历年江苏高考数学立体几何真题汇编含详解

历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解）

（2008年第16题）

在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD

（2）平面EFC ⊥平面BCD

证明：（1）

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⎪⎬⎪

⎫E ，F 分别为AB ，BD 的中点⇒EF ∥AD 且AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ⇒直线EF ∥平面ACD （2）⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪

⎬⎪

⎫CB ＝CD F 是BD 的中点 ⇒ CF ⊥BD ⎭

⎪⎬⎪

⎫AD ⊥BD EF ∥AD ⇒ EF ⊥BD ⇒直线BD ⊥平面EFC 又BD ⊂平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD

（2009年第16题）

如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，

A 1D ⊥

B 1

C .

求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C

证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ，

因为EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC

（2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1，

又A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ，

又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ⊂平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ， 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题）

如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．

（1）求证：PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离．

证明：（1）因为PD⊥平面ABCD，

BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．

由∠BCD＝90°，得CD⊥BC，

又PD∩DC＝D，PD、DC⊂平面PCD，

所以BC⊥平面PCD．

因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．

解：（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因为PD＝DC，PF＝FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．

易知DF＝

2

2

，故点A到平面PBC的距离等于2．

（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°．

从而AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1．

由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P—ABC的体积V＝1

3

S

△ABC

×PD＝

1

3

．

因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．又PD＝DC＝1，所以PC＝PD2＋DC2＝2．

由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S

△PBC ＝

2

2

．

由V A——PBC＝V P——ABC，1

3

S

△PBC

×h＝V＝

1

3

，得h＝2，

故点A到平面PBC的距离等于2．

（2011年第16题）

如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点

求证：（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

证明：（1）在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴BC∥AB，

又∵EF ⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴直线EF∥平面PCD （2）连接BD. ∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△PAD为正三角形

∵F是AD的中点，∴BF⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴BF⊥平面PAD

又∵BF⊂平面BEF，

∴平面BEF⊥平面PAD

（2012年第16题）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点

D不同于点C），且AD⊥DE，F为B

1C

1

的中点．

求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直线A1F∥平面ADE．

证明：（1）∵是ABC－A1B1C1直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC 又∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD

又∵AD⊥DE，CC1，DE⊂平面ADE，CC1∩DE＝E

∴平面ADE⊥平面BCC1B1

（2）∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1

∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1

∴CC1⊥A1F

又∵CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1

∴A1F⊥平面BCC1B1，

由（1）知AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD

又∵AD⊂平面ADE，A1F ⊄平面ADE，

∴A1F∥平面ADE

（2013年第16题）

如图，在三棱锥S－ABC中，平面平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AB＝AS，过A 作AF⊥SB，垂足为F，点E,G分别是棱SA,SC的中点．

求证：（1）平面EFG∥平面ABC ；

（2）BC⊥SA．

证：（1）∵SA＝AB且AF⊥SB，

∴F为SB的中点．

又∵E，G分别为SA，SC的中点，

∴EF∥AB，EG∥AC．

又∵AB∩AC＝A，AB面SBC，AC⊂面ABC，

∴平面EFG∥平面ABC．

（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，

AF⊂平面ASB，AF⊥SB．

∴AF⊥平面SBC．

又∵BC⊂平面SBC，