北京市朝阳区2018~2019学年度第一学期高三年级期中统一检测 数学试卷 （理工类） 2018．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|(2)0}A x x x =-≤，{|01}B x x =<≤，则A B =IA.{|01}x x ≤≤B.{|01}x x <≤C.{|02}x x <≤D.2.执行如图所示的程序框图，输出s 的值为A.10-B.2-C.2D.10（第2题图）3.设平面向量(1,1)=a ，(1,2)=b ，k =+c a b .若⊥a c ，则实数k 的值等于A.23-B.32-C.0D.324.已知0x y >>，则下列不等关系中正确的是A.cos cos x y >B.33log log x y <C.1122x y < D.11()()33x y<5. =6απ“”是1sin =2α“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数()22x f x =-.若()()f a f b = (a b ≠)，则a b +的取值范围是A.(,1)-∞B.(,2)-∞C.(1,)+∞D.(2,)+∞7.已知函数2,0,()(2),0.x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩当1324m ≤<时，方程1()8f x x m =-+的根的个数为A. 1B. 2C. 3D. 48.将正奇数数列1,3,5,7,9,L 依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3),(5,7,9),(11,13),(15,17,19),L ,称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中A.第404组B.第405组C.第808组D.第809组第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.已知π(,0)2α∈-，3sin 5α=-，则cos α= ；tan(+)απ= . 10.已知,x y 满足0,20,20,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最大值为 .11.已知函数()y f x =满足下列条件： ①定义域为R ；②函数()y f x =在(0,1)上单调递增；③函数()y f x =的导函数()y f x '=有且只有一个零点， 写出函数()f x 的一个表达式 .12.如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为边,AB BC 的中点，连接,CE DF ，交于点G .若CG CD CB λμ=+u u u r u u u r u u u r （,λμ∈R ），则λμ= .（第12题图）GDCBAFE13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度y (单位：米)是时刻t (024t ≤≤，单位：小时)的函数，记作()y f t =. 下面是该港口某日水深的数据：经长期观察，曲线()y f t =可以近似地看成函数sin y A t b ω=+ (0,0A ω>>)的图象.根据以上数据，函数()y f t =的近似表达式为 .14.从标有数字,,,a b c d (a b c d ≤≤≤，且,,,{1,2,3,,9}a b c d ∈L )的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果.那么这4个小球上的不同的数字恰好有 个；试写出满足条件的所有组,,,a b c d .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.(本小题满分13分)数列{}n a （*n ∈N ）是各项均为正数的等比数列，且23a =，4318a a -=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n n b a a =+，求12n b b b ++⋅⋅⋅+.16.(本小题满分13分)已知函数22()cos sin cos f x x x x x =+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若对任意[0,]2x π∈，()f x m ≤（m 为实数）恒成立，求m 的最小值.17.(本小题满分13分)在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，tan B =-，8b =. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求ABC △的面积.18.(本小题满分13分)已知函数32()231f x mx x =-+ (m ∈R ).（Ⅰ）当 1m =时，求()f x 在区间[1,2]-上的最大值和最小值； （Ⅱ）求证：“1m >”是 “函数()f x 有唯一零点”的充分而不必要条件.19.（本小题满分14分）已知函数221()()ln (0)2f x x ax x x ax a =--+>. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）试判断函数()f x 的单调性并证明；（Ⅲ）若函数()f x 在1x =处取得极大值，记函数()f x 的极小值为()g a ，试求()g a 的最大值.20.（本小题满分14分）设,m n 为正整数，一个正整数数列12,,,n a a a L 满足121n m a a a =≥≥⋅⋅⋅≥≥. 对1,2,,i m =L ，定义集合{{1,2,,}|}i j B j n a i =∈≥L .数列12,,,m b b b L 中的b i（1,2,,i m =⋅⋅⋅）是集合B i 中元素的个数.(Ⅰ) 若数列12,,,n a a a L 为5,3,3,2,1,1，写出数列12,,,m b b b L ； (Ⅱ) 若 n =2m ，3m ≥，12,,,m b b b L 为公比为12的等比数列, 求12n a a a +++L ； (Ⅲ) 对1,2,,j n =L ，定义集合{{1,2,,}|}j i C i m b j =∈≥L ，令 c j 是集合C j 中元素的个数. 求证：对1,2,,j n =L , 均有a j =c j .北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期高三年级期中统一检测数学试卷（理工类）答案 2018.11一、选择题：三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为(0)q q >，则依题意13211318a q a q a q =⎧⎨-=⎩，，解得11,3a q ==. 所以{}n a 的通项公式为13n n a -=，*n ∈N .……………………. 7分 （Ⅱ）因为13log 3(1)n n n n b a a n -=+=+-，所以123n b b b b ++++L 21(1333)[012(1)]n n -=+++++++++-L L13(1)132n n n --=+- 31(1).22n n n --=+ ……………….13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知可得()2cos 2f x x x =-12cos 2)2x x =- 2sin(2)6x π=-.所以最小正周期为22T π==π. 令222262k x k πππ-+π≤-≤+π，k ∈Z .所以222233k x k π-+π≤≤π+π，所以63k x k ππ-+π≤≤+π，即单调递增区间为[,],63k k k ππ-+π+π∈Z .…………………….8分 （Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以52[,]666x πππ-∈-， 则1sin(2)[,1]62x π-∈-，所以()[1,2]f x ∈-， 当262x ππ-=，即3x π=时，max ()2f x =. 因为()f x m ≤恒成立，所以2m ≥，所以m 的最小值为2. …………….13分 （17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为tan B =-sin cos BB=- 又22sin cos 1B B +=，B为钝角，所以sin B =. 由sin sin a bA B ==，解得7a =. ……………….7分 （Ⅱ）在△ABC 中，由tan 0B <知B 为钝角，所以1cos 7B =-. 又因为sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以11sin 272714C =-+⨯=.所以11sin 782214ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯= …………………….13分 （18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()666(1)f x mx x x mx '=-=-，当1m =时，()6(1)f x x x '=-,当x 在[1,2]-内变化时，(),()f x f x '的变化如下表：当[1,2]x ∈-时，max ()5f x =；min ()4f x =-. …………………….5分 （Ⅱ）若1m >，1()6()f x mx x m'=-. 当x 变化时，(),()f x f x '的变化如下表：3221()2311f m m m m m =⋅-⋅+=-+，因为1,m >所以201m <<.即1()0f m>. 且22()(23)10f m m m -=--+<，所以()f x 有唯一零点. 所以“1m >”是“()f x 有唯一零点”的充分条件.又2m =-时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化如下表：又113()10224f -=-+>，(0)0f >，(3)0f <. 所以此时()f x 也有唯一零点.从而“1m >”是“()f x 有唯一零点”的充分不必要条件. …………………….13分（19）（本小题满分14分）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且21()(2)ln ()f x x a x x ax x a x'=-+--+(2)ln x a x =-. （Ⅰ）易知1(1)2f a =-，(1)0f '=， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1()0(1)2y a x --=-.即12y a =-. ……………….3分 （Ⅱ）令()(2)ln 0f x x a x '=-=得1,2a x x ==①当02a <<时，12a<. 当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表：所以函数()f x 在(0,)2a 和(1,)+∞上单调递增，在(,1)2a 上单调递减. ②当2a =时，()2(1)ln 0f x x x '=-≥恒成立. 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.③当2a >时，12a>. 当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表：所以函数()f x 在(0,1)和(,)2a +∞上单调递增，在(1,)2a 上单调递减.…….9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，要使1x =是函数()f x 的极大值点，需满足2a >.此时，函数()f x 的极小值为()g a =223()ln 2428a a a f a =-+. 所以1()(ln 1)22ag a a '=--. 令1()(ln 1)022ag a a '=--=得2e a =.当a 变化时，g (),()a g a '变化情况如下表：所以函数()g a 的最大值为2e (2e)2g =. ……………….14分（20）（本小题满分14分）(Ⅰ)解：数列12,,,m b b b L 是6,4,3,1,1. ……………….3分(Ⅱ) 由题知b 1=n =2m, 由于数列12,,,m b b b L 是一共 m 项的等比数列,因此数列12,,,m b b b L 为12,2,,2.m m -L下面证明1212n m a a a b b b ++=++L L .假设数列 {a n }中有d m 个 m ,d m -1个 m -1, ,d 2个 2, d 1个 1, 显然d i ³0. 所以由题意可得1321232,,m m b d d d d b d d d =++++=+++L L33,,m b d d =++L L ,,.k m k m m b d d b d =++=L L所以1211(12.)mjm m j bmd m d d d -==+-+++∑L故a ii =1nå=b jj =1må.即111212(1)22222 2.112m mm m m n a a a -+-+++=+++==--L L （） …………….8分(Ⅲ)对1,2,...,,i m =i b 表示数列12,,,n a a a L 中大于等于i 的个数.由已知得12,,,n a a a L 一共有 n 项, 每一项都大于等于 1, 故 b 1=n ; 由于a 1=m ³m ,故 b m³1. 由于，故当1,2,,1i m =-L 时，1i i b b +≥.即接下来证明对1,2,,j n =L ,a j =c j .设a j =i , 则12,j a a a i ≥≥≥≥L 即, 从而 b i³j. 故从而 , 故 c j ³i , 而 i =a j , 故有c j ³a j .设 c j =k , 即{1,2,,}j C k =L , 根据集合C j 的定义, 有由 b k³j知，, 由B k 的定义可得而由 k =c j , 故a j ³c j .因此，对1,2,,j n =L ,a j =c j . ……………….14分。
