2018年江苏省苏锡常镇高考数学一模试卷
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2018年江苏省苏锡常镇高考数学一模试卷
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．(★)已知集合A={-1，1}，B={-3，0，1}，则集合A∩B= ．
2．(★)已知复数z满足z•i=3-4i（i为虚数单位），则|z|= ．
3．(★)双曲线 的渐近线方程是
．
4．(★)某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600．现用分层抽样的方法在全校抽取n人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n= ．
5．(★)将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．
6．(★★)如图是一个算法的流程图，则输出S的值是 ．
7．(★★★)若正四棱锥的底面边长为2cm，侧面积为8cm 2，则它的体积为 cm 3．
8．(★★★)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a 2+a 4=2，S 2+S 4=1，则a 10= ．
9．(★★)已知a＞0，b＞0，且 ，则ab的最小值是 ．
10．(★★★)设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，则cosA= ．
11．(★★★)已知函数 （e是自然对数的底）．若函数y=f（x）的最小值是4，则实数a的取值范围为
．
12．(★★★)在△ABC中，点P是边AB的中点，已知| |= ，| |=4，∠ACB= ，则 • = ．
13．(★★★)已知直线l：x-y+2=0与x轴交于点A，点P在直线l上．圆C：（x-2） 2+y 2=2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP，则点P的横坐标的取值集合为 ．
14．(★★★)若二次函数f（x）=ax 2+bx+c（a＞0）在区间[1，2]上有两个不同的零点，则
的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(★★★)已知向量 ， ．
（1）若角α的终边过点（3，4），求 • 的值；
（2）若 ∥ ，求锐角α的大小．
16．(★★★)如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为 ，其底面边长为2．已知点M，N分别是棱A 1C 1，AC的中点，点D是棱CC 1上靠近C的三等分点．求证：
（1）B 1M∥平面A 1BN；
（2）AD⊥平面A 1BN．
17．(★★★)已知椭圆C： （a＞b＞0）经过点 ， ，点A是椭圆的下顶点． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A且互相垂直的两直线l 1，l 2与直线y=x分别相交于E，F两点，已知OE=OF，求直线l 1的斜率．
18．(★★★)如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB．在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC= ．计划在BC上再建一座观赏亭P，记 ．
（1）当θ= 时，求∠OPQ的大小；
（2）当∠OPQ越大，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．
19．(★★★)已知函数f（x）=x 3+ax 2+bx+c，g（x）=lnx．
（1）若a=0，b=-2，且f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；
（2）若b=-3，且函数y=f（x）在区间（-1，1）上是单调递减函数．
①求实数a的值；
②当c=2时，求函数 的值域．
20．(★★★)已知S n是数列{a n}的前n项和，a 1=3，且2S n=a n+1-3（n∈N *）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）对于正整数i，j，k（i＜j＜k），已知λa j，6a i，μa k成等差数列，求正整数λ，μ的值；
（3）设数列{b n}前n项和是T n，且满足：对任意的正整数n，都有等式a 1b n+a 2b n-1+a 3b n-2 -3n-3成立．求满足等式 的所有正整数n．
【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲] 21．(★★★)如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过点D作圆O的切线交AB的延长线于点C，且满足DA=DC．
（1）求证：AB=2BC；
（2）若AB=2，求线段CD的长．
[选修4-2：矩阵与变换]
22．(★★★★)已知矩阵 ， ，列向量 ．
（1）求矩阵AB；
（2）若 ，求a，b的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．(★★★★)在极坐标系中，已知圆C经过点 ，圆心为直线
与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]
24．(★★★)已知x，y都是正数，且xy=1，求证：（1+x+y 2）（1+y+x 2）≥9．
【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25．(★★★★)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD垂直于底面ABCD，PD=AD=2AB，点Q为线段PA（不含端点）上一点．
（1）当Q是线段PA的中点时，求CQ与平面PBD所成角的正弦值；
（2）已知二面角Q-BD-P的正弦值为 ，求 的值．
26．(★★★★)在含有n个元素的集合A n={1，2，…，n}中，若这n个元素的一个排列（a 1，a 2，…，a n）满足a i≠i（i=1，2，…，n），则称这个排列为集合A n的一个错位排列（例如：对于集合A 3={1，2，3}，排列（2，3，1）是A 3的一个错位排列；排列（1，3，2）不是A 3的一个错位排列）．记集合A n的所有错位排列的个数为D n．
（1）直接写出D 1，D 2，D 3，D 4的值；
（2）当n≥3时，试用D n-2，D n-1表示D n，并说明理由；
（3）试用数学归纳法证明： 为奇数．
