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判别式和韦达定理的运用例析 (Word版.无答案)

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九数上期导学资料一：判别式和韦达定理运用举例 第 1页（共 4页） 第 2页 （共 4页）

九年级数学上期导学资料 一

根的判别式以及韦达定理的运用例析

编写 赵化中学 郑宗平

知识点：

一.根的判别式△2b4ac（）

1.判别式与抛物线2yaxbxca0 和一元二次方程2axbxca0之间的关系：

⑴.△2b4ac0（）  抛物线与x轴有两个不同的交点、，一元二次方程方程有两个不相等的实数根； 交点的横坐标就是方程的两根.

⑵.△2b4ac0（）  抛物线与x轴只有一个交点，一元二次方程方程有两个相等的实数根；

交点就是抛物线的顶点，其横坐标就是方程的两等根.

⑶.△2b4ac0（）  抛物线与x轴没有交点、，一元二次方程方程无实数根.

⑷.△2b4ac0（）  抛物线与x轴有交点（两个或者一个），一元二次方程方程有实数根；

交点的横坐标就是方程的两根.

2.判别式的应用常见的：

①.判定根的情况；②.判别抛物线与x轴交点的情况；③.进行相关的证明；④.根据根或者交点的情况来确定字母的取值范围；⑤.判别式与几何知识结合；⑥.配方等等.

二.韦达定理：

1.当一元二次方程2axbxc0a0根为12xx、，则：,1212bcxxxxaa.

2.了解．．方程2axbxc0a0的根与系数关系定理（韦达定理）的应用常见的类型：

①.判定根的情况（注意含字母系数的一元二次方程）；

②.已知一根，求另一根和待定字母的值；

③.已知两根写出方程设两根为12xx、，则21212xxxxxx0；

④.求两根之和与积为结构的代数式的值〔注意各种变形，如：222121212xxxx2xx，22121212xxxx4xx2212121212xxxxxx4xx等〕；

⑤.进行相关的证明；

⑥.根据两根的某种特殊关系求待定字母的值〔在一元二次方程2axbxc0a0〕有根的情况下，若两根互为相反数，则b0;两根互为倒数，则ac〕；

⑦.韦达定理与二次函数与几何知识的串联.

三.判别式与韦达定理的联姻

1. 当△2b4ac0（） 可知一元二次方程的两根为12x,x，抛物线与x轴有两个不同的交点就为12Ax,0Bx,0、 ，结合韦达定理可以推出抛物线的对称轴为直线12xxbx2a2 ，两交点间的距离为22121212b4acABxxxx4xxa ，即ABa.

2. 判别式与韦达定理同时在一元二次方程中的运用.

3. 判别式与韦达定理同时在二次函数中的运用.

例题解析（以下例题采用师生互动的方式进行分析，由同学们完成书面解答.）

例1.已知关于x的一元二次方程2222kxk42kxx，求证：此方程无实数根.

分析：本题先要化成一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式进行论证.

证明：

例2.已知关于x的二次函数2ya2x2x1的图象与x轴有交点，求a的取值范围？

分析：本题首先要使a10 ，同时要满足△2b4ac0（）.

解：

例3.k为何值时，方程22xkx16xk30.⑴.两根互为相反数；⑵.两根互为倒数.

分析：本题先要化成一元二次方程的一般形式22x16kxk30.⑴.根据韦达定理和

互为相反数的和为0可知216k0 ，解得k的两个值验证是否满足△2b4ac0（）；⑵. 根据韦达定理和互为倒数的积为1 可知k31 ，解得k的值验证是否满足△2b4ac0（）.

解：

例4. 已知关于x的一元二次方程22x3k1x2k2k0.

⑴.求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；

⑵.若等腰△ABC的一边长a6，另两边长bc、恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？

分析：本题的⑴问直接利用“△”进行论证；本题的⑵问要进行分类讨论：①.当底边为6，此时bc时，原方程有两个相等的实数根，令△0 可k的值，再返回求方程的根（注意验证）；②.当ba6或ca6可代入原方程先求出k的值，再返回求方程的根（注意验证）.

注：本题⑵问页也可以先利用求根公式求出关于x的方程的根，再进行分类讨论.

解：

九数上期导学资料一：判别式和韦达定理运用举例 第 3页（共 4页） 第 4页 （共 4页）

例5.已知二次函数2yaxbxca0的图象如图所示，给出以下结论：

①.abc0；②.bac；③.4a2bc0；

④.24acb0；⑤.3b2c；

⑥.abnanbn1.

其中正确的是 .（填上正确结论的序号）

分析：

由对称轴bx12a可得b2a ∴3bb2b2a2b

∴3b2c2a2b2c2abc ∵abc0

∴3b2c2abc0，即3b2c0，∴3b2c.故⑤是正确的.

当x1时，yabc；由于x1时，抛物线的顶点是最低点，

yabc的最小；当xn时，2yanbnc；因为n1，

所以2yanbnc的值均比最小值yabc的值大.

∴2abcanbnc ∴ 2abanbn 即abnanbn1；所以⑥是错误的.

例6. 已知抛物线2yxkxk1 1k1

⑴.证明抛物线与x轴总有两个交点；

⑵.问：该抛物线与x轴交点的分布情况（指交点落在x轴的正、负半轴情况）；

⑶.设抛物线的顶点为C,且与x轴交点为AB、，问是否存在以ABC、、为顶点的直角三角形？并证明你的结论.

分析：

本题的⑴利用根的判别式进行论证；

本题的⑵问利用韦达定理可以知道两根12xxk1 并结合1k1的

条件进行判断；

本题的⑶问可以解出关于x为未知数的两根或者利用拓展的交点间的距离

“公式”（ABa）结合假设的1CDAB2进行探究（见分析示意图）.

解：

课外选练：

1.若,是2x2x20200的两个不等实根，则23= .

2.如右图所示，二次函数2yaxbxca0 的大致图象，那么下面

的判断正确的是 .（填序号）

①.abc0；②. 2b4ac0；③.abc0；④.2ab0；

⑤.4a2bc0；⑥.4ac2b.

3.已知abc、、是△ABC的三边长，且方程+22a1x2bxc1x的两

根相等，判断此三角形的形状.

4.已知二次函数2yx2xm1.

⑴.若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值；

⑵.若该二次函数的图象与一次函数yx2m的图象只有一个交点，求m的值.

5.若两个一元二次方程+2xmx10和+2xxm20有且只有一个相同的根，求m的值及方程相异的根.

6.已知斜边为10的直角三角形的两直角边ab、为方程2xmx3m60.

⑴.求m的值；

⑵.求直角三角形的面积和斜边上的高.

7.已知二次函数22y2xmxm

⑴.求证：对于任意实数m，该二次函数的图象与x轴总有公共交点；

⑵.若该二次函数的图象与x轴有两个公共点AB、，且点A坐标为,10，求点B的坐标.

8.二次函数2yaxbxca0的图象如图所示，根据图象解答：

⑴.写出方程2axbxc0的两根；

⑵.写出不等式2axbxc0的解集；

⑶.写出y随x的增大而减小的自变量的取值范围；

⑷.若方程2axbxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

9. 已知：关于x 的一元二次方程22x12kxk20 有两个实数根.

⑴.求k的取值范围；

⑵.当k为负整数时，抛物线22yx12kxk2与x 轴的交点是整数点，求抛物线的解析式；

⑶.若⑵中的抛物线与y 轴交于点A ，过A作x轴的平行线与抛物线交于点B ,连接OB ,将抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线的顶点落在⊿OAB的内部（不包括⊿OAB的边界），求n 的取值范围.

2018.10.24 xy–1123Oyabcy4a2bcxy–1123OxyCDABOyx–11234Oxy–1123–1–2123O

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例说用韦达定理解题不可忽视根的判别式

例说用韦达定理解题不可忽视根的判别式

２００２年第８期　数学学习与研究　

措解辩折　●　

例说用韦达定理解题不可忽视根的判别式△　

（江苏省太仓高级中学２１５４００）　王佩其　

韦达定理揭示了一元二次方程的根与系数的　

关系．在解与一元二次方程的根有关的题目时巧　妙利用韦达定理，往往能起到简化运算优化解题　

过程的作用，但此时千万不可忽视根的判别式△，　

否则极易产生错误的结论．　

例ｌ已知ａ和　是方程　！一眦＋ｍ＝０的　

两个实数根，求ａ：＋　的最小值．　

错解由韦达定理得ａ＋ｐ＝　＝ｍ，则　

ａ　＋　＝（ａ＋卢）　一２ｑＢ＝ｍ　一２ｍ　

＝（ｍ一１）　一ｌ，　所以当ｍ＝１时，ａ：＋　的最小值为一１．　评析产生错误的原因是解题时忽视了方程　

存在实数根的先决条件。即　

Ａ＝（一ｍ）　一４ｍ≥０，　

因此这里ｍ不是取任何实数，而是ｍ≥４或　ｍ≤０，故ｍ取不到１，只有当ｍ＝０时，ａ　＋　才　

能取到最小值为０．　例２给定双曲线　！一ｙ２／２＝１。过Ｂ（１，１）能　

否作直线ｍ，使直线ｍ与所给双曲线交于Ｑ。、Ｑ：，　

且　为Ｑ。Ｑ，中点？这样的直线ｍ如果存在，求　出它的方程；如果不存在，说明理由．　

错解假设存在题设中的直线ｍ，并设为　

，，一１＝ｋ（ｘ—１），代人　一，，！／２＝１，得　

（２一　）　！＋２ｋ（ｋ一１）　一（ｋ　一２ｋ＋３）＝０　①　

若２一ｋ　＝０，则七＝±　，直线ｍ和双曲线渐　

近线平行，它和双曲线至多有一个交点，与题设矛　

盾，故２一ｋ：≠Ｏ．　

设Ｑ。、Ｑ２的坐标为（　。，，，。）、（　：，ｙ’），则由韦　

达定理得，　Ｉ＋　＝２ｋ（ｋ—１）／（２一ｋ：）．　

于是由题意有（　．＋　）／２＝１，　

即２ｋ（ｋ一１）／（２一ｋ　）＝２，　解得ｋ＝２。于是存在直线　

ｍ：ｙ一１＝２（　一１）　

・３４・　满足题设．　评析　以上解法似乎有理有据，但经仔细推　

敲发现．当ｋ＝２时方程①没有实数解，这意味着　

此时直线ｍ与双曲线根本不相交，因而不满足题　

设．事实上满足题设的直线是不存在的．产生错　

(完整版)一元二次方程判别式与韦达定理培优

(完整版)一元二次方程判别式与韦达定理培优

1

第十一讲 一元二次方程判别式与韦达定理

例1、已知方程2220xaxa的一个根为11x，求另一根2x的值.

变式：（1）求证：方程20abxbcxcaab有一个根为1.

（2）若两个关于x的方程20xxa与210xax有一个公共的实数根，求a的值.

（3）若两个关于x的方程2210axax与220xaxa有一个公共的实数根，求a的值.

例2、判断下列关于x的方程的根的情况：

（1）212xxm； （2）22440kxx； （3）223120axaxa

例3、已知关于x的方程226410kxkxk，（1）只有一个实根，求k的值，并求此时方程的根；（2）有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根.

2

变式：（1）若关于x的方程22250mxmxm无实根，试判断关于x的方程25220mxmxm的实根的情况.

例4、当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2440mxx与2244450xmxmm的根都是整数.

变式：已知m为有理数，当k为何值时，方程22443240xmxxmmk的根为有理数？

根的判别式的巩固练习：

（1）关于x的方程21311xmmxxmx有一个根为0,求m的值交求出另一个根.

（2）如果关于x的一元二次方程12axxaa的各项系数之和等于3，求a的值并解此方程.

（3）已知关于x的方程210xmx与22350xmx有一个相同的根，求m的值及这个相同的根.

（4）若关于x的方程2212210mxmx有实根，求m的取值范围.

（5）已知方程240bxaxcx.求证：（1）此方程必有实数根；（2）若a、b、c为三角形ABC的三边，方程有两个相等的实数根，则三角形ABC为等边三角形. 3

关于判别式法与韦达定理的论述

关于判别式法与韦达定理的论述

1 关于判别式法与韦达定理论述

weiqingsong

摘要：判别式法与韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，讨论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

关键词：判别式法 韦达定理

在中学解题中判别式法与韦达定理的应用极其普遍，因此系统的研究一下利用判别式法与韦达定理解题是有必要的。别式法与韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。它们都有着广泛的应用在整个中学阶段。

一、韦达定理的由来

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 判别式法与韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

二、对判别式法的介绍及概括

一般的关于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b^2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

关于x的一元二次方程x^2+mx+n=0有两个相等的实数根，求符合条件的一组的实数值。这是应注意以下问题：如果说方程有实数根，即应当包括方程只有一个实根和有两个不等实根或有两个相等实根三种情况；如果方程不是一般形式，要化为一般形式，再确定a、b、c的值；使用判别式的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0；当二次项系数含字母时，解题时要加以考虑。

判别式的主要应用有：不解方程就可以直接判定方程的根的情况；已知方程根的情况，确定方程中未知系数（或参数）的取值范围；判别或证明一元二次方程的根的性质；判别二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)能否在实数范围内分解因式(1)

八升九数学判别式与韦达定理

八升九数学判别式与韦达定理

老师寄语：只为成功找方法，不为失败找借口！ 1 八升九数学 判别式与韦达定理

一、知识回顾

1.判别式：

一元二次方程 02cbxax)0(a根的判别式为：4ac-b2

作用:不解方程判断根的情况,解决与根的情况有关的问题.

主要内容: 判别式的值 根的情况

△ ＞0 有两个不相等的实根

△＝0 有两个相等的实根

△＜0 没有实数根

2.根与系数的关系（韦达定理）

（1）方程02cbxax(a≠0)的两根为21 x,x，则21 xx= -ab 21 xx=ac

特殊情况：当a=1时，q xxp,- xx, 0qpxx21212

（2） 以21 x,x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是02cbxax

【中考热点】这一内容在中考中主要体现在：

1.判断一元二次方程的根的情况（两不等实根、两相等实根、无实根）；

2.由根的情况，确定方程系数中字母的取值范围或取值；

3.不解方程，求与方程两根有关代数式的值；

4.应用根与系数的关系求作一个一元二次方程；

5.根的判别式和根与系数的关系与其它知识的综合运用.

【典型问题一】：判别式的作用

1、对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况；

2、对于字母系数的一元二次方程，若知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围；

3、运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题.

例1、m分别满足什么条件时，方程0,1-2m1)x (4m-2x22