BDE ＝12ab ＋12c 2＋12a (b －a )，∴12ab ＋12b 2＋12ab ＝12ab ＋12c 2＋12a (b －a )，∴a 2＋b 2＝c 2。