-高考总复习一轮名师精讲课件第22讲平面向量的概念及运算

[示例2] (2011·山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标 系中两两不同的四点，若A→1A3＝λA→1A2(λ∈R)，A→1A4＝μA→1A2(μ
∈R)，且
1 λ
＋
1 μ
＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上
的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是( )
A．C可能是线段AB的中点
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(5)相等向量：长度□13 ______且方向□14 ______的向量． (6)相反向量：长度□15 ______且方向□16 ______的向量．
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2．向量的加法和减法 (1)加法： ①法则：服从三角形法则、平行四边形法则． ②运算性质：
a＋b＝□17 __________(交换律)；
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审题：关键条件：a⊙b＝mq－np，选的是错误的． 方法：逐一验算
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求解：a⊙b＝mq－np，b⊙a＝np－qm，只有当mq－np ＝0时，a⊙b＝b⊙a，故B错误．
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反思：本题中的定义运算较易理解，但运算量较大，注 意细心认真．
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解析：①②正确，③④错误． 答案：①②
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考点二 平面向量的线性运算 [例2] 如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的
中点，则( )
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A.A→D＋B→E＋C→F＝0 B.B→D－C→F＋D→F＝0 C.A→D＋C→E－C→F＝0 D.B→D－B→E－F→C＝0
1 λ
＋
1 μ
＞2，不成
立，若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，

[解] (1)3a＋b－2c＝3×(3,2)＋(－1,2)－2×(4,1)＝(9,6) ＋(－1，2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc， ∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)，
∴－ 2mm＋＋n4＝n2＝3 ，解得nm＝＝8995
点，直线 AB 上有一点 C，满足 2A→C＋C→B＝0，则O→C等于
A．2O→A－O→B
B．－O→A＋2O→B
()
C.32O→A－31O→B
D．－13O→A＋23O→B
解析：解法一：如图： ∵2A→C＋C→B＝0， ∴A→C＝－A→B， ∴O→C＝O→A＋A→C＝O→A－A→B ＝O→A－(O→B－O→A) ＝2O→A－O→B.
(1)求3a＋b－2c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (4)若d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d.
[分析] (1)直接用向量加减法的坐标运算公式． (2)借助于向量相等的条件，建立关于m，n的方程组． (3)利用向量共线的充要条件，建立关于实数k的充要条 件． (4)利用(d－c)∥(a＋b)及|d－c|＝1建立关于x，y的方程 组．
解得x＝4＋
5 5
或x＝4－
5 5
.
y＝1＋2 5 5
y＝1－2 5 5
∴d＝(20＋5 5，5＋52 5)或 d＝(20－5 5，5－52 5)．
[规律总结] 向量的坐标表示实际上就是向量的代数表 示．在引入向量的坐标表示后，可以使向量的运算完全化为 代数运算．这样就可以将“形”和“数”紧密结合在一起．因此， 很多几何问题，特别是像共线、共点等较难问题的证明，通 过建立坐标系，设出点的坐标就可转化为坐标运算来解 决．如：要证平行，只需相关向量共线；要证垂直，只需相 关向量数量积等于0.

当λ<0时，λa的方向与a的方向 相反 ； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_

其大小和方向，是可以任意移动的，即我们研 究的是自由向量.
方法规律· 归纳
题型一
平面向量的有关概念
向量的定义、向量的模、零向 量、单位向量、平行向量、相 等向量
思维提示
例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝±b；
②若|a|＜|b|，则a＜b；
③若a＝b，则a∥b； ④若a∥b，则a＝b； ⑤若|a|＝0，则a＝0； ⑥若a≠b，则a与b一定不共线．
答案：D
题型二 思维提示
平面向量的线性运算 向量的加法、减法运算法则以及 几何意义
例 2
如图所示，若四边形 ABCD 是一个等腰梯形，
→ ＝a，AD →＝ AB∥CD，M、N 分别是 DC、AB 的中点，已知AB → ＝c，试用 a、b、c 表示BC → ，MN → ，DN → ＋CN →. b，DC
答案：A
题型三
共线向量定理、平面向量基本定 理及应用
证明三点共线问题，可用向量共 线来解决．平面内任意三个不共 思维提示 线的向量中的任何一个向量都可 以表示为其余两个向量的线性组 合，且形式唯一
例3
1→ → 1→ → 如图所示，在△ABO 中，OC＝ OA，OD＝ OB， 4 2
→ ＝a，OB → ＝b . AD 与 BC 相交于点 M 设OA
(4)零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数 字0，故⑤不正确．
(5) 因为向量不相等，可能仅由于模不相等，方向仍可
能是相同的，所以a与b有共线的可能，故⑥不正确 [答案] ③
备选例题 1 的充要条件是
(2008·海南 · 宁夏高考 ) 平面向量 a， b共线
(
A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个为零向量 C．存在λ∈R，b＝λa D．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0