2018苏锡常镇高三三模数学试题
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2018苏锡常镇高三三模数学试题
2018届苏锡常镇高三年级第三次模拟考试(十五)
数学
满分160分，考试时间120分钟)
11
方差公式：s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中x＝(x1＋x2＋…＋xn)．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1.若复数z满足(1＋i)z＝2(i是虚数单位)，则z的虚部为1.
2.设集合A＝{2，4}，B＝{a2，2}(其中a<0)，若A＝B，则实数a＝-2.
3.在平面直角坐标系xOy中，点P(－2，4)到抛物线y2＝－8x的准线的距离为2.
4.一次考试后，从高三(1)班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如下图所示，则这五人成绩的方差为68.8.
5.上图是一个算法流程图，若输入值x∈[0，2]，则输出值S的取值范围是[0.4]。
6.欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是1/16.
7.已知函数f(x)＝sin(πx＋φ)(0
10.已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝4，则d＝-1/2.
18.在棱长为2的正四面体PABC中，M，N分别为PA，BC的中点，D是线段PN上一点，且PD＝2DN，则三棱锥DMBC的体积为8/3.
9.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosB－bcosA＝c，则cosA＋cosB＝1/2.
11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝2，点A(2，0)，若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是[-3.3]。
12.如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则OP·OQ的取值范围为[0.1/2]。
13.已知函数f(x)＝
1/2，x＞2；
2（|x＋3|＋1），x≤2。
则f(x)的导数在x＝2处不存在。
1.对于第一段，没有明显的格式错误或需要删除的段落。可以改写为：“给定lnx，其中x>0，求af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值是多少？”
2.对于第二段，没有明显的格式错误或需要删除的段落。可以改写为：“已知a和b是正实数，并且(a-b)²=4(ab)³，求a/b的最小值是多少？”
3.对于第三段，没有明显的格式错误或需要删除的段落。可以改写为：“本大题共6小题，共计90分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。”
4.对于第四段，第一句话中“四棱锥PABCD中”应该改为“四棱锥PABCD的顶点分别为P、A、B、C、D”，并且需要添加图示。可以改写为：“如图所示，四棱锥PABCD的顶点分别为P、A、B、C、D，其中∠ADB=90°，CB=CD，E为棱PB的中点。(1) 若PB=PD，证明PC⊥BD；(2) 证明CE∥平面PAD。”
5.对于第五段，第一句话中“△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c”应该改为“△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c”。第二句话中“4S＝3(a2＋c2－b2)”应该改为“4S=3(a²+c²-b²)”。可以改写为：“在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，且4S=3(a²+c²-b²)。(1) 求角B的大小；(2) 设向量m=(sin 2A，3cosA)，n=(3，-2cosA)，求m·n的取值范围。”
6.对于第六段，第一句话中“下图1是一座斜拉桥的航拍图”应该改为“下图1是一张斜拉桥的航拍照片”。可以改写为：“下图1是一张斜拉桥的航拍照片，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图2所示的数学模型。索塔AB、CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB、CD距离之比为21∶4，且点P对两塔顶的视角为135°。(1) 求两索塔之间桥面AC的长度；(2) 研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比(比例系数为正数a)，且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数b)。问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值。”
7.对于第七段，第一句话中“如图，椭圆2+2=1(a>b>0)的离心率为”应该改为“如图所示，椭圆2x²/a²+2y²/b²=1(a>b>0)的离心率为e，焦点到相应准线的距离为1，点A、B、C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M(x₁，0)，直线AC与直线BD交于点N(x₂，y₂)。”可以改写为：“如图所示，椭圆2x²/a²+2y²/b²=1(a>b>0)的离心率为e，焦点到相应准线的距离为1，点A、B、C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M(x₁，0)，直线AC与直线BD交于点N(x₂，y₂)。(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若CM=2MD，求直线l的方程；(3) 证明：x₁·x₂为定值。”
8.对于第八段，第一句话中“已知函数f(x)=x³+ax²+bx+1，a，b∈R。”应该改为“已知函数f(x)=x³+ax²+bx+1，其中a、b∈R。”可以改写为：“已知函数f(x)=x³+ax²+bx+1，其中a、b∈R。(1) 若a²+b=0.(ⅰ) 当a>0时，求函数f(x)的极值(用a表示)；(ⅱ) 若f(x)有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由；(2) 函数f(x)的图象在点A处的切线l₁的截距为2，求点A的坐标。”
1.与$f(x)$的图像相交于点$B$，且在点$B$处的切线为$l_2$，$l_1$、$l_2$的斜率分别为$k_1$、$k_2$，且$k_2=4k_1$。求$a$、$b$满足的关系式。
2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为1，公差为$d$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且对任意的$n\in\mathbb{N}^*$，$6S_n=9b_n-a_n-2$恒成立。
1) 如果数列$\{S_n\}$是等差数列，求证：数列$\{b_n\}$也是等差数列；
2) 如果数列$b_n+2$为等比数列，求$d$的值；
3) 如果$d=3$，数列$\{c_n\}$的首项为1，$c_n=b_n-b_{n-1}(n\geq 2)$，求证：数列$\{a_n\}$中存在无穷多项可表示为数列$\{c_n\}$中的两项之和。
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答。若多做，则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A。[选修41：几何证明选讲] 如图，$AB$为圆$O$的直径，$AE$平分$\angle BAC$交圆$O$于点$E$，过点$E$作圆$O$的切线交$AC$于点$D$，求证：$AC\perp DE$。
B。[选修42：矩阵与变换] 已知矩阵$M=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\ 4 & x \end{pmatrix}$的一个特征值为3，求$M^{-1}$。
C。[选修44：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系$xOy$中，圆$C$的参数方程为$x=3+2\cos t$，$y=-2+2\sin
t$（$t$为参数）。以原点$O$为极点，以$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线$l$的极坐标方程为$2\rho\cos(\theta-\frac{\pi}{4})=4$，知圆心$C$到直线$l$的距离等于2，求实数$a$的值。
D。[选修45：不等式选讲] 已知实数$a$、$b$、$c$满足$a+2b+c=1$，$a^2+b^2+c^2=1$，求证：$-\frac{2}{3}\leq c\leq
1$。
22.（本小题满分10分）
甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为$p$，乙、丙做对该题的概率分别为$m$、$n$（$m>n$），且三位学生能否做对相互独立，设$X$为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
X=
begin{cases}
0.& P(X=0)=q^3 \\
1.& P(X=1)=3p(1-p)^2 \\
2.& P(X=2)=3(1-p)p^2+q^2 \\
3.& P(X=3)=p^3
end{cases}
其中$q=1-p$。证明：$E(X)=p+2q$。
23.（本小题满分10分）
已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}-ax$，其中$a>0$。
1) 求函数$f(x)$的单调区间和最值；
2) 求函数$f(x)$的图像在点$(0,f(0))$处的切线方程。
23.(本小题满分10分)
已知函数$f(x)=(x+5)^{2n+1}(n\in N^*,x\in R)$。
1) 当$n=2$时，若$f(2)+f(-2)=5A$，求实数$A$的值； 2) 若$f(2)=m+\alpha(m\in N^*,0<\alpha<1)$，求证：$\alpha(m+\alpha)=1$。
参考答案：
1) 当$n=2$时，$f(x)=(x+5)^5$，代入$f(2)+f(-2)=5A$得$A=\frac{1}{32}$。
2) 由$f(2)=(2+5)^5=7^5$，代入得$m=7^5-\alpha$。又$f(2)=(2+5)^5=(m+\alpha)+\alpha^2$，整理得$\alpha(m+\alpha)=1$。
1.由题意可知，需要求出两个索塔之间的距离AC。根据三角函数公式tan(α+β)=tan45°=1，化简得7t^2-125t-300=0，解得t=20或t=-(舍去)。因此AC=AP+PC=25×20=500(米)。故两索塔之间的距离AC为500米。
2.设桥面某处为点M，AM=x米，点M处的承重强度之和为L(x)，则L(x)=60[(x^2)+(500-x)^2]，且x∈(0，500)。记l(x)=(2/x)+(2/(500-x))，x∈(0，500)，则l′(x)=3/(x(500-x))，令l′(x)=0，解得x=250.当x∈(0，250)，l′(x)0，l(x)单调递增，所
