东城区2016-2017学年度第一学期期末理科
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正（主）视图俯视图侧（左）视图东城区2016-2017学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
）（1）已知集合{|(1)(3)0}A x x x =--<，{|24}B x x =<<，则A B =（A ）{|13}x x << （B ）{|14}x x << （C ）{|23}x x << （D ）{|24}x x << （2）抛物线22y x =的准线方程是（A ）1y =- （B ）12y =- （C ）1x =-（D ）12x =-（3）“1k =”是“直线0kx y --=与圆229x y +=相切”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12（5）已知,x y ∈R ，且0x y >>，则（A ）tan tan 0x y -> （B ）sin sin 0x x y y -> （C ）ln ln 0x y +> （D ）220xy-> （6）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞(1)0f x +≥的解集为（A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞ （C ）[1,)-+∞ （D ）[1,)+∞（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）23 （B ）43（C ）2（D ）83时间（天）0.0.0.（8）数列{}na表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率0.6nr=(*1n nnna ar na+-=∈N，)．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率nr会发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率nr的规律描述正确的是时间数量时间数量图1 图2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若复数(2i)(2i)a -+是纯虚数，则实数a = ．（10）若,x y 满足20,0,340,x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩则2x y +的最大值为 ．（11）若点(2,0)P 到双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =_______．（12）在△ABC 中，若2AB =，3AC =，60A ∠= ，则BC = ； 若AD BC ⊥，则AD =_______．（13）在△ABC 所在平面内一点P ，满足2155AP AB AC =+，延长BP 交AC 于点D ，若AD AC λ=，则λ=_______．（14）关于x 的方程()()g x t t =∈R 的实根个数记为()f t ．若()ln g x x =，则()f t =_______；若2,0,()2,0,x x g x x ax a x ≤⎧=⎨-++>⎩()a ∈R ，存在t 使得(2)(f t f t +>成立，则a 的取值范围是_________．三、解答题（共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
）（15）（本小题13分）已知{}n a 是等比数列，满足13a =，424a =，数列{}n n a b +是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．（16）（本小题13分）已知函数()2sin(2)(||)2f x x ϕϕπ=+<部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及图中0x 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．CA如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，1BC =，2AB =，PC PD ==E 为PA 中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面BED ；（Ⅱ）求二面角A PC D --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM ⊥AC ？若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由．（18）（本小题13分）设函数()ln(1)()1axf x x a x =+-∈+R ． （Ⅰ）若(0)f 为()f x 的极小值，求a 的值；（Ⅱ）若()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的最大值．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)M ，离心率为12．,A B 是椭圆C 上两点，且直线,OA OB 的斜率之积为34-，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若射线OA 上的点P 满足||3||PO OA =，且PB 与椭圆交于点Q ，求||||BP BQ 的值．（20）（本小题13分）已知集合12{(,,,)|{1,1}(1,2,,)}n n i A x x x x i n =∈-=L L L ．,n x y A ∈，12(,)n x x x x =,,L ，12(,,,)n y y y y =L ，其中{1,1}i i x y ∈-,(1,2,,)i n = ． 定义1122n n x y x y x y x y =+++e L ．若0x y =e ，则称x 与y 正交． （Ⅰ）若(1,1,1,1)x =，写出4A 中与x 正交的所有元素；（Ⅱ）令{|,}n B x y x y A =∈e ．若m B ∈，证明：m n +为偶数；（Ⅲ）若n A A ⊆，且A 中任意两个元素均正交，分别求出8,14n =时，A 中最多可以有多少个元素．东城区2016-2017学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）D （6）C （7）B （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1- （10）6 （11（127213 （13）13 （14）1，(1,)+∞三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分） 解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ． 由题意，得3418a q a ==，2q =． 所以11132n n n a a q --==⋅(1,2,)n = ． ……………3分 又数列{}n n a b +是首项为4，公差为1的等差数列， 所以4(1)1n n a b n +=+-⋅．从而1(3)32n n b n -=+-⨯(1,2,)n = ． ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1(3)32n n b n -=+-⨯(1,2,)n =数列{3}n +的前n 项和为(7)2n n +． ……………9分 数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(12)32312n n -=⨯--． ……………12分 所以，数列{}n b 的前n 项和为(7)3232n n n +-⨯+． ………13分 （16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意22T π==π，T =π． …………2分 因为点(0,1)在()2sin(2)f x x ϕ=+图象上， 所以2sin(20)=1ϕ⨯+．又因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． …………4分所以076x =π． ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin(2)6f x x π=+，因为02x π≤≤，所以2666x ππ7π≤+≤．当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；A y当266x π7π+=，即2x π=时，()f x 取得最小值1-．………13分 （17）（共14分）解：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为F ，连结EF ． 因为ABCD 为矩形，所以F 为AC 的中点． 在△PAC 中，由已知E 为PA 中点， 所以EF ∥PC ． 又EF ⊂平面BED ， PC ⊄平面BED ，所以PC ∥平面BED ． ……………………………5分 （Ⅱ）取CD 中点O ，连结PO ．因为△PCD 是等腰三角形，O 为CD 的中点， 所以PO CD ⊥．又因为平面PCD ⊥平面ABCD ， PO ⊂平面PCD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 取AB 中点G ，连结OG ， 由题设知四边形ABCD 为矩形， 所以OF CD ⊥． 所以PO OG ⊥． (1)分 如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(0,D -(1,1,0)B ，(0,0,0)O ，(1,0,0)G ． (1,2,0)AC =- ，(0,1,1)PC =-． 设平面PAC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AC PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20,0.x y y z -=⎧⎨-=⎩ 令1z =，则1y =，2x = ． 所以(2,1,1)=n ．平面PCD 的法向量为(1,0,0)OG =．设,OG n 的夹角为α，所以cos α=．由图可知二面角A PC D --为锐角，所以二面角A PC B --10分（Ⅲ）设M 是棱PC 上一点，则存在[0,1]λ∈使得PM PC λ=．因此点(0,,1)M λλ-，(1,1,1)BM λλ=--- ，(1,2,0)AC =-．由BM ⋅ 0AC = ，即12λ=．因为1[0,1]2λ=∈，所以在棱PC 上存在点M ，使得BM ⊥AC ．此时，12PM PC λ==． …………………………14分（18）（共14分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(1,)-+∞．因为()ln(1)1axf x x x =+-+， 所以21'()1(1)a f x x x =-++． 因为(0)f 为()f x 的极小值，所以'(0)0f =，即21001(01)a-=++． 所以1a =．此时，2'()(1)xf x x =+． 当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增． 所以()f x 在0x =处取得极小值，所以1a =． ……………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知当1a =时，()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数， 所以()(0)0f x f >=， 所以()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立．因此，当1a <时，()ln(1)ln(1)011ax xf x x x x x =+->+->++， ()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立．当1a >时，221(1)'()1(1)(1)a x a f x x x x --=-=+++， 所以，当(0,1)x a ∈-时，'()0f x <，因为()f x 在[0,1)a -上单调递减， 所以(1)(0)0f a f -<=．所以当1a >时，()0f x >并非对(0,)x ∈+∞恒成立．综上，a 的最大值为1． ……………………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………5分 （Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ． 因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =， 所以11(3,3)P x y ．因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ= ．所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ--=--，123212323(),3().x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩ 解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ--+++=． 即22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ--+++-+=1， 因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34-，所以121234y y x x ⋅=-，即1212043x x y y +=． 所以2291()1λλλ-+=，解得5λ=． 所以||||5||BP BQ λ==． ……………………………14分 （20）（共13分）解：（Ⅰ）4A 中所有与x 正交的元素为(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--． ………………………3分（Ⅱ）对于m B ∈，存在12(,,,),{1,1}n i x x x x x =∈-L ， 12(,,,),{1,1}n i y y y y y =∈-L ； 使得x y m =e ．令1,0,i i i i ix y x y δ=⎧=⎨≠⎩，，1ni i k δ==∑；当i i x y =时1i i x y =，当i i x y ≠时1i i x y =-.那么1()2ni ii x y x yk n k k n ===--=-∑e .所以2m n k +=为偶数．………………………8分（Ⅲ）8个，2个8n =时，不妨设1(1,1,1,1,1,1,1,1)x =，2(1,1,1,1,1,1,1,1)x =----．在考虑4n =时，共有四种互相正交的情况即：1111111111111111------，分别与12,x x 搭配，可形成8种情况．所以8n =时，A 中最多可以有8个元素．………………………10分 14n =时，不妨设114(1,1,1)y =个，17(1,1,,1,1,1,1)y =---个7个，则1y 与2y 正交．令1214(,,,)a a a a =L ，1214(,,,)b b b b =L ，1214(,,,)c c c c =L 且它们互相正交． 设 ,,a b c 相应位置数字都相同的共有k 个，除去这k 列外,a b 相应位置数字都相同的共有m 个， ,b c 相应位置数字都相同的共有n 个.则(14)22140a b m k m k m k =+---=+-=e . 所以7m k +=，同理7n k +=. 可得n m =.由于(142)0a c m m k k m =--++--=e ，可得27m =，*72m =∉N 矛盾. 所以任意三个元素都不正交.综上，14n =时，A 中最多可以有2个元素. ………13分。
