第一章 误差
1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.
解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2
4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生
的误差即为模型误差.
在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值:
12
222...q q π=⋅
⋅⋅ 其中
11
2,3,...
n q q n +⎧=⎪⎨
==⎪⎩ 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得
3.141587725...π≈
这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.
2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:
816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236
3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位
4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位
5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +⨯各有几位有效数字? 解: 已知4311
d 10,d 1022
a b --<
⨯<⨯, 又0.2053210a b +=⨯,
()4332111
10100.551010222
d a b da db da db ----+=+≤+=⨯+⨯=⨯<⨯,
所以a b +有三位有效数字;
因为0.1047571410a b ⨯=⨯,
()4332111
0.94710 1.1062100.600451010222
d a b b da a db ----⨯=+=⋅⨯+⋅⨯=⨯<⨯
所以a b ⨯有三位有效数字.
6. 设120.9863,0.0062y y ==,是经过舍入后作为12,x x 的近似值.求12
11
,y y 的计算值与真值的相对误差限及12y y ⋅与真值的相对误差限. 解: 已知-4-41112221211
d ,d ,d =
10,d 1022
x y x x y x x x =+=+⨯=⨯, ()4
4111111110d d 12dr dr 0.50100.9863x x
x x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭
;
()4
2222222110d d 12dr dr 0.81100.0062x x
x x x y --⨯⎛⎫==≈=≈⨯ ⎪⎝⎭
;
()()()4221212dr dr dr 0.50100.81100.8210x x x x ---⋅=+≈⨯+⨯≈⨯.
7. 正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm 2.
解: 设正方形面积为S,边长为a,则S=a 2.所以要使:2
d d 2d 1s a a a ==≤,则要求
211
d 0.5102200
a a -≤
==⨯.所以边长的误差不能超过20.510-⨯cm.
8. 用观测恒星的方法求得某地维度为4502'''(读到秒),试问:计算sin ϕ将有多大误差?
解: ()()1d sin cos d cos 45022ϕϕϕ*
''⎛
⎫'''== ⎪⎝⎭
.
9 . 真空中自由落体运动距离s 与时间的关系由公式2
12
s gt =
确定,g 是重力加速度.现在假设g 是准确的,而对t 的测量有0.1s ±的误差,证明t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差
却减小.
证明: 因为:221d d d d d d d ;2.122
s gt t gt t t s gt gt t s s t gt ⎛⎫
=====
⎪⎝⎭ d s 与
t 成正比,
d s s
与t 成反比,
所以当d t 固定的时候, t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.
10. 设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的绝对误差. 解: 已知d x x δ=,所以ln x 的绝对误差()d d ln x x x
δ==.
11. 设x 的相对误差为%α,求n
x 的相对误差.
解: 1d d d %n n n n x nx x n x
n x x x
α-=
==.
12. 计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知34
3
V R π=
,设()d dr R R a R ==,则要使得 ()()3d dr dln d ln 3d ln 3d ln 3dr 31%V V V R R R R a V =
=======,则1
1%3
a =⋅.
第二章 插值法与数值微分
1.
设y =
,在100,121,144x =三处的值是很容易求得的,
试以这三个点建立y =的
二次插值多项式,
并用此多项式计算,且给出误差估计.用其中的任意两点,构造线性插值函数,用得到的三个线性插值函数,
,并分析其结果不同的原因.
解: 已知012012100,121,144;10,11,12x x x y y y ======,
建立二次Lagrange 插值函数可得:
()()()()()()()()()
()()()()
21211441001441011100121100144121100121144121100 12
144121144100x x x x L x x x ----=
+------+
--
()211510.7228L ≈=.
误差()()
()()()()2012012,,,,3!
f R x x x x x x x x x x ξξξ'''=---∈,所以
2
0.00065550.001631R <<
利用前两个节点建立线性插值函数可得:
()()()
()()
11211001011100121121100x x L x --=
+
--
