3-3线性相关性判定定理

n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a ,b, , 等表示，如： a1 a2 a a n
线性代数课件 hty 4
注意 １．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
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类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 a m 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
a12 a 22 am 2
a1 s 1 T T a 2 s 2 T a ms s
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设矩阵A经初等行变换变成B，则B的每个行 向量都是A的行向量组的线性组合，即B的行向量 组能由A的行向量组线性表示. 由初等变换可逆性 可知，A的行向量组能由B的行向量组线性表示， 于是A的行向量组与B的行向量组等价.
所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a ( x , y , z , , , )
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四、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a m 1 a m 2 a mj a mn

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定理2 定理2
设α1 ,α 2 ,⋯,α r 与 β1 , β 2 ,⋯, β s是两个向量组，如果 1）向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 可以经 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表 出， 2）r > s， 则向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 必线性相关 . 证明： 1 推论1
向量组
α i = (ai1 , ai 2 ,⋯, ain ), (i = 1,2,⋯, s )
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 + a21x2 +⋯+ as1xs = 0 a x + a x +⋯+ a x = 0, 12 1 22 2 s2 s ⋯ ⋯ ⋯ a1n x1 + a2n x2 +⋯+ asn xs = 0
§3 线性相关性
定义
所谓向量 α 与 β 成比例就是说有一数k使 成比例 α = kβ. 定义9 线性组合） 定义9（线性组合） 向量 α 称为向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 的一个线性组合 线性组合， 线性组合 如果有数域P中的数 k1 , k2 ,⋯, ks , 使 α = k1β1 + k2 β 2 + ⋯ + k s β s . 也称向量 α 可经向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表出 .
结束
命题1 命题
任一个n为向量α = (a1 , a2 ,⋯, an ) 都是向量组
ε1 = (1,0,⋯,0),
ε 2 = (0,1,⋯,0),
⋯⋯⋯ ε n = (0,0,⋯,1)
的一个线性组合 . 事实上， α = a1ε1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n . 向量 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 称为n维单位向量 . 维单位向量

推论:设1,2 , ...,s (s 2)是由非零向量组成的 向量组,若每个向量i (2 i s)都不是它 前面向量的线性组合,则1 ,2 , ...,s
线性无关.
从向量组中找尽量多的线性无关向量
22
例2
已知
1 0 2
a1 1,a2 2 ,a3 4 ,
1 5
7
试讨论向量组a1 , a2 , a3 及向量组a1 , a2 的线性 相关性 .
A
a21
a22
am1
am1
a1n
a2n
amn
按行分块
A
1 2
m
ｍ个ｎ维行向量.
按列分块
其第ｉ个行向量记作
A (1,2 ,...,n )
i ai1, ai2 , , ain
ｎ个ｍ维列向量.
a1 j
其第ｊ个列向量记作
j
a2 j
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维
★ 一个向量a=0线性相关,而 0时线性无关
★ 两个向量线性相关
它们对应分量成比例
★ 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关.
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二、判别方法
1. 向量组1,2 ,...,s线性相(无)关 方程 x11 x22 ... xss 0(没)有非零解.
设i (ai1 , ai2 , ..., ain )T , 方程组
同时 R (a1 , a2 ) 2 , 故向量组 a1 , a2 线性无关 .
例3
已知向量组a1 , a2 , ...as (s 2)线性无关, 设b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , ...,b s as a1 , 讨论b1 , b2 , ...,bs线性相关性.

线性相关判断方法总结定义2.1.1 线性相关、线性无关\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsy mbol\alpha_m 是m个向量。

对于方程\lambda_1\boldsymbol\alpha_1+\lambda_2\boldsymbol\alph a_2+\cdots+\lambda_m\boldsymbol\alpha_m=\boldsymbol0 ，若其有非零解(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m)\not=\boldsymbol 0 ，则称 \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m 线性相关；若其只有唯一解(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m)=\boldsymbol0 ，则称\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsy mbol\alpha_m 线性无关。

特别地， \boldsymbol0 向量和任意向量线性相关。

二、线性相关、无关的性质定理2.1.1\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsy mbol\alpha_m 线性相关 \iff 显然，其中必有某个向量是其它向量的线性组合。

定理2.1.2\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsy mbol\alpha_m 线性相关 \iff 其中必有某个向量是它前面的向量的线性组合。

推论2.1.1\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsy mbol\alpha_m 线性无关 \iff 其中任何一个向量都不是它前面的向量的线性组合。