东城区2011-2012学年高二下学期期末考试(理数)
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东城区2011——2012学年度第二学期期末教学统一检测高二数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．在复平面内，复数1iiz -=（i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y +-=，则A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==-D ．1,1a b =-=-3．在6(2)x -的展开式中，3x 的系数是A ．160B ．160-C ．120D ．120- 4．类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是 A ．连续两项的和相等的数列叫等和数列B ．从第一项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列C ．从第二项起，以后每一项与前一项的差都不相等的数列叫等和数列D ．从第二项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列 5．若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是B ．6．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为A ．12B ．16C ．24D ．327．某班有40名学生，其中有15人是共青团员.现将全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个学生代表．在选到的学生代表是共青团员的条件下，他又是第一组学生的概率为 A ．415B ．514C ．14D ．348．若函数()ln f x x x x 2=-2-4的导函数为'()f x ，则'()f x >0的解集为A. (,)0+∞B. 102∞-+U （，）（，）C. (,)2+∞D. (,)-109．由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为密封线内不要答题区（县 学校 班 姓A ．103B ．4C ．163D ．6 10．已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ≤等于 A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ，0.8411．用总长14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多0.5m ，要使它的容积最大，则容器底面的宽为A ．0.5mB ．0.7mC ．1mD ．1.5m 12．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义．对于给定的正数K ，定义函数(),(),(),().k f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩取函数()2e x f x x -=--，若对任意的(,)x ∈-∞+∞，恒 有()()k f x f x =，则A ．K 的最大值为2 B. K 的最小值为2C ．K 的最大值为1 D. K 的最小值为1 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13．6(1)x +的各二项式系数的最大值是 . 14．已知z 是纯虚数，21z i+-是实数，那么z = . 15根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，则ˆa = . 16．设函数()(0)2xf x x x =>+,定义()n f x ，*n ∈N 如下：当1n =时，1()()f x f x =； 当*n ∈N 且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -=．观察:1()(),2x f x f x x ==+ 21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当*n ∈N 时，()n f x = .三、解答题（本大题共4个小题，其中第17题8分，第18，19题各9分，第20题10分，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分8分）设函数32()2f x x x x =-+-（x ∈R ）． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,2]上的最大值与最小值.在数列{}n a 中，13a =，134n n a a n +=-，1,2,3,n = . （Ⅰ）计算2a ，3a ，4a 的值，（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.密封线内不要答题一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1，2，3，4，5，现从盒子中随机抽取卡片.（Ⅰ）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；（Ⅱ）若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望.题答要不内线封密外贸运动鞋的加工生产中，以美元为结算货币，依据数据统计分析，若加工产品订 单的金额为x 万美元，可获得加工费近似地为1ln(21)2x +万美元，由于生产加工签约 和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx 万美元，其中(0,1)m ∈为 该时段美元的贬值指数，从而实际所得的加工费为1()ln(21)2f x x mx =+-万美元. （Ⅰ）若美元贬值指数1200m =，为确保实际所得加工费随x 的增加而增加，加工产品 订单的金额x 应在什么范围内？（Ⅱ）若加工产品订单的金额为x 万美元时共需要的生产成本为120p x =万美元，已知 加工生产能力为[10,20]x ∈（其中x 为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m 为何 范围时，加工生产将不会出现亏损（即当[10,20]x ∈时，都有()f x p ≥成立）.东城区2011—2012学年度第一学期期末教学统一检测高二数学答案及评分参考（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6． C 7．A 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D 二．填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13．20 14．2i - 15．9.1 16．(21)2n nxx -+ 三．解答题：本大题共4个小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）因为 32()2f x x x x =-+-，所以 2()341f x x x '=-+-，且(2)2f =-．………………………………… 2分 所以 (2)5f '=-． …………………………………………3分所以 曲线()f x 在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--， 整理得 580x y +-=． …………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2()341f x x x '=-+-(31)(1)x x =---． 令()0f x '=，解得13x =或1x =． …………………………………………6分 当[0,2]x ∈时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，函数32()2f x x x x =-+-，[0,2]x ∈的最大值为0，最小值为2-. …………………………………………8分 18．（本小题满分9分） 解：（Ⅰ）由已知可得，25a =，37a =，49a =.………………………… 3分 （Ⅱ）猜想 21n a n =+.………………………………………………………… 4分 证明：① 当1n =时，由已知，左边3=，右边2113=⨯+=，猜想成立.……………… 6分 ② 假设当()n k k =∈*N 时猜想成立，即21k a k =+.……………………… 7分 则1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++. 所以 当1n k =+时，猜想也成立.根据①和②，可知猜想对于任何n ∈*N 都成立. ……………………………… 9分解：（Ⅰ）设A 表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”， 由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为25， …………………1分 则2232336()()55125P A C =⨯=. ………………………………………………3分 （Ⅱ）依题意，X 的可能取值为1,2,3,4. …………………………………4分2(1)5P X ==. …………………………………………………………………5分 323(2)5410P X ⨯===⨯. ……………………………………………………6分3221(3)5435P X ⨯⨯===⨯⨯. …………………………………………………7分3211(4)54310P X ⨯⨯===⨯⨯. ………………………………………………8分X 12342510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………………………9分20．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由已知1200m =， 11()ln(21)2200f x x x =+-，其中0x >.………………………………………1分所以'111992()21200200(21)xf x x x -=-=++.…………………………………………3分 由'()0f x >，即19920x ->， 解得099.5x <<.即加工产品订单的金额(0,99.5)x ∈（单位：万美元）时，实际所得加工费随x 的增加而增加. …………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）依题意，企业加工生产不出现亏损，则当[10,20]x ∈时，都有11()ln(21)220f x x mx x =+-≥. 可得1ln(21)202x m x++≤.…………………………………………………5分 令ln(21)()2x g x x +=，[10,20]x ∈.则'22ln(21)21()2x x x g x x -++=22(21)ln(21)2(21)x x x x x -++=+.……………………7分令()2(21)ln(21)h x x x x =-++. 则'2()2[2ln(21)(21)]21h x x x x =-+++⋅+2ln(21)0x =-+<.……………8分当[10,20]x ∈时，'()0g x <,()g x 在区间[10,20]上单调递减,因此min ln 41()40g x =，即ln 4114020m ≤-.………………………………………10分故当美元的贬值指数ln 412(0,)40m -∈时，加工生产不会亏损.。
