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差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
已知因果系统的差分方程y
因果系统的差分方程是描述其输入和输出之间的关系的数学表达式。
在这个方程中，输入信号的当前值与过去的值相关，而输出信号的当前值
则取决于输入信号的当前值和过去的值。
一个典型的因果系统的差分方程可以写成以下的形式：
y[n] = b0*x[n] + b1*x[n-1] + b2*x[n-2] + ... + bk*x[n-k] -
a1*y[n-1] - a2*y[n-2] - ... - an*y[n-k]
其中，y[n]是输出信号的当前值，x[n]是输入信号的当前值，b0、b1、b2、..、bk是输入信号的权重系数，a1、a2、..、an是输出信号的权重
系数，k是滞后阶数。
这个差分方程的含义是，当前时刻的输出值等于输入信号当前值与过
去的几个输入信号值的加权和，再减去输出信号当前值与过去的几个输出
信号值的加权和。
第一个例子是一个简单的滞后系统，它的差分方程可以写成：
y[n]=x[n-1]
这个方程的含义是，当前时刻的输出值等于输入信号上一个时刻的值。
这个系统只有一个滞后阶数，没有权重系数。
它的输出信号直接取决于输
入信号的过去值。
第二个例子是一个带有权重系数的差分方程，它可以写成：
y[n]=0.5*x[n]+0.3*x[n-1]+0.2*x[n-2]-0.6*y[n-1]-0.7*y[n-2]
这个方程的含义是，当前时刻的输出值等于输入信号当前值和过去两个输入信号值的加权和，再减去输出信号过去两个时刻的值的加权和。
输入信号的权重系数为0.5、0.3和0.2，输出信号的权重系数为-0.6和-0.7、这个系统的输入和输出信号都有两个滞后阶数。
如果没有特别说明，在本练习中~,,t i i d ε,()()()2t t 0,,0,t E Var E t τεεσεετ===≠ 一、填空题1.时间序列{}2,5,9的二阶差分为_________.2.时间序列{}t ε经过一阶差分后序列均值为_________,方差为_________________3.对于时间序列t X ，∆表示差分运算，则111d d d t t t X X X ---∆=∆-∆表示_____阶差分。
4.差分方程1t t t y y w φ-=+的j 期动态乘子为________________.5.差分方程01122t t t t y y y φφφε--=+++的特征方程为___________,特征根为_____6.差分方程01122t t t t y y y φφφε--=+++可用滞后算子表示成()t t L y εΦ=，则()L Φ＝___________.7.差分方程01122t t t t y y y φφφε--=+++稳定的条件是方程特征根落在单位圆_____，将方程表示成滞后算子形式()2121t t L L y φφε--=，如果想要差分方程稳定，则其辅助方程21210z z φφ--=的根落在单位圆________。
8.一般来说，对于n 阶差分方程的解有两部分组成，其中含有n 个互相独立的任意常数的解称为差分方程的_____，不含有任意常数的解称为差分方程的_____。
9.差分方程11t t t y y φε-=+稳定的条件为________。
10.AR (1)模型150.5t t t y y ε-=++的均值为___________，自方差为_______，自协方差函数满足齐次差分方程______________。
11.MA （1）模型150.5t t t y εε-=+-的均值为________，自方差为_________，一阶自协方差为________，其它为_______。
第八讲 差分方程模型一、差分方程介绍规定t 只取非负整数。
记为变量在t 点的取值，则称t y y t t t y y y −=Δ+1为的一阶向前差分，简称差分，称Δ为的二阶差分。
类似地，可以定义的阶差分。
t y t t t t t y t t y y y y y y +−=Δ−Δ=ΔΔ=+++12122)(t y t y n t ny Δ由及的差分给出的方程称为的差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。
差分方程也可以写成不显含差分的形式。
例如，二阶差分方程也可改写成t y t 、t y t y t y 02=+Δ+Δt t t y y y 012=+−++t t t y y y 。
满足一差分方程的序列称为差分方程的解。
类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。
若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
t y 称如下形式的差分方程)(110t b y a y a y a t n t n t n =+++−++L （1） 为阶常系数线性差分方程，其中是常数，n n a a a ,,,10L 00≠a 。
其对应的齐次方程为0110=+++−++t n t n t n y a y a y a L （2）容易证明，若序列与均为（2）的解，则也是方程（2）的解，其中为任意常数。
若是方程（2）的解，是方程（1）的解，则也是方程（1）的解。
)1(t y )2(t y )2(2)1(1t tt y c y c y +=21,c c )1(t y )2(t y )2()1(t t t y y y +=方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I ）先求解对应的特征方程（3）00110=+++−a a a n nL λλ（II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。
（i ）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根n λλ,,1L ，则齐次方程（2）的通解为t n n t c c λλ++L 11 （为任意常数）n c c ,,1L （ii ）若λ是特征方程（3）的重根，通解中对应于k λ的项为t k k tc c λ)(11−++L ，),,1(k i c i L =为任意常数。
