书稿：高中数学(理科)一轮复习1篇
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高考总复习·数学理(新课标A)第一篇集合与常用逻辑用语
第1讲集合的概念和运算【2014年高考会这样考】1．考查集合的交、并、补的基本运算，常与一次不等式、一元二次不等式、简单的分式不等式、指数不等式、对数不等式的求解或函数定义域相结合．2．利用集合运算的结果确定某个集合，主要是有限数集的基本运算，可用韦恩图解决，多以选择题的形式进行考查．
考点梳理1．集合的基本概念(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)．(2)真子集：若A?B，且A≠B，则AB(或BA)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，?B(B≠?)．(4)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)补集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}，U为全集，?UA表示A相对于全集U的补集．(4)集合的运算性质①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B；②A∩A＝A，A∩?＝?；③A∪A＝A，A∪?＝A；④A∩?UA＝?，A∪?UA＝U，?U(?UA)＝A. 【助学·微博】常用一条性质若集合A中含有n个元素，则A的子集有2n个，A的真子集有2n－1个．关注两个“易错点”(1)注意空集在解题中的应用，防止遗漏空集而导致失误，如A?B，A∩B＝A，A∪B＝B中A＝?的情况需特别注意；
(2)对于含参数的两集合具有包含关系时，端点的取舍是易错点，对端点要单
独考虑．考点自测1．(2012·湖南)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝()．A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1} 解析由x2≤x，解得0≤x≤1，∴M∩N＝{0,1}．答案B 2．(2012·广东)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则?UM＝()．A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6} 解析根据补集的定义，由于U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，从而?UM＝
{3,5,6}．答案C 3．(2012·江西)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈
B}中的元素的个数为()．A．5 B．4 C．3 D．2 解析涉及集合中元素个数的问题，常用枚举法求解．本题可用枚举法求解：
当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，
z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，
共3个元素．答案C 4．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为()．
A．{5} B．{4} C．{1,2} D．{3,5} 解析由题图可知阴影部分为集合(?UA)∩B，∵?UA＝{3,5,6}，∴(?UA)∩B＝
{3,5}．答案D 5．(2012·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________. 解析A＝{x|－5 所以m＝－1，n＝1. 答案－11 考向一集合的基本概念 【例1】?已知a∈R，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b,0}，则a2 014＋b2 014＝________. [审题视点] 结合元素的互异性与集合相等入手． 解析由已知得ba＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1， 又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 014＋b2 014 ＝1. 答案1 (1)利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但仍然要检验，看所得结果是否符合集合中元素的互异性的特征． (2)此类问题还可以根据两集合中元素的和相等，元素的积相等，列出方程组 求解，但仍然要检验． 【训练1】集合x∈N*12x∈Z中含有的元素个数为()． A．4 B．6 C．8 D．12 解析令x＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12代入验证得x＝1,2,3,4,6,12时，12x∈Z， 故集合中有6个元素．答案B 考向二集合间的基本关系【例2】? 已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1 则m＋1≥－2，2m－1≤7，m＋1<2m－1，解得2 集关系问题，往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论．【训练2】已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________. 解析A＝{x|log2x≤2}＝{x|0 且a的取值范围是(c，＋∞)，可以结合数轴分析得c＝4. 答案4 考向三集合的基本运算【例3】? 设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(?UA)∩B＝?，则m的值是________．[审题视点] 本题中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需 要根据(?UA)∩B＝?对集合A，B的关系进行转化．解析A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A， ∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?. ∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}． ①若B＝{－1}，则m＝1； ②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}； ③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－ 2)＝2，由这两式得m＝2. 经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2. 答案1或2 本题的主要难点有两个：一是集合A，B之间关系的确定；二是对 集合B中方程的分类求解．集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着 一些必然的联系，这些联系通过Venn图进行直观的分析不难找出来，如A∪B＝A?B?A，(?UA)∩B＝??B?A等，在解题中碰到这种情况时要善于转化， 这是破解这类难点的一种极为有效的方法．【训练3】(1)(2012·陕西)集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝()．A．(1,2) B．[1,2) C．(1,2] D．[1,2] (2)(2012·山东)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B为()．A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4} 解析(1)由题意得M＝(1，＋∞)，N＝[－2,2]，故M∩N＝(1,2]． (2)∵?UA＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(?UA)∪B＝{0,2,4}．答案(1)C(2)C 热点突破1——集合问题的求解策略
