最新人教A版高中数学选修2-2 第二章 推理与证明综合检测习题(含答案解析)
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第二章 推理与证明综合检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；
直角三角形的面积等于底乘高的一半；
钝角三角形的面积等于底乘高的一半；
所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．
以上推理运用的推理规则是( )
A．三段论推理
B．假言推理
C．关系推理
D．完全归纳推理
[答案] D
[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )
A. a1＝1，an＋1＝an＋n(n∈N*)
B. a1＝1，an＝an－1＋n(n∈N*，n≥2)
C. a1＝1，an＋1＝an＋(n－1)(n∈N*)
D. a1＝1，an＝an－1＋(n－1)(n∈N*，n≥2)
[答案] B
[解析] 记数列为{an}，由已知观察规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，…，可知当n≥2时，an比an－1多n，可得递推关系 a1＝1，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)．
3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )
A．大前提错误
B．小前提错误 C．推理形式错误
D．不是以上错误
[答案] C
[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.
4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，验证n＝1，左边应取的项是( )
A．1
B．1＋2
C．1＋2＋3
D．1＋2＋3＋4
[答案] D
[解析] 当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.
5．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则( )
A．－1＜a＜1
B．0＜a＜2
C．－12＜a＜32
D．－32＜a＜12
[答案] C
[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x－a)⊗(x＋a)<1的简化形式，再求其恒成立时a的取值范围．
(x－a)⊗(x＋a)<1⇔(x－a)(1－x－a)<1
即x2－x－a2＋a＋1>0
不等式恒成立的充要条件是
Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0
即4a2－4a－3<0
解得－12
6．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13 D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14
[答案] D
[解析] 项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故应选D.
7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )
A．大于0
B．小于0
C．不小于0
D．不大于0
[答案] D
[解析] 解法1：∵a＋b＋c＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，
∴ab＋ac＋bc＝－a2＋b2＋c22≤0.
解法2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，∴ab＋bc＋ac＝ab＜0，排除A、B、C，选D.
8．已知c＞1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是( )
A．a＞b
B．a＜b
C．a＝b
D．a、b大小不定
[答案] B
[解析] a＝c＋1－c＝1c＋1＋c，
b＝c－c－1＝1c＋c－1，
因为c＋1>c>0，c>c－1>0，
所以c＋1＋c>c＋c－1>0，所以a
9．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k≥3且k∈N*)等于(
)
A．f(k)＋π2
B．f(k)＋π
C．f(k)＋32π
D．f(k)＋2π
[答案] B
[解析] 由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 10．若sinAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．有一个内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一个内角是30°的等腰三角形
[答案] C
[解析] ∵sinAa＝cosBb＝cosCc，由正弦定理得，
sinAa＝sinBb＝sinCc，∴sinBb＝cosBb＝cosCc＝sinCc，
∴sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴∠B＝∠C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
11．若a＞0，b＞0，则p＝(ab)a＋b2与q＝ab·ba的大小关系是( )
A．p≥q
B．p≤q
C．p＞q
D．p＜q
[答案] A
若a＞b，则ab＞1，a－b＞0，∴pq＞1；
若0＜a＜b，则0＜ab＜1，a－b＜0，∴pq＞1；
若a＝b，则pq＝1，
∴p≥q.
12．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2011＝( )
x 1 2 3 4 5
f(x) 4 1 3 5 2
A.1
B．2
C．4 D．5
[答案] C
[解析] x1＝f(x0)＝f(5)＝2，
x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2011＝x3＝4，故应选C.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①
①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．
[答案] 43πR3′＝4πR2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．
14．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>n2时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.
[答案] 12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1
[解析] f(2k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k＋1
f(2k)＝1＋12＋13＋…＋12k
f(2k＋1)－f(2k)＝12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1.
15．观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝34；
②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．
[答案] sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34
[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，
由此猜想：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34.
可以证明此结论是正确的，证明如下：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)
＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12
＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12
＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34.
16．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b2|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：
①整数集是数域；
②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；
③数域必为无限集；
④存在无穷多个数域．
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
[答案] ③④
[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力．
①整数a＝2，b＝4，ab不是整数；
②如将有理数集Q，添上元素2，得到数集M，则取a＝3，b＝2，a＋b∉M；
③由数域P的定义知，若a∈P，b∈P(P中至少含有两个元素)，则有a＋b∈P，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈P，∴P中必含有无穷多个元素，∴③对．
④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋bx|a、b∈Q}必是数域，这样的数域F有无穷多个．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1.
求证：a2＋b2＋c2≥13.
[证明] 由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.
由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，
即a2＋b2＋c2≥13.
18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
2cosπ4＝2，
2cosπ8＝2＋2，
