当前位置：文档之家 › 清华大学数值分析A第二次作业

清华大学数值分析A第二次作业

  • 格式：docx
  • 大小：40.82 KB
  • 文档页数：3

1、1）证明：
2、1）证明：
2、2）证明：
3、证明：
11111111||x ||||max |x |||max |x |||x ||||x ||||...||max |x |||x ||||x ||||x ||||x ||n
i i i i i n i n i other n i i n
x x x x n n n ∞
≤≤≤≤=∞≤≤∞∞
==+≥==++≤=≤≤∑∑又 所以，
21/221/2211
21/221/221122222||||1||||1||||1||x ||(||)((max |x |))||x ||||x ||(||)(max |x |))||||||x ||||x ||||A||=max ||||max ||||max||A||||x||max n
i i i n
i n i i i n
i x x x x x n Ax Ax ∞∞∞∞∞
≤≤=∞
≤≤=∞∞====≥==≤=≤≤≤≤≤∑∑则
又由于
222222||||1222||||1||||1||||1||||1
22||x||)||A||=max ||||max ||||max||A||||x||||x||)||||A ||||A ||x x x x x Ax Ax ∞∞∞=∞∞∞∞∞=====≤≤≤=≤≤同理可证
则i i 1/21/21/21/212211/21/21/2122122
,1,2,...0|A ||[()][...]max ||[()]|||||A ||[()][...]n max ||||||||||A |||||T T T F n i i n
T F n i i n
F i n A A tr A A A A A tr A A A A A λλλλλλρλλλλ≤≤≤≤=≥==+++≥====+++≤=≤≤设，由于为半正定矩阵，则，
（）同时
（）综上可得
又由于
2222
2||Ax||||||||||||A ||||||||A ||||||F F A x x x ≤≤满足相容性条件，则与相容
4、
7、
1/21/21/2A Ax, x 0Ax, x =||x||0,,||||00
(2)||x||=(Ax, x)||(Ax, x)||||x||(3)||x+y||=(A(x+y), (x+y))[(Ax,x)+(Ax,y)+(Ay,x)+(n A A A A
A x x x ααααα∀≠=≥∀∈=⇔====根据向量范数的定义依次证明如下：
（1）正定性
由于对称正定，则（）>0, x 0
当时，（）0,则
x R 且齐次性
三角不等式
1/2T T 1/21/2T 1/2T 1/21/21/2T 1/21/21/2Ay,y)]A B A=B ,(Ax,y)=B ,B B ((Ay,x)=B ,(||x+y||=(A(x+y), (x+y))[(Ax,A B Bx y A By x A ≤==≤≤由于对称正定，则一定存在非奇异矩阵，使得则
（）=(Bx,By)(Bx,Bx)(By,By)
(Bx,x)(By,y)x,x)(Ay,y)
（）=(By,Bx)x,x)(Ay,y)
则
1/21/21/2
1/21/2x)+2(+(Ay,y)]=(Ax,x)(Ay,y)||x||+||y||||||R A ||||R A=R ||x||0,A A
n A n n A A A +=••∀∈=x,x)(Ay,y)综上，为上一种范数
若非正定，则不一定为上一种范数，例如0时，x ，明显不满足正定性
111111
||I||1||A ||||A||||||||||||||||||1||||0
I ||I||1
1||||||A ||||||||A ||
||||0,||A ||||A||I I I I I I I A A A ------≥≥≤⇒≥≤≠≥≤=≤〉≥不等式和一定成立，证明如下：根据矩阵范数的性质得
或由于0,则同理
又则
21/201(1)1/2
1/21/21241
11()4||x||()(44...4)[])114
n n n n i i x ---=-==+++==--
∑12(1)(1)(1)11112122222202
2,1a 222...2,1,2,3,...,2111,, (222)
||||2
(1,0,0...,0),||y||1,||||||||1
||||||||||A||max ||||||||T n i i i n i n T n n n n T x Ax i n Ax Ax Ay y Ax Ay x y ----+-------≠==----=========≥=令（a ,a ,...,a ）则则（）令y 则则1。

合集下载

数值分析第二次作业及答案

数值分析第二次作业及答案

数值分析第二次作业及答案1. 用矩阵的直接三角分解法（LU 分解）解方程组1234102050101312431701037x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

212223243132333441424344212223243132333441424344110201020101011124310103110201101,112110101l uu u l l u u l l l u luu u l l u u l l l u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦解：设111122223333444410201012125115102053101310136212117216420101724y y x x y y x x y y x x y y x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎥⎣⎦==⎡⎤⎧⎡⎤⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇒=⇒⎨⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎣⎦⎩由2.矩阵第一行乘以一数，成为211A λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,证明当23λ=±时，()cond A ∞有最小值。

112131213 21121223A AA A λλλλλλλλ--∞∞⎧⎛⎫≥- ⎪⎪⎛⎫⎪=⇒==⇒=+ ⎪⎨⎪ ⎪⎝⎭⎪<- ⎪⎪⎩⎝⎭解：123632() min ()7.22343cond A AA cond A λλλλλ-∞∞∞∞⎧+≥⎪⎪∴====⎨⎪+<⎪⎩故当时， 3. 设有方程组AX b =，其中121011221,,302223A b ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦已知它有解12130X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

清华大学贾仲孝老师高等数值分析报告第二次实验

清华大学贾仲孝老师高等数值分析报告第二次实验

高等数值分析第二次实验作业T1.构造例子特征值全部在右半平面时, 观察基本的Arnoldi 方法和GMRES 方法的数值性态, 和相应重新启动算法的收敛性. Answer:（1） 构造特征值均在右半平面的矩阵A ：根据实Schur 分解，构造对角矩阵D 由n 个块形成，每个对角块具有如下形式，对应一对特征值i i i αβ±ii i i i S αββα-⎛⎫= ⎪⎝⎭这样D=diag(S 1,S 2,S 3……S n )矩阵的特征值均分布在右半平面。

生成矩阵A=U TAU ，其中U 为正交阵，则A 矩阵的特征值也均在右半平面。

不妨构造A 如下所示：2211112222/2/2/2/2N NA n n n n ⨯-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 由于选择初值与右端项：x0=zeros(2*N,1);b=ones(2*N,1);则生成矩阵A 的过程代码如下所示：N=500 %生成A 为2N 阶 A=zeros(2*N); for a=1:NA(2*a-1,2*a-1)=a; A(2*a-1,2*a)=-a; A(2*a,2*a-1)=a; A(2*a,2*a)=a; endU = orth(rand(2*N,2*N)); A1 = U'*A*U;（2） 观察基本的Arnoldi 和GMRES 方法编写基本的Arnoldi 函数与基本GMRES 函数，具体代码见附录。

function [x,rm,flag]=Arnoldi(A,b,x0,tol,m) function [x,rm,flag]=GMRES(A,b,x0,tol,m)输入:A 为方程组系数矩阵，b 为右端项，x0为初值，tol 为停机准则，m 为人为限制的最大步数。

输出:x 为方程的解，rm 为残差向量，flag 为解是否收敛的标志。

外程序如下所示： e=1e-6; m=700;tic[xA,rmA,flagA]=Arnoldi(A1,b,x0,e,m);toctic[xG,rmG,flagG]=GMRES(A1,b,x0,e,m);tocsubplot(1,2,1);semilogy(rmA)title('ArnoldiÊÕÁ²ÇúÏß')xlabel('µü´ú²½Êýk')ylabel('log(||rk||)')subplot(1,2,2);semilogy(rmG)title('GMRESÊÕÁ²ÇúÏß')xlabel('µü´ú²½Êýk')ylabel('log(||rk||)')得到：得到两种方法的收敛曲线如上所示，将计算结果整理在下表中：结果讨论：1.从图中可以看出，基本的Arnoldi方法经过546步收敛，基本的GMRES方法经过526步收敛，基本的GMRES收敛速度会略快于基本的Arnoldi方法。

数值分析第二次大作业

数值分析第二次大作业

《数值分析》计算实习报告第二题院系：机械工程及自动化学院学号：姓名：2017年11月一、题目要求试求矩阵A =[a ij ]10×10的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量，已知a ij ={sin (0.5i +0.2j ) i ≠j1.52cos (i +1.2j ) i =j(i,j =1,2, (10)说明：1.用带双步位移的QR 方法求矩阵特征值，要求迭代的精度水平为ε=10−12。

2.打印以下内容： （1）全部源程序；（2）矩阵A 经过拟上三角化后所得的矩阵A (n−1)； （3）对矩阵A (n−1)实行QR 方法迭代结束后所得的矩阵；（4）矩阵A 的全部特征值λi =(R i ,I i ) (i =1,2,⋯,10)，其中R i =Re(λi )，I i = Im(λi ) 。

若λi 是实数，则令I i =0； （5）A 的相应于实特征值的特征向量。

3.采用e 型数输出实型数，并且至少显示12位有效数字。

二、算法设计思路和方案1. 将矩阵A 拟上三角化得到矩阵A (n−1)为了减少计算量，一般先利用Householder 矩阵对矩阵A 作相似变换，把A 化为拟上三角矩阵A (n−1)，然后用QR 方法计算A (n−1)的全部特征值，而A (n−1)的特征值就是A 的特征值。

具体算法如下：记(1)A A =，()r A 的第r 列至第n 列的元素为(r)(1,2,,;,1,,)ij a i n j r r n ==+。

对于1,2,,2r n =-执行（1）若()(2,3,,)r ira i r r n =++全为零，则令(1)()r r A A +=，转(5)；否则转（2）。

（2）计算r d =()()1,sgn r r r r r c a d +=- (若()1,0r r r a +=，则取r r c d =)2()1,r r r r r r h c c a +=-（3）令()()()()1,2,0,,0,,,,T r r r n r r rr r rnru ac aaR ++=-∈。

数值分析(清华大学出版社)第二章课后答案

数值分析(清华大学出版社)第二章课后答案

1.用Gauss 消去法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤---⎢⎢⎢⎢⎣⎡-551631011411014211264321x x x x 解：第一步：交换第三行和第一行，得到如下矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤----⎢⎢⎢⎢⎣⎡-56153101111402411621做运算()22121E E E →⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，()33161E E E →⎪⎭⎫⎝⎛+-，()()441E E E →+，得到增广矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤------⎢⎢⎢⎢⎣⎡0249525213237414210001 第二步：再做运算()3322E E E →+，()44221E E E →⎪⎭⎫⎝⎛+-，得到如下矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤-----⎢⎢⎢⎢⎣⎡94295292113377400210001第三步：做运算()4433713E E E →⎪⎭⎫⎝⎛+，得到 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤------⎢⎢⎢⎢⎣⎡21342951919210377400210001利用回代公式求得.790576.0,361257.0,863874.0,115183.11234=-==-=x x x x2、解 2.51 1.48 4.531.480.93 1.302.68 3.041.48⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.051.030.53⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 做两次换行()()()()↔↔3132;E E E E 得2.683.04 1.42.511.48 4.531.480.931.30⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.530.051.03⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 计算()()()()-+→-+→1221330.93657;0.55224;E E E E E E2.683.04 1.481.3672 5.916100.748810.48269⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.530.546381.3227⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算()()-+→2330.54770;E E E2.683.04 1.4801.36725.9161003.7229⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.530.546381.0235⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 换行和消去到此结束，经回代计算得到x =()1.440360, 1.577963,0.27494T--3.用Doolittle 三角分解方法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----551631011411014211264321x x x x解：首先对系数矩阵A 做分解LUA =解出：解b y L=，计算出Ty ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=74213,521,1,6解y x U=，计算出()T x 115183.1,863874.0,361257.0,790576.0--=4.设][,ij n n a A R A =∈⨯,011≠a ，b Ax =经过高斯消去法一步后变为)2()2(b x A =，其中=)2(A⎥⎦⎤⎢⎣⎡21110A a a T ，(2)A =()(2),2n ij i j a =为(n-1)⨯(n-1)矩阵.其元素为(2)ija =(1)ij a -(1)(1)11i j a a /(1)11a , ,i j =2,3, n. 证明：（1）若A 对称正定，则2A 是对称矩阵。