(完整word)2016年江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷(解析版)

2012届江苏省南通,泰州,扬州苏中三市高三第二次调研测试数学试卷及答案(WORD版)2012江苏省南通、泰州、扬州苏中三市高三第二次调研测试题数学?一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分(请把答案直接填写在答题卡相应位((((((置上( ((A,,11，B,10，,101，，1( 已知集合，，那么, ? ( AB,,,,,,iza,,，i1i2( 已知(a?R，为虚数单位)，若复数z在复平面内对应的点在实轴上，，，，，则a= ? (12Am2，3( 若抛物线上的点到焦点的距离为6，则p= ? (8 ypxp,,20，，，，1，，，24( 已知函数(在区间上随机取一，则使得的概率为fxx()log,xfx()0?200,,2，，2? ( 32aaxy，,，,210,20，5( 若直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是 ? ( a，，，，6( 某市教师基本功大赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图开始如图所示，则去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的ia,,04，a，2标准差为 ? ((茎表示十位数字，叶表示个位数字) 2a,a,2Y 79 i,3ii,，1 834567 N 39输出a (第6题)结束7(第7题) 7( 若执行如图所示的程序框图，则输出的a的值为 ? ( 32ab,,xxR8( 已知单位向量a，b的夹角为120?，那么的最小值是 ? ( 3，，,0,,P12，,fxx()sin,，,,9( 已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称，，，，，，10ππ,,,f轴之间的距离等于，则= ? ( ,,31210,,10(各项均为正数的等比数列{}a满足aaa,,48，，若函数n1761552310,,fxf(),的导数为，则 ? ( fxaxaxaxax,，，，,,,，，，，，123102411(若动点P在直线l:上，动点Q在直线l:上，设线段PQ的xy,,,20xy,,,60122222中点为，且(2)(2)xy,，，?8，则xy，的取值范围是 ? ([8，Mxy(,)00000016]12(已知正方体C的棱长为，以C各个面的中心为顶点的凸多面体为C，以C各个1821122面的中心为顶点的凸多面体为C，以C各个面的中心为顶点的凸多面体为C，依次类3342推(记凸多面体C的棱长为a，则a= ? ( nn6fxx,,|21|13(若函数，则函数在(0，1)上不同的零点个数为 ?(3gxffxx()ln,，，，，，，，14(已知圆心角为120?的扇形AOB的半径为1，C为的中点，点D、E分别在半径OA、AB264222CDCEDE，，,OB上(若，则的最大值是 ? ( ODOE，39二、解答题:本大题共6小题，共90分(请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字(((((((说明、证明过程或演算步骤(15(,本小题满分14分,m,0已知函数的最大值为2( fxmxx()sin2cos,，，，0，π(1)求函数在上的单调递减区间; fx(),,ππfAfBAB()()46sinsin,，,,(2)?ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，44b，c，且C=60?，，求?ABC的面积( c,322m，2m，2=2解:(1)由题意，的最大值为，所以(……………………………fx()2分而，于是，m,2m,0πfxx()2sin(),，(………………………………………4分 4ππ3πk,Z2kxkπ+2??，π+为递减函数，则满足， fx()x，，242即π5π2kxkπ+2??π+k,Z(……………………………………………………6分，，440，π所以在上的单调递减区间为fx(),,π，，，π( …………………………………7分 ,,4，，c3R (2)设?ABC的外接圆半径为，由题意，得2=23R,,( sinsin60Cππ化简fAfBAB()()46sinsin,，,,，得 44(………………………………………………………9分 sinsin26sinsinABAB，,由正弦定理，得，( ? 226Rabab，,abab，,2，，222由余弦定理，得，即( ? …………………abab，,,,390abab，,,9，，11分2 将?式代入?，得2390abab,,,( ，，3ab,, 解得，或 (舍去)(…………………………………………………ab,3213分133SabC,sin,(……………………………………………………………14分 ,ABC2416(,本小题满分14分,ABDEF如图，直三棱柱中，、分别是棱、的中点，点在棱上，ABCABC,CCBC1111 F C C1已知，AA,3，( ABAC,BCCF,,21D ADF(1)求证:CE//平面; 1O MB 1B E MBMADF(2)设点在棱BB上，当为何值时，平面平面, CAM,1A A 1AD解:(1)连接交于，连接( OCEOF(第16题)因为CE，AD为?ABC中线，CFCO2所以O为?ABC的重心，,,( CCCE31从而OF//CE(………………………………………………………………………………3分 1ADF,OF面ADF，CE,平面， 1所以CE//平面1ADF(……………………………………………………………………6分ADF(2)当BM=1时，平面平面( CAM,在直三棱柱中， ABCABC,111,,由于平面ABC，BB平面BBCC，所以平面BBCC平面ABC( BB,111111D 由于AB=AC，是中点，所以(又平面BBCC?平面ABC=BC， BCADBC,11, 所以AD平面BBCC( 11, 而CM平面BBCC，于是11,ADCM(…………………………………………………9分, 因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以?，所以CMDF( ………Rt,CBMRt,FCD11分,ADF DF与AD相交，所以CM平面(, CM平面CAM，所以平面平面CAM,ADF(………………………………………13分当BM=1时，平面平面CAM,ADF(…………………………………………………14分 17(,本小题满分14分,22xyab,,0已知椭圆的右焦点为，离心率为. F(20)，，,1e，，122ab 2(1)若e,，求椭圆的方程; 2(2)设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为M，的中点为N，若原AFBF11点在以线段为直径的圆上( OMN?证明点A在定圆上;?设直线AB的斜率为k，若，求的取值范围( k?3e2e,解:(1)由，c=2，得a=，b=2( 222所求椭圆方程为22xy(…………………………………………………………4分，,184(2)设Axy()，，则Bxy(),，-， 0000xy，2,,00M，故，,,22,,2,xy,,00N，,(………………………………………………6分 ,,22,,uuuruuur ? 由题意，得( OMON,,022A 化简，得xy，,4，所以点在以原点为圆心，2为半径的圆上( (00)8分ykx,,00222,xkx,22002，,1xy11k,,00222，,1 ? 设，则( Axy()，,,，,，(1)kab,,002222abab4222,,xkx，,42200,,xy，,400,c24222e,,bac,,,,4 将，，代入上式整理，得 2aae2242keee(21)21,,,，( …………………………………………………………10分22422因为，k>0，所以，e,(…………………………ee,，,210210e,,212分4242,ee,，840,?ee,，21,2所以 (化简，得 k,?3,2221e,210.e,,,, 122<423e?, 解之，得，<31e?,. 22故离心率的取值范围是,，2. ………………………………………………14分，31,,,,2,，2 PD 2C (说明:不讨论，得的扣2分) 031,,e?210e,,18(,本小题满分16分, P 3如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一质点从AB边上 P1的点P出发，沿与AB的夹角为, 的方向射到边BC上点0A B P P 40 (第18题) P后，依次反射(入射角与反射角相等)到边CD，DA1和AB上的PPP，，处( 234(1)若P与P重合，求的值; tan,40(2)若P落在A、P两点之间，且AP=2(设=t，将五边形PPPPP的面积Stan,40001234表示为t的函数，并求S的最大值(解 :(1)设，则，(……………………………………PBx,PBx,tan,PCx,,2tan,0010102分2tan,x,PC201,xPC,,=，02tan,tantan,,2,，,PDx3(…………………………4分 20,tan，， PDx,，,(3)tan2PAx,,，4(3)tan,,30304,,，APx(3)( ……………………………………………………………40,tan……6分46,由于与重合，，所以，即PPAPPB，,34040tan,2tan,,( …………………8分 34AP,,4(2)由(1)，可知( 4tan,22,,tan1,,,t1因为P落在A、P两点之间，所以，即( ……………………403310分S=S S,,,SSS,四边形ABCD,PBP,,,PCPPDPPAP011223341121214,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,6tan(2tan)14(4tan2)(44tan)4 ,,,,,,22tan2 tan2tan,,,,,,,,,24,,,,,，5834tan ,,tan,,,12,,,,，3217t(……………………………………………………………………,,t,,……14分21212,,3217,，t?32217,，t,,t1由于，所以( =32451,,,tt3,,故S的最大值为( ……………………………………………………………16分 32451,19(,本小题满分16分,32fxxxgxax()()ln,,，,，已知函数，a?R(2x,1e，gxxax()(2)?,，，(1)若对任意，都有恒成立，求a的取值范围; ,, ,,fxx，，1，，,(2)设若P是曲线y=F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y=F(x)Fx,，，,gxx，?(1，，,,上总存在另一点Q，使得?POQ中的?POQ为钝角，且PQ的中点在轴上，求y a的取值范围(22gxxax()(2)?,，，解:(1)由，得( xxaxx,,ln2?，，x,1e，由于，，且等号不能同时取得，所以( ln1xx??lnln0xxxx,,,，,,2xx,2从而恒成立，a?xx,ln2,,xx,2( ………………………………………4分 a?,,xx,ln,,min2xxx,，,12ln，，，，xx,2设(求导，得(………………tx,,txx,,，，1e，，，，,,2xx,lnxx,ln，，6分x,1e，，， xxxx,，,,10ln12ln0?，?，,,tx,?0tx1e，从而，在上为增函数( ，，，，,,txt,,,11所以，所以，，，，min(…………………………………………………8分 a?,132,,，,xxx，，1yFx,PtFt，(2)设为曲线上的任意一点( Fx,，，，，，，，，,axxln1，?(,yFx,QtFt,,，假设曲线上存在一点，使?POQ为钝角，，，，，，，则(………………………………………………………………………OPOQ,,0…10分32232Pttt，-，,，,,,，tatttln()()Qtat,,，ln? 若t?-1，，，=( OPOQ,，，，，，，att1ln1,,,由于恒成立，( OPOQ,,0，，，，att1ln1,,,当t=,1时，恒成立( ，，，，11当t<,1时，恒成立(由于，所以a?0. ………a,,0(1)ln(),,tt(1)ln(),,tt 12分3232Pttt，-，Qttt,，，? 若，，，， ,,,11tt,0，，，，23232,，,，，,ttttt()()0则=， OPOQ,42对，恒成,,,11tt,0tt,，,10立( ……………………………………………14分? 当t?1时，同?可得a?0(综上所述，a的取值范围是,,，0( ………………………………………………16分，,20(,本小题满分16分,2已知α，β是方程x,x,1=0的两个根，且α,β(数列{a}，{b}满足a=1，a=β， nn12a=a+a，b=a,αa(n?N*). n+2n+1nnn+1n(1)求b,a的值; 22(2)证明:数列{b}是等比数列; n,n1 (3)设c=1，c=-1，c+c=c(n?N*)，证明:当n?3时，a=(-1)(αc+βc)( 12n+2n+1nnn-2n22解:因为α，β是方程x,x,1=0的两个根，所以α+β=1，α?β=-1，β=β+1.(1)由b= a,αa= a+a,αa=1+ a,αβ=2+ a，得b,232122222a=2. (4)分 2,+a,aαaaαabn+2n+1n+1nn+1n+1 (2)因为= = b a,αa a,αann+1nn+1n (1,α)a+a,αβaβa+aβan+1nn+1nn+1n= = = a,αa a,αaa,αan+1nn+1nn+1n=β，……………………………8分又b= a,αa=β,α?0，所以{b}是首项为β,α，公比为β的等比数列( ……121n10分,n1 (3)由(2)可知 a,αa=(β,α)β( ? n+1n同理， a,βa=α(a,βa)(又a,βa=0，于是a,βa=0( ? n+1nnn-121n+1n ,n由??，得 a=β n1.…………………………………………………………………13分,, n1n1下面我们只要证明:n?3时， (-1)(αc+βc)= β ( n-2nn(αc+βc),βc+βc,βc,c,βc(-1)αcccn-1n+1n-1nn-1n-1nn-2nn=,=, 因为=,n-1 αc+βc αc+βc αc+βc (-1)(αc+βc)n-2nn-2nn-2nn-2n 2c,(1+β)c,βcαβc,n-2nn-2n=,=,=β( αc+βc αc+βcn-2nn-2n22又c=1，c=-1，c=2，则当n=3时，(-1)(αc+βc)= (α+2β)=1+β=β，12313, n12所以{(-1) (αc+βc)}是以β为首项，β为公比的等比数列( n-2n , n1 (-1) (αc+βc)是它的第n,2项， n-2n,,, n12n3n1所以(-1) (αc+βc)= β?β=β= n-2na.…………………………………………16分 n数学?参考答案与评分建议21(【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分(请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤(A(选修4,1:几何证明选讲E (本小题满分10分)如图，?O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E B A ? P O 为?O 上一点，AE=AC，求证:?PDE=?POC( DC 证明:因AE=AC，AB为直径，(第21-A题)故?OAC=?OAE( …………………………………3分所以?POC=?OAC+?OCA=?OAC+?OAC=?EAC(又?EAC=?PDE，所以，?PDE=?POC(……………………………………………10分,2:矩阵与变换 B(选修4(本小题满分10分)121，，，，5M,,，βMβ已知，计算( ,,,,217，，，，解:矩阵M的特征多项式为,,,122f()23,,,,(………………………………3分 ,,,,,21,令，从而求得对应的一个特征向量分别为 f()031,,,,，解得，,,,1211，，，，αα,,，( …………………………………………………………………12,,,,11,，，，，……5分令所以求得βαα,，mn，m,4，12(………………………………………………7分 n,,3555555MM,,,,,(43)4()3()ααMαMα,,4()3(),,αα 1212112211975，，，，，，55,,,,,433(1)(………………………………………………………,,,,,,11969,，，，，，，…10分C(选修4,4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)π,,,,42cos()在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的x14xa,,，1cos,,,正半轴建立平面直角坐标系，圆C的参数方程(是参数)，若圆C 与,,21ya,,，1sin,,圆C相切，求实数的值( a222Cxy:(2)(2)8,，,,解:，圆心C(2,2)，半径， r,22111222Cxya:(1)(1)，，，,C(1,1),,，圆心，半径22ra,(………………………………………3分 2 圆心距，………………………………………………………………………………5分 CC,3212两圆外切时，; ………………………………………7分 CCrraa,，,，,,,22322，1212CC,,,,,,,rraa223252，两圆内切时，( 1212综上，a,,2,或(……………………………………………………………………10分 a,,52D(选修4,5:不等式选讲(本小题满分10分)yxz111已知x，y，z均为正数(求证:( ++++?yzzxxyxyzxyxy12证明:因为x，y，z都是为正数，所以(……………………………，,，()?yzzxzyxz 3分yzzx22 同理，可得，，?，?( zxxyxxyyzyxyz111将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得(………，，，，?yzzxxyxyz10分22(【必做题】本题满分10分(解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1?3?6(击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比( 1(1)若射击4次，每次击中目标的概率为且相互独立(设表示目标被击中的次数，,3求的分布列和数学期望; ,E(),A(2)若射击2次均击中目标，表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击A中2次”，求事件发生的概率(1,~()B4，解:(1)依题意知，的分布列 ,3ξ 0 1 2 3 416322481 P 81818181811632248144np,0+1+2+3+4=，，，，，数学期望=(或=)( E(),E(),381818181813………………………………………………………………………………………………5分(2)设表示事件“第一次击中目标时,击中第i部分” ，， i,1,2Ai表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”, ( i,1,2Bi依题意，知,, PAPB()()0.1,,PAPB()()0.3,,1122, ……………………………………………………AABABABAB,11111122……7分所求的概率为PAPABPABPABPAB()()()()(),，，，11111122= PAPBPAPBPAPBPAPB()()()()()()()()，，，11111122=( 0.10.9+0.90.1+0.10.1+0.30.3=0.28，，，，A答:事件的概率为0.28(……………………………………………………………10分D另解:记“第一部分至少击中一次”为事件，“第二部分被击中二次”为事件， C1PC()C0.10.9+0.10.1=0.19,，，则，2(…………………………7分 PD()=0.30.3=0.09，( PAPCPD()()()0.28,，,A答:事件发生的概率为0.28(………………………………………………………10分23(【必做题】本题满分10分(解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 2fxxxaxxa()(21)ln(21)(21)(0),，，,，,,已知函数((1)若函数在处取极值，求的值; fx()x,0a1xyx,,,,,(2)如图，设直线将坐标平面分成?、?、?、?四个区域(不含边界)，2若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的yfx,() 的取值范围; a23420113452012(3)比较与的大小，并说明理由( 3452012，，，,,,，2342011，，，,,,，2y解:fxxxaxxa()(21)ln(21)(21)(0),，，,，,,， ?x ? ? ,( fxxax()2ln(21)4(21) 1,，,，，?1,x?在处取极值，?( O fa(0)410,,，,fx()x,0,2? x 11? a,a,?(经检验符合题意)(……………3分 441(第23题) (,),，,(2)因为函数的定义域为， 2且当时，( x,0fa(0)0,,,yx,,又直线恰好通过原点，所以函数的图象应位于区域?内， yfx,()于是可得，即fxx(),,2(21)ln(21)(21)xxaxxx，，,，,,,(…………………………5分ln(21)x，ln(21)x，22ln(21),，x,a,hx(),?，?(令，?( hx(),210x，,221x，21x，(21)x，e1,,x,令，得( hx()0,211e1,,x,,x,,(,)?，?时，，单调递增， mx()0,mx()222e1,,x,，,(,)时，，单调递减( mx()0,mx()2e11,hxh()(),,?( max2e?的取值范围是a1a,( …………………………………………………………………7分 eln(21)e1x，,mxx()(,,,，,在)(3)法一:由(2)知，函数时单调递减， 212x，lnxpx(),函数在时单调递减( x,，,(e,)xln(1)lnxx，,？，,，,ln(1)(1)lnxxxx?( xx，1xx(1)，ln(1)lnxx，,?，即xx(1)，(1)xx，,(……………………………………………………9分344520112012?则, 43,54,,,,,,,,20122011令x,,,,3,4,,2011,2334又，所以3423，,，23420113452012(………………10分 34520122342011，，,,,，,，，,,,，2011rr,2011C2011,201120112011，2012(20111)r,0法二:， ,,201220122012201120112011rrrr20112011,CC,？,2011,20112011?， 201120112011rr,2011C2011,02011120102009212011，，，，，CCCC20112011201120111r,02011201120112011? ,2012201220112011111,，，，,1 201120112011344520112012?，同理可得，以下同一( 43,54,,20122011,南通市2012届高三第二次调研测试数学?讲评建议第1题考查集合的运算。

2016年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知全集U={1,2，3,4,5｝，A={1，2}，B=｛2，3,4}，那么A∪（∁U B）=．2．已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位:cm）,得到的数据为160，162，159，160，159,则该组数据的方差s2=．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为．5．若双曲线x2+my2=1过点(﹣,2)，则该双曲线的虚轴长为．6．函数f（x）=的定义域为．7．某算法流程图如图所示，该程序运行后,若输出的x=15,则实数a等于．8．若tanα=,tan（α﹣β)=﹣，则tan（β﹣2α）=．9．若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，则实数m的取值范围是．10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1,S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若=，则的值为．11．已知函数f（x）=x3+2x，若f（1）+f（log3）＞0(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是．12．设公差为d(d为奇数，且d＞1）的等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若S m=﹣9，S m=0，﹣1其中m＞3,且m∈N*，则a n=．13．已知函数f（x）=x｜x2﹣a｜,若存在x∈［1,2］，使得f（x）＜2，则实数a的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy中，设点A(1，0），B(0，1），C（a,b），D（c，d）,若不等式2≥(m﹣2）•+m(•）•（•）对任何实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中,角A，B,C的对边分别是a，b，c,已知向量=(cosB，cosC)，=(4a﹣b，c），且∥．（1）求cosC的值；（2）若c=，△ABC的面积S=，求a，b的值．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证:AP⊥平面A1CD．17．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x＞0)时，销售量q（x)（单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x）=；若x大于或等于180，则销售为零;当20≤x≤180时．q（x)=a﹣b（a，b为实常数）．（1)求函数q（x）的表达式;（2)当x为多少时,总利润（单位:元)取得最大值，并求出该最大值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0)的左，右焦点分别是F1,F2，右顶点、上顶点分别为A，B,原点O到直线AB的距离等于ab﹒（1）若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程;（2）若过点(0，1）的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限,直线PF2交y 轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由﹒19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3,且对任意的正整数n，都有S n+1=λS n+3n+1,其中常数λ＞0．设b n=(n∈N*）﹒（1)若λ=3,求数列｛b n}的通项公式；（2）若λ≠1且λ≠3，设c n=a n+（n∈N＊），证明数列｛c n｝是等比数列;(3)若对任意的正整数n,都有b n≤3,求实数λ的取值范围．20．已知函数f（x）=a•e x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数的底数）,其导函数为y=f′(x）．（1）设a=﹣1，若函数y=f（x)在R上是单调减函数，求b的取值范围；（2）设b=0，若函数y=f(x）在R上有且只有一个零点,求a的取值范围；（3）设b=2，且a≠0，点（m，n)（m，n∈R）是曲线y=f（x)上的一个定点,是否存在实数x0（x0≠m），使得f（x0)=f′（）(x0﹣m）+n成立?证明你的结论．【选做题】在A,B，C，D四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—1：几何证明选讲］21．已知△ABC内接于⊙O,BE是⊙O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA•AC=BE•AD．B．[选修4-2：矩阵与变换］22．已知变换T把平面上的点（3，﹣4），（5，0）分别变换成(2,﹣1），(﹣1，2），试求变换T对应的矩阵M．C．[选修4—4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中,直线l过点M（1,2），倾斜角为﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA•MB的值．D．［选修4—5：不等式选讲]24．设x为实数，求证：（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1)﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率;（2）记4次之内(含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．26．设实数a1,a2，…，a n满足a1+a2+…+a n=0，且|a1｜+|a2｜+…+|a n｜≤1（n∈N*且n≥2），令b n=(n∈N＊)．求证:｜b1+b2+…+b n|≤（n∈N*)．2016年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知全集U=｛1，2，3，4,5}，A=｛1，2｝，B={2，3，4}，那么A∪（∁U B）=｛1，2，5} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出B的补集，再求出其与A的并集，从而得到答案．【解答】解：∵U=｛1，2,3，4,5｝，又B={2，3，4｝，∴（C U B）=｛1，5｝，又A=｛1,2}，∴A∪（C U B）=｛1，2，5}．故答案为：｛1，2，5}．2．已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=﹣1．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．【解答】解:a2﹣2ai﹣1=a2﹣1﹣2ai=2i，a=﹣1故答案为:﹣13．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm）,得到的数据为160，162,159，160,159,则该组数据的方差s2=．【考点】极差、方差与标准差．【分析】求出数据的平均数，从而求出方差即可．【解答】解:数据160，162，159,160，159的平均数是:160，则该组数据的方差s2=（02+22+12+02+12）=,故答案为：．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由已知条件利用n次独立重复试验概率计算公式求解．【解答】解：∵同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，∴至少有两枚硬币正面向上的概率为:p==．故答案为:．5．若双曲线x2+my2=1过点(﹣,2），则该双曲线的虚轴长为4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出双曲线的标准方程即可得到结论．【解答】解：∵双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），∴2+4m=1，即4m=﹣1，m=﹣，则双曲线的标准范围为x2﹣=1，则b=2，即双曲线的虚轴长2b=4，故答案为：4．6．函数f（x)=的定义域为（0，1）∪（1,2）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不等于0联立不等式组求得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则,解得：0＜x＜2,且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为：(0，1）∪（1,2）．故答案为:（0，1）∪(1,2）．7．某算法流程图如图所示,该程序运行后，若输出的x=15，则实数a等于1．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况，即可解得a的值．【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，x=a满足条件n≤3，执行循环体,x=2a+1，n=2满足条件n≤3,执行循环体，x=2(2a+1）+1=4a+3，n=3满足条件n≤3,执行循环体，x=2(4a+3)+1=8a+7,n=4不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为15．所以：8a+7=15，解得：a=1．故答案为：18．若tanα=,tan（α﹣β）=﹣，则tan(β﹣2α）=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】根据题意,先有诱导公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan(2α﹣β)，进而结合正切的和角公式可得tan（β﹣2α)=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan［(α﹣β）+α]=﹣，代入数据计算可得答案．【解答】解:根据题意,tan(β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣=﹣=﹣；故答案为:﹣．9．若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点,则实数m的取值范围是［0，10] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心(﹣1，2）,半径r=1,求出圆心（﹣1，2)到直线3x+4y﹣m=0的距离d,由直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，得d≤r，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解:圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心（﹣1，2），半径r==1，圆心（﹣1，2）到直线3x+4y﹣m=0的距离d==,∵直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，∴，解得0≤m≤10，∴实数m的取值范围是［0,10］．故答案为：[0，10]．10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1,底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若=，则的值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据体积比得出a和r的关系,代入面积公式求出面积比即可．【解答】解:圆锥的母线l==r．V1=a3，S1=6a2，V2=，S2=πrl=πr2．∵==，∴a=r．∴==．故答案为：．11．已知函数f（x)=x3+2x，若f（1）+f（log3）＞0(a＞0且a≠1）,则实数a的取值范围是（0，1）∪（3,+∞)．【考点】函数的值．【分析】可判断函数f（x）=x3+2x是奇函数,且在R上是增函数，从而化简f（1）+f(log3）＞0为log3＞﹣1;从而解得．【解答】解：∵函数f（x）=x3+2x是奇函数,且在R上是增函数，∵f（1）+f(log3）＞0,∴f(log3)＞﹣f(1）=f(﹣1)，∴log3＞﹣1；∴＞1或3＜a;即a∈（0，1）∪（3，+∞)；故答案为：(0，1）∪（3，+∞）．=﹣9,S m=0，12．设公差为d（d为奇数，且d＞1）的等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若S m﹣1其中m＞3，且m∈N＊，则a n=3n﹣12．【考点】等差数列的前n项和．=﹣9，S m=0,其中m＞3，可得:（m﹣1）a1+d=﹣9，【分析】S m﹣1ma1+d=0,化为:d=．由于m＞3，且m∈N*，d为奇数,且d＞1，通过分类讨论验证即可得出．=﹣9，S m=0，其中m＞3,【解答】解:∵S m﹣1∴（m﹣1）a1+d=﹣9，ma1+d=0，可得：d=．∵m＞3,且m∈N*,d为奇数，且d＞1，∴d=3,m=7．∴a1=﹣9．∴a n=﹣9+3（n﹣1）=3n﹣12．故答案为：3n﹣12．13．已知函数f（x)=x|x2﹣a｜，若存在x∈［1，2]，使得f(x）＜2，则实数a的取值范围是（﹣1，5）．【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得f(x)＜2可得﹣2＜x3﹣ax＜2，即为﹣x2﹣＜﹣a＜﹣x2+，等价为（﹣x2﹣)min＜﹣a＜（﹣x2+）max,分别判断不等式左右两边函数的单调性，求得最值，解不等式即可得到a的范围．【解答】解:当x∈[1，2］时，f（x）=|x3﹣ax｜,由f(x)＜2可得﹣2＜x3﹣ax＜2，即为﹣x2﹣＜﹣a＜﹣x2+，设g（x)=﹣x2﹣,导数为g′(x)=﹣2x+,当x∈[1，2]时,g′（x）≤0，即g（x）递减，可得g（x）min=﹣4﹣1=﹣5，即有﹣a＞﹣5,即a＜5；设h（x)=﹣x2+，导数为g′（x)=﹣2x﹣，当x∈［1,2]时,h′（x）＜0，即h（x)递减,可得h（x）max=﹣1+2=1．即有﹣a＜1，即a＞﹣1．综上可得，a的范围是﹣1＜a＜5．故答案为:(﹣1，5）．14．在平面直角坐标系xOy中,设点A（1，0)，B（0，1）,C（a，b),D（c，d)，若不等式2≥（m﹣2)•+m（•）•(•）对任何实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件可以求出向量的坐标,从而进行向量数量积的坐标运算便可求出的值，这样将这些值代入并整理便可得出c2+a2+d2+b2≥m(ac+bd+bc)．【解答】解：根据条件，，，，代入并整理得:c2+a2+d2+b2≥m(ac+bd+bc)，即c2+a2+d2+b2﹣m（ac+bd+bc）≥0恒成立，配方得：（a﹣）2+（d﹣)2+(c2+b2﹣bc)≥0恒成立,有（a﹣)2≥0，（d﹣）2≥0满足，则要:（c2+b2﹣bc)≥0恒成立，则有：,解得﹣2≤m≤﹣1，所以m最大值为﹣1．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A,B，C的对边分别是a，b，c,已知向量=（cosB，cosC)，=（4a ﹣b，c），且∥．（1）求cosC的值；（2）若c=，△ABC的面积S=，求a，b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1)利用向量平行的坐标表示，正弦定理可得sinCcosB=(4sinA﹣sinB）cosC，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得sinA=4sinAcosC，结合sinA＞0，即可解得cosC的值．（2）由（1)结合同角三角函数基本关系式可求sinC的值,利用三角形面积公式可解得ab=2,结合余弦定理可求a2+b2=4，从而解得a，b的值．【解答】(本题满分为14分）解：（1）∵m∥n，∴ccosB=(4a﹣b）cosC，…由正弦定理，得sinCcosB=（4sinA﹣sinB）cosC，化简，得sin(B+C)=4sinAcosC﹒…∵A+B+C=π，∴sinA=sin(B+C）﹒又∵A∈(0,π），∵sinA＞0，∴．…（2）∵C∈(0，π),，∴．∵，∴ab=2﹒①…∵，由余弦定理得,∴a2+b2=4，②…由①②，得a4﹣4a2+4=0，从而a2=2，（舍负），∴，∴．…16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB,D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2)若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】(1）连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD,由O为AC1的中点，D是AB的中点，可得OD∥BC1，即可证明BC1∥平面A1CD．(2）由题意，取A1B1的中点O，连接OC1,OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y,z轴建立空间直角坐标系,设OA1=a，OC1=b,由题意可得各点坐标,可求=（b，﹣a,2）,=（0．﹣a,2），=(0，﹣2a，﹣)，由•=0，•=0，即可证明AP⊥平面A1CD．【解答】证明：（1）如图，连接AC1,设与CA1交于O点，连接OD，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O为AC1的中点，∵D是AB的中点，∴△ABC1中,OD∥BC1，又∵OD⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（2)由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1,OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a,OC1=b，则：由题意可得各点坐标为：A1(0，a，0），C（b，0，2a）,D（0，0，2），P(0，﹣a,），A(0,a,2），可得：=（b,﹣a，2）,=（0．﹣a,2），=(0,﹣2a，﹣）,所以:由•=0，可得：AP⊥A1C，由•=0，可得:AP⊥A1D,又：A1 C∩A1 D=A1,所以：AP⊥平面A1CD．17．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位:元,x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）=；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）=a﹣b（a，b为实常数）．（1）求函数q(x）的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义．【分析】（1）分段函数由题意知分界点处函数值相等得到a，b（2）总利润为每台的利润乘以销售量,分段函数每段求最大值,最后选择一个最大的为分段函数的最大值．【解答】解：（1）由x=20和x=180时可以解得a，b∴a=90,b=3∴q（x)=(2）设总利润为W（x）则W（x）=①当x∈（0，20］时，W(x）=1260﹣为单调递增，最大值为1200,此时x=20②当x∈［20,180］时，W（x）=90x﹣3x，（W（x））′=90﹣此时x∈[20，80］时，W（x）单调递增．x∈[80，180］时，W（x）单调递减∴在x=80时取得最大为240000综上所述:x=80时，总利润最大为240000元．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1,F2,右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒(1）若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程；（2)若过点（0，1）的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限,直线PF2交y 轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由﹒【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1)求得A，B的坐标，可得AB的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，解方程可得a,b，进而得到椭圆方程；（2）点F1在以PQ为直径的圆上﹒由题意可得直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l 的方程为:y=kx+1，代入椭圆方程，运用判别式为0，解得k的值，可得P(﹣a2,b2）,从而可得直线PF2的方程，求得Q的坐标，可得向量，的坐标，求出数量积为0，即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得点A（a,0)，B（0，b）,直线AB的方程为，即ax+by﹣ab=0﹒由题设，得,化简，得a2+b2=1﹒①,由，即为，即a2=3b2﹒②由①②，解得,可得椭圆C的方程为；（2)点F1在以PQ为直径的圆上﹒由题设，直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+1，由，得（b2+a2k2）x2+2ka2x+a2﹣a2b2=0,（＊）则△=（2ka2）2﹣4(b2+a2k2）(a2﹣a2b2）=0，化简,得1﹣b2﹣a2k2=0,所以，由点P在第二象限，可得k=1，把k=1代入方程（＊），得x2+2a2x+a4=0，解得x=﹣a2，从而y=b2,所以P（﹣a2，b2）﹒从而直线PF2的方程为：,令x=0，得，所以点﹒从而，，从而=,又a2+b2=1，a2=b2+c2,∴﹒所以点F1在以PQ为直径的圆上﹒19．已知数列{a n｝的前n项和为S n，a1=3，且对任意的正整数n，都有S n+1=λS n+3n+1，其中常数λ＞0．设b n=（n∈N＊）﹒（1）若λ=3，求数列{b n}的通项公式；（2）若λ≠1且λ≠3,设c n=a n+(n∈N＊）,证明数列{c n}是等比数列;（3）若对任意的正整数n，都有b n≤3，求实数λ的取值范围．【考点】数列递推式;等比关系的确定．【分析】（1)利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用递推关系、等比数列的定义及其通项公式即可得出；（3）通过对λ分类讨论,利用数列的通项公式及其不等式的性质即可得出．【解答】（1）解:∵，n∈N*，∴当n≥2时,，从而，n≥2，n∈N*﹒又在中，令n=1，可得,满足上式,∴，n∈N*﹒当λ=3时，，n∈N*，从而，即，又b1=1,所以数列{b n｝是首项为1,公差为的等差数列,∴．（2）证明：当λ＞0且λ≠3且λ≠1时，=，又，∴{c n｝是首项为,公比为λ的等比数列，﹒（3）解：在（2）中,若λ=1,则c n=0也适合,∴当λ≠3时，．从而由（1）和（2)可知：a n=．当λ=3时，，显然不满足条件,故λ≠3．当λ≠3时，．若λ＞3时，，b n＜b n+1，n∈N＊,b n∈[1，+∞），不符合，舍去．若0＜λ＜1时，，，b n＞b n+1，n∈N*，且b n＞0．∴只须即可，显然成立．故0＜λ＜1符合条件；若λ=1时,b n=1，满足条件．故λ=1符合条件；若1＜λ＜3时，，，从而b n＜b n+1,n∈N*，∵b1=1＞0．故，要使b n≤3成立,只须即可．于是．综上所述，所求实数λ的范围是．20．已知函数f（x）=a•e x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），其导函数为y=f′（x）．（1）设a=﹣1，若函数y=f（x）在R上是单调减函数,求b的取值范围；(2）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围;（3）设b=2,且a≠0，点(m,n）（m,n∈R)是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0(x0≠m），使得f(x0）=f′（）(x0﹣m）+n成立？证明你的结论．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】（1）求得f(x)的导数，由题意可得f′（x）≤0恒成立，即为﹣b≤e x﹣2x，令g（x)=e x ﹣2x,求得导数，单调区间，可得极小值,且为最小值，即可得到b的范围;（2)求得f（x）的解析式，令f（x）=0，可得﹣a=，设h（x）=,求得h（x）的导数和单调区间、极值，结合零点个数只有一个，即可得到a的范围；（3)假设存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m)+n成立．求得f（x）的导数，化简整理可得=e，考虑函数y=e x的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称，上式可转化为=，设t=＞1，上式即为lnt=，令m(t）=lnt﹣,t＞1，求出导数,判断单调性即可判断不存在．【解答】解：（1）函数f(x）=﹣e x+x2﹣bx的导数为f′（x)=﹣e x+2x﹣b，函数y=f（x）在R上是单调减函数，可得f′（x)≤0恒成立，即为﹣b≤e x﹣2x,令g(x）=e x﹣2x,g′（x）=e x﹣2，当x＞ln2时，g′（x）＞0，g（x)递增；当x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x)递减．则g（x）在x=ln2处取得极小值，且为最小值2﹣2ln2，即有﹣b≤2﹣2ln2，即b≥2ln2﹣2，则b的取值范围是[2ln2﹣2,+∞);（2）由b=0，可得f（x）=a•e x+x2，令f（x)=0，即有﹣a=，设h（x)=，h′（x）=，当0＜x＜2时，h′（x）＜0，h(x)在（0，2)递减；当x＞2或x＜0时，h′（x）＞0，h（x)在（﹣∞，0）,（2，+∞）递增．可得h（x）在x=2处取得极大值，且h(x）＞0，x→+∞，h（x)→0,由题意函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，则﹣a=0或﹣a＞，即为a=0或a＜﹣，即a的取值范围是{0}∪（﹣∞,﹣）;（3）假设存在实数x0（x0≠m），使得f(x0）=f′（)（x0﹣m）+n成立．函数f(x）=a•e x+x2﹣bx的导数为f′（x）=ae x+2x﹣b,可得a•e x0+x02﹣bx0=（ae+x0+m﹣b）(x0﹣m）+a•e m+m2﹣bm，化简可得(x0﹣m）（+x0+m﹣b）=(ae+x0+m﹣b）（x0﹣m）,由a≠0，x0≠m，可得=e，上式的几何意义为函数y=e x图象上两点的斜率等于中点处的切线的斜率，考虑函数y=e x的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称,上式可转化为=,设x0＞m＞0，即有lnx0﹣lnm=，即ln=，设t=＞1，上式即为lnt=，令m(t）=lnt﹣，t＞1，则m′(t）=﹣=＞0，则m（t）在（1，+∞）递增，即有m(t）＞m（1）=0,则方程lnt=无实数解．即有=不成立,则=e不成立．故不存在实数x0(x0≠m），使得f(x0）=f′（)(x0﹣m）+n成立．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—1：几何证明选讲]21．已知△ABC内接于⊙O，BE是⊙O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA•AC=BE•AD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结AE．证明△BEA∽△ACD，可得，即可证明BA•AC=BE•AD．【解答】证明：连结AE．∵BE是⊙O的直径,∴∠BAE=90°．…∴∠BAE=∠ADC．…又∵∠BEA=∠ACD，∴△BEA∽△ACD．…∴，∴BA•AC=BE•AD．…B．[选修4—2:矩阵与变换]22．已知变换T把平面上的点(3，﹣4）,（5，0)分别变换成（2，﹣1）,（﹣1，2），试求变换T对应的矩阵M．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】先设出所求矩阵,利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设，由题意，得，…∴…解得．…即．…C．［选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M（1，2）,倾斜角为﹒以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C:ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A,B两点，求MA•MB的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直线l的参数方程为为参数），圆C：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ,代入可得直角坐标方程﹒直线l的参数方程代入圆C的普通方程,利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．【解答】解：直线l的参数方程为为参数）,圆C：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ,把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程为:（x﹣3）2+y2=9﹒直线l的参数方程代入圆C的普通方程，得，设该方程两根为t1，t2,则t1•t2=﹣1﹒∴MA•MB=|t1•t2｜=1．D．［选修4-5：不等式选讲]24．设x为实数,求证：(x2+x+1)2≤3(x4+x2+1）﹒【考点】不等式的证明．【分析】利用作差法得出右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2，只需证明恒大于等于零即可．【解答】证明：右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2=2（x﹣1）(x3﹣1）=2（x﹣1)2（x2+x+1）=,所以（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分,共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率;(2）记4次之内(含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．【分析】(1）设事件“恰好摸4次停止"的概率为P，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好摸4次停止的概率．（2）由题意,得X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．【解答】解：（1)设事件“恰好摸4次停止"的概率为P，则．…（2）由题意，得X=0，1，2，3，,,，,…∴X的分布列为X 0 1 2 3P…26．设实数a1,a2,…，a n满足a1+a2+…+a n=0,且｜a1｜+｜a2｜+…+｜a n|≤1（n∈N*且n≥2），令b n=（n∈N*)．求证：｜b1+b2+…+b n|≤(n∈N＊）．【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=2时命题成立，再假设当n=k时结论成立，去证明当n=k+1时，结论也成立，从而得出命题对任意n≥2，n∈N*，等式都成立【解答】证明：(1）当n=2时，a1=﹣a2，∴2｜a1｜=｜a1|+|a2｜≤1,即，∴，即当n=2时，结论成立．(2）假设当n=k(k∈N＊且k≥2）时,结论成立,即当a1+a2+…+a k=0，且｜a1|+|a2｜+…+｜a k|≤1时,有．则当n=k +1时,由a 1+a 2+…+a k +a k+1=0，且｜a 1｜+|a 2|+…+|a k+1|≤1， ∵2｜a k+1｜=｜a 1+a 2+…+a k ｜+｜a k+1|≤a 1|+｜a 2|+…+｜a k+1|≤1， ∴，又∵a 1+a 2+…+a k ﹣1+（a k +a k+1）=0,且|a 1|+|a 2｜+…+|a k ﹣1｜+｜a k +a k+1|≤｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a k+1|≤1， 由假设可得， ∴， =， =， 即当n=k +1时，结论成立．综上,由（1）和（2）可知，结论成立．2016年8月27日。

2016届江苏省南通市、扬州市、泰州市高三第三次调研考试数学试题数学Ⅰ一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,0,1,2,1,1,2=-=-U A ，则U C A = .2.已知复数()22z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 .3.如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 .4.如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 .5.已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ，若它们的体积相等，则33:a b 的值为 .6.将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为,m n ，则点(),P m n 在直线12y x =下方的概率为 .7.函数()f x =的定义域为 . 8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y a-=与抛物线212y x =-有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 .9.已知两曲线)2,0(,sin 3)(,cos )(π∈==x x x g x x f 相交于点A.若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于B ，C 两点，则线段BC 的长为_____.10.如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==，则()()AP AQ AB AC +⋅-的值为.11.设数列{}n a 满足()()()111,111*+=-+=∈n n a a a n N，则()10011k k k a a +=∑的值为 .12.已知函数()()()()()2',0,,0f x x f x x ax a Rg x f x x ≥⎧⎪=+∈=⎨<⎪⎩（()'f x 为()f x 的导函数）.若方程()()0g f x =有四个不等的实根，则a 的取值范围是 .13.如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点,C D 在函数()10y x x x=+>的图像上.记,AB m BC n ==，则2mn 的最大值为.14.在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2221:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）已知ABC ∆是锐角三角形，向量()cos ,sin ,cos ,sin 33m A A n B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，且m n ⊥ .（1）求A B -的值； （2）若3cos ,85B AC ==，求BC 的长. 16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面PAD ，,22,,AB CD CD AB BC M N == 分别是棱,PA CD 的中点.（1）求证：PC 平面BMN ； （2）求证：平面BMN ⊥平面PAC.17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆222x y a +=于相异两点,P Q . （1）若直线l 的斜率为12，求AP AQ 的值；（2）若PQ AP λ=，求实数λ的取值范围.18.（本小题满分14分）某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口. （1）若窗口ABCD 为正方形，且面积大于214m （木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围； （2）若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值.19.（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()11*+=+∈n n n a b S n N .（1）若11,2n na b ==，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{}n b λ+为等比数列；（3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 20.（本小题满分16分）设函数()sin cos xf x xe a x x =-（a R ∈，其中e 是自然对数的底数）.（1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）若对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.南通市2016届高三第三次调研测试数学II （附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. A.【选修4-1】几何证明选讲（本小题满分10分）在ABC ∆中，2,A B C ∠=∠∠的平分线交AB 于点D ，A ∠的平分线交CD 于点E . 求证：AD BC BD AC ⋅=⋅.B.【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵112a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +的值.C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩α为参数）以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=.若直线l 与曲线C 交于,A B ，求线段AB 的长.D.【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知0,0,0x y z >>>，且1xyz =，求证：333x y z xy yz xz ++≥++.【必做题】第22,23题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>上一点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F . （1）求抛物线的方程；（2）若A 为抛物线上一点（异于原点O ），点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E .试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论. 23.（本小题满分10分）甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛()2*∈n n N 局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为()P n . （1）求()2P 与()3P 的值；（2）试比较()P n 与()1P n +的大小，并证明你的结论.南通市2016届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题1.{}02.34i +3. 24. 35.:π6.167.(8.y x =10. -16 11.100101 12.0a <或2a > 13.1414.1,3⎡+⎣ 二、解答题15.（1）因为m n ⊥ ，所以cos cos sin sin cos 0333m n A B A B A B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭431552=+⋅=由正弦定理，得sin 83sin ABC AC B=⋅==+.16.（1）设AC BN O ⋂=，连结,MO AN ，因为1,2AB CD AB CD =，N 为CD 的中点， 所以,AB CN AB CN = ，所以四边形ABCN 为平行四边形，所以O 为AC 的中点，所以MO PC . 又因为MO ⊂平面BMN ，PC ⊄平面BMN ，所以PC 平面BMN . （2）（方法一）因为PC ⊥平面PDA ，AD ⊂平面PDA .所以PC AD ⊥，由（1）同理可得，四边形ABND 为平行四边形，所以AD BN ，所以BN PC ⊥. 因为BC AB =，所以平行四边形ABCN 为菱形，所以BN AC ⊥，因为PC AC C ⋂=,AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BN ⊥平面PAC .因为BN ⊂平面BMN ，所以平面BMN ⊥平面PAC .（方法二）连结PN ，因为PC ⊥平面PDA ，PA ⊂平面PDA ，所以PC PA ⊥.因为PC MO ，所以PA MO ⊥，因为PC ⊥平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，所以PC PD ⊥. 因为N 为CD 的中点，所以12PN CD =，由（1）12AN BC CD ==，所以AN PN =. 又因为M 为PA 的中点，所以PA MN ⊥.因为MN MO M ⋂=，MN ⊂平面BMN ，MO ⊂平面BMN ,所以PA ⊥平面BMN ，因为PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面BMN.17.（1）由条件，22224a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的方程为22142x y +=，圆的方程为224x y +=.（方法一）直线l 的方程为()122y x =+，由()2212224y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得：23440x x +-=.解得22,3A p x x =-=，所以24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以AP ==O 到直线l的距离d =所以AQ ==56AP AQ ==. （方法二）由222224x y x y =-⎧⎨+=⎩得2340y y -=，所以85P y =. 所以455386AP AQ =⨯=; （2）（方法一）若PQ AP λ= ，则1AQAPλ=-. 设直线():2l y k x =+，由()22242x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得，()22221840k x k ++-=.即()()()22221420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以22242,21A P k x x k -=-=+，得222244,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 所以()22222222224416162212121k k k AP k k k ⎛⎫-+⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，即AP =，同理AQ =. 所以，由题意：02>k ，所以10<<λ.（方法二）由方法一知，，由题意：20k >，所以01λ<<.18.（1）设一根木条长为xcm，则正方形的边长为=.因为14ABCD S >四边形，所以2144x ->，即x <又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x >.所以x <<;（2）（方法一）设AB 所在木条长为am ，则BC 所在木条长为()3a m -. 因为()()0,2,30,2a a ∈-∈，所以()1,2a ∈.ABCDS ===矩形. 设()43262420f a a a a a =-++-，()()()()'3241822421234fa a a a a a a =-++=+--.令()'0fa =，得32a =，或1a =-（舍去），或4a =（舍去）. 列表如下：所以当32a =时，()max 349216f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即max 74S = （方法二）设AB 所在木条长为am ，CD 所在木条长为bm . 由条件，2+26a b =，即3a b +=.因为(),0,2a b ∈，所以()30,2b a =-∈，从而(),1,2a b ∈.由于AB BD ==，ABCD S ==矩形.()()2228872224a b a b +--+≤≤=，当且仅当()31,22a b ==∈时，74ABCD S =矩形. 答：窗口ABCD 面积的最大值为274m .19.（1）由11,2n na b ==，知2344,6,8a a a ===.（2）（方法一）因为11n n n a b S +=+，所以()11111n n n a q a q b q-=+-.所以11111n nn q q b q a q =+---，即1111111nn b q a q q⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 所以存在实数11q λ=-，使得11111nn b q a q λ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，又因为0n b λ+≠（否则{}n b 为常数数列与题意不符），所以当2n ≥，11n n b b qλλ-+=+，此时{}n b λ+为等比数列，所以存在实数11qλ=-，使{}n b λ+为等比数列. （方法二）因为11n n n a b S +=+①， 所以当2n ≥时，111n n n a b S --=+②，①-②得，当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=③，由③得，当2n ≥时，111111n n n n n n n a a b b b a a q q--++=+=+， 所以111111n n b b q q q -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，又因为101n b q +≠-（否则{}n b 为常数数列与题意不符）， 所以存在实数11q λ=-，使{}n b λ+为等比数列. （3）因为{}n b 为公差为d 的等差数列，所以由③得，当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--=, 即()()11n n n n a a b d a +-=-，因为{}n a ，{}n b 各项均不相等，所以10,10n n a a d +-≠-≠,所以当2n ≥时，11n n n nb a d a a +=--④, 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--⑤, 由④-⑤，得当3n ≥时111111n n n n n n n n a a b b d a a a a d d--+---==----⑥, 先证充分性：即由12d =证明23,,,,n a a a 成等差数列, 因为12d =，由⑥得1111n n n n n n a a a a a a -+--=--, 所以当3n ≥时，1111n n n n n n a a a a a a -+-+=--, 又0n a ≠，所以11n n n n a a a a +--=-即23,,,,n a a a 成等差数列.再证必要性：即由23,,,,n a a a 成等差数列证明12d =. 因为23,,,,n a a a 成等差数列，所以当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=-, 所以由⑥得，11111111n n n n n n n n n n n n a a a a d a a a a a a a a d--+----=-==----- 所以12d =，所以23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 20.（1）当0a =时，()()(),1'==+x x f x xe f x e x ,令()'0f x =，得1x =-.列表如下：)所以函数()f x 的极小值为()1f e-=-，无极大值. （2）①当0a ≤时，由于对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有sin cos 0x x ≥, 所以()0f x ≥恒成立，当0a ≤时，符合题意；②当01a <≤时，因为()()()'01cos 201cos 010x fx e x a x e a a ≥+-≥+-=-≥, 所以函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()00f x f ≥=，即当01a <≤，符合题意； ③当1a >时，()'010f a =-<，'41044f e πππ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以存在0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0f α=，且在()0,α内，()'0f x <, 所以()f x 在()0,α上为减函数，所以()()00f x f <=, 即当1a >时，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是(],1-∞.（3）不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个零点，由（2）知，当1a ≤时，()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，且()00f =，故函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点. 当1a >时，()()'1cos 2x f x e x a x ≥+-,令()()1cos 2x g x e x a x =+-，()()'22sin 2x g x e x a x =++, 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()'0g x >，所以()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数, 由()2010,1022g a g e a πππ⎛⎫⎛⎫=-<=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点0x ，即方程()'0fx =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一解0x , 且当()00,x x ∈时，()'0f x <，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x >, 即函数()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 当()00,x x ∈时，()()00f x f <=，即()f x 在()00,x 无零点； 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()200,022f x f f e πππ⎛⎫<=> ⎪⎝⎭, 所以()f x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点， 所以，当1a >时，()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点. 综上所述，不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个零点. 数学II （附加题）21.A.因为2,CAB B AE ∠=∠为CAB ∠的平分线，所以CAE B ∠=∠. 又因为CD 是C ∠的平分线，所以ECA DCB ∠=∠.所以ACD BCD ∆∆ ，所以AE AC BD BC=，即AE BC BD AC ⋅=⋅. 又因为,AED CAE ECA ADE B DCB ∠=∠+∠∠=∠+∠, 所以AED ADE ∠=∠，所以AD AE =.所以AD BC BD AC ⋅=⋅.B.设(),P x y 是直线20x +-=上一点，由1122a x x ay y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()20x ay x y b +++-=.即2022a b x y ++-=，由条件得，21,222a b +=-=-. 解得04a b =⎧⎨=⎩，所以4a b +=. C.曲线C的普通方程为(224x y +=，表示以)为圆心，2为半径的圆. 直线l的直角坐标方程为y x =. 所以线段AB的长为=. D.因为0,0,0x y z >>>,所以3333x y z xyz ++≥,3313x y xy ++≥，3313y z yz ++≥，3313x z xz ++≥, 将以上各式相加，得33333333333x y z xyz xy yz xz +++≥+++, 又因为1xyz =，从而333x y z xy yz xz ++≥++.22.（1）由题意点3,4P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到准线的距离为PO , 由抛物线的定义，点P 到准线的距离为PF ,所以PO PF =，即点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭在线段OF 的中垂线上， 所以3,344p p ==，所以抛物线的方程为26y x =. （2）由抛物线的对称性，设点2001,6A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在x 轴的上方，所以点A 处切线的斜率为03y ， 所以点A 处切线的方程为2000316y y x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 令上式中0y =，得2016x y =-， 所以点B 的坐标为201,06y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又033,,,022E y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2200001313,,,6262FA y y BE y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以FA BE = ，所以FA BE ，又AE FB ，故四边形AEBF 为平行四边形，再由抛物线的定义，得AF AE =，所以四边形AEBF 为菱形. 23.（1）若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，所以()44344411522216P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理()6664566661115322216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）在2n 局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为1n +局， 故()222122222111222n n n n n n n n n P n C C C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22122222222211112122222n n n n n n n n n n n n n n C C C C C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 所以()1222211122n n n C P n +++⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 又因为()()()()()()()()2222112222222!441214!!2122!22212121!1!n n n n n n n n n n n C n n C n n n C C n n n n n +++++++====>++++++， 所以122222222n n n n n n C C +++>，所以()()1P n P n <+.。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题,共60分)一、选择题：本题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

已知集合A={1，2，3｝,B={x｜x2〈9｝,则A∩B=（)A.｛—2，—1，0，1，2，3｝B。

{—2,—1,0，1,2} C.{1,2,3｝ D.｛1，2｝2。

设复数z满足z+i=3-i，则=( ）A.—1+2iB.1-2iC.3+2iD.3—2i3.函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（)A.y=2sinB.y=2sinC.y=2sin D。

y=2sin4。

体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.12πB。

π C.8π D.4π5.设F为抛物线C：y2=4x的焦点,曲线y=(k>0）与C交于点P,PF⊥x轴，则k=( ）A。

B。

1 C。

D.26.圆x2+y2—2x—8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=( ）A.-B。

— C. D.27.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为（）A。

20πB。

24π C.28π D.32π8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒。

若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ）A。

B. C. D.9。

中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图。

执行该程序框图，若输入的x=2，n=2,依次输入的a为2,2,5，则输出的s=（）A。

7 B.12 C.17 D.3410。

下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( )A。

y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=11.函数f（x)=cos 2x+6cos的最大值为（）A。

4 B。

5 C。

6 D。