一次函数中考直通车

- 1 - 一次函数中考直通车

一次函数在中考试题中，主要以填空、选择、解答等题型出现，常融入其他知识点进行综合考查，现让我们一起乘车去逛逛吧！

一、函数概念的运用

例1（2009年广州）图1是广州市某一天内的气温变化图，根据图1，下列说法中错误的是（ ）

A. 这一天中最高气温是24℃

B. 这一天中最高气温与最低气温的差为16℃

C. 这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高

D. 这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低

分析：从图象上找出不同的时间所对应的温度，或由温度找对应的时间，同时还要对以后的情况进行估计．

解：从图象可知A是正确的，16824℃，B是正确的，C是正确的，D是错误的，因为0时至2时之间的气温在逐渐降低，故选D.

点评：解题时就要求同学们要注重生活实际，要求同学们通过看图善于思考和分析，活用数学知识，学会把实际问题转化为数学问题．

二、自变量取值范围

例2（2009年牡丹江）函数12yx中，自变量x的取值范围是 ．

分析：本题既考查了自变量取值范围的求法，又考查了不等式组的解法．x必须同时满足两个条件，得到不等式组0202xx，解这个不等式组即可．

解:解不等式组0202xx，得2x.

评注：自变量取值范围的几种确定方法：

⑴自变量以整式．．形式出现，取值范围为全体实数．．．．.．

⑵自变量以分式．．形式出现，取值范围为使分母不为零的数．．．．．．．．．

⑶自变量以偶次方根．．．．形式出现，取值范围为使被开方数为非负数的数．．．．．．．．．．．；自变量以奇次．．

- 2 - 方根．．形式出现，取值范围为全体实数．．．．．

⑷自变量以零次幂．．．或负整数幂．．．形式出现，取值范围为使底数不为零的数．．．．．．．．．

另外，自变量若在实际问题．．．．中出现，除符合以上情况外还必须符合实际意义．．．．．．．

三、一次函数的增减性

例3（2009年襄樊市）若一次函数ykxb的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的正半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是（ ）.

A．00kb， B．00kb， C．00kb， D．00kb，

分析：由一次函数ykxb的函数值y随x的增大而减小可知，0k，图象与y轴的正半轴相交可知，0b.

解：选C.

评注：本题考查了一次函数的性质，当0k时，y随x的增大而增大；当0k时，y随x的增大而减小.

四、图象的理解与运用

例4（2009年安徽）已知函数ykxb的图象如图2，则2ykxb的图象可能是（ ）.

图2

分析：本题考查对一次函数图象的理解，由ykxb和2ykxb得，图象C中0k，所以kk2，b在y轴正半轴0b，

解：故选C.

评注：本题是一道数形结合的基本考题，要理解一次函数图象的理解、性质即可求解.

一次函数与坐标轴的交点的确定

五、由图象求两人速度之差

例5（2009年浙江省丽水）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象如图3所示，根据图象所提供的信息解答问题： 1

O x y

-1 1

O x y

-1 1

O x y

-1 1

O x y

-1 1

O x y

1

A B C D

- 3 - O3050300900x(kg)y(元)(1) 他们在进行 米的长跑训练，在0＜x＜15的时 段内，速度较快的人是 ；

(2) 求甲距终点的路程y（米）和跑步时间 x（分）之间的函数关系式；

(3) 当x=15时，两人相距多少米？在15＜x＜20的时段内，求两人速度之差．

分析： 本题从给出的函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，甲图象的横坐标分别为20纵坐标分别为5000；根据图象给出的点的坐标，利用“待定系数法”可确定直线解析式，然后求出两人速度之差

解：（1）5000； 甲

（2）设所求直线的解析式为：

y =kx+b(0≤x≤20)，

由图象可知：b=5000，当x=20时，y=0，

∴0=20k+5000，解得k= -250.

即y = -250x+5000 (0≤x≤20)

（3）当x=15时，

y = -250x+5000= -250×15+5000=5000-3750=1250.

两人相距：(5000 -1250)-(5000-2000)=750（米）.

两人速度之差:750÷(20-15)=150（米/分）

评注：本题主要通过一次函数图象得出两点，因此弄清两点是关键，然后用待定系数法求函数解.

练习题

1． (2009年肇庆市)函数2yx的自变量x的取值范围是（ ）

A．2x B．2x C．2x≥ D．2x≤

2．(2009成都)某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ）

A.20kg B.25kg C.28kg D.30kg

3．(2009年陕西省)若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（ ）

A．(1，2) B．(－1，－2) C．(2，－1) D．(1，－2) 图3 (米)(分)乙甲500040003000200010002015105OxyA

- 4 - 4.(2009年陕西省)在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示．

根据图像信息，解答下列问题：

（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；

（2）求返程中y与x之间的函数表达式；

（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．

参考答案

1.C； 2. B； 3. D；

4. 解：(1)不同．理由如下：

∵往、返距离相等。去时用了2小时，而返

回时用了2.5小时，

∴往、返速度不同．

(2)设返程中y与z之间的表达式为y=kx+b．

则

解之，得

∴y=－48x+240．(2.5≤x≤5)(评卷时，自变量的取值范围不作要求)

(3)当x=4时。汽车在返程中，

∴y=—48×4+240=48．

∴这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离为48 km．

- 5 - 走进生活体验一次函数

从实际问题中建立一次函数模型，进而利用一次函数解决问题是一类重要的类型题，请看举例.

例1 (2009年内蒙古赤峰市中考试题）“教师节”快要到了，张爷爷用120元钱，为“光明”幼儿园购买价格分别为8元、6元和5元的图书20册，

（1）若设8元的图书购买x册，6元的图书购买y册，求y与x之间的函数解析式.

（2）若每册图书至少要购买2册，求张爷爷有几种购买方案？并写出y取最大值和y取最小值时的购买方案.

解题思路：(1)根据20册图书的钱数和等于120元列出关于x,y的方程,整理后可得y与x之间的函数解析式;(2) 列出不等式组并求其整数解可求到购买方案,根据一次函数的性质可。

解：根据题意，得8x+6y+5(20-x-y)=120

解得y=-3x+20.

(2)根据题意,得32022xx,解得2≤x≤6.

因为x是整数,所以x的取值为2,3,4,5,6.即张爷爷有5种购买方案.

因为一次函数y=-3x+20随x的增大而减小,

所以当y取最大值时x=2,y=14, 20-2-14=4.

此时购买方案为8元的买2册,6元的买14册,5元的买4册.

当y取最小值时,x=6,y=2,20-6-2=12,

此时的购买方案为:8元的买6册,6元的买2册,3元的买12册.

点评：本题主要考查从实际问题建立一次函数模型来解决实际问题的能力,求解时根据问题的条件寻求可以反映实际问题的一次函数,是建模思想应用的重要体验.

例2 （2009年河南省中考试题）)暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游.出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升.

(1)已知油箱内余油量y(升)是行驶路程x(千米)的一次函数，求y与x的函数关系式；

(2)当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警.如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家?请说明理由.

- 6 - 解题思路：（1）先设出函数关系式，然后利用待定系数法求解；（2）将x=400代入函数关系式求到y的值，与3比较即可判断出结果。.

解： （1）设y=kx+b,当x=0时，y=45,当x=150时，y=30．

3015045bkb解得45101bk

所以一次函数关系式为y=110x+45．

（2）当x=400时，y=110×400+45=5＞3，所以他们能在汽车报警前回到家．

点评：本题主要考查从实际问题中构建一次函数模型的能力。求解时应注意理解待定系数法的应用。