sx1213数学与当代人文社会科学

专题13 数学与当代人文社会科学 人文、社会科学所涉及的内容十分广泛，我们只能就少量学科的少数典型问题予以介绍。 从历史上看，虽然人类在最初的社会活动中就需要简单的数学知识，如丈量土地、计算收成、商品交换、税收、摊派徭役、军队的后勤补给、政府的行政支出等，但是真正在人文、社会科学中明确地使用数学方法进行研究却是很晚的事情，其中以经济学最早，其标志是英国经济学家威廉·配第（William Petty ，1623—1687）死后出版的著作《政治算术》（1690）。配第的工作与另一位英国学者格朗特（John Graunt•，1620──1674）的工作一起构成了在经济学史与统计学史上影响十分深远的政治算术学派的开端。除经济学之外，19世纪中后期在少数历史学（主要是经济史）著作中也开始使用简单的数学（主要是统计学）方法，同一时期，一些数学家和语言学家提出在语言学的研究中可以使用数学方法，并运用一些简单的数学（主要是统计学）方法进行了少量实际研究。其他人文、社会学科中明确使用数学方法就基本上都是本世纪以来的事了。 数学方法进入人文、社会科学虽晚，但一旦进入，便逐渐显示出巨大的威力，并且逐渐加快了相应学科数学化的进程。1971年 2月，美国哈佛大学的卡尔·多伊奇 (K.Deutsch ) 和他的两个同事在美国最权威的《科学》杂志上发表了一项研究报告，其中列举了1900—1965年间在世界范围内社会科学方面的62项重大成就，按照他们的选择标准，包括：心理学13项，经济学12项，政治学11项，数学11项，社会学 7项，哲学、逻辑和科学史 5项，人类学 3项。其中，政治学的11项中包括了列宁的“一党领导下的革命理论”、“一党制的苏维埃国家”，毛泽东的“农民、游击队和政府”这样三项；经济学中包括了苏联克拉申等人的“中央计划经济”；心理学中包括巴甫洛夫的“条件反射”。这表明上述所列社会科学的重大成就确实具有普遍的代表性。在这62项成就中，数学化的定量研究占 2／3 ，在1930年以后作出的重大成就中，定量研究占 5／6 ，这表明了当代社会科学向数学化、定量化方向发展的趋势。

一、数学与经济学 目前，在传统的社会科学领域中，•经济学是最成功地实现数学化的学科，成就令人瞩目。自1969年设立诺贝尔经济学奖以来，超过2/3的获奖者是由于在经济学领域运用数学方法获得重大突破而获奖的。正如现代数学大师、数理经济学家冯·诺伊曼所料，经济现象最复杂，它要用的数学理论也最高深，因为越是抽象的数学工具越适于分析实际上十分复杂的事物。微积分学、集合论、拓扑学、实凸分析以及概率论，在研究和表达经济理论方面都起了重要的作用。很多数学家惊讶地发现，极其抽象的拓扑学最有用的地方竟是在经济学领域。数学在经济学中的应用，产生了包括数理经济学、经济计量学、经济控制论、经济预测、经济信息等分支的数量经济学科群，以致一些西方学者认为：当代的经济学实际上已成为应用数学的一个分支。 现代数理经济学研究数学概念和数学技巧对经济，特别是对经济理论的各种应用，例如最优经济效果、利益协调和最优价格的确定这些基本理论问题，为经济计量学、管理科学、经济控制论提供模型框架、结构和基础理论。其中一些基本问题是从经济学中提出的，但深入研究则是从数学的角度进行的。数理经济学是主要进行定性分析的理论经济学。它研究最优经济效果、利益协调和最优价格的确定这些经济学基本理论问题，为经济计量学、管理科学、经济控制论提供模型框架、结构和基础理论，可以说是经济学的基础之基础。其核心内容之一是用一种规范化的方法研究瓦尔拉斯（M.E.L.Walras，1834—1910）创立的一般均衡理论，使用的数学工具主要是集合论、群论、拓扑学，其学术文献完全是公理化的，从一套公设、假定、定义出发，导出一个严谨的公理化体系。在数理经济学中，一般经济均衡理论一直是活跃的前沿研究课题。自1969年开始颁发诺贝尔经济学奖以来，已有多位经济学家因在这一领域的建树而获奖。 数理经济学的重要成果之一是证明了只要偏好满足完全性、自反性、传递性和连续性这四条公理，就存在表达这一偏好的效用函数，并且这样的效用函数是连续的。这一函数的存在性是美籍法裔经济学家德布勒（Garard Debreu ）于1964年最终证明的。 投入－产出分析法。在现代经济中，投入－产出分析法是研究生产单位和消费单位之间相互关系的一种方法，并可用以说明不同生产部门之间的相互关联。1936年，Wassily Leontief（列昂杰夫，1905— 苏 -美）《美国经济制度中投入产出的数量关系》，创立投入 -产出分析法，用数学模型和数值方法研究经济结构，进行经济前景预测和制订经济计划。他的模型是矩阵结构的一种线性模型，在概念上非常简单而又足够精细，对实际制订计划很有帮助。1973年他因此而获诺贝尔经济学奖。 阿罗不可能性定理。我们社会中的每个人对各种事物都有自己的偏好。由于信息获取的差别和利益的矛盾，我们每个人的偏好一般不是完全一样的。因此，如何把有差别的个人偏好汇集成一个最终的社会偏好，就成为至关重要的社会选择问题了。在现代民主社会中，社会选择的方法一般有两种，即投票表决和市场机制 (货币投票) 。依据人们的常识，设Ｘ是全体备选对象构成的集合，x、y、z 是其中的元素，社会选择的方法理应满足如下条件： 公理１：完全性。对Ｘ中的任意两个备选对象 x和 y，必有 x≥y 或 y≥x ．即Ｘ中任意两个元素都是可以排序的。 公理２：传递性。对任意x、y、z∈Ｘ，x≥y，y≥z ====> x≥z. 条件１：广泛性。自由赋序。个人对备选方案的所有逻辑上可能的偏好排序都是许可的。 条件２：一致性。弱 Pareto 原则。若社会所有成员都认为一种备选方案优于另一种，那么社会即应同样如此认为。 条件３：对无关备选对象的独立性。当人们对两个备选对象进行评价时，社会根据大家对它们的态度就能决定，不必牵涉到对其他备选对象的评价。比如，原来有两名候选人，现在又添加一名候选人，则人们对原来两名候选人的偏好序不应受新添候选人的影响。 条件４：非独裁性。不应使单个人的偏好总是自动地成为社会偏好，而不管其他人的偏好与他是如何地不同。 上述条件似乎是那样自然而合情合理，以致人们常把它们当成社会选择方法应该满足的不言而喻的公理。但是，阿罗却证明，不存在任何一种社会选择方法能同时满足上述两条公理和四个条件。这就是著名的“阿罗不可能性定理”，亦称“独裁定理”。 经济学研究的一个核心问题是如何分配紧缺的资源，使它在既充满相互竞争、要求又无法满足的情况下能够达到目的。如何运用数学的工具来分析“什么是最佳方案”的问题，是经济学理论的一个焦点。经济学家们一直在应用数学上各种技巧探讨这个十分重要的问题。微积分学、集合论、拓扑学、实凸分析以及概率论，在用数学方式来表达经济理论方面都起了重要的作用。例如，福利经济学试图在平衡条件下确定对产品与服务作最佳的分配。著名的帕累托定理规定，当至少有一个人生活得更好而没有一个人生活得更差时，这种分配就可以被认为比原来的分配更优。这里用到了对策论：在二人或二人以上的对策中，如果一个人赢，就会有另外的人输，输赢总量恰好相抵，就是“零和对策”；如果人人都赢，而没有人输，就是“非零和对策”。福利经济学就是要利用非零和对策理论。

二、数学与政治科学 （1）冲突与合作策略 各种冲突、对抗、竞争广泛存在于政治、商业、军事、体育比赛等各项事务之中。对策论是运筹学的重要分支，最早研究的问题是对抗或竞争中的各方所应采取的策略以及由此得到的结果，并给出策略优劣的分析。研究方法是: 先构造出所论冲突的数学模型，然后用数学方法加以分析、比较、计算，根据所得结果对原来所论冲突作出相应的解释。对策论诞生于1927年，由大数学家冯·诺伊曼创立。冯·诺伊曼认识到经济与政治中的某些决策条件在数学上与某些策略对策等价。所以从分析这些对策中所学到的东西可以直接应用于现实生活中的决策。 一个典型问题是1948年《美国数学月刊》提出的。甲、乙、丙三人参加一个掷镖游戏，每人各持一气球，只要气球不破，就可以继续参赛，优胜者属于唯一保持气球完好的参赛者。每轮投掷中参赛者都以抽签决定掷镖顺序，然后依次投掷一支飞镖。已知甲的命中率为80％; 乙的命中率为60％; 丙的命中率为40％。每位参赛者应采用什么策略? 囚徒悖论是美国数学家 R.D. 卢斯和 H. 莱法于1952年共同提出的。他们在所著《博弈与决策》一书中指出，居于同一间牢房内的两名囚徒之间的关系可能有三种选择：一是双方都选择合作，则双方均可获得一定的赏格和好处; 二是如果一方选择合作，而另一方选择进攻，则进攻者的赏格将大大增加，而选择合作者将受到惨重的惩罚；三是双方都选择进攻，则双方都要受到惩罚。总之，在上述三种情况中，并不存在对谁特别有利的策略，也可称之为解这个问题的三条规则。它本来是从赌博、下棋之类的实际活动中提炼出来的简单道理。当它一旦形成某种理论的数学模型之后，便具有更加广阔深远的现实意义了。 设甲、乙二人为同一案件的两名罪犯，他们被隔离并被告知：如果他们都招供，可得到较轻的判处，如每人监禁 5年（5，5）；如果一人招供而另一人顽抗，前者因立功而只判 3个月监禁，后者则受到10年监禁的加倍惩罚（0.25，10）或（10，0.25）；如果二人均不招供，则由于缺乏证据只能各判处 1年监禁的轻刑（1，1）。从总体上看，如果甲乙二人能相互合作，共同顽抗，就能争取到各判一年监禁的最佳结果。但是，对于他们中的任何一人而言，无论对方是否招供，自己招供似乎都是最佳选择；而当双方都这样考虑时，他们只能获得每人监禁 5年的结果。 乙的策略 ┌－－－┬－－－－┬－－－－－┐ │ │ 招供 │ 顽抗 │ 甲 ├－－－┼－－－－┼－－－－－┤ 的 │招供 │５，５ │ 0.25，10 │ 策 ├－－－┼－－－－┼－－－－－┤ 略 │顽抗 │10，0.25│ １，１ │ └－－－┴－－－－┴－－－－－┘

（2）名额分配中的难题 在人类的社会生活中，各种分配问题极为常见，针对不同的实际情形建立合理的分配原则受到经济学家、政治学家、法学家当然还有数学家等的共同关注，而名额分配则是其中十分典型的一类，有关的实质性内容早在18世纪就开始被美国的一些政治家们认真地加以讨论了。美国宪法第一条第二款规定：每个州派往众议院的代表人数应与本州人口成比例。美国现有50个州，各州的人口数量之间又没有整数倍，在一个特定规模的众议院，每个州的理想代表人数是按该州人口与总人口的比率乘众议院总成员数得出的。这个理想数字可能是个分数，而各州的代表名额却必须是整数，于是就需要有一套分配代表名额的合理方法。在美国建国初期，一些著名政治家提出了各自的解决方法。财政部长汉密尔顿提出的方法是：开始时先给每个州一个代表数，与其理想的代表的整数部分相等，舍弃其分数部分。换言之，如果佛蒙特州理想的代表人数为 3.62 ，它就有 3个代表。在这个基础分配的代表人数上计算出代表总数，如果总数没有达到众议院要求的人数，就取那些舍弃了的最大分数值的州的代表进众议院。1975年，《美国数学月刊》刊登了迈克尔·巴林斯基和 H. 佩顿·扬的文章“按比例分配的定额法”，其中根据汉密尔顿的按比例分配方法虚构了一个例子，揭示出按照上述看似合理的分配方法将会导致的荒谬结果。 （3）公平的选举是可能的吗? 1986年，荷兰数学家施达灵（Mike Staring）在题为“委员会选举的两个悖论”的文章中给出了如下悖论：