2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编
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2008年煤矿事故（矿难）一览
页脚内容11 A B
C D E F
2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编
（2008年第16题）
在四面体ABCD中， CB＝CD ，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点，
求证：（1）直线EF∥平面ACD
（2）平面EFC⊥平面BCD
证明：（1）E，F分别为AB，BD的中点⇒EF∥AD 且AD⊂平面ACD ，EF⊄平面ACD ⇒直线EF∥平面ACD
（2）CB＝CD F是BD的中点 ⇒ CF⊥BD AD⊥BD EF∥AD ⇒ EF⊥BD ⇒直线BD⊥平面EFC
又BD⊂平面BCD，
所以平面EFC⊥平面BCD
2008年煤矿事故（矿难）一览
页脚内容11 A
B C D
E F C₁
B₁ A₁
（2009年第16题）
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，
A1D⊥B1C .
求证：（1）EF∥平面ABC
（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C
证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，
因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC
（2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，
又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D，
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C， CC1、B1C⊂平面BB1C1C
故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，
故平面A1FD⊥平面BB1C1C
2008年煤矿事故（矿难）一览
页脚内容11 P
A B C D
D P
A B C F
E
（2010年第16题）
如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，
∠BCD＝90°．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
证明：（1）因为PD⊥平面ABCD，
BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD＝90°，得CD⊥BC，
又PD∩DC＝D，PD、DC⊂平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．
解：（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD＝DC，PF＝FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．
易知DF＝2
2 ，故点A到平面PBC的距离等于2．
（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．
因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°．
从而AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1．
由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P—ABC的体积V＝13S△ABC×PD＝ 1
3 ．
因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．
又PD＝DC＝1，所以PC＝PD2＋DC2＝2．
由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝2
2 ．
由VA——PBC＝VP——ABC，13S△PBC×h＝V＝ 1
3 ，得h＝2，
故点A到平面PBC的距离等于2． 2008年煤矿事故（矿难）一览
页脚内容11
（2011年第16题）
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，
E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD
证明：（1）在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴BC∥AB，
又∵EF ⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴直线EF∥平面PCD
（2）连接BD. ∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△PAD为正三角形
∵F是AD的中点，∴BF⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BF⊥平面PAD
又∵BF⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面PAD
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（2012年第16题）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1 ；
（2）直线A1F∥平面ADE．
证明：（1）∵是ABC－A1B1C1直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC
又∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD
又∵AD⊥DE，CC1，DE⊂平面ADE，CC1∩DE＝E
∴平面ADE⊥平面BCC1B1
（2）∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1
∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1
∴CC1⊥A1F
又∵CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1
∴A1F⊥平面BCC1B1，
由（1）知AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD
又∵AD⊂平面ADE，A1F ⊄平面ADE，
∴A1F∥平面ADE
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页脚内容11 S
G
A
B C E
F
（2013年第16题）
如图，在三棱锥S－ABC中，平面平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AB＝AS，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E,G分别是棱SA,SC的中点．
求证：（1）平面EFG∥平面ABC ；
（2）BC⊥SA．
证：（1）∵SA＝AB且AF⊥SB，
∴F为SB的中点．
又∵E，G分别为SA，SC的中点，
∴EF∥AB，EG∥AC．
又∵AB∩AC＝A，AB面SBC，AC⊂面ABC，
∴平面EFG∥平面ABC．
（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF⊂平面ASB，AF⊥SB．
∴AF⊥平面SBC．
又∵BC⊂平面SBC，
∴AF⊥BC．
又∵AB⊥BC，AF∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB．
又∵SA⊂平面SAB，
∴BC⊥SA．
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页脚内容11
（2014年第16题）
如图，在三棱锥P－ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点．
已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．
求证：（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
证明：
（1）∵D,E为PC,AC中点
∴DE∥PA
∵PA ⊄平面DEF，DE⊂平面DEF
∴PA∥平面DEF
（2）∵D,E为PC,AC中点
∴ DE＝PA 2 ＝3
∵E,F为AC,AB中点
∴EF＝BC 2 ＝4
∴DE2＋EF2＝DF2 ∴∠DEF＝90°，∴DE⊥EF
∵DE∥PA ，PA⊥AC
∴DE⊥AC
∵AC∩EF＝E
∴DE⊥平面ABC
∵DE⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABC．
