线性相关性
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线性相关性
1,2 , ,s , 线性相关，则 可经向量组
1,2 , ,s 线性表出，且表示式唯一。(习题3)
3、线性相关性的重要性质
1）充要条件
判断向量组 i (ai1,ai2 , ,ain ), i 1, 2, , s 是否线性相关就是看方程 x11 xss 0
有无非零解，即齐次线性方程组
a11 x1 a21 x2 as1 xs 0
1 (1, 2,3), 2 (2,1,0), 3 (1, 7,9)
是否线性相关？若线性相关，求一组非零数
k1, k2 , k3 , 使 k11 k22 k33 0.
解： 设 k11 k22 k33 0, 即有方程组
k21k12kk22
k3 0 7k3 0
,
3k1 9k3 0
3) 向量组{1,2,3}线性相关 其中一向量可由其余两向量线性 表示（共面），如1 k2 l3 （1 在2 和3 所确定的平面上）.
lα3 α3
α2
α1 kα2
定义1'：向量组 1,2 , ,s (s 1) 称为线性相关
的, 如果存在 P 上不全为零的数 k1, k2 , , ks，使
②向量组和它的任一极大无关组等价.
③一个向量组的极大无关组不一定是唯一的. ④一个向量组的任意两个极大无关组都等价. ⑤Th3:一个向量组的任意两个极大无关组都含有相 同个数的向量.
（根据定理2的推论1即得）
(二)、向量组的秩
1.定义 向量组的极大线性无关组所含向量个数
称为这个向量组的秩.
注 全部由零向量组成的向量组无极大无关组，
推论2 任意 n＋1 个 n 维向量必线性相关. （任意 m( n) 个 n 维向量必线性相关.）
推论3 两个线性无关的等价向量组必含相同个数 的向量.
1,2 , ,s 线性表出，且表示式唯一。(习题3)
3、线性相关性的重要性质
1）充要条件
判断向量组 i (ai1,ai2 , ,ain ), i 1, 2, , s 是否线性相关就是看方程 x11 xss 0
有无非零解，即齐次线性方程组
a11 x1 a21 x2 as1 xs 0
1 (1, 2,3), 2 (2,1,0), 3 (1, 7,9)
是否线性相关？若线性相关，求一组非零数
k1, k2 , k3 , 使 k11 k22 k33 0.
解： 设 k11 k22 k33 0, 即有方程组
k21k12kk22
k3 0 7k3 0
,
3k1 9k3 0
3) 向量组{1,2,3}线性相关 其中一向量可由其余两向量线性 表示（共面），如1 k2 l3 （1 在2 和3 所确定的平面上）.
lα3 α3
α2
α1 kα2
定义1'：向量组 1,2 , ,s (s 1) 称为线性相关
的, 如果存在 P 上不全为零的数 k1, k2 , , ks，使
②向量组和它的任一极大无关组等价.
③一个向量组的极大无关组不一定是唯一的. ④一个向量组的任意两个极大无关组都等价. ⑤Th3:一个向量组的任意两个极大无关组都含有相 同个数的向量.
（根据定理2的推论1即得）
(二)、向量组的秩
1.定义 向量组的极大线性无关组所含向量个数
称为这个向量组的秩.
注 全部由零向量组成的向量组无极大无关组，
推论2 任意 n＋1 个 n 维向量必线性相关. （任意 m( n) 个 n 维向量必线性相关.）
推论3 两个线性无关的等价向量组必含相同个数 的向量.
3§3 线性相关性
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定理2 定理2
设α1 ,α 2 ,⋯,α r 与 β1 , β 2 ,⋯, β s是两个向量组，如果 1）向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 可以经 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表 出， 2）r > s， 则向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 必线性相关 . 证明： 1 推论1
向量组
α i = (ai1 , ai 2 ,⋯, ain ), (i = 1,2,⋯, s )
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 + a21x2 +⋯+ as1xs = 0 a x + a x +⋯+ a x = 0, 12 1 22 2 s2 s ⋯ ⋯ ⋯ a1n x1 + a2n x2 +⋯+ asn xs = 0
§3 线性相关性
定义
所谓向量 α 与 β 成比例就是说有一数k使 成比例 α = kβ. 定义9 线性组合） 定义9（线性组合） 向量 α 称为向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 的一个线性组合 线性组合， 线性组合 如果有数域P中的数 k1 , k2 ,⋯, ks , 使 α = k1β1 + k2 β 2 + ⋯ + k s β s . 也称向量 α 可经向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表出 .
结束
命题1 命题
任一个n为向量α = (a1 , a2 ,⋯, an ) 都是向量组
ε1 = (1,0,⋯,0),
ε 2 = (0,1,⋯,0),
⋯⋯⋯ ε n = (0,0,⋯,1)
的一个线性组合 . 事实上， α = a1ε1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n . 向量 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 称为n维单位向量 . 维单位向量
线性相关性的判定
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例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 E ( e1 , e2 , , en )
是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数x , y , 使
y y 得x y 0, 不妨设x 0, 则 , 令k x x 即可. 必要性
不妨设 k , 则有1 ( k ) 0,由定义 知 , 线性相关.
由于此方程组的系数行列式 1 0 1 1 1 0 20 0 1 1
故方程组只有零解 x1 x 2 x 3 0，所以向量组 b1 , b2 , b3线性无关.
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定理 5 (1) 若 向量组 A： 1 , 2 , , m 线性相关, 则 向量组 B : 1 , , m , m 1 也线性相关.反言之, 若向
A线性表示 , 且表示式是唯一的 .
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证明 （1） A (a1 , , am ), B (a1 , , am , am 1 )，有 记
R( B ) R( A) 1.若向量组A线性相关, 则根据定理 2，有R( A) m ，从而R( B ) R( A) 1 m 1,因此, 根据定理2知向量组B线性相关.
由R( A) R( B ) m , 知方程组 ( 1 , 2 ,, m ) x b有唯一解，即向量b能由向量 组A线性表示，且表示式唯一.
4-2.3(线性相关性的概念)
0 0
x1
0
x2
1
xn
0
0
0
0
1
0
x1 0
x2
0
xn
0
三、线性相关性的概念
考虑线性方程组:
x1 x2 2 x3 2,
2 x1 x2 3 x3 3,
1 2
4 x1
3Hale Waihona Puke x2x3 1.
3
观察: 2 1 2 3
解释: 方程(3)可由方程(1)(2)线性表出;
方程(3)在方程组中 “多余”, 去掉该方程不
1 0 + 01+ …+ 0m = 0.
例3. 含有重复向量的向量组线性相关.
证: 设给定向量组 1, 2 ,…,m , β, β
存在不全为0的数0, 0, …, 0, 1, －1 使得：
01+ 02+…+ 0m +1β+(－1)β= 0.
影响方程组的求解. 问题: 能否用数学概念描述方程组中存在多余的方程？
定义: 给定向量组1, 2 … , m,
若存在不全为零的数k1, k2, …, km 使得:
k11+ k22+ …+ kmm = 0, 则称1, …, m 线性相关; 否则, 称 1, …, m 线性无关.
线性相关性
线性相关性
线性相关系数r又叫相关系数或线性相关系数,一般用字母r表示,用来度量两个变量间的线性关系。
相关系数是由统计学家卡尔·皮尔逊首先设计的统计指标。
这是一个研究变量之间线性相关程度的量，通常用字母r表示。
由于研究对象的不同，定义相关系数的方法很多，其中皮尔逊相关系数更为常用。
相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。
相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
來冄须要表明的就是，皮尔頭逊條相关系数并不是唯一的相关系数，但是最常用的相关系数，以下表述都就是针对皮尔逊相关系数。
依据有关现象之间的相同特征，其统计数据指标的名称有所不同。
例如将充分反映两变量间线性相关关系的统计数据指标称作相关系数（相关系数的平方称作认定系数）；将充分反映两变量间曲线有关关系的统计数据指标称作非线性相关系数、非线性认定系数；将充分反映多元线性相关关系的统计数据指标称作为丛藓科扭口藓相关系数、为丛藓科扭口藓认定系数等。
有关关系就是一种非确定性的关系，相关系数就是研究变量之间线性相关程度的量。
由于研究对象的相同，相关系数存有如下几种定义方式。
直观相关系数：又叫做相关系数或线性相关系数，通常用字母r 则表示，用以度量两个变量间的线性关系。
线性相关性与线性无关性
线性相关性与线性无关性标题：线性相关性与线性无关性的原理和应用引言：在数学和统计学中，线性相关性和线性无关性是两个基本概念。
它们对于解决各种实际问题和优化模型都具有重要意义。
本文将介绍线性相关性和线性无关性的原理、性质以及在实际应用中的具体应用案例。
一、线性相关性的定义与性质1.1 线性相关性的定义线性相关性指的是两个或多个变量之间存在线性关系，即它们的数值可以通过线性方程或线性组合相互表示。
如果存在非零系数，能够使得线性组合等于零，则这些变量是线性相关的。
1.2 线性相关性的性质（1）线性相关性是对称的，即若变量A与变量B线性相关，则变量B与变量A也线性相关。
（2）如果变量A与变量B线性相关，并且变量B与变量C线性相关，则变量A与变量C也线性相关。
（3）若某组变量中存在一个变量与其他变量线性无关，则该组变量是线性无关的。
二、线性无关性的定义与性质2.1 线性无关性的定义线性无关性指的是一个向量组中的各个向量之间不存在线性关系，即不能由其他向量线性表示。
2.2 线性无关性的性质（1）线性无关性并不意味着所有变量都是相互独立的，它只是表示线性关系的独立性。
（2）如果变量A与变量B线性无关，并且变量B与变量C线性无关，则变量A与变量C也线性无关。
（3）在具有n个未知数和n个方程的线性方程组中，如果其系数矩阵满秩，那么方程组的解是唯一的。
三、线性相关性与线性无关性的应用案例3.1 线性相关性在金融领域的应用在金融领域，线性相关性常用于构建投资组合和风险管理。
通过对不同资产的历史数据进行线性相关性分析，可以评估它们之间的相关性程度，有助于投资者进行有效的分散投资和风险控制。
3.2 线性无关性在图像处理中的应用在图像处理领域，线性无关性可以用于图像压缩和去噪。
通过去除图像中线性相关的冗余信息，可以有效减小图像文件大小，提高存储和传输效率。
同时，利用线性无关性的特性，可以去除图像中的噪声，还原出清晰的图像。
线性相关性
定义给定向量组A: a1, a2, ···, am , 如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使k1 a1 + k2 a2+ ··· + km am = 0则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关.注意1、对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的.2、若a1, a2, ···, am线性无关, 则只有当k1= k2 = ··· = km=0时, 才有 k1 a1 + k2 a2+ ··· + km am = 0成立.3、向量组A只包含一个向量a时,若a=0则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关.4、包含零向量的任何向量组是线性相关的.5、含有相同向量的向量组必线性相关.6、增加向量的个数，不改变向量的相关性.(注意，原本的向量组是线性相关的)【局部相关，整体相关】7、减少向量的个数，不改变向量的无关性.(注意，原本的向量组是线性无关的）【整体无关，局部无关】8、任意n+1个n维向量必线性相关.【个数大于维数必相关】9、一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关.【无关组的加长组仍无关】10、一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关.【相关组的缩短组仍相关】定理1、向量a1,a2,···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的（至少有一个）一个为其余(n-1)个向量的线性组合。
2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。
3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。
4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。
5、空间中任意四个向量总是线性相关。
我以为同一个线性相关的向量组（n个向量）里的向量应该都能够用这个组里的其他n-1个向量表示而成，结果出乎我意料的是书上说至少有一个能由其他n-1个向量线性表示，注意是至少有一个，不是全部，结果不幸的是我成了其中的一个，所以我选择线性无关。
3.3 线性相关性
m维列向量线性无关的充要条件是，以 α 1 , α 2 , ⋯ , α n 维列向量线性无关 充要条件是 维列向量线性无关的 为列向量的矩阵的秩等于向量的个数n。 为列向量的矩阵的秩等于向量的个数 。 对于行向量组显然也成立。 对于行向量组显然也成立。
推论1 推论 设n 个n 维向量α j = ( a1 j , a 2 j , ⋯ , a nj )( j = 1,2, ⋯ , n)， 则向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α n a11 a12 ⋯ a1n
例2
零向量是任何一组向量的线性组合。 零向量是任何一组向量的线性组合。 因为 0 = 0α1 + 0α2 +…+ 0αs.
例3
向量组α 中的任一向量α 向量组 1,α2,…,αs中的任一向量 j (1≤j≤s) 都是此向量组的线性组合。 都是此向量组的线性组合。 因为α 因为 j = 0α1 + 0α2 +…+1αj + … + 0αs.
判断向量β 例4 判断向量 1=(4,3,-1,11)与β2=(4,3,0,11) 与 是否各为向量组α 与 是否各为向量组 1=(1,2,-1,5)与 α2=(2,-1,1,1)的线性组合，若是，写出表达式。 的线性组合， 的线性组合 若是，写出表达式。 对矩阵(α 解：设k1α1+k2α2=β1，对矩阵 1T, α2T, β1 T) 施以初等行变换
2 4 1 2 4 1 1 2 − 1 3 0 − 5 − 5 0 → − 1 1 − 1 → 0 3 3 0 5 0 − 9 − 9 0 1 11 0 2 1 1 0 0 0 0
除零解x 除零解 1=x2=0外，还有非零解，如x1=2, x2=3。 外 还有非零解， 。
线性相关判断方法总结
线性相关判断方法总结线性相关是线性代数中一个非常重要的概念，它指的是向量空间中的向量之间存在一定的线性关系。
线性相关性的判断对于矩阵的求解、方程组的解法、以及向量空间的性质等方面都有着重要的意义。
在实际应用中，我们经常需要对向量的线性相关性进行判断，因此掌握线性相关判断方法是非常重要的。
一、向量的线性相关性定义。
在向量空间V中，如果存在一组不全为0的实数k1、k2、…、kn，使得。
k1a1 + k2a2 + … + knan = 0。
其中a1、a2、…、an为向量，则称向量a1、a2、…、an线性相关。
二、线性相关判断方法总结。
1. 行列式法。
对于向量组A={a1, a2, …, an}，构造矩阵M=[a1, a2, …, an]，计算M的行列式值，如果行列式值不为0，则向量组A线性无关，否则线性相关。
2. 向量组的线性表示。
判断向量组A={a1, a2, …, an}是否线性相关，可以将向量组中的向量表示为线性组合，然后判断线性组合的系数是否存在非零解。
如果存在非零解，则向量组线性相关，否则线性无关。
3. 矩阵的秩。
将向量组A={a1, a2, …, an}构成的矩阵M的秩与向量的个数进行比较，如果秩小于向量的个数，则向量组线性相关，否则线性无关。
4. 线性方程组。
将向量组A={a1, a2, …, an}构成的线性方程组Ax=0进行求解，如果方程组有非零解，则向量组线性相关，否则线性无关。
5. 内积法。
对于向量组A={a1, a2, …, an}，计算任意两个向量的内积，如果存在内积为0的向量对，则向量组线性相关，否则线性无关。
三、线性相关判断方法的应用。
线性相关判断方法在实际问题中有着广泛的应用，例如在经济学、工程学、物理学等领域中都能够看到相关的应用。
在数据分析中，线性相关性的判断可以帮助我们理解变量之间的关系，进而进行合理的数据处理和分析。
在机器学习领域，线性相关性的判断也是非常重要的，它可以帮助我们筛选出对模型训练有意义的特征变量，提高模型的预测准确性。
线性相关性与线性无关性
线性相关性与线性无关性线性相关性和线性无关性是线性代数中的两个基本概念，它们在向量空间和矩阵运算中有着重要的应用。
本文将介绍线性相关性和线性无关性的概念、判定条件以及相关性质。
一、线性相关性的概念和判定条件1. 线性相关性的概念线性相关性是指在向量空间中存在一种非零的线性组合，使得线性组合的系数不全为零。
换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，存在不全为零的实数k₁, k₂, ..., kₙ，使得k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性相关。
2. 线性相关性的判定条件线性相关性的判定条件是通过求解线性方程组来完成的。
对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。
若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关；若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关。
二、线性无关性的概念和判定条件1. 线性无关性的概念线性无关性是指在向量空间中不存在非零的线性组合使得线性组合的系数全为零。
换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，当且仅当线性组合的系数全为零时，才有k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性无关。
2. 线性无关性的判定条件线性无关性的判定条件是通过构造一个齐次线性方程组来完成的。
对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。
若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关；若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关。
三、线性相关性和线性无关性的性质1. 线性相关性和线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
当一组向量线性相关时，它们线性无关；当一组向量线性无关时，它们线性相关。
3.1.13.1线性相关性定义
一、定义
线性相关性定义
定 义 1 如果向量组 1 , 2 , … , s (s 2)中有一个向量可以由其余向量 线性表出，那么向量组1 , 2 , … , s 称为线性相关的。
例1 向 1 (2,1,3,1), 2 量(4,2,5,4), 3 (2,1,4,组1) 是线性相关的，因为 3 =31 - 2 .
例2 任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的。 0 02 03 0s
线性相关性定义
定 义 2 向量组 1 , 2 , … , s (s 1) 称为线性相关，如果有数域 P 中 不全为零的数 k1 , k2 , … , ks , 使 k11 + k22 + ... +kss = 0.
定义1与定义2在 s 2 时是等价的。 1 2 假设 1,2,s 中有一个向量可由其余向量线性表出，不妨设 s
向量组与其部分组的线性相关性的关系
证明：设向量组 1,2 ,,s , ,r (s r) ，其中一部分，譬如 1,2 ,,s
线性相关，即有不全为0的数 k1, k2 ,, ks 使 k11 k22 kss 0
则 k11 k22 kss 0s1 0r 0 因为 k1, k2 ,, ks 不全为0，所以 k1, k2 ,, ks ,0,,0 也不全为0 因而 1,2 ,, s , ,r 线性相关。证毕
s
k1 ks
1
k2 ks
2
k s 1 ks
s
1
由定义1，这个向量组线性相关。证毕
线性相关性定义
定义 3
一向量组1 , 2 , … , s (s 1) 不线性相关，即没有不全为零的数 k1, k2 ,, ks 使 k11 + k22 + ... +kss = 0 ，就称为线性无关。
线性相关性定义
定 义 1 如果向量组 1 , 2 , … , s (s 2)中有一个向量可以由其余向量 线性表出，那么向量组1 , 2 , … , s 称为线性相关的。
例1 向 1 (2,1,3,1), 2 量(4,2,5,4), 3 (2,1,4,组1) 是线性相关的，因为 3 =31 - 2 .
例2 任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的。 0 02 03 0s
线性相关性定义
定 义 2 向量组 1 , 2 , … , s (s 1) 称为线性相关，如果有数域 P 中 不全为零的数 k1 , k2 , … , ks , 使 k11 + k22 + ... +kss = 0.
定义1与定义2在 s 2 时是等价的。 1 2 假设 1,2,s 中有一个向量可由其余向量线性表出，不妨设 s
向量组与其部分组的线性相关性的关系
证明：设向量组 1,2 ,,s , ,r (s r) ，其中一部分，譬如 1,2 ,,s
线性相关，即有不全为0的数 k1, k2 ,, ks 使 k11 k22 kss 0
则 k11 k22 kss 0s1 0r 0 因为 k1, k2 ,, ks 不全为0，所以 k1, k2 ,, ks ,0,,0 也不全为0 因而 1,2 ,, s , ,r 线性相关。证毕
s
k1 ks
1
k2 ks
2
k s 1 ks
s
1
由定义1，这个向量组线性相关。证毕
线性相关性定义
定义 3
一向量组1 , 2 , … , s (s 1) 不线性相关，即没有不全为零的数 k1, k2 ,, ks 使 k11 + k22 + ... +kss = 0 ，就称为线性无关。
线性相关性
1 4 2 0
x1
2
3
x
2
5
6
x3
1
0
0
0
即
x14x22x30 2x15x2x30 3x16x2 0
方程组有无非零解?
1 4 2 1 4 2 1 4 2
A(123)
2
3
5
6
1
0
0
0
3 6
3 6
0
0
1
0
1
0
R(A) 2 3 , Ax 0 有非零解
两个向量线性相关性的几何意义
线性相关(共线或平行)
线性无关(不共线不平行)
1 4 2
例3
1
2,2
5,3
1
3
6
0
(1)判断1,2,3 是否线性相关 (2)可能的话,求1出,2,3 的一个线性关系式.
解: 是否存在不全为x01的, x2 , x3 , 使 x 1 1 x2 2 x3 3 0 ,
线性相关(共线或平行)
矩阵A的列线性无关
增加向量后仍线性相关.
例4 用观察法判断下列向量组是否线性相关
2 3
(3)
4 6
,
6 9
,
10
15
解: 两个向量不是倍数关系, 线性无关.
0 1 4
例5
A
1
2
1
,
5 8 1 2
判断A的列是否线性相关.
0 1 4 1 2 1
例2
(两个向量的线性相关性)
判断下列向量组是否线性相关
3 6
(1)
1
,
2
2 4
3 6
(2)
3-2线性相关性
线性表示， 若B组中的每个向量都能由 向量组 A线性表示，则 称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组 A与向 能相互线性表示， 量组B能相互线性表示，则称 这两个向量组等价． 向量组等价．
若记A = α 1 ,α 2 ,L,α m )和B = b1 , b2 ,L, bs ).B （ （ 线性表示， 能由 A线性表示，即对每个向 量b j ( j = 1,2,L, s )存 在数k1 j , k 2 j ,L k mj , 使
( k 1 − l 1 )α 1 + ( k 2 − l 2 )α 2 + L + ( k m − l m )α m = 0
因α 1 , α 2 , L , α m 线性无关所以( k i − l i ) = 0, 即 ki = li ( i = 1,2, L m ).
所以表示法是唯一的。 所以表示法是唯一的。 定义２ 设有两个向量组 定义２ A : α 1 , α 2 , L , α m 及B : β 1 , β 2 , L , β s .
只有零解 只有仅当
x1 = 0, x 2 = 0, L x n = 0 （*）式成立 ）
定义３ 给定向量组 A : α 1 , α 2 , L , α m , 如果存在不 定义３
全为零的数 k1 , k 2 , L , k m 使 k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m = 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 是线性相关的，否则称它线性无关． 注意
对方程组A的各个方程做线性运算 所得到的 的一个线性组合； 一个方程就称为方程组A的一个线性组合；若方 程组B的每个方程都是方程组A的线性组合，就 的线性组合， 线性表示， 称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组 A的解一定是方程组B的解；若方程组A与方程组 的解； B能相互线性表示，就称这两个方程组等价，等 能相互线性表示， 这两个方程组等价， 价的方程组一定同解.
线性相关性
8）线性相关性的基本定理
定理 设1,2,…,r(I)与1, 2,…, s(II)为 两个向量组，若
i) 向量组(I)可由向量组(II)线性表出， ii) r>s 则向量组(I)必线性相关
推论1 如果1,2,…,r可由1, 2,…, s 线性表出,且1,2,…,r线性无关,则 r s 。
推论2 任意n＋1个n维向量必线性相关。
线性相关性
一个十分重要的概念
一、线性组合
定义： 对于向量,1, 2, …,s ,如果存 在P上的数k1,k2,…,ks使
= k11+ k22+ …+kss 则称向量为向量组1, 2, …,s的一个 线性组合．另一种称呼是，可以由向 量组1, 2, …,s线性表出。
注：
1）若=k，则称向量与成比例 ．
7）若向量组1,2,…,s线性无关,其中i= (ai1, ai2,…, ain), i =1,2,…, s, 则1, 2,…, s 也线性无 关，其中i=(ai1, ai2,…, ain, ain+1).
注：称1, 2,…, s 为1,2,…,s的延长组， 1,2,…,s为1, 2,…, s的缩短组， 反之 若1, 2,…, s 线性相关，则1, 2,…, s必线性相关
5) 如果向量组1,2,…,s线性无关， 而向量组1,2,…,s ,线性相关,则可由 向量组1,2,…,s线性表出．
证明过程
6) 如果i=(ai1, ai2,…, ain), i=1,2,…,s, 则向量组1,2,…,s线性无关的充分必 要条件是齐次线性方程组
a11x1 a21x2 L as1xn 0
性质
1) 单独一个向量线性相关当且仅当它是零 向量；单独一个向量线性无关当且仅当它 是非零向量．
线性相关性与线性无关性
线性相关性与线性无关性线性相关性和线性无关性是线性代数中重要的概念，用于描述向量之间的关系。
本文将介绍线性相关性和线性无关性的定义、性质以及它们在矩阵和向量运算中的应用。
一、线性相关性的定义在向量空间中，如果存在一组非零向量，其中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么我们称这组向量是线性相关的。
换言之，如果存在实数$c_1, c_2, ..., c_n$，使得$c_1\mathbf{v_1} +c_2\mathbf{v_2} + ... + c_n\mathbf{v_n} = \mathbf{0}$，其中$\mathbf{v_i}$是向量集合中的向量，且至少存在一个$c_i$不为零，则这组向量是线性相关的。
二、线性无关性的定义与线性相关性相反，如果一组向量中的任意一个向量都不能表示为其他向量的线性组合，那么我们称这组向量是线性无关的。
换言之，如果仅当$c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$时，$c_1\mathbf{v_1} +c_2\mathbf{v_2} + ... + c_n\mathbf{v_n} = \mathbf{0}$，其中$\mathbf{v_i}$是向量集合中的向量，则这组向量是线性无关的。
三、线性相关性与线性无关性的性质1. 若向量组中有一个零向量，则向量组线性相关。
2. 若向量组中的向量个数少于向量的维数，则向量组线性相关。
3. 若向量组中的向量个数多于向量的维数，则向量组线性无关。
4. 若向量组中的向量组成的矩阵的行数大于列数，则向量组线性相关。
5. 若向量组中的向量组成的矩阵的行数小于列数，则向量组线性无关。
四、线性相关性与线性无关性的应用线性相关性和线性无关性在矩阵和向量运算中有广泛的应用。
1. 判断向量组的线性相关性与线性无关性可以通过求解线性方程组$c_1\mathbf{v_1} + c_2\mathbf{v_2} + ... + c_n\mathbf{v_n} = \mathbf{0}$，其中$\mathbf{v_i}$是向量集合中的向量，判断一组向量的线性相关性或线性无关性。
线性相关性
即r(A)=2<3，故 Ax = 0 存在非零解.
线性相关性的判定 A = (α1 , α 2 , , α s ). 定理1 n维列向量组 α 1 , α 2 , , α s 线性相关的 ⇔ r ( A) < s.
推论 0. n个 n维列向量组 α 1 , α 2 , , α n 线性相关⇔ A =
b11 b 21 (ξ1 , ξ 2 , , ξ n ) = (α1 , α 2 , , α s ) bs1
b12 b1n b22 b2 n bs 2 bsn
推论1 矩阵A经过初等行(列)变换化为B, 则 A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。
γ 1T a11 T γ 2 = a21 T γ m am 1 a12 a22 am 2 a1 s β 1 T a2 s β 2 T ams β s T
1 −1 0 1 ~0 0 0 0
0 −1 −2 1 2 4 0 3 5 0 0 0
继 续 行 变 换
β 1 , β 2 , β 4 线性无关
1 3
Hale Waihona Puke 1 −1 0 1 0 0 0 0
0 −1 −2 1 2 4 0 3 5 0 0 0
故r(A)=3<5
线性相关性的性质 定理1 向量组线性相关的 ⇔ 其中至少有一个向量可以由其他向量线性表示. 定理2
α 1 , α 2 , …, α s α 1 , α 2 , , α s , α s +1 , , α s + t
线性相关性的判定
线性相关性的判定
线性相关性是描述两种或者多种变量间有线性关系的合理性状态，是衡量两个变量间
联系性的一种参考指标。
它反映了一个变量对另一个变量的影响程度，说明两个变量之间
是否是正相关或者负相关，并且可以运用于不假定变量遵循特定分布的状态。
统计学中，
我们一般采用相关系数（Pearson积差之和）来衡量线性相关性两变量间的相关程度以判
定变化情况是否存在线性关系或者线性相关性。
确定是否存在线性相关性的方法主要有以下三种：
一、消除法。
此法先用一元或二元回归模型进行回归分析，然后对剩余的方差的变化
程度进行判断，如果变化幅度大于AC，则说明存在线性相关性；
二、检验相关系数矩阵。
当存在多个变量时，可以采用相关系数矩阵法来检验是否存
在线性相关性，此方法也叫复相关矩阵分析。
通过检验每两个变量之间的相关系数，可以
看出它们之间是否存在显著性的线性关系；
三、绘制点积图。
采用绘制点积图，可以有目的地发现联系的状态，即是否存在线性
相关性，而曲线的类型则可以定量说明相关性的程度。
如果曲线是明显的线性拟合曲线，
则说明变化情况为线性关系。
综上所述，线性相关性不仅可以帮助我们判断变量之间有无联系，而且还可以说明变
量之间存在什么样的联系，是正相关还是负相关，以及相关性的程度。
通过以上三种方法，我们可以找到变量之间的线性相关性，从而给出正确的，准确的结论。
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1.线性组合
以下我们总是在一固定的数域 上的 维向量空间中进行讨论，不再每次说明.
在这里我们研究向量之间的关系.两个向量之间最简单的关系是成比例。所谓向量
与 成比例就是说有一个数 使
= .
在多个向量之间，成比例的关系表现为线性组合.
定义9向量 称为向量组 的一个线性组合,如果有数域P中的数,
使
.
例如，§1的方程组（8）的三个方程可以用向量
一般的，要判别一个向量组
是否线性相关，根据定义11，就是看方程
有无非零解. 式按分量写出来就是
因之，向量组 线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 只有零解.
Hale Waihona Puke 参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，高等代数[ M ].北京：高等教育出版社，
2003年9月（2011年5月重印）.
[2]张远达.线性代数原理[ M] .上海:上海教育出版社, 1980.
线性表出，那么向量组 就称为可以经向量组
线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.
3.向量组等价的性质
1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.
2）对称性；如果向量组 与 等价，那么向量组 也与 等价.
3）传递性：如果向量组 与 等价， 与 等价，那么向量组 与 等价.
4.线性相关与无关
Key Words:homo generous linear equations, rank of matrix , no n-zero solution
诚谢高老师的指导
2012-4-3
天水师范学院
线
性
相
关
班级：11级数学与应用数学四班
学号：20111010411
姓名：雷 国 强
诚谢高老师的指导
2012-4-3
equation w hose rank ofmatrix is n- 1, there is a formulated solution as simple as the Cramer Law . This solution is very convenience for the homogeneous linear equations of 3-variables.
定义11如果向量组 ( )中有一个向量可以由其余的向量线性表
出，那么向量组 称为线形相关的.
定义12一向量组 ( )不线性相关，即没有不全为零的数
使
.
就称为线性无关；或者说，一向量组 称为线性无关，如果由
.
可推出
.
由定义立即得出，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.
5.线性相关的判定
来代表，且等价于 这个等式表示 是 的一个线性组合.
又如，任一个 维向量 都是向量组
的一个线性组合.因为
向量 称为 维单位向量.
由定义可以立即看出，零向量是任一向量组的线性组合（只要取系数全为0就行了）.
2.线性表出
当向量 是向量组 的一个线性组合时，我们也说 可以经向量组
线性表出.
定义10 如果向量组 中每一个向量 都可以经过向量组
Abstract:Homo generous linearequations ofn- variables have the non-zerosolutions w hen the rank o f
its matrix is less than n. T og et this solution, the matrix canbe proceeding elementary operation. But to th
[3]北京大学数学力学系.高等代数[ M ] .北京:人民教育出版社,1978.
A simple formulated solution of homogeneous linear equationsLIANG Han- guang
(Preparatory dept. ofGuangxiUniversityf or Nationalities ,Nanning530006,China)
线性相关性
雷国强
天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级四班，甘肃天水，741001
摘要数域 上 维线性空间中向量组的线性相关性及其性质和相关性的应用.
关键字 维向量；线性组合；线性无关；线性表出.
引言向量组的线性相关与线性无关性的判定较难理解和掌握.实际上,向量组的线性相关与线性无关是相对的,我们只要掌握了向量组的线性相关的判定,线性无关的判定也就没有问题了.因此,下面主要论述向量组的线性相关性的定义及判定方法.
以下我们总是在一固定的数域 上的 维向量空间中进行讨论，不再每次说明.
在这里我们研究向量之间的关系.两个向量之间最简单的关系是成比例。所谓向量
与 成比例就是说有一个数 使
= .
在多个向量之间，成比例的关系表现为线性组合.
定义9向量 称为向量组 的一个线性组合,如果有数域P中的数,
使
.
例如，§1的方程组（8）的三个方程可以用向量
一般的，要判别一个向量组
是否线性相关，根据定义11，就是看方程
有无非零解. 式按分量写出来就是
因之，向量组 线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 只有零解.
Hale Waihona Puke 参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，高等代数[ M ].北京：高等教育出版社，
2003年9月（2011年5月重印）.
[2]张远达.线性代数原理[ M] .上海:上海教育出版社, 1980.
线性表出，那么向量组 就称为可以经向量组
线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.
3.向量组等价的性质
1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.
2）对称性；如果向量组 与 等价，那么向量组 也与 等价.
3）传递性：如果向量组 与 等价， 与 等价，那么向量组 与 等价.
4.线性相关与无关
Key Words:homo generous linear equations, rank of matrix , no n-zero solution
诚谢高老师的指导
2012-4-3
天水师范学院
线
性
相
关
班级：11级数学与应用数学四班
学号：20111010411
姓名：雷 国 强
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2012-4-3
equation w hose rank ofmatrix is n- 1, there is a formulated solution as simple as the Cramer Law . This solution is very convenience for the homogeneous linear equations of 3-variables.
定义11如果向量组 ( )中有一个向量可以由其余的向量线性表
出，那么向量组 称为线形相关的.
定义12一向量组 ( )不线性相关，即没有不全为零的数
使
.
就称为线性无关；或者说，一向量组 称为线性无关，如果由
.
可推出
.
由定义立即得出，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.
5.线性相关的判定
来代表，且等价于 这个等式表示 是 的一个线性组合.
又如，任一个 维向量 都是向量组
的一个线性组合.因为
向量 称为 维单位向量.
由定义可以立即看出，零向量是任一向量组的线性组合（只要取系数全为0就行了）.
2.线性表出
当向量 是向量组 的一个线性组合时，我们也说 可以经向量组
线性表出.
定义10 如果向量组 中每一个向量 都可以经过向量组
Abstract:Homo generous linearequations ofn- variables have the non-zerosolutions w hen the rank o f
its matrix is less than n. T og et this solution, the matrix canbe proceeding elementary operation. But to th
[3]北京大学数学力学系.高等代数[ M ] .北京:人民教育出版社,1978.
A simple formulated solution of homogeneous linear equationsLIANG Han- guang
(Preparatory dept. ofGuangxiUniversityf or Nationalities ,Nanning530006,China)
线性相关性
雷国强
天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级四班，甘肃天水，741001
摘要数域 上 维线性空间中向量组的线性相关性及其性质和相关性的应用.
关键字 维向量；线性组合；线性无关；线性表出.
引言向量组的线性相关与线性无关性的判定较难理解和掌握.实际上,向量组的线性相关与线性无关是相对的,我们只要掌握了向量组的线性相关的判定,线性无关的判定也就没有问题了.因此,下面主要论述向量组的线性相关性的定义及判定方法.