北京市东城区2011学年度年终期末数学理

东城区2010-2011学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{}|4P x x =<，{}2|4Q x x =<，则（A ）Q ⊆P （B ）P ⊆Q （C ）P ⊆C Q R （D ）Q ⊆C P R （2）在复平面内，复数i(i 1)-对应的点在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）已知实数,x y 满足条件10,10,10,x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩那么2x y -的最大值为（A ）-3 （B ）-2 （C ）1 （D ）2（4）已知α，β为不重合的两个平面，直线α⊂m ，那么“β⊥m ”是“βα⊥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）若13log 2a =，12lo g 3b =，0.31()2c =，则（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b c a << （D ）b a c <<（6）直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为 （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）相交或相切（7）已知△A B D 是等边三角形，且12A B A D A C +=，||C D =A B C D 的面积为（A ）23 （B ）323（C ）33 （D ）329（8）已知函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>m ，对任意x ∈R ，有|()|||f x m x <，则称)(x f 为F 函数．给出下列函数：①2)(x x f =；②x x x f cos s in )(+=；③1)(2++=x xx x f ；④)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数21,x x 均有21212)()(x x x f x f -≤-．其中是F 函数的序号为（A ）②④ （B ）①③ （C ）③④ （D ）①②正（主）视图侧（左）视图俯视图第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知1sin ()3απ+=-，且α是第二象限角，则sin 2α＝ ．（10）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．（11）在数列{}n a 中，若12a =，且对任意的正整数,p q 都有q p q p a a a =+，则8a 的值为．（12）已知函数3lo g ,0,()1,0,3x x x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩那么不等式()1f x ≥的解集为 .（13）已知双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，那么双曲线的离心率为 ；渐近线方程为 ．（14）已知函数2)1ln()(x x a x f -+=，在区间)1,0(内任取两个实数,p q ，且q p ≠，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．FCBA三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）函数()sin ()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间 [0,]2x π∈上的最大值和最小值．（16）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，数列{}n b 满足121n n b b +=-*()n ∈N ，且15b =.（Ⅰ）求{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，且21lo g (1)n n n c a b =⋅-，证明：12n T <.（17）（本小题共14分）如图，正方形A D E F 与梯形A B C D 所在的平面互相垂直，A D C D ⊥，A B ∥C D ，2A B A D ==，4C D =，M 为C E 的中点．（Ⅰ）求证：B M ∥平面A D E F ； （Ⅱ）求证：平面B D E ⊥平面B E C ； （Ⅲ）求平面B E C 与平面A D E F 所成锐二面角的余弦值．（18）（本小题共13分）已知函数()lnf x x x=．（Ⅰ）求函数()f x在[1,3]上的最小值；（Ⅱ）若存在1[,e]ex∈（e为自然对数的底数，且e=2.71828 ）使不等式22()3f x x a x≥-+-成立，求实数a的取值范围．（19）（本小题共13分）设,A B分别为椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点)2在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P为直线4x=上不同于点(4,0)的任意一点，若直线A P与椭圆相交于异于A的点M，证明：△M B P为钝角三角形．(20)(本小题共14分)已知集合},,,{21naaaA=中的元素都是正整数，且naaa<<<21，对任意的,,Ayx∈且x y≠，有25xyyx≥-．（Ⅰ）求证：251111-≥-naan；（Ⅱ）求证：9≤n；（Ⅲ）对于9=n，试给出一个满足条件的集合A．东城区2010-2011学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）C （4）A （5）D （6）D （7）B （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）9-（10）36（11）256 （12）(,0][3,)-∞+∞（132 102x y ±= （14）[15,)+∞注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由图可得1A =，22362T πππ=-=，所以T =π． …………2分所以2ω=．当6x π=时，()1f x =，可得 sin (2)16ϕπ⋅+=，因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． …………5分所以()f x 的解析式为()sin (2)6f x x π=+． ……………………6分（Ⅱ）()()co s 2sin (2)co s 26g x f x x x x π=-=+-sin 2co sco s 2sin co s 266x x x ππ=+-12co s 222x x =-sin (2)6x π=-． ………………………………10分因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤．当262x ππ-=，即3x π=时，()g x 有最大值，最大值为1；当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12-．……13分（16）（共13分）（Ⅰ）解：当1n =时，112a S ==．当2n ≥时，221[(1)(1)]2n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=． 当1n =时，122n a ==．所以2n a n =． ……………………………………………………3分 由121n n b b +=-，得112(1)n n b b +-=-，又1140b -=≠， 所以{}1n b -是以4为首项，2为公比的等比数列． 所以1111(1)22n n n b b -+-=-=．所以121n n b +=+．……………………………………………………6分（Ⅱ）证明：12211lo g (1)2lo g (211)n n n n c a b n +==⋅-+-12112lo g 22(1)n n n n +==+111()21n n =-+． ………9分 故1111[]21223(1)n T n n =+++⨯⨯+…111111[(1)()()]22231nn =-+-++-+…11(1)21n =-+． ……………………………………12分所以12n T <． ……………………………………………………13分（17）（共14分）（Ⅰ）证明：取D E 中点N ，连结,M N A N ．在△E D C 中，,M N 分别为,E C E D 的中点， 所以M N ∥C D ，且12M N C D =．由已知A B ∥C D ，12A B C D =，所以M N ∥A B ，且M N A B =．所以四边形A B M N 为平行四边形．所以B M ∥A N ．又因为A N ⊂平面A D E F ，且B M ⊄平面A D E F ，所以B M ∥平面A D E F ．………………………………………………4分 （Ⅱ）证明：在正方形A D E F 中，E D A D ⊥．又因为平面A D E F ⊥平面A B C D ，且平面A D E F 平面A B C D A D =， 所以E D ⊥平面A B C D． 所以E D B C ⊥．在直角梯形A B C D 中，2AB A D ==，4CD =，可得B C =． 在△B C D 中，4B D B C C D ===，所以B C B D ⊥． 所以B C ⊥平面B DE ． 又因为B C ⊂平面B C E ，所以平面B D E ⊥平面B E C ．…………………………………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知E D ⊥平面A B C D ，且A D C D ⊥．以D 为原点，,,D A D C D E 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系． (2,2,0),(0,4,0),(0,0,B C E 平面AD EF 的一个法向量为(0,1,0)=m ．设(,,)x y z =n 为平面B E C的一个法向量，因为(2,2,0),B C =-，(0,4,2)C E =-所以220420x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得1,2y z ==．所以(1,1,2)=n 为平面B EC 的一个法向量．设平面B E C 与平面A D E F 所成锐二面角为θ． 则co s ||||6||θ⋅===⋅m n m n ．所以平面B E C 与平面A D E F 6．………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+， …………………2分 当1(0,)e x ∈时，()0,()f x f x '<单调递减；当1(,)ex ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增．所以函数)(x f 在[1,3]上单调递增． 又(1)ln 10f ==，所以函数()f x 在[1,3]上的最小值为0． …………………6分 （Ⅱ）由题意知，22ln 3,x x x ax ≥-+-则32ln a x x x≤++．若存在1[,e ]ex ∈使不等式22()3f x x a x ≥-+-成立，只需a 小于或等于32ln x x x++的最大值．设()()32ln 0h x x x x x=++>，则()()()2231231x x h x xxx+-'=+-=．当1[,1)x e∈时，()()0,h x h x '<单调递减； 当(1,e ]x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增． 由11()23e e eh =-++，3(e )2e eh =++，12()(e )2e 40eeh h -=-->，可得1()(e )e h h >．所以，当1[,e ]ex ∈时，)(x h 的最大值为11()23e eeh =-++．故123e ea ≤-++． …………………13分（19）（共13分）（Ⅰ）解：由题意：24a =，所以2a =． 所求椭圆方程为22214xy b+=．又点(1,2在椭圆上，可得21b =．所求椭圆方程为2214xy +=． …………………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：(2,0),(2,0)A B -．设(4,)P t ，(,)M M M x y ． 则直线P A 的方程为：(2)6t y x =+．由22(2),644,t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(9)44360t x t x t +++-=． 因为直线P A 与椭圆相交于异于A 的点M ， 所以22429M tx t--+=+，所以222189M t x t-+=+．由(2)6M M t y x =+，得269M t y t=+．所以2222186(,)99t t M tt-+++．从而22246(,)99t tB M t t =-++ ，(2,)B P t = ． 所以22228699t t B M B P t t ⋅=-+++ 22209t t=-<+． 又,,M B P 三点不共线，所以M B P ∠为钝角．所以△M B P 为钝角三角形． …………………13分（20）（共14分）(Ⅰ) 证明：依题意有)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ，又n a a a <<< 21，因此)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ．可得)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i ． 所以12231111111111125ii n nn a a a a a a a a +---+-+-++-≥ ．即251111-≥-n a a n． …………………4分（Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得25111->n a ．又11≥a ，可得2511->n ，因此26<n ．同理2511i n a a ni-≥-，可知251i n a i->．又i a i ≥，可得251i n i->，所以)1,,2,1(25)(-=<-n i i n i 均成立．当10≥n 时，取5=i ，则25)5(5)(≥-=-n i n i ， 可知10<n ．又当9≤n 时，25)2()2()(22<=-+≤-n in i i n i ． 所以9≤n ． …………………9分（Ⅲ）解：对于任意n j i ≤<≤1，j i i a a a ≤<+1，由)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i可知，25111111≥-≥-+i ijia a aa ，即25ji j i a a a a ≥-．因此，只需对n i <≤1，251111≥-+i ia a 成立即可．因为251211≥-；2513121≥-；2514131≥-；2515141≥-，因此可设11=a ；22=a ；33=a ；44=a ；55=a ． 由2511165≥-a a ，可得4256≥a ，取76=a ．由2511176≥-a a ，可得181757≥a ，取107=a ．由2511187≥-a a ，可得3508≥a ，取208=a ．由2511198≥-a a ，可得1009≥a ，取1009=a ．所以满足条件的一个集合{}100,20,10,7,5,4,3,2,1=A ．……………14分。